第15章 概率單元綜合能力測(cè)試卷-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)第15章概率單元綜合能力測(cè)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．①某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)萬(wàn)元；②三角形的內(nèi)角和為；③地球上，沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去；④同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上．A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于事件①，某人購(gòu)買福利彩票一注，中獎(jiǎng)萬(wàn)元，該事件為隨機(jī)事件；對(duì)于事件②，三角形的內(nèi)角和為，該事件為必然事件；對(duì)于事件③，地球上，沒(méi)有空氣和水，人類可以生存下去，該事件為不可能事件；對(duì)于事件④，同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上，該事件為隨機(jī)事件.因此，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為.故選：B.2．某中學(xué)高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁、戊三個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地中選擇一個(gè)進(jìn)行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，任選一個(gè)基地有5種方法，選擇紅色教育基地有2種方法，所以選擇紅色教育基地的概率是.故選：B3．一數(shù)字電子表顯示的時(shí)間是四位數(shù)，如，那么在一天（24小時(shí)制）內(nèi)，所顯的四個(gè)數(shù)字和是23的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】一天顯示的時(shí)間總共有種，和為23有，，，總共有4種，故所求概率為．故選：D．4．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日至8月8日在中國(guó)四川省成都市舉行，是中國(guó)西部第一次舉辦的世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì)．該屆賽事共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)大項(xiàng)，269個(gè)小項(xiàng)．甲同學(xué)準(zhǔn)備在體操、跳水、羽毛球三個(gè)比賽項(xiàng)目中選擇一個(gè)前去觀看，乙同學(xué)準(zhǔn)備在跳水和羽毛球中選擇一個(gè)前去觀看，則甲、乙觀看同一比賽的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】用（甲，乙）表示甲、乙兩同學(xué)的選擇結(jié)果，記體操、跳水、羽毛球分別為，則兩人選擇比賽項(xiàng)目的情況有，共6種，其中甲、乙所選的比賽項(xiàng)目相同的情況有，共2種，故所求概率．故選：D．5．近幾年隨著技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，下圖為2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加B．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為915D．從2018~2022年企業(yè)注辦增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)不大于300的概率為【答案】B【解析】由每年注冊(cè)增加數(shù)均為正數(shù)，可知2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加，故A正確；2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)從小到大排列為：，，，，，，，，，所以2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為，故C正確；從，，，，中任取兩個(gè)數(shù)字，結(jié)果有種，所取兩個(gè)數(shù)字平均數(shù)不大于的取法有，共種，所以所求概率，故D正確.故選：B.6．有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時(shí)間的頻數(shù)分布情況如下表所示所用時(shí)間天數(shù)10111213通過(guò)公路1的頻數(shù)20402020通過(guò)公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日期某月某日的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)將頻率視為概率，為了在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙，汽車A和汽車B選擇的最佳路徑分別為（）A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1【答案】A【解析】頻率分布表如下：所用時(shí)間天數(shù)10111213通過(guò)公路1的頻率通過(guò)公路2的頻率設(shè)，分別表示事件“汽車A選擇公路1時(shí)在約定時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙”和“汽車A選擇公路2時(shí)在約定時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙”，，分別表示事件“汽車B選擇公路1時(shí)在約定時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙”和“汽車B選擇公路2時(shí)在定時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)至城市乙”，以頻率估計(jì)概率得，，，，所以汽車A和汽車B選擇的最佳路徑分別為公路1和公路2.故選：.7．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，記錄每次朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“第一次的點(diǎn)數(shù)是6”，事件B為“第二次的點(diǎn)數(shù)小于4”，事件C為“兩次的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（

）A． B．A與B互斥C．A與C互斥 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【解析】依題意得，故A錯(cuò)誤．因?yàn)榕c可能同時(shí)發(fā)生，如“第一次的點(diǎn)數(shù)為6，第二次的點(diǎn)數(shù)為2”，故B錯(cuò)誤．因?yàn)榕c可能同時(shí)發(fā)生，如“第一次的點(diǎn)數(shù)為6，第二次的點(diǎn)數(shù)為2”，故C錯(cuò)誤．因?yàn)?，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故D正確．故選：D.8．某運(yùn)動(dòng)員8次射擊比賽的成績(jī)?yōu)椋骸?、、、、、、；已知這組數(shù)據(jù)的第百分位為，若從這組數(shù)據(jù)中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比大的概率為，則的取值不可能是（

