2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.（2分）中國傳統(tǒng)文化博大精深.下面四個圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

B.剪紙對魚

D.風(fēng)箏燕歸來

2.（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,-2）,則點(diǎn)尸所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2分）下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（）

4.（2分）如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差:

甲乙丙T

平均數(shù)（C7W）185180185180

方差3.63.67.48.1

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，應(yīng)該選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.（2分）如果一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形是（)

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

6.（2分）下列方程中有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）

A.x2-4x+4=0B.x2-5x-1=0C.x2-2尤+3=0D.2X2-x+2=0

7.（2分）初二某班第一次體育機(jī)考模擬測試平均分為95分，經(jīng)過專業(yè)的體育指導(dǎo)和訓(xùn)練

后，在之后的第二次和第三次體育模擬測試中，班級平均分穩(wěn)步提升，第三次體育模擬

測試平均分達(dá)到99分，設(shè)該班每次測試班級平均分較上次的增長率相同，均為x,則可

列方程為（）

A.95（1+無）=99B.95（1-%）=99

C.95（1+x）2=99D.95（1-尤）2=99

8.（2分）如圖，AABC三邊的中點(diǎn)分別是。，E,F,則下列說法正確的是（）

①四邊形一定是平行四邊形；

②若NA=90°,則四邊形跖是矩形；

③若AEL8C,則四邊形ADEE是菱形；

④若AE平分/BAC,則四邊形AOEF是正方形.

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）方程f-4x=0的解為.

10.（2分）某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,且函數(shù)y隨尤的增大而減增大，請你寫出

一個符合條件的函數(shù)解析式.

11.（2分）已知Pi（-1,”）、尸2（2,>2）是一次函數(shù)y=2x+l的圖象上的兩點(diǎn)，則

”.（填或或“=”）

12.（2分）若菱形的兩條對角線長分別為6和8,則該菱形的面積為.

13.（2分）如圖，A,8兩地被建筑物遮擋，為測量A,8兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C,

連接C4,CB,分別取CA,的中點(diǎn)DE,若。E的長為36口，則A,B兩地距離為

m.

D

BE

14.（2分）如圖，矩形ABC。中，對角線AC、3。交于點(diǎn)0,如果NAO3=80°,那么N

ADB的度數(shù)為.

B------------------C

15.（2分）某學(xué)校有一個矩形小花園，花園長20米，寬18米，現(xiàn)要在花園中修建人行雨

道，如圖所示，陰影部分為雨道，其余部分種植花卉，同樣寬度的雨道有3條，其中兩

條與矩形的寬平行，另外一條與矩形的寬垂直，計(jì)劃花卉種植面積共為306平方米，設(shè)

雨道的寬為x米，根據(jù)題意可列方程為.

1<--20-------->1

16.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-3,0）,B（2,0）,C（1,3）,若以A,

B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每小題5分，27、28題每小題5

分）

17.（5分）解方程：7-4尤-5=0.

18.（5分）如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F是BC、A。上的兩點(diǎn)，且求證:

BE=DF.

19.（5分）已知一個一次函數(shù)的圖象平行于直線y=*x，且經(jīng)過點(diǎn)&（2,3）,與無軸交于

點(diǎn)B.

（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象;

（2）求△A05的面積.

yA

4-

3-

2-

1-

IIII______?iii?

-4-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

一4-

20.（5分）已知關(guān)于X的一元二次方程/+7"X+/77-1=0.

（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）如果方程有一個根為正數(shù)，求他的取值范圍.

21.（5分）如圖，口ABC。的對角線AC與80相交于點(diǎn)O,將對角線8。向兩個方向延長,

分別至點(diǎn)E和點(diǎn)E5.BE^DF.

（1）求證：四邊形AECT是平行四邊形；

（2）若NAEF=/CEF,求證：四邊形AEC尸是菱形.

22.（5分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

三角形中位線定理的證明

如圖1,△ABC中，點(diǎn)、D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接。E,像。E這樣，連接三角

形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.求證：DE//BC,MDE=^BC.

證明：如圖2,延長。E到點(diǎn)R使EF=DE,連接尸C,DC,AF.

'：AE^EC,DE=EF,

四邊形AOCF是平行四邊形（依據(jù)1）.

