2018-2019學(xué)年遼寧省遼陽(yáng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）

2018-2019學(xué)年遼寧省遼陽(yáng)市高二（±）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)命題p：VxeN,XGZ,則"為（）

A.\/xEN,xiZB.3x0GN,尤oCZ

C.VxeN,%eZD.3x0eN,x0EZ

【答案】B

【解析】解：命題p：VxeN,xez,貝Ij”為mxoCN,xoiz,

故選：B.

根據(jù)全稱命題的否定方法，根據(jù)已知中的原命題，寫出其否定形式，可得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全稱命題，命題的否定，熟練掌握全（特）稱命題的否定方法是解答

的關(guān)鍵.

2.在等差數(shù)列{即}中，若CI3,。13是方程--20%+5=0的兩個(gè)根，則=（）

A.-10B.—8C.8D.10

【答案】D

【解析】解：???等差數(shù)列{即}中,a3,的3是方程/—20%+5=0的兩個(gè)根，

???a3+a13=20,

則。8=5（。3+。13）=10,

故選：D.

由方程的根與系數(shù)關(guān)系可求+。13,然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可知+的3），

即可求解

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及方程的根與系數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

22

3.橢圓點(diǎn)2+1的離心率為（）

68

A.JB.；C.1D.更

2433

【答案】A

22

【解析】解：橢圓點(diǎn)上+匕=1,可得a=2奩，b=Vb?c=V2,

68

可得e=-=黑=

a2V22

故選：A.

求出橢圓的長(zhǎng)半軸以及半焦距的大小，然后求解離心率即可.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

4.不等式等20的解集為（）

A.{%|-6<%<1}B.{x\x>1或％<—6]

C.{%|-6<%<1}D.{x\x>1或％<—6]

【答案】C

【解析】解：不等式戶20,即二W0,即｛（：+6）；2）N。，求得—6WX<1,

L-XX—1LX-J■干U

故選：c.

原不等式即二wo,即Fr'；?］。，由此求得x的范圍.

本題主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2

5.已知雙曲線C：拶—\=1（￡1>0,匕>0）的離心率6=也且其虛軸長(zhǎng)為8,則雙曲

線C的方程為（)

A.次—”=1C.T=1D?會(huì)白】

43B《4=I

【答案】B

【解析】解：雙曲線C：胃一箕=19>0/>0）的離心率6=|,且其虛軸長(zhǎng)為8,

c

e=5-=-(a=3

2b=83得b=4.

(c2=a2+b2c=5

可得上一匕=1.

916

故選：B.

利用雙曲線的離心率以及虛軸長(zhǎng)，列出方程組，然后求解雙曲線方程即可.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計(jì)算能力.

6.在三棱柱中，若麗=濟(jì)AC=b，AA^=c,則蔑=（）

A.1+b—cB.a,—b—cC.—五+b—cD.-a—b-t-c

【答案】B

【解析】解：C^B=CB-CC1=AB-AC-CCl=a-b-c.

故選：B.

利用藤=CB-CCl=AB-AC-鬲即可得出.

本題考查了向量三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.若等比數(shù)列｛心｝的前〃項(xiàng)和為無(wú),2a3+。6=0,則合（）

A.—1B.1C.—2D.2

【答案】A

【解析】解：1?12a3+a6=0,

q3=-2,

故選：A.

先求出q3=-2,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求出.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

8.設(shè)直線/的方向向量為落平面a的法向量為元，Ia,則使///a成立的是（）

第2頁(yè)，共10頁(yè)

A.a=(1,-1,2),TI=(—1,1,—2)B.CL=(2,-1,3),TL=(-1,1,1)

C.a=(1,1,0),元=(2,—1,0)D.a=(1,—2,1),n=(1,1,2)

【答案】B

【解析】解：??,直線/的方向向量為落平面a的法向量為元，10a，使

〃/a成立，

a?n=0,

在A中，a-n=-l-l-4=-6,故A錯(cuò)誤；

在3中，a-n=-2—1+3=0,故3成立；

在C中，方?元=2—1=1,故C錯(cuò)誤；

在。中，a-n=1-2+2=1,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

由直線，的方向向量為落平面a的法向量為元，Ia,使/〃a成立，得到五?元=0,由

此能求出結(jié)果.

本題考查線面平行的判斷與求法，考查直線的方向向量、平面的法向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算與求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

22

9.“方程二+。」=1表示的曲線為橢圓”是的()

6-mm-2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

22(6-m>0

【解析】解：“方程」+匚=1表示的曲線為橢圓”的充要條件為2>0,

6-mm-2

16—THWTH—2

解得：me(2,4)u(4,6),

設(shè)集合4=(2,4)U(4,6),集合B=(2,6),

因?yàn)锳WB,

所以“方程工+=1表示的曲線為橢圓”是“2<m<6”的充分不必要條件，

6-mm-2

故選：A.

