2020-2021學(xué)年合肥某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年合肥一中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.以下三個(gè)命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某

項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值

越接近于I；③對(duì)分類(lèi)變量X與y的隨機(jī)變量片的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越小，判斷“x與y有關(guān)系”

的把握越大；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2,直線9=1的橫、縱截距分別是（）

1111

A.4,3B.4,—3C.-D,--

4343

3.已知空間直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（1,2,3）,貝1]（）

A.P到原點(diǎn)。的距離是旄B.P到平面xOy的距離是1

C.P到平面xOy的距離是2D.P到平面久Oy的距離是3

4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2,zn）和Q（m,4）兩點(diǎn)的直線與直線I：x-2y-1=0平行，則實(shí)數(shù)m的值是（）

A.2B.10C.0D.-8

5.如圖，三棱錐人48C的底面為正三角形，側(cè)面匕4c與底面垂直且匕4=UC,已知其正視圖的面積

為0，則其側(cè)視圖的面積為（)

□

A.0B.0C.0D.0

6.如圖，三棱柱4BC-4/也1中，側(cè)棱A4i1底面AiBiG，AB=AC,E是8C的,屋、

中點(diǎn)，則下列敘述不正確的是（)

A.4c〃平面4/1的A,

B.AE1B[C]

C.AC1平面4幽4

D.AE1EB1

7.棱長(zhǎng)為1的正方體48CD中，點(diǎn)M,N分別在線段BC[上,且AM=8N,則下列

結(jié)論：

D\

①a&lMN②異面直線力Bi，BG所成的角為60°③四面體當(dāng)心〉)的體積為

—_L48],A^C_LBC、,

3

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

22

8.已知雙曲線C卷-9=1的左焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)的直線，與雙曲線C的左、右兩支分別交于4B

14

兩點(diǎn)則向一兩的取值范圍是()

A.[―葭)B.[-i|]C.[-i0)D.[―：,+8)

9.若點(diǎn)則海廊滿(mǎn)足線性約束條件」則s=4kS岸的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

10.已知點(diǎn)P(a,6)關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(6+1,a-1),則圓C：x2+y2-6x-2y=0關(guān)于直線L對(duì)

稱(chēng)的圓C'的方程為()

A.(x—2)2+(y-2)2=10B.(x—27一(y-2)2=10

C.(x-2)2+(y+2)2=10D.(x+2)2+(y-2)2=10

11.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面積為廢，則球的表面積為()

A.gTL?B.C.3桓元D.

12.命題“若/<1,則—1<x<1”的逆否命題是()

A.若％2>1,貝卜>1,或％<-1B.若一1<x<1,則％2<1

C.若x>1或％<—1,貝!J/>1D.若x>1或％<—1,貝！J/>1

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.直線3%+y—3=0與直線6%+血丫+1=0平行，則兩直線之間的距離為.

14.設(shè)函數(shù);?（%）=的定義域?yàn)?命題p：364,命題q：564,若pAq為假命題，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為.

15.斜率為乎的直線Z過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F,若I與圓M：（%一2）2+y2=4相切,

貝1Jp=______

16.如圖所示，在正方體ABCD—4B1GD1中，點(diǎn)”是棱CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N

在體對(duì)角線&C上（點(diǎn)N與點(diǎn)A］，C不重合），則平面4MN可能經(jīng)過(guò)該正

方體的頂點(diǎn)是.（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有頂點(diǎn)）

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.試求到兩坐標(biāo)軸距離相等的所有的點(diǎn)組成的曲線的方程，并指出它的形狀.

is.已知直線方程為（2-洗）了+（2溺+l）y+3初+4=0,其中小cR

（1）當(dāng)班變化時(shí)，求點(diǎn)0（3,4）到直線的距離的最大值；

?）若直線分別與￥軸、y軸的負(fù)半軸交于4,B兩點(diǎn)，求三角形aoB面積的最小值及此時(shí)的直線方程.

19.已知點(diǎn)P（%,y）是圓％2+y2=2y上的動(dòng)點(diǎn),

（1）求z=2x+y的取值范圍；

（2）若％+y+a20恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（3）求%2+y2-16%+4y的最大值,最小值.