：.CFI)DA.

；DA=BD,

：.CFNBD.

...四邊形。BCF是平行四邊形（依據(jù)2）.

：.DFRBC.

?：DE=^DF,

2

J.DE//BC,且。E=LC.

2

歸納總結(jié)：

上述證明過程中運(yùn)用了“倍長線段法”，也有人稱材料中的方法為“倍長法”（延長了三

角形中位線的一倍），該方法是解決初中數(shù)學(xué)幾何題的一種常用方法.

任務(wù)（1）

上述材料證明過程中的“依據(jù)1”是指：；

“依據(jù)2”是指：；

類比探究

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)還可以用“倍長線段法”證明定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半.

已知：如圖3,在RtZXACB中，ZACB=90°，￡為AB邊的中點(diǎn)，求證：CE=L1B.

2

證明：延長CE到點(diǎn)R使EF=CE,連接BRAF,如圖4.

任務(wù)（2）請將證明過程補(bǔ)充完整.

23.（6分）如圖，用80加長的籬笆在墻邊（墻長40米）圍一個矩形草坪，當(dāng)矩形面積是

750層時，它的長和寬應(yīng)為多少？

AD

B'-----------------1c

24.（6分）菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽(yù)的一個數(shù)學(xué)獎項(xiàng)，每4年評選一次，頒給有卓

越貢獻(xiàn)并且年齡一般不超過40歲的2-4名年輕數(shù)學(xué)家，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎.自

1936年以來，每次都在國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)菲爾茲獎.華裔數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分

別在1982年、2006年獲得菲爾茲獎.下面的數(shù)據(jù)是從1936年至2022年共64位菲爾茲

獎得主獲獎時的年齡（歲）：

29393533392733353131373238363139323837

34293438323536333229353637393840383739

38343340363637403138384040373540393730

40343636393537

數(shù)據(jù)經(jīng)分組整理，列出了如下的頻數(shù)分布表，并繪制了頻數(shù)分布直方圖：

年齡尤歲頻數(shù)

27Wx<31a

31^x<3516

35?3929

39WxV43b

合計(jì)64

（1）截至2022年，最年輕的菲爾茲獎得主的年齡是歲;

（2）a=,b=

（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

（4）結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，請你描述這64位菲爾茲獎得主獲獎時的年齡分布特征.

頻數(shù)

25.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4■次函數(shù)y=kx+b（kWO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,

（2,2）,

（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)x＞-1時，對于尤的每一個值，函數(shù)y=a+2的值大于一次函數(shù)y=fcv+b（AW0）

的值，直接寫出山的取值范圍.

26.（6分）甲乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步，先

到終點(diǎn)的人原地休息，已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）

與乙出發(fā)的時間無（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

①甲的速度為米/秒，乙的速度為米/秒；

②離開起點(diǎn)后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點(diǎn)米；

③乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲距離終點(diǎn)還有米；

④甲、乙兩人之間的距離超過32米的時間范圍是：秒＜尤＜秒.

27.（7分）正方形ABCO中，點(diǎn)E為射線OC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與。，C重合），射線AE交

BD于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)尸，點(diǎn)。為E尸的中點(diǎn)，連接PC,CQ.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段。C上時，直接寫出NPCQ的度數(shù)，NPCQ=，

并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段。C的延長線上時，點(diǎn)。作8。的垂線，交直線CQ于點(diǎn)

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段。尸，DC,DM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

28.(7分)對于點(diǎn)尸和圖形W,若點(diǎn)尸關(guān)于圖形W上任意的一點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，所有點(diǎn)

Q組成的圖形為M,則稱圖形M為點(diǎn)尸關(guān)于圖形W的“對稱圖形”.在平面直角坐標(biāo)系

尤。y中，已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,-2),C(2,1),0(-1,1).

(1)①在點(diǎn)E(-2,-4),F(0,-4),G(3,-3)中，是點(diǎn)0關(guān)于線段AB的“對

稱圖形”上的點(diǎn)有.

②畫出點(diǎn)。關(guān)于四邊形ABC。的“對稱圖形"；

(2)點(diǎn)TG,0)是x軸上的一動點(diǎn).