）A．65 B．70 C．75 D．80【答案】D【解析】將該運(yùn)動(dòng)員8次射擊比賽的成績(jī)從小到大排列：、、、、、、、，因?yàn)閺倪@組數(shù)據(jù)中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比大的概率為，一共有8個(gè)數(shù)，所以比大的數(shù)有兩個(gè)，則，對(duì)于A，因?yàn)椋缘?5百分位為第6個(gè)數(shù)，即，滿足題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?0百分位為第6個(gè)數(shù)，即，滿足題意；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?5百分位為第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，滿足題意；對(duì)于D，因?yàn)椋缘?0百分位為第7個(gè)數(shù)，即，不滿足題意.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某公司2023年的銷售額為1000萬(wàn)元，2023年四個(gè)季度的銷售額情況統(tǒng)計(jì)如圖所示．其中第二季度銷售額是第一季度銷售額的2倍．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該公司四個(gè)季度的銷售額先增長(zhǎng)再下降B．從這四個(gè)季度中任選兩個(gè)，則這兩個(gè)季度的銷售額都大于250萬(wàn)的概率為C．從這四個(gè)季度中任選兩個(gè)，則這兩個(gè)季度的銷售額的和大于500萬(wàn)的概率為D．從這四個(gè)季度中任選兩個(gè)，則這兩個(gè)季度的銷售額差的絕對(duì)值小于250萬(wàn)的概率為【答案】AB【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由題意可得第一、二、三、四季度銷售額分別為100萬(wàn)、200萬(wàn)、400萬(wàn)、300萬(wàn)元，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，任選的兩個(gè)季度的銷售額，可以為，，，，，，其6種情況，這兩個(gè)季度的銷售額均大于250萬(wàn)的只有一種情況，則概率為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，這兩個(gè)季度銷售額的和大于500萬(wàn)的有，共2種情況，故概率為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，這兩個(gè)季度銷售額差的絕對(duì)值小于250萬(wàn)的有共5種情況，故概率為，即D錯(cuò)誤．故選：AB.10．已知甲乙兩人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，兩人各試射次，具體命中環(huán)數(shù)如下表（最高環(huán)數(shù)為環(huán)），從甲試射命中的環(huán)數(shù)中任取個(gè)，設(shè)事件表示“至多個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，事件表示“恰有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）人員甲乙命中環(huán)數(shù)A．甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)小于乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)B．甲試射命中環(huán)數(shù)的方差大于乙試射命中環(huán)數(shù)的方差C．乙試射命中環(huán)數(shù)的的分位數(shù)是D．事件，互為對(duì)立事件【答案】BCD【解析】對(duì)于A，甲試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，乙試射命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲試射命中環(huán)數(shù)相比乙試射命中環(huán)數(shù)，更為分散，則甲對(duì)應(yīng)的方差更大，故B正確；對(duì)于C，乙試射命中環(huán)數(shù)排序?yàn)?，因?yàn)椋苑治粩?shù)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榧自嚿涿协h(huán)數(shù)的平均數(shù)為，且甲試射命中的環(huán)數(shù)中有兩個(gè)超過(guò)平均數(shù)的，則任取個(gè)的情況為：“沒(méi)有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”、“有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”和“有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，而事件表示“沒(méi)有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”或“有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，事件事件表示“恰有個(gè)超過(guò)平均環(huán)數(shù)”，所以事件，互為對(duì)立事件，D正確.故選：BCD11．素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想．19世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì).其中當(dāng)時(shí)，稱為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱為“表兄弟素?cái)?shù)”在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)p、，令事件為孿生素?cái)?shù)}，為表兄弟素?cái)?shù)}，，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，，，則下列關(guān)系式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由題設(shè)，不超過(guò)30的素?cái)?shù)有共10個(gè)，從中任意取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)p、：有9個(gè)，有8個(gè)，有7個(gè)，有6個(gè)，有5個(gè)，有4個(gè)，有3個(gè)，有2個(gè)，有1個(gè)，所以共有個(gè)樣本點(diǎn)；共4個(gè)樣本點(diǎn)；共4個(gè)樣本點(diǎn)；共10個(gè)樣本點(diǎn)；所以，顯然，.故選：ABC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．從總體容量為的一批電子元件中抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)電子元件被抽到的可能性為，則總體容量．【答案】【解析】由條件可知：，所以，故答案為：.13．下列命題中：①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取容量為90的樣本進(jìn)行健康測(cè)試，則樣本中男生有54人；②隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率；③數(shù)據(jù)4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的2倍；④從3個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取兩個(gè)球，記事件“取出的兩球均為紅球”，事件“取出的兩個(gè)球顏色不同”，則事件A與B互斥而不對(duì)立；其中正確命題的編號(hào)為.