2019-2020學(xué)年人教A版山東省淄博市部分學(xué)校高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.命題“VxGR,f+ax+l'。”的否定是（）

A.2xGR,x+a^+1^0B.3xGR,x+axt-1<0

C.VxER,4+axMWOD.VxSR,x+ax+1<0

2.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>0f則ac>beB.若aV6V0,則a<ab

若aV6V0,則!<工

C.若a>6>0,貝必后〉幾D.

ab

?3——*.,

3.在三棱錐/-夕曲中，￡■是棱曲的中點(diǎn)，且BF=:yBE,則AF=()

1-*33-*??*3~~*3>

A.yAB-^AC-^ADB.ABAC-jAD

…”.一一.蔣屈卓6季5

C.-5AB+3AC+3ADD.

So

4.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為品若.福則”=()

a3,

b4

,5?34、4

A.-B.—C.—D.—

4453

5.若雙曲線G-.=1（a>0,6>0）的一條漸近線方程為y=2x,則，的離心率為

（）

A.aB.娓C.堂D.喙

6.方程為版+"y=0和版+"=1（加豐0）的兩條曲線在同一坐標(biāo)系中可以是（）

7.為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”任務(wù)，某扶貧干部幫助幫扶貧困村籌集資金16萬元，購進(jìn)了一條

配件加工生產(chǎn)線.已知該生產(chǎn)線每年收入20萬元，第一年生產(chǎn)成本為4萬元，從第二年

起，每年生產(chǎn)成本比前一年增加2萬元.若該生產(chǎn)線〃（〃GN*）年后年平均利潤達(dá)到最

大值（利潤=收入-生產(chǎn)成本-籌集資金），則"等于（）

A.3B.4C.5D.6

8.如圖，四棱錐S-4反Q中，底面/腦是邊長為2的正方形，SAL平面ABCD,夕為底面

ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)、,若而?前=1，則動(dòng)點(diǎn)"的軌跡在（）

“,?/）

產(chǎn)

A.圓上B.雙曲線上C.拋物線上D.橢圓上

二、多項(xiàng)選擇題

9.關(guān)于x的一元二次不等式f-6A+aW0（aSZ）的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的取

值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

10.在遞增的等比數(shù)列｛a｝中，￡是數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，若以?=32,且+為=12,則下列

說法正確的是（）

A.q=1

B.數(shù)列｛￡+2｝是等比數(shù)列

C.&=510

D.數(shù)列｛/ga｝是公差為2的等差數(shù)列

11.下列命題為真命題的是（）

A.3xGR,x-A+1^0

B.當(dāng)ac>0時(shí)，3xGR,ax+bx-c=0

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要條件是xy》0

D.“-2VxV3”是“（*2-2|X|+4）（x?-2x-3）VO”的必要不充分條件

12.如圖，在長方體四曲-48G4中，4斤五仙哂人女小百，點(diǎn)。為線段4c上的動(dòng)

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)A[C=2AF時(shí)，&,P,〃三點(diǎn)共線

B.當(dāng)薪1平時(shí)，APIDT?

C.當(dāng)A[C=3A]P時(shí)，UP〃平面被G

D.當(dāng)A]C=5A[P時(shí)，4CJ?平面

二、填空題(本題共4小題，每題5分，滿分3分，將答案填在答題紙上)

13.若0<aV1,則關(guān)于x的不等式(a-x)(x--)>0的解集是.

a

'a“a12al3'

14.由9個(gè)正數(shù)組成的3行3列方陣a21a22a23中，每行中三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且a”當(dāng)2昌3,

a31a32a33」

521322323,而備2a33成等差數(shù)列.若，12=2,532=4,則/2=.

15.若x,y€R+,若a=1,則A+y的最小值為.

x+-1Jy

16.已知直線/:4x-3jH-6=0,拋物線C:/=4x圖象上的一動(dòng)點(diǎn)。到直線/與到y(tǒng)軸距

離之和的最小值為,P到直線/距離的最小值為.

四、解答題

17.已知為等差數(shù)列｛a〃｝,｛a-1｝是首項(xiàng)為5公比為q的等比數(shù)列，且滿足向+6=7,全

=q,a+6=35.

(1)求數(shù)列｛&｝,｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=ajbn-an,求數(shù)列｛c?｝的前"項(xiàng)和S.