22

先求“方程」+之=1表示的曲線為橢圓”的充要條件，為“小€(2,4)U(4,6)”，

6-mm-2

再由集合2=(2,4)U(4,6),集合B=(2,6)的包含關(guān)系得解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)及充分、必要條件，及集合的包含關(guān)系，屬簡(jiǎn)單題.

10.已知空間向量而=(1,0,-1),平面a的一個(gè)法向量為元=(0,1,1),則直線與

平面a所成角。為()

A-7C.|D*

【答案】A

【解析】解：直線/與平面a所成的角的正弦值：sin9=|cos<AB,元>1=察=

1_1

V2xV2.2,

則直線AB與平面a所成角。為：7.

6

故選：A.

直線/與平面a所成的角的正弦值，通過(guò)直線與平面的數(shù)量積求解即可得出.

本題考查了線面幾角的計(jì)算公式、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

11.已知無(wú)>0,y>0,且5+：=2.若4x+y>7機(jī)—m2恒成立，則機(jī)的取值范圍為

()

A.(3,4)B.(-4,3)

C.3)U(4,+oo)D.(―8,—4)U(―3,+8)

【答案】C

【解析】解：???％>0,y>0,且5+，=2,

那么：4%+y=1(4%+y)段+^)=|(6+6+|^+§)>|(12+2層X(jué)§)=12.

當(dāng)且僅當(dāng)y=4%時(shí)，即％=|,y=6時(shí)取等號(hào)；

要使4%+y>7m—TH2恒成立，即12>7m—恒成立，

解得：4<771或771<3;

故選：C.

利用基本不等式的性質(zhì)求解％+2y的最小值，即可求解恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用來(lái)解恒等式成立的問(wèn)題.屬于基本知識(shí)的考查.

22____________

12.設(shè)雙曲線跖￡一篇=19〉0,6>0)的上頂點(diǎn)為4直線y=Va2+b2與M交于

B,C兩點(diǎn)，過(guò)8,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)。若。到點(diǎn)(0,2房不留)的距

離不超過(guò)-7a,則M的離心率的取值范圍是()

A.[V7+1,+oo)B.[V7-1,+8)C.(1,V7+1]D.(1,V7-1]

【答案】D

【解析】解：記0=，。2+62,由題意可得B(9,C),C(—9,—c),

由雙曲線的對(duì)稱性可知D點(diǎn)在y軸上，設(shè)O(0,t),

c-tc-av

則右*忻;=—1,

-a(J-----a(J

則t=C-^^=C-(c+a)：d),

az(c-a)az

???2c-[c-"+a亭-a)]<8Va2+b2-7a=8c-7a,

LazJ

.???+*"7(c—a),

???c2+2ac+a2<7a2,

SPe2+2e—6<0,

解得一1-V7<e<-1+V7,

e>1,

ee(1,V7—1],

故選：D.

求出雙曲線的漸近線方程，令％=c,求得3,C的坐標(biāo)，由雙曲線的對(duì)稱性知。在工

第4頁(yè)，共10頁(yè)

軸上，設(shè)。(0,t),則％X=-1,利用。到直線BC的距離不超過(guò)87^中-7a,

aa

建立不等式關(guān)系，結(jié)合雙曲線離心率的定義，即可得出結(jié)論

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查三角形的垂心的概念，以及兩直線垂直的條件：斜

率之積為-1,考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

X-y>0

13.若尤，y滿足約束條件％+y—2W0,則z=2x—3y的最小值為.

,y>0

【答案】-1

【解析】解：由約束條件得到可行域如圖：z=2x-3y變形為y=|x-早當(dāng)此直線經(jīng)

過(guò)圖中4(1,1)時(shí)，在y軸的截距最大，z最小，所以z的最小值為2xl—3xl=—1；

故答案為：-1.

首先畫出可行域，關(guān)鍵目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最小值.

本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題；正確畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值是常

規(guī)方法.

14.命題''當(dāng)c>0時(shí)，若a>b,則ac>be."的逆命題是.

【答案】當(dāng)c>。時(shí)，若ac>be,則a>b

【解析】解:命題“當(dāng)c>0時(shí)，若a>b,則ac>be."的逆命題是當(dāng)c>。時(shí)，若ac>be,

則a>b,

故答案為：當(dāng)c>0時(shí),若ac>be,則a>b

根據(jù)原命題是若P,則。，它的逆命題是若Q,則P,

本題考查了四種命題之間的關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)原命題直接寫出對(duì)應(yīng)的逆命題

15.已知廠是拋物線/=4y的焦點(diǎn)，A,2是該拋物線上的兩點(diǎn)，\AF\+\BF\=5,則

線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為.