①若點(diǎn)T關(guān)于四邊形A8C。的“對稱圖形”與。關(guān)于四邊形A8CD的“對稱圖形”有公

共點(diǎn)，求r的取值范圍；

②直線>=尤-f與x軸交于點(diǎn)T,與y軸交于點(diǎn)線段"/上存在點(diǎn)K,使得點(diǎn)K是點(diǎn)

T關(guān)于四邊形ABC。的“對稱圖形”上的點(diǎn)，直接寫出/的取值范圍.

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.（2分）中國傳統(tǒng)文化博大精深.下面四個圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

【解答】解：4該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

8、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符符合題意；

C、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

。、該圖形是既不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：C.

2.（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-2）,則點(diǎn)尸所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-2）,

因?yàn)?>0,-2<0,

所以點(diǎn)P所在的象限是第四象限.

故選：D.

3.（2分）下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（）

【解答】解：4對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是

尤的函數(shù)，故A不符合題意;

2、對于自變量尤的每一個值,因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故

B不符合題意;

C、對于自變量x的每一個值,因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是元的函數(shù)，故

C不符合題意;

D、對于自變量x的每一個值,因變量y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y不是無的函

數(shù)，故。符合題意;

故選：D.

4.（2分）如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差:

甲乙丙T

平均數(shù)（cm）185180185180

方差3.63.67.48.1

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，應(yīng)該選擇（

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：,；*甲=*丙＞*乙=*丁，

從甲和丙中選擇一人參加比賽,

1/sVsz<s^<sT,

選擇甲參賽,

故選：A.

5.（2分）如果一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍,則這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【解答】解：設(shè)多邊形為“邊形，由題意，得

("-2)780°=360X2,

解得"=6,

故選：D.

6.（2分）下列方程中有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）

A.X1-4x+4=0B.x2-5x-1=0C.x2-2x+3=0D.2/-x+2=0

【解答】解：A、=16-16=0,...方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.VA=25-4X1X（-1）=29>0,...方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題

思；

c、?.?△=4-4XlX3=-8<0,.?.方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；

；A=1-4X2X2=-15<0,.?.方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

7.（2分）初二某班第一次體育機(jī)考模擬測試平均分為95分，經(jīng)過專業(yè)的體育指導(dǎo)和訓(xùn)練

后，在之后的第二次和第三次體育模擬測試中，班級平均分穩(wěn)步提升，第三次體育模擬

測試平均分達(dá)到99分，設(shè)該班每次測試班級平均分較上次的增長率相同，均為x,則可

列方程為（）

A.95（1+無）=99B.95（1-%）=99

C.95（1+x）2=99D.95（1-x）2=99

【解答】解：根據(jù)題意得：95（1+x）2=99.

故選：C.

8.（2分）如圖，△A8C三邊的中點(diǎn)分別是。，E,F,則下列說法正確的是（）

①四邊形ADEF一定是平行四邊形；

②若/A=90°,則四邊形AOE尸是矩形；

③若則四邊形AD所是菱形；

④若AE平分/8AC,則四邊形ADEF是正方形.

A.①②④C.②③④D.①③④

【解答】解：①是8C的中點(diǎn)，。是的中點(diǎn),

J.DE//AC,

是8c的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn),

J.EF//AB.

四邊形ADEF是平行四邊形.

.?.①正確;

②若NB4C=90°,如圖，

由①知：四邊形AZJEP是平行四邊形,

VZBAC=90°,

.??四邊形AD所是矩形，

.?.②正確;

③如圖，

若AE1BC,

是BC的中點(diǎn)，

：.AE是BC的垂直平分線，

：.AB=AC.

'：AE±BC,。是A8的中點(diǎn)，

/.￡>￡=AAB.

2

同理：EF=LC,

2

：.DE=EF.

由①知：四邊形AOE尸是平行四邊形,

二四邊形ADEF是菱形.

...③正確；

④如圖，

A

由①知：AD//EF,

：.ZEAD=ZAEF.

若AE平分NBAC,

則

；.NFAE=NAEF,

：.AF=FE,

?.?四邊形ADEF是平行四邊形，

...四邊形是菱形.

④不正確；

綜上可得，正確的結(jié)論有：①②③，

故選：B.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）方程/-4x=0的解為xi=0,*2=4.