18.如圖，在四棱錐P-4腦中，底面48緲是邊長為1的正方形，PAL平面ABCD,PA=X,

解為側(cè)棱刃的中點(diǎn).

(1)證明：平面筋I(lǐng)C_L平面也；

(2)求直線用與平面9所成的角的大小.

22

19.已知雙曲線C：x-y=a(a>0)與橢圓J^-=［有相同的焦點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)以夕(1,2)為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦46,求弦48所在直線的方程.

20.已知三棱柱/8C-45G中，川」平面/外，ACS.BC,AC=?BC,CMLAB于點(diǎn)、M,點(diǎn)、N

在棱州上，滿足部~=入(0<入<1).

kzV|

9

(1)若入=字求證：CM〃平面RAN;

O

(2)設(shè)平面84V與平面83所成的銳二面角的大小為e,若48JL8C,試判斷命題'勺

xe(0,D,e==”的真假，并說明理由.

.44

3

21.已知在數(shù)列｛a〃｝中，a=3,對(duì)于V〃GN*,an+1=l-*y^—.

1an

(1)求電條,并證明2介于a〃和a之間；

(2)若L二求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并證明Ia/2

n3

22FT

22.已知在平面直角坐標(biāo)系的中，橢圓C：工y+上fl(a>b>0)過點(diǎn)(?,洋)，離

心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)尸作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線/,交橢圓C于4,8兩點(diǎn)，求△力必面積

的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.命題“VxGR,的否定是（）

A.3xGR,X+SA+1^0B.3xGR,x+ax+1<0

C.VxGR,f+ax+1W0D.VxGR,x+ax+1<0

【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論.

解：命題為全稱命題，則命題“VxGR,x+ax+1^0w的否定是：3xGR,x+ax+1<0,

故選：B.

2.下列命題為真命題的是（）

A.若a>6>0,則ac>bcB.若a<b<Q,則a<ab

C.若a>6>0,則、幾>瓜D.若aV6V0,則」-〈工

ab

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷命題曲的真假，取特殊值可判斷命題45的真假.

解：A.取c=0,則ac2>6d不成立，故/錯(cuò)誤；

B.由aVbVO,取a=-2,h=-1,則，Vab不成立，故夕錯(cuò)誤；

C.-：a>b>0,...由不等式的基本性質(zhì)知故C正確；

D.'：a<b<Q,：.ab>Q,：.a*—<b'—,故〃錯(cuò)誤.

ababba

故選：C.

3.在三棱錐4-8微中，￡是棱微的中點(diǎn)，且BF或BE,則標(biāo)=（）

A./AB+^ACqADB.AB普AC告AD

C.-5AB+3AC+3ADD.ABT?正亭5

【分析】直接利用空間向量的加減法運(yùn)算，即可得答案.

解：如圖，???￡是棱緲的中點(diǎn)，且BF專BE,ABF^-（AE-AB）=

yX^-（AD+AC）4AB,

-AF=AB+BF=AB+^AD^-|-AC-yAB=-yAB+^AD^AC.

故選：D.

A

So

4.設(shè)等比數(shù)列｛a.｝的前〃項(xiàng)和為品若a54a3,則占（)

b4

,54D1

A.BC.

4-153

【分析】結(jié)合已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求公比q,然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即

可求解.

解：由a[a才可得

哈興Y

故選：A.

5.若雙曲線Ct三?-工5=1（a>0,6>0）的一條漸近線方程為y=2x,則C的離心率為

)

娓

A.V&B.后PV.----D

24

【分析】利用雙曲線的漸近線推出6,a關(guān)系，然后求解離心率即可.

解：由已知雙曲線C:4-*=1（a>0,/?>0）的一條漸近線方程為y=2x,

可畤必,2

1+(―)=V5?

a

故選：B.

6.方程為版+〃j/=0和版+〃/=1（勿〃=#0）的兩條曲線在同一坐標(biāo)系中可以是（）

D.

m、"同號(hào)或異號(hào)討論，即可得到結(jié)論.

解：方程戒+〃y=0即x=--y,表示拋物線，方程加Qmn*Q）表示橢圓或

m

雙曲線.

當(dāng)加和"同號(hào)時(shí)，拋物線開口向下，方程（加0）表示橢圓，無符合條件的

選項(xiàng).