【答案】|

【解析】解：拋物線/=4y的焦點(diǎn)F(0,l)準(zhǔn)線方程y=-1,

設(shè)4(/41)，S(x2,y2),

\AF\+\BF\=+1+y2+1=5,

解得為+火=3,

???線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為I，

二線段A3的中點(diǎn)到x軸的距離為|,

故答案為：|.

根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到

準(zhǔn)線的距離，列出方程求出43的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段A3的中點(diǎn)到x軸的距離.

本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化

為到準(zhǔn)線的距離.

16.如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，APAC為等腰直角三角形，PA=

PC=4,平面PAC1平面ABC,D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與尸。所成角的

余弦值為.

【答案】返

4

【解析】解：取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OB,

PA=PC,ACX.OP,

???平面P4C1平面ABC,平面PACC平面ABC=AC,

..OP1?平面ABC,

又???AB=BC,：.ACVOB,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

???△P4C是等腰直角三角形，PA=PC=4,A/IBC為直角三角形，

???71(272,0,0),C(-2V2,0,0),P(0,0,2a),Dg,展,0),

AC=(-4曲，0),PD=(V2,V6,-2V2).

,-77?TTnAC-l^D-8_V2

cos<CAC,PD>=——>——―--7=—=-----.

\AC\-\PD\472X44

???異面直線AC與PD所成角的余弦值為四.

4

故答案為：也.

4

取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OB,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法能求出異面直線AC與所成角的余弦值.

本題考查異線直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算與求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

三、解答題(本大題共7小題，共70.0分)

17.設(shè)｛aj是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若的=2,且2a2,a3,8成等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)斯噂=晟,求證：數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和&<1.

【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

2a2,a3,8成等差數(shù)列

???a3=a2+4即2q2=2q+4,.........................................(2分)

即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)，；.q=2..........................................(4分)

所以｛時(shí)｝的通項(xiàng)為冊(cè)=2-2rlt=2"(nGN*).........................................(5分)

n

(2)由上知斯=2anbn=高

1_1_11

（分）

n2+nn（n+l）nn+l,..........................................7

11

（

Tn=br+b2+b3------1-=1-+…+4F）=I_

1

（分）

n+l9

1

—=F<°（10分）

即數(shù)列｛,｝的前"項(xiàng)和為7；<1.

第6頁(yè)，共10頁(yè)

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為4,通過(guò)2a2,。3,8成等差數(shù)列，求出公比，然

后求解｛即｝的通項(xiàng)公式.

(2)求出“=念=前熱=；-利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的和，即可說(shuō)明數(shù)列｛如｝

的前“項(xiàng)和為&<1.

本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力.

18.已知a>0,且aI1,設(shè)p；函數(shù)f(x)=log-在(0,+°°)上單調(diào)遞增;q：函數(shù)g(x)=

x+(在(0,+8)上的最小值大于4.

(1)試問(wèn)P是4的什么條件？為什么？

(2)若命題pAq為假，命題pvq為真，求a的取值范圍.

【答案】解：(1)由函數(shù)/(X)=log。%在(0,+8)上單調(diào)遞增，得：a>1,

當(dāng)久>0時(shí)，*+?22份(當(dāng)且僅當(dāng)％=歷時(shí)取等號(hào))

即26>4,即a>4,

故P是4的必要不充分條件，

(2)命題pAq為假，命題pVq為真，則命題p,4一真一假，

a>1

當(dāng)P真4假時(shí)：“<4,得l<aW4,

a>0

a>0

當(dāng)P假q真時(shí)有無(wú)解，

a>4

綜上得：。的取值范圍(1,4],

故答案為：(1,4].

【解析】(1)由由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a>1,由均值不等式可得，%+?22返(當(dāng)且

僅當(dāng)％=歷時(shí)取等號(hào))，即a>4,故得解，

(2)由命題pAq為假，命題pVq為真，則命題p,q一真一假，分p真q假，p假q真時(shí)

兩種情況討論，列不等式組得解

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合命題的真假及運(yùn)算能力，屬簡(jiǎn)單題

19.已知過(guò)M(3,4)的直線/與拋物線C：產(chǎn)二貨%交于點(diǎn)A,B.

(1)若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(2)若p為拋物線C的焦點(diǎn)，尸為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|+|PM|的最小值.