20.如圖①，在平面五邊形ZBCOE中，是梯形,AO〃BC,ZO=2BC=2迎,AB=W，△ABC=

90°,△ADE是等邊三角形.現(xiàn)將沿4。折起，連接EB,EC得如圖②的幾何體.

DE

圖①

(1)若點(diǎn)M是ED的中點(diǎn)，求證：CM〃平面28E；

(2)若平面ADE，平面4BCD,求四棱錐E-4BCD的體積.

21.如圖在正方體48CD中，棱長(zhǎng)為2.

(1)求異面直線4。與BCi所成的角；

(2)求三棱錐C-BCG的體積.

22.已知橢圓E的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，短軸長(zhǎng)為2,離心率為更.

2

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線I：y="+血與橢圓E相交于4,B兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,求m值.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無(wú)明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；

②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)

系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0；故②為真命題；

③對(duì)分類(lèi)變量X與丫的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越小，“x與y有關(guān)系”的把握程度越小，故③

為假命題.

故選：c.

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，

可判斷③.

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法，相關(guān)系數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查直線的截距式方程，是基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)截距式方程即可求出.

解：直線:一m=1的橫、縱截距分別4,-3,

故選反

3.答案：D

解析：解：由題可知，\OP\=Vl2+22+32=V14,

由P的坐標(biāo)為(1,2,3),可知P到平面xOy的距離是3,

故選：D.

利用空間兩點(diǎn)間距離公式求出|OP|,根據(jù)P的坐標(biāo)可直接得到P到平面xOy的距離.

本題考查空間兩點(diǎn)間距離公式以及點(diǎn)到平面的距離，是基礎(chǔ)題.

4.答案：A

解析：解：：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,m)和Q(m,4)兩點(diǎn)的直線與直線A尤一2y-1=0平行，

.4-m_1

,?—,

m+22

解得M=2.

故選：A.

利用直線與直線平行的性質(zhì)直接求解.

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：由題意知，該三棱錐的正視圖為△憶4C,作UO于0,連接。設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a,高U0=h,

則△匕4c的面積為國(guó)x2axh=ah=回.又三棱錐的側(cè)視圖為Rt△M08,在正三角形ABC中，

高08=叵|a,所以側(cè)視圖的面積為0OB-V0=￡|x叵|axh=叵］既=區(qū)x叵］=

a.

6.答案：C

解析：解：三棱柱ABC—a/iG中，

由AC〃2Q,2C0平面2/1的,可得4C〃&B1Q,故A正確；

由E是BC的中點(diǎn)，可得AELBC,BC//BrCr,即有4E1B1G，故B正確；

由側(cè)棱J?底面可得4C1441，但AC不一定垂直于4B,

可得4C不一定垂直于平面48B121，故C錯(cuò)誤；

由AE1BC,AE1BBr,可得AE_L平面881clC,則AEIEB〉故。正確.

故選：C.

由線面平行的判定定理可判斷4；由線線垂直的判定可判斷B；由線面垂直的判定定理可判斷C；由

線面垂直的判定定理和性質(zhì)可判斷。.

本題考查空間線線、線面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能

力，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解析：

試題分析：連結(jié)G。、DB、D/i、AD,易證平面C/B〃平面D/14且垂直平分&C,則在平行四

邊形4當(dāng)6。中，作ME7/AD交6。于E,連結(jié)NE,可得平面DNE//平面4BCD,可得TM】_LMN,①

對(duì)，ABJ/C^D,三角形GOB為等邊三角形，則異面直線4%，8G所成的角為60。②正確，

源也喻第=」法工著感流普?@=工,③對(duì)'A±ClAB^④正確,故選D

等方，普寫(xiě)粵

考點(diǎn)：1.異面直線夾角；2.幾何體體積

8.答案：B

解析：解：設(shè)|4F|=巾，\BF\=n,

由雙曲線的右焦點(diǎn)為F',連接BF',AF',

由對(duì)稱(chēng)性可得四邊形〃為平行是變形,

則|BF'|=\AF\=m,

所以幾—m=2a=6,

所以九=m+6,且m>c—a=1,

A±

n則.t---------=--------,

八\FB\mm+6f

設(shè)/(沆)=5一烹，m>l,

所以1⑺)=T+記%=明畢=端翟言

所以當(dāng)1VmV6時(shí)，fr(jn)<0,/(m)單調(diào)遞減,

當(dāng)TH>6時(shí)，>0,/(7H)單調(diào)遞增,

當(dāng)mt+8時(shí)，f(m)t0,

所以,(nOMin=/(6)=*_盤(pán)=_*

43

7’

所以/(加)€[—3；],

故選：B.