當(dāng)〃和〃異號(hào)時(shí)，拋物線x=--y,開口向上，方程mx+ny=\表示雙曲線，注意8

m

滿足，

故選：B.

7.為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”任務(wù)，某扶貧干部幫助幫扶貧困村籌集資金16萬元，購進(jìn)了一條

配件加工生產(chǎn)線.已知該生產(chǎn)線每年收入20萬元，第一年生產(chǎn)成本為4萬元，從第二年

起，每年生產(chǎn)成本比前一年增加2萬元.若該生產(chǎn)線"（〃GN*）年后年平均利潤達(dá)到最

大值（利潤=收入-生產(chǎn)成本-籌集資金），則〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由題意可知，生產(chǎn)成本是以4為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，先求出生產(chǎn)成本

之和，再結(jié)合題意列出年平均利潤關(guān)于"的函數(shù)解析式，利用基本不等式即可求出函數(shù)

的最大值，以及此時(shí)〃的值.

解：設(shè)年平均利潤達(dá)為y,"年的生產(chǎn)成本之和為s,

由題意可知，生產(chǎn)成本是以4為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，

._.,n（n-l）_2

.?s_4n^Xv2n-n+3n,

.20n-s-1620n-n2-3n-16_-n2+17n-16_16_/.16x

..y=--------------=--------------------------------------------n------+17——1"—）

nnnn

+174-X—+17=9,

n

當(dāng)且僅當(dāng)"=」回，即"=4時(shí)，取等號(hào),

n

，平均利潤達(dá)到最大值時(shí)，n=4,

故選：B.

8.如圖，四棱錐S-/反Q中，底面48，步是邊長為2的正方形，SA工平面ABCD,夕為底面

ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)、,若麗?西=1，則動(dòng)點(diǎn)"的軌跡在()

“,?/)

--T

A.圓上B.雙曲線上C.拋物線上D.橢圓上

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得夕的軌跡為圓.

解：由題意建立空間直角坐標(biāo)系，以/夕為x軸，4?為y軸，4S為z軸，4為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則8(2,0,0),5(0,0,c),設(shè)P(x,y,0)因?yàn)槎?前=(2-x,-y,0)(-

x,-y,c)=x-2x+y+0=(.x-1)2+y,

由題意可得：可得動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡為：以(1,0)為圓心，以1為半徑

的圓.

故選：4

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.關(guān)于x的一元二次不等式/-6/aW0(aGZ)的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的取

值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【分析】設(shè)F(x)=x-6A+S,畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法得出關(guān)于a的不等

式組，從而求出a的值.

解：設(shè)F(x)=x-6A+S,其圖象是開口向上，對(duì)稱軸是x=3的拋物線，如圖所示；

若關(guān)于x的一元二次不等式4-6/的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則

p(2)<0j4-12+a<0

|f(l)>0，即jl-6+a>0，

解得5VaW8,又aGZ,

所以a=6,7,8.

故選：ABC.

10.在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，￡是數(shù)列｛吊｝的前"項(xiàng)和，若&a=32,^=12,貝”下列

說法正確的是()

A.<7=1

B.數(shù)列｛￡+2｝是等比數(shù)列

C.&=510

D.數(shù)列｛Iga｝是公差為2的等差數(shù)列

【分析】本題先根據(jù)題干條件判斷并計(jì)算得到q和a,的值，則即可得到等比數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，則對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)判斷即可得到正確選項(xiàng).

解：由題意，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得

必備=a1a4=32>0,與+a=12>0,

故與>0,a>0.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知

&,為是一元二次方程4-12肝32=0的兩個(gè)根.

解得包=4,今=8,或32=8,a=4.

故必有公比Q>0,

品=—a^,>0.

q

???等比數(shù)列｛a?｝是遞增數(shù)列，q>1.

.?.&=4,a=8滿足題意.

a9

：.q=2,ai=—=2.故選項(xiàng)/不正確.

q

a“=q"-'=2".

.?S=2(l-2”)=2出—2

?"一—1:2~一,

二￡+2=2"'=4,2"~'.

二數(shù)列｛￡+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故選項(xiàng)8正確.

$=2.-2=512-2=510.故選項(xiàng)C正確.

Vlgan=/@=n.

二數(shù)列｛/g4｝是公差為1的等差數(shù)列.故選項(xiàng)。不正確.

故選：BC.