【答案】解：(1)由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為鼠AQi，%)，S(x2,y2),

則有比=16x1,yl=16尤2，

兩式作差可得：比—％=16(%—冷)，即腎=￡*，

???丫1+y2=2X4=8,

,.,rkv—-yi-y2—-16—-47.

xr-x28

則直線/的方程為y—4=k(x—3),即2x—y—2=0；

(2)記P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,由拋物線的定義可得|PF|=d,

于是|PF|+\PM\=\PM\+d,

???當(dāng)直線PM與x軸平行時(shí)，|PM|+d最小，

故|PF|+\PM\的最小值為3+1=7.

【解析】(1)由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為七4(修,%)，B(%2,y2)-利

用點(diǎn)差法求得直線斜率，再由直線方程點(diǎn)斜式求解；

(2)過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，把求|PF|+|PM|的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線/的距離求解.

本題考查直線與拋物線的綜合，考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方

法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

20.如圖，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為4/ZMB=60°,矩形的面積為8,且平面BDFE1

平面ABCD.

(1)證明：AC1BE；

(2)求二面角E-AF-D的正弦值.

【答案】證明：(1)；四邊形8?！甏跏蔷匦?，；.8石18。，

??平面BDEF1平面ABCD,且平面BDEFC平面4BCD=BD,

BEu平面BDFE,

：.BE_L平面ABCD,

???ACu平面ABCD,-?,AC1BE.

解：(2)設(shè)AC,8。的交點(diǎn)為O,建立空間直角坐標(biāo)系,

?.?菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,S.ADAB=60°,:，BD=4,

?.?矩形BDEF的面積為8,,-,BE=2,

則4(—2舊,0,0),￡)(0,2,0),E(0,-2,2),尸(0,2,2),

???~EF=(0,4,0),AF=(2V3,2,2),AD=(2次,2,0),

設(shè)平面AEF的法向量元=(x,y,z),

EF?元=4y=0

則?。?1,得元=(1,0,-V3),

~AF?n=2A/3X+2y+2z=0

設(shè)平面4。b的法向量沅=(xj,z),

AF?m=2A/3X+2y+2Z°,取得記一次,

則x=L=(1,0),

AD-m=2V3x+2y=0

設(shè)二面角E-AF-。的平面角為仇

|?n-n|_1_1

則cos。=

|7n|-|n|V4-V44'

V15

4

??二面角E-AF-D的正弦值為苧.

【解析】(1)推導(dǎo)出BE1BD,從而B(niǎo)E，平面ABCD,由此能證明AC1BE.

(2)設(shè)AC,2。的交點(diǎn)為O,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-2F-。

的正弦值.

本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

第8頁(yè)，共10頁(yè)

21.已知橢圓C：《+，=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2vB，原點(diǎn)

到直線工+1=1的距離為畫.

ab4

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知定點(diǎn)P(0,2),是否存在過(guò)P的直線/,使/與橢圓C交于48兩點(diǎn)，且以|23|

為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)？若存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解：(1)直線;+1=1的一般方程為bx+ay-ab=0.

(2ab=2V15

依題意［^^=漁，解得卜=噂，故橢圓C的方程式為亡+^=1.

)7^27624lb=遮53

L2=b2+c2

(2)假若存在這樣的直線I,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，以|4B|為直徑的圓顯然不經(jīng)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)，

所以可設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程為y=左久+2.

由葭2+疆2=15,得(3+5k2)K2+20kx+5=0.

由4=400k2_20(3+5k2)>0,得ke(—8,邛)u(—,+oo).

記A,B的坐標(biāo)分別為(勺,為)，(x2,y2),

則“1+%2=一急'/犯=高'

2

而yi、2=(k/+2)(fcx2+2)=fc%i%2+2k(x、+x2)+4.

要使以為直徑的圓過(guò)橢圓。的左頂點(diǎn)。(一逐,0),則育?麗=0,

即%丫2+(%1+V5)(%2+V5)=(/c2+1)%1%2+(2憶+通)(%1+%2)+9=0,

所以(1+1)高一(2k+遮)券+9=0,

整理解得k=手或k=第，

所以存在過(guò)P的直線/,使/與橢圓c交于A,B兩點(diǎn)，且以|4B|為直徑的圓過(guò)橢圓C

的左頂點(diǎn)，直線/的方程為丫=等工+2或、=卓%+2.

【解析】(1)利用已知條件列出方程組，求出d6,即可得到橢圓方程.

(2)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，使以|4?|為直徑的圓過(guò)橢圓C的左

頂點(diǎn)。(-而,0)，則近?施=0，轉(zhuǎn)化求解K,即可得到直線方程.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)

化思想以及計(jì)算能力.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為仁二篇為參數(shù))，直線