設(shè)|4F|=m,\BF\=n,由對(duì)稱(chēng)性可得田F'|=|XF|=m,再由雙曲線的定義得幾-m=2a=6,m>

c—a=l,則高一六=5一高，設(shè)fO)=!-烹，mN1,求導(dǎo)分析單調(diào)性，進(jìn)而可得答案.

本題考查曲線與方程，解題中結(jié)合函數(shù)思想求取值范圍，屬于中檔題.

9.答案:D

解析:

本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題.

由線性約束條件做出可行域，求出最優(yōu)解，則目標(biāo)函數(shù)的最大值可求.

由M=鈉Kl,明得察=-鉞需錯(cuò)M，畫(huà)出』對(duì)一國(guó)煩普魅苗。表示的可行域如圖，聯(lián)立力,解得

平移直線岸=T%由圖可知，使.X=枷瑞祥取得最大值的最優(yōu)解為爵03).

3筆

10.答案：A

解析：解：???點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(6+l,a-1),

圓C：/+丫2一6%-2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—3)2+(y-=10,

???圓心(3,1)關(guān)于直線泊勺對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1+1,3-1)即為(2,2),

.?.圓C'的方程為。-2尸+(y—2)2=10.

二故選：A.

依題意，將圓C：x2+y2-6x-2y=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(％-3)2+(y-I)2=10,可知圓心(3,1)

關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即圓C'的圓心，從而可得答案.

本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱(chēng)的直線方程，求得圓C'的圓心是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

1L答案：B

解析：解析：略

12.答案：D

解析：解：命題“若/<1,則—1WXW1”的逆否命題是

“若X<—1或X>1,則/>1”.

故選：D.

根據(jù)命題“若p,則q”的逆否命題是"「q,則「p”,寫(xiě)出它的逆否命題即可.

本題考查了命題與它的逆否命題的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

13.答案：旭

20

解析：

本題考查平行線之間的距離的求法，屬于基礎(chǔ)題.

通過(guò)直線平行求出小，然后利用平行線之間的距離求出結(jié)果即可.

解：直線3%+y-3=0與直線6x+my+1=0平行，

所以m=2,

則兩直線之間的距離為盟=①

V32+l20

故答案為旭.

20

14.答案：（—8,3）U[45,4-00）

解析：解：若p為真命題，則364則即胃W°，解得9Wa<45；

145—aa—45

若q為真命題，貝U5C4則普費(fèi)<0，即急急〈°，解得a<125；

若pAq為真命題，貝l]3Wa<45；

所以，當(dāng)pAq為假命題，則a<3或a245.

故答案為：（―8,3）U[45,+8）.

先求出當(dāng)命題p、q分別為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，于是得到pAq為真命題時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，

然后在pAq為真命題時(shí)，對(duì)實(shí)數(shù)a的取值范圍取補(bǔ)集即可得到命題pAq為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

本題考查復(fù)合命題的真假與參數(shù)之間的關(guān)系，判斷每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，是解決本題的關(guān)鍵，屬于

中等題.

15.答案：12

解析：

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題.

求出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求解即可.

解：斜率為理的直線/過(guò)拋物線C：y2=2PxQ>0）的焦點(diǎn)F?,0）,

3z

直線[的方程：V3y=x-^,

若I與圓M：(X—2)2+y2=4相切，

可得：某=2,P>0,解得p=12,

V3+1

故答案為：12.

16.答案：G，B],A，

解析：解：如圖所示，取的中點(diǎn)G,連接4G,C1G.則四邊形2MC1G是

平行四邊形.

經(jīng)過(guò)平移GG可得：平面2MN可能經(jīng)過(guò)該正方體的頂點(diǎn)是如，B],心，&.

故答案為：Ci，￡)i，Ar.