11.下列命題為真命題的是()

A.3xGR,x-A+1=^0

B.當(dāng)ac>0時(shí)，3xGR,ax+bx-c=0

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要條件是xy,0

D.“-2VxV3”是“(f-2|x|+4)(f-2x-3)VO”的必要不充分條件

【分析】4VxGR,x-A+1=(x-y)2+-1>0,即可判斷出正誤；

B.當(dāng)ac>0時(shí)，由#+6x-c=0,可得△>(),即可判斷出正誤；.

C.|x-y|=|x|-|y|成立的充要條件是xy"0,且即可判斷出正誤；

D.由V-2|x|+4=(|x|-1)，3>0恒成立，因此(x?-2|x|+4)(x?-2x-3)VOo

f-2x-3V0o-1VxV3,即可判斷出正誤.

解：A.VxGR,x-A+1=(X^-)2+^>0,因此/不正確；

B.當(dāng)ac>0時(shí)，由c=0,可得△=〃+4石c>0,因此mx￡R,ax+bx-c=0,正

確.

C.|x-y|=|x|-3成立的充要條件是且|x|23,因此不正確;

D.由f-2|x|+4=(|x|-1)2+3>0恒成立，因此(寸-2|x|+4)(x-2x-3)VOo

x-2x-3<0<=>-1<x<3

“-2VxV3”是“(*Z-2|x|+4)(x-2x-3)VO”的必要不充分條件.因此正確.

故選：BD.

12.如圖，在長方體/的-48C4中，人8=炳2忐卜卜\=如,點(diǎn)。為線段4c上的動(dòng)

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)A]C=2AF時(shí)，8,P,。三點(diǎn)共線

B.當(dāng)亞11忑時(shí)，APl^Dp?

C.當(dāng)立=3不時(shí)，DP〃平面劭G

D.當(dāng)不=5不時(shí)，4aL平面ZMP

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A[C=AA[P,AjC=(-1,M，T)，可得：DP

A.當(dāng)A[C=2AF時(shí)，點(diǎn)P為對(duì)角線4c的中點(diǎn)，即可判斷出結(jié)論.

=_LL

B.當(dāng)AP_LA]C時(shí)，AP(-七1>**?AP*A1C=Y+-^-+Y-1=0,解得

kkkkkk

k=5.計(jì)算部?D[P=O是否成立即可.

C.當(dāng)司下=34時(shí)，戶(春，今，#),D?P=(f,噂，-1),設(shè)平面呼的法

J3so0o

向量為(x,y,z),利用7DB=n*DC[=O,可得[計(jì)算D1P?n=0是否成

立即可得出.

D.當(dāng)下=5不時(shí)，可得：，(看，g,4)-可得：AP=(-i坐，當(dāng).用

bobDbD

=(1,0,-1),設(shè)平面〃〃的法向量為7=(a,b,c),利用iAP-K*D]A=0,

可得7,判斷A[C〃7是否成立即可判斷出結(jié)論.

解：建立空間直角坐標(biāo)系，4(1,0,1),D(0,0,0),C(0,0),白(0,0,

D,

/(1,0,0),4(1,0,1),8(1,匾，0),

G(0,1),

設(shè)A[C=4A]P,A[C=(-1,M，-1)，

可得：而=為4年=(1-9—,1-y-),

kkkk

A.當(dāng)年忑二2兄1T時(shí)，點(diǎn)夕為對(duì)角線4c的中點(diǎn)，可得8,P,，三點(diǎn)共線，正確.

B.當(dāng)行1不時(shí)，獲=(-占，g,i-j),：?樂?不=_^^]-1=0,解得

1kkk1kkk

則而?D!P=(-y,y)?(含唱?，-鄉(xiāng)=-3一提■豐°，因此APJ.D〔P

不正確；

C.當(dāng)W=34時(shí),P母圣|),DpP=<P冬T)，

設(shè)平面劭G的法向量為扇=(x,y,z),DB=(1，M，0)，Dg=(0,M，1),

=A+/=

***n*DBV3J0>n*DCI=V3J/+Z=0,取。=(，'區(qū),T，V3)?則D[P?n=

二三-夸-：，5=0,〃平面劭G,正確.

