2021年度高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)列基本知識(shí)點(diǎn)

《考綱》規(guī)定:

1、理解數(shù)列概念，理解數(shù)列通項(xiàng)公式意義，理解遞推公式是給出數(shù)列一種辦法，并能依照遞推公

式寫出數(shù)列前幾項(xiàng)；

2、理解等差數(shù)列概念，掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)樸實(shí)際問題；

3、理解等比數(shù)列概念，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)樸實(shí)際問題。

-------------數(shù)列概念

其木

1.數(shù)列概念：數(shù)列是按一定順序排列一列數(shù)，在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)N"或其子集

｛1,2,3,……n｝函數(shù)f(n).數(shù)列普通形式為a”a”…，aj“，簡(jiǎn)記為｛a。｝,其中a“是數(shù)列｛aj

第項(xiàng).

2.數(shù)列通項(xiàng)公式

一種數(shù)列｛aj與之間函數(shù)關(guān)系，如果可用一種公式a0=f(n)來表達(dá)，咱們就把

這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式.

3.在數(shù)列｛a。｝中，前n項(xiàng)和S“與通項(xiàng)a。關(guān)系為:

■"=1

an=<n>2

4.求數(shù)列通項(xiàng)公式其他辦法

⑴公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列采用首項(xiàng)與公差(公比)擬定辦法.

⑵觀測(cè)歸納法：先觀測(cè)哪些因素隨項(xiàng)數(shù)n變化而變化，哪些因素不變；初步歸納出公式，再取n

特珠值進(jìn)行檢查，最后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)歸納出成果加以證明.

⑶遞推關(guān)系法：先觀測(cè)數(shù)列相鄰項(xiàng)間遞推關(guān)系，將它們普通化，得到數(shù)列普遍遞推關(guān)系，再通過

代數(shù)辦法由遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式.

曲利就順

例1.依照下面各數(shù)列前n項(xiàng)值，寫出數(shù)列一種通項(xiàng)公式.

(2)1,2,6,13,23,36,■■?；

(3)1,1,2,2,3,3,

〃一

解:(1)a=(-1)n21

n(2〃一1)(2〃+1)

2

(2)an=^(3/z-7n+6)

(提示：a2—ai=1,a3—a2=4,a4—a3=7,a5—a4=10,an—an-i=1+3(n—2)=3n—5.各式相

加得

〃〃=1+[1+4+7+10+—+(3〃-5)]

=1+-(?-1)(3?-4)

2

1)

=—(3H~-7〃+6)

⑶將1,1,2,2,3,3,…變形為手，等.甘L

4+05+16+0

ZZ*Z?'"*

222

1+(-1嚴(yán)

.”+—2-2“+1+(-1)**'

??a,產(chǎn)--------------=------------------

24

變式訓(xùn)練1.某數(shù)列｛a』前四項(xiàng)為0,收，0,收，則如下各式:

①a.=立[1+(-1)[②a0=Jl+(-l)"

2

③a?=，后("為偶數(shù))

L0(”為奇數(shù))

其中可作為｛an｝通項(xiàng)公式是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

解：D

例2.已知數(shù)列底｝前n項(xiàng)和S”求通項(xiàng).

(1)S?=3n-2

(2)S?=n2+3n+1

解⑴a?=S?-S?-i(n22)a,=S,

解得：W產(chǎn)一

⑵

變式訓(xùn)練2:已知數(shù)列｛aJ前n項(xiàng)和S。滿足關(guān)系式lg(S0—1)=n,(n￡N*),則數(shù)列｛aj通項(xiàng)公式

為.

nn

解：lg(S?-l)=n=10"=>S?=10"+1,當(dāng)n=1時(shí)，a產(chǎn)S,=11；當(dāng)n,2時(shí)，an=S?-S?-t=10—10

例3.依照下面數(shù)列｛a-首項(xiàng)和遞推關(guān)系，探求其通項(xiàng)公式.

(1)31=1,an=2an-i+1(n)2)

(2)at=1,a()=(n》2)

(3)a=1,a=(n》2)

tnn

nn

解：⑴an=2a1+1=(an+1)=2(a1+1)(n22),ai+1=2.故：ai+1=2,/.an=2-1.

nn23

(2)an=(an-an-i)+(an-i—an-2)+…+(a3-a2)+(a2-ai)+ai=3'+3+*"+3+3+1

=-(3rt-l).

