第五章-受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲1

第五章受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲15.2.2彎扭屈曲

對于截面單軸對稱的單角鋼、單槽鋼或T形鋼軸心壓桿，形心和彎心不相重合。如果桿件在軸心力F作用下不能保持直線平衡而繞對稱軸y彎曲時，由于剪力不通過彎心，不可避免的要出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)。桿件的扭轉(zhuǎn)平衡微分方程為：其中彎曲平衡的微分方程可以寫為：兩端鉸接的桿件，桿端邊界條件：當z=0時：當z=L時：2解得：令得：臨界荷載式中：3我國冷彎薄壁型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范設(shè)x軸為對稱軸，如圖所示：圖5.4根據(jù)得：令由于上式可以寫為：解得彎扭屈曲臨界應(yīng)力：4★偏心壓桿的彎扭屈曲是指其在彎矩平面外的失穩(wěn)。偏心受壓桿件的彎扭屈曲平衡微分方程為：（5.32）（5.33）將式（5.32）對z微分二次，式（5.33）對z微分一次，得到：得到偏心壓桿的臨界荷載：5在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中常常用相關(guān)公式來控制偏心壓桿的彎扭失穩(wěn)。由梁整體失穩(wěn)的臨界彎矩為：利用這個關(guān)系式，并將Fe用M代替，得到：當Fω=Fy時，F(xiàn)/Fy與M/Mcr之間的關(guān)系是直線關(guān)系6第二節(jié)軸心受壓時開口薄壁桿件的彎扭屈曲臨界荷載中性平衡方程剪心C沿x和y軸方向平移u和v，截面繞剪力中心扭轉(zhuǎn)

角，點B(x,y)沿x和y軸方向位移為：假定屈曲時桿件處于彈性工作階段和小變形狀態(tài)，并假定截面的周邊形狀保持不變，無初始缺陷。7一中性平衡方程的建立(一)通過勢能駐值原理來推導變形后微段長度：由于u`,v`是微小量，上式簡化為：B點縱向纖維變形后的總長度為：B點縱向纖維變形后兩端縮短為：8大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點9式中應(yīng)力

＝F/A在小條上的外力功為：對整根桿，壓力F的外力功為：并考慮了因此，總勢能為即：10二臨界荷載的確定(一)假設(shè)位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代數(shù)方程組如桿段簡支時，邊界條件為假設(shè)位移函數(shù)為：A、B和C—廣義坐標或參變數(shù)n＝1,2,3,…—彈性曲線的半波數(shù)將它代入總勢能表達式，并令：11得到線性齊次代數(shù)方程組為：特征方程為：或解此方程式所得F的最小根，即為所求的臨界力Fcr。12三關(guān)于臨界荷載的討論－以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件截面為雙軸對稱或點對稱時截面形心與剪力中心重合，x0＝y(tǒng)0＝0：方程式的三個根為13得到最小臨界力，將此三根代入(5.56)式，可得當F＝Fx和F＝Fy時，桿件為彎曲屈曲，當F＝F

時，桿件為扭轉(zhuǎn)屈曲。對于雙軸對稱或點對稱截面的軸壓桿，只能發(fā)生繞其主軸彎曲屈曲或繞剪力中心的扭轉(zhuǎn)屈曲，不會發(fā)生彎扭屈曲。14(二)當桿件截面為單軸對稱(設(shè)y軸為對稱軸)時，則x0＝0，彎曲屈曲彎扭屈曲(三)當桿件截面為不對稱時，則必為彎扭屈曲，臨界力為(5.58)式的三個根中最小值，并取n＝1。取n＝1，得到最小臨界力。15除了上節(jié)所述的基本假定外，需再假設(shè)桿件截面具有足夠的抗彎剛度，由偏心彎矩產(chǎn)生的彎曲變形很小，可以略去不計。16一中性平衡方程的建立(一)根據(jù)勢能駐值原理來導出中性平衡狀態(tài)時，截面上任意點B(x,y)的位移、應(yīng)變能U和外力所作的功W的表達式與上一節(jié)表達式相同。將(5.66)代入(5.48)式，對整個截面積分，并注意O為形心，x和y軸為形心主軸，可得：式中

x和

y為不對稱截面的幾何特性。17體系總勢能Ep的表達式為：18二臨界荷載的確定(一)假設(shè)位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代數(shù)方程組如桿段簡支時，邊界條件為假設(shè)位移函數(shù)為：A、B和C—廣義坐標或參變數(shù)n＝1,2,3,…—彈性曲線的半波數(shù)根據(jù)勢能駐值定理，令19A、B、C不同時為0的條件是其系數(shù)行列式△=0，則可以得到穩(wěn)定方程為：得：解這個特征方程可得F的三個根，其最小根就是所求的臨界荷載。20三關(guān)于臨界荷載的討論－以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件為雙軸對稱，且壓力F作用在一個對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=y0=ey=

x=y=0，此時方程形式為：或者式中：21臨界力為上述三根中最小值，并取n＝1。當臨界力為Px時，為繞x軸的彎曲屈曲，當臨界力為其它根時，為彎扭屈曲。當為彎扭屈曲時：22(二)當桿件為單軸對稱，且壓力F作用在對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=ey=

x=0，此時方程式的形式為：桿件可能繞x軸彎曲屈曲，也可能是彎扭屈曲。(三)當桿件截面