D.當(dāng)不=5不時(shí)，可得：，(會(huì)坐，力.可得：屈=(W，g,當(dāng).用

555bob

=(1,0,-1),設(shè)平面的法向量為二=(a,b,c),則蚤~Jp

555

=0,5D[A=a-c=0,取:=(-1,M，-1).AAjC/7^,??.4C，平面

因此正確.

綜上可得：ACD正璘.

故選：ACD.

4

二、填空題(本題共4小題，每題5分，滿分3分，將答案填在答題紙上)

13.若0<aV1,則關(guān)于x的不等式(a-x)(x--)>0的解集是_(a,—

aa

【分析】已知0Va<1,可得工>1,判斷a與工的大小，再根據(jù)不等式的解法，進(jìn)行求

aa

解

解：因?yàn)?VaV1,可得」>1,

■:(a-x)(x--)>0=(x-a)(x--)V0=aVxV工；

aaa

.二關(guān)于x的不等式(a-z)(x--)>0的解集是(a,—);

aa

故答案為：(a,—)

a

<aUa12a13>

14,由9個(gè)正數(shù)組成的3行3列方陣a21a22a23中，每行中三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且各間2a3,

131a32a33j

為1/2a3,勿修2/3成等差數(shù)列.若向2=2,a2=4,則322=gQ

【分析】由題意設(shè)出一個(gè)滿足條件的矩陣，結(jié)合疑山2臺(tái)3,而42a3,布色2/3成等差數(shù)列，

運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得所求值.

21

aaqaq

2

解：由題意可設(shè)9個(gè)正數(shù)組成的矩陣為bbmbm(q,m,n9分別為各行的公比)，

2

ccncnI

各1各2句3,小奧2生3,含1石32張成等差數(shù)列，可得(aq)3+(cn)3=2(bm)3,

ai2=2,532=4,可得6加=2,cn=4,

則2、43=2X%3,解得生產(chǎn)V品.

故答案為：^36-

15.若x,yGR+,若_,則妙y的最小值為3.

x+1y

【分析】由已知可得，肝尸1=（葉尸1）?（一J-）,展開后應(yīng)用基本不等式即可

x+1y

解：由題意可得，/齊1=（A+JH-1）（1,4）=2+—匚J^\2+2=4；

x+1yx+1y

yx+1

yx+1r

當(dāng)且僅當(dāng)x+1早型則x=1,y=2時(shí)取等號(hào)

-

x+1y

的最小值為4-1=3.

故答案為：3

16.已知直線/:4x-3y+6=0,拋物線C:/=4x圖象上的一動(dòng)點(diǎn)P到直線/與到y(tǒng)軸距

離之和的最小值為1,0到直線/距離的最小值為4.

【分析】將點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離減準(zhǔn)線到y(tǒng)軸的距離，再由由拋物線的

性質(zhì)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，用焦點(diǎn)到直線的距離求出最小距離；

拋物線上的點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為平行線間的距離，直線與拋物線相切時(shí)平行線間的距

離最小，切線與拋物線聯(lián)立用判別式等于0求出/的平行線，進(jìn)而求出。到直線的最小

值.

解：由題意拋物線的焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為％=-1,

由拋物線的性質(zhì)，到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以/=4x圖象上的一動(dòng)點(diǎn)戶到直

線/與到y(tǒng)軸距離之和的最小值時(shí)過焦點(diǎn)下做這些/的垂線與拋物線的交點(diǎn)只

所以最小值為焦點(diǎn)尸到直線/的距離減準(zhǔn)線到y(tǒng)軸的距離，而焦點(diǎn)到直線/的距離d=

|4>1~3>0+6|

=2,所以P到直線/與到y(tǒng)軸距離之和的最小值為：2-1=1;

V42+32

當(dāng)與直線/的平行的直線與拋物線相切時(shí)，兩條平行直線的距離最小，即切點(diǎn)"到直線

/的距離最小，

4x-3y+c=0

設(shè)直線/的平行線：4x-3y+c=0,與拋物線聯(lián)立：《9,整理得：y-3jH-c=

Ly=4x

9

0,A=9-4c=0,所以

4

16-Io

所以夕到直線/的最小距離為：4

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步琳.

17.已知為等差數(shù)列｛4｝,｛4-1｝是首項(xiàng)為5公比為q的等比數(shù)列，且滿足以+以=7,為

=q,a+6=35.

(1)求數(shù)列｛&｝,｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=ajb?-an,求數(shù)列｛c?｝的前"項(xiàng)和￡.