2

⑶?.,烏_=ZLzl

a,-n

.......,Cl?--------------

?n-ia?_2??_3%nn-\

31

22

變式訓(xùn)練3已知數(shù)列｛aj中,a產(chǎn)1,a3-(nCN*),求該數(shù)列通項(xiàng)公式.

冊(cè)+2

解：辦法一：由a-尸之得

6+2

—是覺得上=】首項(xiàng)，'為公差等差數(shù)列.

a?2a?a12

—=1+(n-1)?L即a.=3

a?2n+1

辦法二：求出前5項(xiàng)，歸納猜想出編=二一,然后用數(shù)學(xué)歸納證明.

7Z+1

例4已知函數(shù)〃》)=2*—2-*,數(shù)列｛aj滿足加0§24)=-2n,求數(shù)列｛aj通項(xiàng)公式.

解：/(log,a?)=2'OS2"--2-‘也””=-2n

2

an——=-2n得a?=-Jn+\-n

變式訓(xùn)練4.知數(shù)列｛劣｝首項(xiàng)a1=5.前n項(xiàng)和為S0且Se=2Sn+n+5(nGN*).

(1)證明數(shù)列底+1｝是等比數(shù)列;

2n

⑵令f(x)=aix+a2xH-----Fanx,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處導(dǎo)數(shù)f'(1).

解：(1)由已知Sn+i=2Sn+n+5,「.n22時(shí)，Sn=2Sn-i+n+4,兩式相減，得：

=

Sn+i—Sn=2(Sn—Sn-i)+1,即an+i2an+1

從而an+i+1=2(an+1)

當(dāng)n=1時(shí)，S2=2SI+1+5,J.a1+a2=2a1+6r

又a1=5,a2=11

&葉=2,即｛a0+1｝是以a,+1=6為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列.

(2)由⑴知a.=3X2-1

2n

f(x)=aix+a2X+"-+anx

,n-

f'(x)=ai+2a2x+"+nar,x'

從而/'(I)=ai+2a------Fna”

=(3X2-1)+2(3X22-1)H------Fn(3X2-1)

=3(2+2X22+—+nX2n)-(1+2+-+n)

=3[nX2n+,-(2+-+2")]--^?^±^

2

=3(n-1)-2"+'-Z!(^+6

2

I口納/I、任

1.依照數(shù)列前幾項(xiàng)，寫出它一種通項(xiàng)公式，核心在于找出這些項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系，慣用辦法有觀

測(cè)法、通項(xiàng)法，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等.

2.由Sn求a”時(shí)，用公式an=S。-SnT要注意n22這個(gè)條件，a,應(yīng)由ai=Si來擬定，最后看兩者能

否統(tǒng)一.

3.由遞推公式求通項(xiàng)公式常用形式有：ae—a'=f(n),&±L=f(n),an+i=pa?+q,分別用累加

an

法、累乘法、迭代法(或換元法).

數(shù)列概念與簡(jiǎn)樸表達(dá)法

?三維目的

知識(shí)與技能：理解數(shù)列遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式異同；會(huì)依照數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列

前幾項(xiàng)；理解數(shù)列前n項(xiàng)和與a“關(guān)系

過程與辦法：經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)感受及理解運(yùn)用過程。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

?教學(xué)重點(diǎn)

依照數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列前幾項(xiàng)

?教學(xué)難點(diǎn)

理解遞推公式與通項(xiàng)公式關(guān)系

1、通項(xiàng)公式法

如果數(shù)列｛a,J第n項(xiàng)與序號(hào)之間關(guān)系可以用一種公式來表達(dá)，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)

公式。

如數(shù)列0工2,3,…通項(xiàng)公式為%=%+15e獷）；

LU…通項(xiàng)公式為即4〃4司；

234通項(xiàng)公式為“Q

2、圖象法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象畫法畫數(shù)列圖形.詳細(xì)辦法是以項(xiàng)數(shù)?為橫坐標(biāo)，相應(yīng)項(xiàng)即為縱坐標(biāo),

即以（4%）為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（此前面提到數(shù)列‘5’號(hào)4'為例，做出一種數(shù)

列圖象），所得數(shù)列圖形是一群孤立點(diǎn)，由于橫坐標(biāo)為正整數(shù)，因此這些點(diǎn)都在丁軸右側(cè)，而點(diǎn)

個(gè)數(shù)取決于數(shù)列項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化趨勢(shì).