【解答】解：x2-4x=0

x（x-4）=0

x=0或x-4=0

xi=0,及=4

故答案是：xi=0,X2=4.

10.（2分）某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,且函數(shù)y隨x的增大而減增大，請你寫出

一個符合條件的函數(shù)解析式y(tǒng)=x-3（答案不唯一）.

【解答】解：???函數(shù)y隨X的增大而增大，

???函數(shù)y的斜率左大于0.

故可設(shè)該一次函數(shù)的解析式為丁=X+人Qk>B.

由題意得：當(dāng)x=0時，b=-3.

?'?y=x-3.

故答案為：y=x-3（答案不唯一）.

11.（2分）已知Pi（-1,-）、P2（2,”）是一次函數(shù)y=2x+l的圖象上的兩點(diǎn)，則VI<

吟（填“>”或或“=”）

【解答】解：?..一次函數(shù)y=2尤+1中的左=2>0,

隨尤的增大而增大，

,：Pi（-1,yi）、P2（2,>2）是一次函數(shù)y=2x+l的圖象上的兩點(diǎn)，且-1<2,

.\yi<y2,

故答案為：<.

12.（2分）若菱形的兩條對角線長分別為6和8,則該菱形的面積為24.

【解答】解：如圖：菱形ABC。中AC=8,BD=6,

?..四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,

：./\DAC的面積=久。?0。，ABAC的面積=久。?03,

22

菱形ABC。的面積=z\ZMC的面積+ZVBAC的面積=工4>（。。+。2）=AAOB￡>=-1

222

X8X6=24.

故答案為:24.

13.（2分）如圖，A,8兩地被建筑物遮擋，為測量A,8兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C,

連接C4,CB,分別取CA,CB的中點(diǎn)。，E,若。E的長為36m，則A,8兩地距離為

72m.

BEC

【解答】解：：點(diǎn)D,E分別為CA,CB的中點(diǎn)，

：.AB=2DE=12m,

故答案為：72.

14.(2分)如圖，矩形A8CD中，對角線AC、8。交于點(diǎn)0,如果/AOB=80°,那么/

【解答】解：如圖，???四邊形ABC。是矩形，

.?.04=。。，

：.ZOAD=ZODA,

'：ZAOB=ZOAD+ZODA=SO°,

ZADB=40°.

故答案為：40°.

15.(2分)某學(xué)校有一個矩形小花園，花園長20米，寬18米，現(xiàn)要在花園中修建人行雨

道，如圖所示，陰影部分為雨道，其余部分種植花卉，同樣寬度的雨道有3條，其中兩

條與矩形的寬平行，另外一條與矩形的寬垂直，計(jì)劃花卉種植面積共為306平方米，設(shè)

雨道的寬為無米，根據(jù)題意可列方程為(20-2%)(18-尤)=306.

【解答】解：：花園長20米，寬18米，且雨道的寬為x米，

種植花卉的部分可合成長為(20-2x)米，寬為(18-x)米的矩形.

根據(jù)題意得：(20-2無)(18-%)=306.

故答案為：(20-2x)(18-x)=306.

16.(2分)在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知A(-3,0),B(2,0),C(1,3),若以A,

B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-4,3)或(6,3)或

(-2,-3)

【解答】解：如圖，(-3,0),B(2,0),C(1,3),

以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（-4,3）或（6,3）或（-2,-3）.

三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每小題5分，27、28題每小題5

分）

17.（5分）解方程：x2-4尤-5=0.

【解答】解：（x+1）（%-5）=0,

則x+l=0或x-5=0,

.'.x=-1或x—5.

18.（5分）如圖，在平行四邊形A8CD中，E、F是BC、上的兩點(diǎn)，MAE//CF.求證:

BE=DF.

【解答】證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD=BC,AD//BC,

'：AE//CF,

???四邊形AECF是平行四邊形,

CE=AF,

：.BC-CE=AD-AF,

即BE=DF.

19.(5分)已知一個一次函數(shù)的圖象平行于直線y卷X，且經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),與工軸交于

點(diǎn)B.