【分析】(1)設(shè)｛aj的公差為&運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首

項(xiàng)、公差和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

(2)求得Cn=an，bn-an=(4n-3)(5n+l)-(4n-3)=(4n-3)?5n,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位

相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.

解：(1)設(shè)Q.｝的公差為d,

n-1

所以bn-l=5qkl,bn=5q+l,所以)=6,因?yàn)槿?打=7,

所以各=1,

由己知得［Mq,解得嚴(yán)；

Il+2d+l+5q=35(q-5

n

故an=4rr3,bn=5+l.

(2)設(shè)％=an"(4n-3)(5n+l)-(4n-3)=(4n-3)*5n,

所以S=1?5+5?52+9?53+—+(4"-3)?5",

5￡=1?52+5?53+9?5"+…+(4/7-3)?5"',

相減可得-4￡=5+4(52+53+-+5n)-(4n-3)?5"'

=5+4.25(1-5nJ_(4"_3)?5用

1-5

所以Sn=（n-1A5nH+5.

18.如圖，在四棱錐P-4胸中，底面485是邊長為1的正方形，PAL平面ABCD,PA=\,

"為側(cè)棱陽的中點(diǎn).

（1）證明：平面AMCJ"平面/W；

（2）求直線用與平面。6M所成的角的大小.

【分析】（1）以48所在的直線為x軸，以4?所在的直線為y軸，以/夕所在的直線為

z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，用向量法先證明4/垂直陽證明4ML平面夕必，再

證明結(jié)論；

.,11

（2）由（1）可知AM=（O,y,卷）為平面W的一個(gè)法向量，根據(jù)線面夾角的向量公

式求出結(jié)論即可.

解：（1）因?yàn)樵?_L平面48，步，ABCD為正方形,以/夕所在的直線為x軸，以4?所在的

直線為y

軸，以/2所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

由已知可得4(0,0,0),8(1,0,0),C(1,1,0),〃(0,1,0),P(0,0,1).

因?yàn)楦綖橥獾闹悬c(diǎn)，且21=47=1,

所以皿叫1(0,y,y),AM=(0,y,y),正=(T,,y)

乙乙乙乙乙乙

所以正?正=(0,-y.y)=0,

所以4a隔

所以4KL平面PCD,

因?yàn)槠矫鍹AC,所以平面例CJ■平面PCD-,

(2)設(shè)直線加與平面。6M所成的角的大小6,

?,11—?

由(1)可知AM=(O,y,卷)為平面W的一個(gè)法向量，因?yàn)镻B=(1,0,-1),

1

|AM,PB|2

所以sin8=-

同|?同工義*/2

所以e「「，即直線用與平面夕曲所成的角的大小為-7-.

66

22

19.已知雙曲線C：x-y=a(a>0)與橢圓「!^_=［有相同的焦點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)以夕(1,2)為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦48,求弦48所在直線的方程.

22

【分析】(1)由已知橢圓三=i，得雙曲線C的焦點(diǎn)為A(-2,0),F2(2,0),

84

即c=2,由等軸雙曲線的性質(zhì)a=6及02=3+8,求出a,得到雙曲線方程.

(2)法一：當(dāng)48所在直線斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足題意；

y=kx+m

當(dāng)48所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)48所在直線的方程為y=k/m,聯(lián)立方程組，

利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解直線方程x-2yb3=0即為所求.

法二：設(shè)/(x“M),8(M,y2),利用平方差法，求解直線的斜率，得到直線方程.

22

解：(1)由已知橢圓三_工=1

84

得雙曲線C的焦點(diǎn)為月(-2,0),月(2,0),即c=2,

由等軸雙曲線的性質(zhì)a=6及4=且2+。2,

則a=-^2

所求雙曲線C的方程為x-y=2.

(2)法一：當(dāng)所在直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，中點(diǎn)不可為。(1,2),

故此時(shí)不滿足題意;

當(dāng)Z8所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)/夕所在直線的方程為y=2m,

y=kxtm2km

聯(lián)立方程組,弓，得(1-〃)x-2kmx-3+2)=OXi+x2=----7=2①

lx2-y02=21-k2

點(diǎn)P(1,2)在/夕所在的直線上，即2=好加②.