【答案】①②④【解析】總體容量為4500，樣本容量為90，所以抽樣比為，所以樣本中男生的人數(shù)為，①正確；對(duì)于有限n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)n趨向無(wú)窮大，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率，②正確；數(shù)據(jù)4，8，10，14的平均數(shù)，方差，數(shù)據(jù)2，4，5，7的平均數(shù)，方差為，則，故數(shù)據(jù)4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的4倍，③錯(cuò)誤；基本事件有“取出的兩球均為紅球”，“取出的兩球均為白球”，“取出的球?yàn)橐患t球和一白球”等，因此事件A與B互斥而不對(duì)立，④正確；故正確命題的編號(hào)為①②④.故答案為：①②④.14．著名數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個(gè)大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫(xiě)成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.【答案】【解析】，可得，若從中任選2個(gè)構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個(gè)，則十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的有共5個(gè)，所以的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開(kāi)始生產(chǎn)口罩，并且對(duì)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量按指標(biāo)測(cè)試分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于的為合格品，否則為不合格品，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件口罩進(jìn)行檢測(cè)，其結(jié)果如表：測(cè)試分?jǐn)?shù)數(shù)量(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司生產(chǎn)口罩的不合格率；(2)若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產(chǎn)口罩中抽取件，再?gòu)倪@件口罩中隨機(jī)抽取件，求這件口罩全是合格品的概率.【解析】（1）在抽取的件產(chǎn)品中，不合格的口罩有（件），所以口罩為不合格品的頻率為，根據(jù)頻率可估計(jì)該公司所生產(chǎn)口罩的不合格率為．（2）由題意所抽取的件口罩中不合格的有件，合格的有件．設(shè)件合格口罩記為，件不合格口罩記為．而從件口罩中抽取件，共有共種情況，這件口罩全是合格品的事件有，共種情況，故件口罩全是合格品的概率為．16．（15分）2021年底某市城市公園主體建設(shè)基本完成，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度，從該市隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按，，，，進(jìn)行分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該市市民評(píng)分的分位數(shù)；(2)為進(jìn)一步完善公園建設(shè)，按分層隨機(jī)抽樣的方法從評(píng)分在中抽取7人，再隨機(jī)抽取其中2人進(jìn)行座談，求這2人的評(píng)分在同一組的概率.【解析】（1）由題意得，，解得.因?yàn)?，，所以分位?shù)位于之間，則市民評(píng)分的分位數(shù)約為.（2）由題意得，按分層隨機(jī)抽樣從評(píng)分在中抽取人，其中評(píng)分在中有人，記為，；評(píng)分在中有人，記為，，，，.現(xiàn)抽取其中人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，共有21種情況，它們是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中這2人評(píng)分在同一組有11種情況，它們是：，，，，，，，，，，，則所求概率.17．（15分）本市某區(qū)對(duì)全區(qū)高中生的身高(單位：厘米)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)若數(shù)據(jù)分布均勻，用頻率估計(jì)概率，則在全市隨機(jī)取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；(2)現(xiàn)從身高在區(qū)間的高中生中分層抽樣抽取一個(gè)80人的樣本，若身高在區(qū)間中樣本的均值為176厘米，方差為10；身高在區(qū)間[180，190)中樣本的均值為184厘米，方差為16，試求這80人的方差.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得：解得則在全市隨機(jī)取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率為.（2）由于身高在區(qū)間，的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽取80人，區(qū)間，內(nèi)抽取的人數(shù)分別為50人與30人．設(shè)在區(qū)間中抽取的50個(gè)樣本為，其均值為176，方差為，即．設(shè)區(qū)間中抽取的30個(gè)樣本為．其均值為，方差為，即；所以這80人身高的均值為．從而這80人身高的方差為因此，這80人身高的方差為18．（17分）甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校進(jìn)行籃球比賽，各出一個(gè)代表隊(duì)，簡(jiǎn)稱甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個(gè)隊(duì)，另一隊(duì)輪空；每場(chǎng)比賽的勝隊(duì)與輪空隊(duì)進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)隊(duì)下一場(chǎng)輪空，直至有一隊(duì)被淘汰；當(dāng)一隊(duì)被淘汰后，剩余的兩隊(duì)繼續(xù)比賽，直至其中一隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊(duì)首先比賽，丙隊(duì)輪空．設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.5，甲隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.6，乙隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，乙隊(duì)獲勝概率為0.4，各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，且無(wú)平局．記事件A為甲隊(duì)和乙隊(duì)比賽甲隊(duì)輸，事件B為甲隊(duì)和乙隊(duì)比賽乙隊(duì)輸，事件C為甲隊(duì)和丙隊(duì)比賽甲隊(duì)輸，事件D為乙隊(duì)和丙隊(duì)比賽乙隊(duì)輸，事件E為甲隊(duì)和丙隊(duì)比賽丙隊(duì)輸，事件F為乙隊(duì)和丙隊(duì)比賽丙隊(duì)輸．(1)求“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的概率；(2)寫(xiě)出用A，B，C，D，E，F(xiàn)表示“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的概率．【解析】（1）依題意，，“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件為，．（2）“比賽四場(chǎng)結(jié)束”共有三種情況，分別是：“甲隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件，“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件；