(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象;

(2)求△A03的面積.

y八

4-

3

2

1

iiii

-4-3-2-101234x

-1

-2

-3

-4

【解答】解：(1)設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y^kx+b,

?..一次函數(shù)的圖象平行于直線y卷X，

.,1

??"

?.?一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),

；.3=lx2+b,

2

：.b=2,

一次函數(shù)的解析式為y=*x+2,

令y=0,貝ij0=氏+2,

解得：x=-4,

圖象如圖所小:

⑵由了得尹3，

令y=0,得/x+3=0，

??x=-6,

一次函數(shù)的圖象與天軸的解得為B（-6,0）,

/.AABC的面積為^6X4=12-

20.（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程/+7?X+〃L1=0.

（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）如果方程有一個根為正數(shù)，求他的取值范圍.

【解答】（1）證明：△=扇-4（7M-1）

=m2-4m+4

=（m-2）2三0,

...方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

⑵X=F±--2）,

2

解得xi=-1,X2=~m+1,

???方程只有一個根是正數(shù)，

-m+1>0,

m<1.

21.（5分）如圖，口A8CD的對角線AC與80相交于點(diǎn)。，將對角線5D向兩個方向延長,

分別至點(diǎn)E和點(diǎn)R且

（1）求證：四邊形AEb是平行四邊形；

（2）若NAEF=NCEF,求證：四邊形AECF是菱形.

f--------------------E

【解答】證明：（1）?四邊形ABCQ是平行四邊形,

：.OB=OD,OA=OC,

?：BE=DF,

；.OB+BE=OD+DF,

：.OE=OF,

，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）證明：：四邊形AECP是平行四邊形，

J.AF//EC,

：.ZAFE=ZCEF.

'：NAEF=NCEF,

：.NAFE=NAEF,

J.AF^AE.

，平行四邊形行AECF是菱形.

22.（5分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

三角形中位線定理的證明

如圖1,ZVIBC中，點(diǎn)。，￡分別是A2,AC的中點(diǎn)，連接。E,像。E這樣，連接三角

形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.求證：DE//BC,且。E=LBC.

2

證明：如圖2,延長。E到點(diǎn)R使EF=DE,連接尸C,DC,AF.

'：AE^EC,DE=EF,

，四邊形AOCP是平行四邊形（依據(jù)1）.

'：DA=BD,

：.CFaBD.

...四邊形。8CF是平行四邊形（依據(jù)2）.

：.DF）1BC.

?：DE=^-DF,

2

J.DE//BC,且。E=LC.

2

歸納總結(jié)：

上述證明過程中運(yùn)用了“倍長線段法”，也有人稱材料中的方法為“倍長法”（延長了三

角形中位線的一倍），該方法是解決初中數(shù)學(xué)幾何題的一種常用方法.

任務(wù)（1）

上述材料證明過程中的“依據(jù)1”是指：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

“依據(jù)2”是指：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

類比探究

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)還可以用“倍長線段法”證明定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半.

已知：如圖3,在RtZXACB中，ZACB=90°，￡為AB邊的中點(diǎn)，求證：CE=L1B.

2

證明：延長CE到點(diǎn)R使EF=CE,連接BRAF,如圖4.

任務(wù)（2）請將證明過程補(bǔ)充完整.

【解答】解：（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

故答案為對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形.

（2）延長CE到點(diǎn)R使EF=CE,連接3尸，AF,

,；E為AB的中點(diǎn)，

：.AE=BE,

四邊形ACBF是平行四邊形，

VZACB=9Q°,

平行四邊形ACBF是矩形，

J.AB^CF,

"：CE=^-CF,

2

CE=^-AB.

2

23.（6分）如圖，用80加長的籬笆在墻邊（墻長40米）圍一個矩形草坪，當(dāng)矩形面積是

750Ml2時，它的長和寬應(yīng)為多少？

AD

【解答】解：設(shè)A8邊的長為尤米，則8c邊的長為（80-2x）米,

根據(jù)題意得：無（80-2x）=750,

整理得：/-40尤+375=0,

解得：xi=15,無2=25,

當(dāng)x=15時，80-2x=80-2X15=50>40,不符合題意，舍去;

當(dāng)x=25時，80-2x=80-2X25=30<40,符合題意.

答:矩形草坪的長為30米，寬為25米.