3、遞推公式法

知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活.用其來解決某些實(shí)際問題.

觀測(cè)鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.

模型一：自上而下：

第1層鋼管數(shù)為4；即：24=1+3

第2層鋼管數(shù)為5；即：2—5=2+3

第3層鋼管數(shù)為6；即：306=3+3

第4層鋼管數(shù)為7；即：4<->7=4+3

第5層鋼管數(shù)為8；即：568=5+3

第6層鋼管數(shù)為9；即：6-9=6+3

第7層鋼管數(shù)為10；即：7-10=7+3

若用%表達(dá)鋼管數(shù)，n表達(dá)層數(shù)，則可得出每一層鋼管數(shù)為一數(shù)列，且a“=〃+3（lWnW7）

運(yùn)用每一層鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間相應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)不久捷地求

出每一層鋼管數(shù).這會(huì)給咱們記錄與計(jì)算帶來諸多以便。

讓同窗們繼續(xù)看此圖片，與否尚有其她規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）

模型二：上下層之間關(guān)系

自上而下每一層鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。

即q=4；七=5=4+1=q+1；%=6=5+1=%+1

依此類推：%=a,i+l（2WnW7）

對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其她項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要。

定義：

遞推公式：如果已知數(shù)列｛/｝第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)凡與它前一項(xiàng)%t（或前n項(xiàng)）間

關(guān)系可以用一種公式來表達(dá)，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列遞推公式

遞推公式也是給出數(shù)列一種辦法。

如下數(shù)字排列一種數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為：4=3,々=5,=a,r+a?_2(3<n<8)

數(shù)列可看作特殊函數(shù)，其表達(dá)也應(yīng)與函數(shù)表達(dá)法有聯(lián)系，一方面請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)表達(dá)法：列表法,

圖象法，解析式法.相對(duì)于列表法表達(dá)一種函數(shù)，數(shù)列有這樣表達(dá)法：用力表達(dá)第一項(xiàng)，用表

達(dá)第一項(xiàng)，……，用即表達(dá)第正項(xiàng)，依次寫出成為

4、列表法

的,％,與，…，即，簡(jiǎn)記為｛%｝.

［范例解說］

［q=i

例3設(shè)數(shù)列｛/｝滿足，，1,，、寫出這個(gè)數(shù)列前五項(xiàng)。

an=1+——(/?>1).

an-\

解：分析：題中已給出｛可｝第1項(xiàng)即卬=1,遞推公式：=1+—

an-\

［12］58

解：據(jù)題意可知：U\=1,。2=1---=2,%=1----=—,。4=1"I---=一,。5=

ala23435

［補(bǔ)充例題］

例4已知卬=2,an+l=2an寫出前5項(xiàng)，并猜想知.

法一：4=202=2x2=2?4=2x22=23,觀測(cè)可得%=2"

法二：由an+l-2aan—2a“_］即——=2

an-\

：.%=q-2"T=2"

［補(bǔ)充練習(xí)］

1.依照各個(gè)數(shù)列首項(xiàng)和遞推公式，寫出它前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式

(1)fl,=0,an+i=+(2n—1)(nGN)；

2a

(2)ay=1,all+l=---5-(neN)；

4+2

(3)a]=3,an+}=3an—2(n￡N).

2

解：(1)ax=0,=1,a3=4,a4=9,a5=16,an=(n—1)；

小，2122122

123324455361n+l

2

(3)/=3=1+2x3°,a2=7=1+2x3',a3=19=1+2x3,

4=55=1+2x33,4=163=1+2x34,/.a?=1+2-3"-1;

IV.學(xué)時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1.遞推公式及其用法；

2.通項(xiàng)公式反映是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系，而遞推公式反映是相鄰兩項(xiàng)(或〃項(xiàng))之間關(guān)系。

等差數(shù)列定義與性質(zhì)