聯(lián)立①②兩式，解得kJ，m=^-,

經(jīng)檢驗(yàn)，直線方程x-2八3=0即為所求.

法二：設(shè)力（%i,yO,B（x2,刃），

（22c

Xi-V1=2

,兩式作差：

2

^2-y2=

所以“所以L*

x2-xl丫1+了242

直線形的方程為y-2=/(x-l),即x-2y+3=0,

經(jīng)檢驗(yàn)x-2P^二。為所求直線方程.

20.已知三棱柱/8C-48G中，AAJ平面ABC,AC±BC,AC=42BC,M/S于點(diǎn)附，點(diǎn)、N

在棱GG上，滿足*~=入(0＜入＜1).

kzV|

9

(1)若入=字求證：CM〃平面RAN；

O

(2)設(shè)平面84V與平面83所成的銳二面角的大小為e,若48_L8G試判斷命題'勺

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=a,則ACf/^a,AB=J§a,設(shè)44=6,求

出平面84V的法向量，根據(jù)法向量與向量而的數(shù)量積為0,證明即可；

(2)由4BLAC,求出a=6,再求出平面84V的法向量；，平面8破的法向量二，利用

夾角公式求出關(guān)于人的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的大尿性判斷即可.

解：（1）因?yàn)镃ML4B,AC1.BC,設(shè)BC=a,則AC=&a,AB=?a,CM*AB=AOBC,

所以CM冬a，所以/川2a2-%）2=^a,

設(shè)44i=6,以心所在的直線為x軸，過附和即

平行的直線為y軸，以物所在的直線為z建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以A(Wa,0,0),B(亶a,0,0),

Oo

C(0,0,B]b,0),C[(0，b,^^a)，Aj(—^-a,b,0),

所以西=(0,b,0),而=(且ga,0,夸a)，彳=(坐a-b,乎a)，

所以CN=(O,當(dāng)，0),所以AN=AC+CN=(^p-a,白，尊公,

oOOO

AB[=(-V^a,b,0),

_,、m-AN=0

設(shè)m=(x,y,z)為平面8m的法向量，貝4------,

nrAB1=0

[2a2,V6.

即，333,取則y=3a,z=0,

-V3ax+by=0

所以irpG/^b,3a,0),而MC=(0，0，-^a),所以irfMC13。，

o

又因?yàn)橹本€以在平面8刖外,

所以扇〃平面&AN；

(2)由(1)知，A?B=("V3a?—b,0),B?C=9一上>

因?yàn)?艮L8C,所以不?彳=(-7§a,-b,0)"-b,^y-a)=b2-a2=0,

所以a=b,

所以CN=(O,入a,0),所以AN=AC+CN=(-^p-a,入a,

o

AB[=(-V^a,a,0),

設(shè)!r=(x,y,z)為平面84"的法向量.

2V3%怖門

m*AN=0一「ax+人ay-t—r-az=0

貝q貝-----B即rt<33,

km*AB4,=0~V§ax+ay=0

2=堂"(2-3入)，m=(V313,冷(2-3入))，

取x=6,則y=3,

因?yàn)橥?平面4明4,所以加4夕，因?yàn)?夕，5a

所以A1B=(7^a,-a,0)與8版的法向量工平行,

取1,0),

設(shè)平面84V與平面8例所成銳二面角為6,

a_?m，n?________6_____________巫

所以3玲一入產(chǎn)工入-2產(chǎn)+8

對(duì)于vxe(o,D,若把cose看作人的函數(shù).

則此函數(shù)在S,言)上是單調(diào)遞增的，在(晟，1)是單調(diào)遞減的，

OO

所以cos8所以8

2264

IT

所以不存在入e(0,1),使得e--,

4

命題“三兒C(0,1),8=—”是假命題.

4

3

21.已知在數(shù)列｛a〃｝中，a=3,對(duì)于V〃GN*,a=l-Tj--.

n+11an

(1)求生，a,并證明2介于a〃和府之間；

(2)若L二V，求數(shù)列｛扇的通項(xiàng)公式，并證明?an-2

n3

【分析】(1)運(yùn)用代入法和化簡(jiǎn)可得所求；

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，不等式的解法可得證明.

由己知可得，對(duì)V〃GN*,a?>0,且a/2(否則a1=2與已知矛盾)，

_(a-2)2

所以(a/2)(a1tH-2)=:<0,