24.（6分）菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽(yù)的一個數(shù)學(xué)獎項(xiàng)，每4年評選一次，頒給有卓

越貢獻(xiàn)并且年齡一般不超過40歲的2-4名年輕數(shù)學(xué)家，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎.自

1936年以來，每次都在國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)菲爾茲獎.華裔數(shù)學(xué)家丘成桐、陶哲軒分

別在1982年、2006年獲得菲爾茲獎.下面的數(shù)據(jù)是從1936年至2022年共64位菲爾茲

獎得主獲獎時的年齡（歲）：

29393533392733353131373238363139323837

34293438323536333229353637393840383739

38343340363637403138384040373540393730

40343636393537

數(shù)據(jù)經(jīng)分組整理，列出了如下的頻數(shù)分布表，并繪制了頻數(shù)分布直方圖：

年齡X歲頻數(shù)

27Wx<31a

31WxV3516

35WxV3929

39WxV43b

合計(jì)64

（1）截至2022年，最年輕的菲爾茲獎得主的年齡是27歲;

（2）a=4,b=15

（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（4）結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，請你描述這64位菲爾茲獎得主獲獎時的年齡分布特征.

【解答】解：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得，截至2022年，最年輕的菲爾茲獎得主的年齡是27

歲；

故答案為：27；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得出。=4,6=15,

故答案為:4,15；

（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

頻數(shù)

（4）由頻數(shù)分布直方圖知，這64位菲爾茲獎得主獲獎時的年齡主要分布在35?39歲.

25.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4■次函數(shù)（%#0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,

（2,2）,

（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)尤>-1時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)>=依+6（左W0）

的值，直接寫出根的取值范圍.

【解答】解：（1）把點(diǎn)（1,0）,（2,2）代入>=依+6得：

fk+b=0

l2k+b=2，

解得：（k",

lb=-2

故一次函數(shù)解析式為：y=2x-2；

（2）把x=-1代入y=2x-2,求得y=-4,

把點(diǎn)（-1,-4）代入y=g:+2,得-4=-m+2,

解得m=6,

當(dāng)x>-1時，對于x的每一個值，函數(shù)y—mx^-2的值大于一次函數(shù)y=kx+b（ZW0）

的值，

.?.2WznW6.

y八

5-

j____?ii?

2345H

26.（6分）甲乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步，先

到終點(diǎn)的人原地休息，已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）

與乙出發(fā)的時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

①甲的速度為4米/秒,乙的速度為5米/秒;

②離開起點(diǎn)后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點(diǎn)60米;

③乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲距離終點(diǎn)還有68米;

④甲、乙兩人之間的距離超過32米的時間范圍是：44秒<%<89秒.

y（米）

12

0

“UH（秒）

【解答】解：①由圖象可知，乙出發(fā)時，甲，乙之間距離為12米，即甲先出發(fā)3秒跑了

12米，

，甲的速度為12+3=4（米/秒），

:乙80秒到達(dá)終點(diǎn)，

，乙的速度為400+80=5（米/秒），

故答案為：4,5；

②：工-=12（秒），

5-4

乙出發(fā)后，用12秒追上甲，即甲、乙兩人第一次相遇，

此時距離起點(diǎn)5X12=60（米），

故答案為：60；

③：400-（12+80X4）=68（米），

.?.乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲距離終點(diǎn)還有68米，

故答案為：68；

④當(dāng)乙用12秒追上甲后，因每秒比甲多跑1米，

再過32秒兩人相距32米，即從x>44時起，兩人距離超過32米，

當(dāng)乙用80秒到達(dá)終點(diǎn)時，甲距離終點(diǎn)還有68米，

甲再跑36米，兩人相距32米，所需時間為36+4=9（秒），

當(dāng)尤<89時，兩人距離超過32米，

甲、乙兩人之間的距離超過32米的時間范圍是44Vx<89；

故答案為：44,89.

27.（7分）正方形ABC。中，點(diǎn)E為射線。C上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與。，C重合），射線AE交

BD于點(diǎn)P,交直線于點(diǎn)尸，點(diǎn)。為斯的中點(diǎn)，連接PC,CQ.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段。C上時，直接寫出NPC。的度數(shù)，/PCO=90°,并

證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線