如圖所示，取的中點(diǎn)G,連接4G,GG.可得四邊形4MC]G是平行四邊

形.經(jīng)過(guò)平移GG可得：平面4MN可能經(jīng)過(guò)該正方體的頂點(diǎn).

本題考查了正方體的性質(zhì)、平行四邊形與點(diǎn)共面，考查了推理能力與空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：設(shè)滿(mǎn)足題意的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

則有|%|=|y|,即y=x或」=；一%,圖象如下:

解析：根據(jù)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等等價(jià)于該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等列出方程，化簡(jiǎn)即可

本題考查點(diǎn)的軌跡方程，考查函數(shù)圖象的做法，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案:解:

(1)直線方程為(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0,

可化為(2x+y+4)+m(—x+2y+3)=0,

因?yàn)槠鋵?duì)任意m都成立，所以:

(~x+2y-3=0-卜=-]

I，，解得I，

(2x+j+4=0(y=-2

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(-1,-2)；

點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大，

可知點(diǎn)Q與定點(diǎn)(-1,-2)的連線的距離就是所求最大值，

即J(3+1)2-(4-2)2=2A[13-

(2)若直線分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于AB兩點(diǎn)，

則直線方程為y+2=/c(x+l),k<0,

所以A(2-1，o),B(0?k-2),

k

ioi9，一月

SAAOB4|^-1||A-2|4(±-1)(W)=2+(4+-^)>2+2=4,

2k2k一攵2

當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，面積的最小值為4.

此時(shí)直線的方程為2%+y+4=0.

解析：(1)利用直線是直線系求出直線恒過(guò)定點(diǎn)(-1廠2)；點(diǎn)Q(3,4)到直線的距離最大，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)

間的距離，求出距離就是最大值.

(2)若直線分別與'軸，y軸的負(fù)半軸交于48兩點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，求出4B,然后求出△AOB面

積，利用基本不等式求出的最小值及此時(shí)直線的方程.

19.答案：解：(1)P是圓％2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn)，...產(chǎn)是圓％2+Q一1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，

:?令x=cosa,y=1+sina,aG[0,2TT),

???2%+y=sina+2cosa+1=V5sin(a+S)+1,

??.2%+丫的范圍是[1一逐,1+遮].

(2)v%+y+c>0恒成立，，c>—x—y恒成立

v—x—y=-sina—cosa—1=—V2sin(a+：)—1

**?-x—y的最大值為&-1,

???c的范圍是[魚(yú)-1,4-00).

(3)%2+y2-16%+4y=cos2a+(1+sina)2—16cosa+4(1+sina)

=6sina—16cosa+6=2V73sin((z+6)+6,

...％2+y2_16x+4y的最大值是6+2V73，最小值是6-2V73.

解析：(1)令％=cosa,y=1+sinafae[0,2/r),由三角函數(shù)的性質(zhì)能求出2%+y的范圍.

(2)由已知c>—X—y恒成立，由—%—y=~svn(x-coscc_1=-V2sin((z+—)-1,能求出c的范圍.

(3)x2+y2—16%+4y=cos2a+(1+since)2—16cosa+4(1+since),由此利用三角函數(shù)能求出

/+丫2一16%+4y的最大值，最小值.

本題主要考查了圓的參數(shù)方程，以及恒成立問(wèn)題和正弦函數(shù)的值域問(wèn)題，考查點(diǎn)到直線距離公式、

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

20.答案：解：(1)證明：取瓦4的中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MN是△瓦4。

的中位線，

1

MN//AD,且MN=#。，

BC//AD,且BC=-AD,：.BC=MN5.BC//MN,

可得四邊形BCMN為平行四邊形，貝!jCM〃BN.§

又CM,平面ABE,BNu平面ABE,

???CM〃平面ABE；

(2)取4。中點(diǎn)0,連接。E,由△ADE是等邊三角形，得。

?.?平面ADE_L平面ABC。，0Eu平面4DE,平面ADEC平面2BCD=AD,

：.0E1平面ABCD.

直角梯形ABC。的面積為S=|X(V2+2V2)x百=言，0E=V6,

四棱錐E—ABCD的體積VETBCD=|XXV6=3.

解析：(1)取EA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,由已知結(jié)合三角形中位線定理，證明四邊形BCMN為平行

四邊形，