定義：an+i-an=d(d為常數(shù))，an=ax+(n-l)J

等差中項(xiàng)：x,A,y成等差數(shù)列=2A=x+y

”(a.+a,}n〃(〃T"

刖〃項(xiàng)和S?=---2/=na\+

2

性質(zhì)：｛a,,｝是等差數(shù)列

(1)^m+n=p+q,則a,“+a“=%,+%；

⑵數(shù)列也,-｝，,｝，｛%一仍為等差數(shù)列，S“，S2n-S?,S3n-S2ll……仍為等差數(shù)列,

公差為〃2d；

(3)若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為a—d,a,a+d

(4)若a“，”是等差數(shù)列，且前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,則2=當(dāng)心

bmT2,n-l

(5)｛%｝為等差數(shù)列=Sa=a〃2+加(以，人為常數(shù)，是關(guān)于“常數(shù)項(xiàng)為。二次函數(shù))

S“最值可求二次函數(shù)邑=。/+6〃最值；或者求出｛q｝中正、負(fù)分界項(xiàng)，

4Z>0

即：當(dāng)q>0,d<0,解不等式組<”可得S“達(dá)到最大值時(shí)“值.

%V0

a<0

當(dāng)q<0,d>0,由，n“可得達(dá)到最小值時(shí)〃值.

"0

(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃等差數(shù)列｛4｝有

s2n=n(a1+a2n)=n(a2+W1)=-="(4為中間兩項(xiàng))

S偶一§奇—nd,

(7)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃一1等差數(shù)列｛%｝有

$2,1=(2〃-Da”3.為中間項(xiàng)),

s奇二〃

S奇一S偶=an

S偶n—1

等比數(shù)列定義與性質(zhì)

定義：5=q(q為常數(shù)，470),a“=

a?

等比中項(xiàng)：小G、)，成等比數(shù)列=6?=盯，或G=±而

叫(q=1)

前〃項(xiàng)和：5“=〃(1一/)(要注意！)

I17

性質(zhì)：｛a,,｝是等比數(shù)列

(1)若加+〃=〃+4，則a,ja“=aj%

(2)S?,S2n-Sn,SiH-S2n……仍為等比數(shù)列，公比為q".

注意：由S“求an時(shí)應(yīng)注意什么？

72—1時(shí),4=S];

"N2時(shí)，a“=S“-S,i

求數(shù)列通項(xiàng)公式慣用辦法

(1)求差(商)法

如：數(shù)列｛a“｝，；4+最。2+.......+*。==2"+5,求a“

解〃=1時(shí)，—a,=2x1+5,a.=14①

2

〃時(shí)，；出+....I

224+*+94=2"-1+5②

14(〃=1)

①~②得：=2,????！?2"+i,.?.a“=<

2n+l(n>2)

［練習(xí)］數(shù)列｛4｝滿足S“+Se=ga“w4=4,求a.

注意到a“M=S,+「S”，代入得年=4又S1=4,.?.｛§,｝是等比數(shù)列，S,,=4"

=3?4"T

〃之2時(shí)，an=Sn-Sn_］

(2)疊乘法

fl?7

如：數(shù)列｛q｝中，4=3,也=一々求知

an〃+1

3

解……芻_=_1.2……t11=—又4=3,，a“

4a2an_｝23na,nn

(3)等差型遞推公式

由?！ㄒ?/(〃)，4=%,求%,用迭加法

a2-a｝=/(2)

此2時(shí)，叫一出”⑶

，兩邊相加得an-a,=/(2)+/(3)+……+/(〃)

%一加=/(〃)

.?.%=%+八2)+八3)+……+/(?)

n

［練習(xí)］數(shù)列｛%｝中,q=l,an=3-'+an_l(?>2),求4

答案「總(3”叫

(4)等比型遞推公式

an=can_1+d(c、d為常數(shù),cwO,cwl,dwO)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a“+x=c(a,i+x)=a“=C*+(c-l)x

令(c—l)x=d,...x='L,..?［為+上一］是首項(xiàng)為4+-^-,c為公比等比數(shù)列

c-1Ic-1c-1

dd

Cl,H----4H--c-"-T_d

1c-11c-1c-1

（5）倒數(shù)法

.「-1-為等差數(shù)列，—=1,公差為‘，，-5-=i+(〃-i)?』=L(〃+i),

aHJa12an22

2

n+l

（附：

=［防5=1）

公式法、運(yùn)用〃（5"-5”_1（〃22）、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比4T=pa“+q或

4田=〃4+/（〃）、待定系數(shù)法'對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法'換元法）

4.求數(shù)列前n項(xiàng)和慣用辦法

（1）裂項(xiàng)法

把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之浮現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)項(xiàng).

〃1

如：｛凡｝是公差為d等差數(shù)列，求

k=lakak+\

.11if11"八、

解:由-------=7----r=--------(d*0)

%?%+1%(4+d)aM)

（

A111、1(111111(11)

,,y_L_--+

k=idW+［d

k=iakaM7%

\({___J_、

“Iq%+”

111

［練習(xí)］求和:1+---+-------++

1+21+2+31+2+3〃

S.2--—

n+1

(2)錯(cuò)位相減法

若｛凡｝為等差數(shù)列，也“｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛q么｝(差比數(shù)列)前〃項(xiàng)和，可由S“-gS”，

求S“，其中q為｛中｝公比.

如：S“=l+2x+3f+4?+...+①

234

x*Sn=x+2x+3x+4x+....+(n—+nx"②

①一②(1—x)S“=l+x+x2+...+x/!-1—nx"

c(1—x")nxn〃(〃+1)

xwl時(shí)，S------------,x=l時(shí)，S=1+2+3+....+n=-------

(1-x)21-x"2

(3)倒序相加法

把數(shù)列各項(xiàng)順序倒寫，再與本來順序數(shù)列相加.

S,、-a+a+....+a_+a

y2ntn>相加2S“=(q+?！?+(《+勖)+…+(4+4,)…

S.=%+%-1+............+4+4

2

［練習(xí)［已知小)=急，則

/⑴+/⑵T撲/⑶+/卜⑷+嗚卜

出

由/⑴+巾)-^r+—^=1

l+x2\+x~l+x-

...原式=/(D+/(2)+/W+f(3)+唱+/⑷+小

=-+l+l+l=3-

22

(附:

a.用倒序相加法求數(shù)列前n項(xiàng)和

如果一種數(shù)列｛aj,與首末項(xiàng)等距兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫兩個(gè)

和式相加，就得到一種常數(shù)列和，這一求和辦法稱為倒序相加法。咱們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，

更要索其因，知識(shí)得出過程是知識(shí)源頭，也是研究同一類知識(shí)工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

推導(dǎo)，用就是“倒序相加法”。

b.用公式法求數(shù)列前n項(xiàng)和

對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和S“可直接用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用

公式求解注意事項(xiàng)：一方面要注意公式應(yīng)用范疇，擬定公式合用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。

c.用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和

裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得先后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列前

n項(xiàng)和。

d.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和

錯(cuò)位相減法是一種慣用數(shù)列求和辦法,應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘形式。即若在數(shù)列⑸a｝

中，｛aj成等差數(shù)列，｛b。｝成等比數(shù)列，在和式兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整頓后即可以

求出前n項(xiàng)和。

e.用迭加法求數(shù)列前n項(xiàng)和

迭加法重要應(yīng)用于數(shù)列⑸｝滿足a『尸a0+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列條件下，可把

這個(gè)式子變成a?.,-an=f(n),代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有式子加到一起，通過整頓，可求

出a?,從而求出S.。

f.用分組求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和

所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列數(shù)列，若將此類數(shù)列恰當(dāng)拆開，

可分為幾種等差、等比或常用數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。

g.用構(gòu)造法求數(shù)列前n項(xiàng)和

所謂構(gòu)造法就是先依照數(shù)列構(gòu)造及特性進(jìn)行分析，找出數(shù)列通項(xiàng)特性，構(gòu)造出咱們熟知基本數(shù)

列通項(xiàng)特性形式，從而求出數(shù)列前n項(xiàng)和。)

數(shù)列綜合應(yīng)用

高考規(guī)定

(1)理解數(shù)列概念，理解數(shù)列通項(xiàng)公式意義理解遞推公式是給出數(shù)列一種辦法，并能依照遞推公

式寫出數(shù)列前幾項(xiàng)

(2)理解等差數(shù)列概念，掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)樸實(shí)際問題

(3)理解等比數(shù)列概念，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)樸實(shí)際問題

知識(shí)點(diǎn)歸納

佝,(〃=1)

1.通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系:S“-an~

Sn

2.迭加累加法:

若。“一％=/(〃)，("22),

則。2-囚=八2)，a3-a2=f(3),..........,an-an_x=f(n)

n〉“一q=/(2)+/(3)+.../(?)

3.迭乘累乘法：

若烏-=g⑺,則竺=g(2),&=g(3),..........,-^-=g(〃)

an-\a\a2an-\

n%=g(2)...g(〃)

q

111

4.裂項(xiàng)相消法：an=---------------------=—1―(一----------)

(A〃+8)(A〃+C)C-BAn+BAn+C

5.錯(cuò)位相減法：

*=〃?，"，他J是公差d/O等差數(shù)列，｛%｝是公比q/1等比數(shù)列

S"=4。+h2c2+...+bl,_lcn_i+bncn

貝叼S“=仇C2+……+b,,_lcn+bncn+l

因此有

(l-q)S“=&q+(c2+c3+......cn)d-bncn+l

6.通項(xiàng)分解法：an-bn±cn

7.等差與等比互變關(guān)系：

{/}成等差數(shù)列0}(b>0,bH1)成等比數(shù)列

{??}成等差數(shù)列o{can+力(cH0)成等差數(shù)列

*0

{4}成等比數(shù)列o{log,成等差數(shù)列

{a,,}成等比數(shù)列=>{叫成等比數(shù)列

8.等比、等差數(shù)列和形式：

1

{a“}成等差數(shù)列oan=An+3oS”=An+Bn

{a“}(qH1)成等比數(shù)列oSn=A(q"-1)(AH0)

9.無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和：

{/}(Iq|<1)成等比數(shù)列<=>5=limS“=

,,_>xi_q

題型解說

例1等差數(shù)列瓜}首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)和為S?,若S.=T(m手k),問n為什么值時(shí),S.最大?

2

解：依照{(diào)4}成等差數(shù)列Oan=An+B<=>Sn=An+Bn,首項(xiàng)a,>0,若m+k為偶數(shù),則當(dāng)

n=(m+k)/2時(shí),S。最大；

若m+k為奇數(shù),當(dāng)n=(m+k—1)/2或n=(m+k+1)/2時(shí),S”最大

17

例2已知關(guān)于n不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>五log“(a—1)+§對(duì)于一切不不大于1自然

數(shù)n都成立，求a取值范疇

解:把1/(n+1)+1/(n+2)+-+1/(2n)當(dāng)作一種函數(shù)f(n)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(n)最小值不不大于右

式

f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+-+1/(2n)

.?,f(n+1)-f(n)=(1/(n+2)+1/(n+3)+-+1/(2n+2)〕

—〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕

=1/(2n+2)+1/(2n+1)-1/(n+1)

=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0

.'.f（n+1）>f（n）

???函數(shù)f(n)是增函數(shù)，故其最小值為f⑵=7/12,

解得：1<a<(V^+1)/2

例3已知數(shù)列｛aj,｛bj都是由正數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公比分別為p,q,其中p>q且q*1,p*1,設(shè)

s

C“=an+bn,S?為數(shù)列｛Cn｝前n項(xiàng)和,求lim——

28

卬（4一1）（〃"-1）+仇（〃一1）（，'-1）

解：①，如下分兩種狀況討論:

Siq（。一1）（小-1）+仇（。-1）（/1一1）

⑴當(dāng)P>1時(shí),

■；p>q>0,0<q/p<1=^>lim(—),,：ZO,lim(—)"=0,

?-?oopn—>?p

兩邊同除以P",得：limj=p;

⑵當(dāng)P<1時(shí)，

5

p>q>o0<q<p〈1nlimp"=0,lim夕〃=0,lim——=1

f〃->x〃T8〃一>00S

°n-\

例4如圖所示：已知拋物線y=x；點(diǎn)A”坐標(biāo)為(1,0),將04分為n等分，分點(diǎn)為A,,A?,…過

AbAz,…Al,Aa分別作y軸平行線,分別交拋物線于B,.B2,B3,…B“T,B?,再分別以0At,A也,A2A3,111

AiA”為寬作n個(gè)小矩形求n個(gè)小矩形面積之和；求limS,,(即曲邊梯形0AB面積)

”—>00

解：Sn=—+—?(—)2+—?(—)2+???+—?(―)2

nnnnnnnn

=(n+1)(2n+1)/(6n2);

liinS=1/3

"f8n

本題用極限思想求曲邊梯形面積，正是高等數(shù)學(xué)中思想

例5等差數(shù)列｛a。｝中，已知公差d片0,a0#0,設(shè)方程a,x2+2aEx+am=0(rGN)是關(guān)于x一組方程

①證明這些方程中有公共根，并求這個(gè)公共根;

2

②設(shè)方程arx+2a.,x+a,2=0另一根記為m”證明：數(shù)列｛1/(m,+1)｝是等差數(shù)列

解:①依題意，由｛aj是等差數(shù)列,有a—“(rGN),即x=-1時(shí),方程成立，因而方程恒有

實(shí)數(shù)根x=-1;

②設(shè)公差為d(化歸思想),先解出方程另一根m,=-a“z/a,,

1/(irir+1)=ar/(ar—a,-2)=—a,/(2d),

1/(nir.i+1)—1/(nir+1)=〔一ar-n/(2d)〕一〔一a/(2d)〕=，—1/2,

???｛1/M+1)｝是等差數(shù)列

例6數(shù)歹lj｛aj前n項(xiàng)和S?=na+(n—1)nb,(n=1,2,…)，a,b是常數(shù)，且b#0,

①求證｛aj是等差數(shù)列；

②求證以(a?,S/n—1)為坐標(biāo)點(diǎn)匕都落在同始終線上，并求出直線方程；

③設(shè)a=1,b=1/2,C是以(r,r)為圓心，r為半徑圓(r>0),求使得點(diǎn)P,,P2,P3都落在圓外r取值范疇

證明：①依照S”一冊(cè)=14i，(〃=D得a.=a+(n—1)x2b,

[S?-Sll_i,(n>2)

二｛a“｝是等差數(shù)列,首項(xiàng)為a,公比為2b

②由x=an=a+(n—1)x2b,y=Sn/n—1=a+(n—1)b

兩式中消去n,得：x—2y+a—2=0,

(此外算斜率也是一種辦法)

(3)P,(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它們都落在圓外條件是：

(r—1)2+r2>r2；(r—2)2+(r—1/2)2>r2；(r—3)2+(r—1)2>r2

r取值范疇是(1,5/2—JI)U(0,1)U(4+6,+8)

例7已知數(shù)列｛aj滿足條件a,=1,a2=r(r>0),且｛aa+J是公比為q(q>0)等比數(shù)列,設(shè)bfi+a*

(n=1,2,3,…)

①求出使不等式anan+i+aean+2>an+2an+3(nGN)成立q取值范疇；

②求bn和lim——，其中S”為數(shù)列bn前n項(xiàng)和；

…S,,

③設(shè)r=2,92-1,q=05,求數(shù)列(喧以)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)值

bg2a

解：①rqi+rq">rq"\q>0=>0<q<(1+V5)/2;

生〃+|+生”+2

一-------------q~f~u

aa+a

2n-y+。2〃2n-\2n

???{bn}是首項(xiàng)為1+r,公比為q等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qi,

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r),lim—=0;

…s“

當(dāng)0<q<1時(shí)，lim—=(1—q)/(1+r);

…Sn

當(dāng)q>1時(shí)，lim一=0;

…sn

③log2%=f(n)=19.2-"=1+1/(n—202),

log2bn20.2-n

當(dāng)命21時(shí)，f(n)遞減,f(n)<f(21)=>Kf(n)<225;

當(dāng)nV20時(shí),f(n)遞減，/.f(n)>f(20)=>1>f(n)>—4;

當(dāng)n=21時(shí)，—22田有最大值225;當(dāng)n=20時(shí),丁2aM有最小值一4

log2alog2a

例8一種水池有若干出水相似水龍頭，如果所有水龍頭同步放水，那么24分鐘可注滿水池，如果

開始時(shí)所有開放后來隔相等時(shí)間關(guān)閉一種水龍頭，到