李凡長版-組合數(shù)學課后習題答案-習題1

第一章排列組合在小于2000的數(shù)中，有多少個正整數(shù)含有數(shù)字2？解：千位數(shù)為1或0，百位數(shù)為2的正整數(shù)個數(shù)為：2*1*10*10；千位數(shù)為1或0，百位數(shù)不為2，十位數(shù)為2的正整數(shù)個數(shù)為：2*9*1*10；千位數(shù)為1或0，百位數(shù)和十位數(shù)皆不為2，個位數(shù)為2的正整數(shù)個數(shù)為：2*9*9*1；故滿足題意的整數(shù)個數(shù)為：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。在所有7位01串中，同時含有“101”串和“11”串的有多少個？解：〔1〕串中有6個1：1個0有5個位置可以插入：5種?！?〕串中有5個1，除去0111110，個數(shù)為-1＝14?！不颍海?4〕〔3〕串中有4個1：分兩種情況：①3個0單獨插入，出去1010101，共-1種；②其中兩個0一組，另外一個單獨，那么有種?！?〕串中有3個1：串只能為**1101**或**1011**，故共4*2種。所以滿足條件的串共48個。一學生在搜索2004年1月份某領域的論文時，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必須是不同語言的，那么他共有多少種選擇？解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6設由1，2，3，4，5，6組成的各位數(shù)字互異的4位偶數(shù)共有n個，其和為m。求n和m。解：由1，2，3，4，5，6組成的各位數(shù)字互異，且個位數(shù)字為2，4，6的偶數(shù)均有P(5,3)=60個，于是：n=60*3=180。以a1,a2,a3,a4分別表示這180個偶數(shù)的個位、十位、百位、千位數(shù)字之和，那么m=a1+10a2+100a3+1000a4。因為個位數(shù)字為2，4，6的偶數(shù)各有60個，故a1=(2+4+6)*60=720。因為千〔百，十〕位數(shù)字為1，3，5的偶數(shù)各有3*P(4,2)=36個，為2，4，6的偶數(shù)各有2*P(4,2)=24個，故a2=a3=a4=(1+3+5)*36+(2+4+6)*24=612。因此，m=720+612*(10+100+1000)=680040。從{1，2，…，7}中選出不同的5個數(shù)字組成的5位數(shù)中，1與2不相鄰的數(shù)字有多少個？解：1與2相鄰：。故有1和2但它們不相鄰的方案數(shù)：只有1或2：沒有1和2：P(5,5)故總方案數(shù)：++P(5,5)安排5個人去3個學校參觀，每個學校至少一人，共有多少種安排方案？解：方法一：有兩種方案：①有兩個學校只要一個人去，剩下的那個去3人；②有兩個學校去2人，剩下的去1人。故方案數(shù)為：〔〕*P(3,3)＝150。方法二：＝150?，F(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中有兩件是次品.如果從中任意抽出5件，抽出的產(chǎn)品中至多有一件次品的概率是多少？解：無次品：；有一件次品：因此，概率為〔+〕/有七種小球，每個小球內(nèi)有1～7個星星。一次活動中，主辦方隨機發(fā)放禮品盒，每個盒里放兩個這樣的小球，那么共有多少種這樣的禮品盒？解：方法一、方法二、〔7×7-7〕/2+7＝28方法三、一個球是一星球，另一個球可以是一～七星球，故有7種；一個球是二星球，另一個球可以是二～七星球，故有6種；…………一個球是七星球，另一個球可以是七星球，故有1種。因此，共7+6+…+1＝28種。效勞器A接到發(fā)往效勞器B、C、D、E、F的信包各3個，但它一次只能發(fā)出一個信包。問共有多少種發(fā)送方式？如果發(fā)往效勞器B的信包兩兩不能相鄰發(fā)出呢？解：〔1〕{3?B,3?C,3?D,3?E,3?F}的全排列〔2〕其余4個效勞器全排列，在插入B的三個：有m個省，每省有n個代表，假設從這mn個代表中選出k〔k≤m〕個組成常任委員會，要求委員會中的人來自不同的省，一共有多少種不同的選法？解：?nk7對夫婦圍一圓桌而坐，每對夫婦都不相鄰的坐法有多少種？解：7個夫人先坐：7!/7第一個丈夫不坐在他夫人旁邊，那么有5個地方可以坐；第二個丈夫由于可以坐在第一個丈夫旁邊，故有6個地方可以坐；……第7個丈夫有11分地方可以坐。因此：5*6*7*8*9*10*11*7！/7＝1197504000。設S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}，其中n1=1，n2+n3+…+nk=n，證明S的圓排列的個數(shù)等于：證明：S的全排列為：因為要排成(n+1)圓，故圓排列數(shù)為/(n+1)=有8個大小相同的棋子〔5個紅的3個藍的〕，放在12×12的棋盤上，每行、每列都只能放一個，問有多少種放法.解：先放紅的。選出5行出來，列可任選為P(12,6)。再先放藍的。選出3行出來，列可任選為P(7,3)。設1≤r≤n，考慮集合{1,2,…,n}的所有r元子集及每個子集中的最小數(shù)，證明這些最小數(shù)的算數(shù)平均數(shù)為.證明：r元子集共個，于是共有個最小數(shù)。下面我們求出這些最小數(shù)之和。如果r元子集中的最小數(shù)為k，那么除k外的r-1個數(shù)只能從{k+1,k+2,…,n}中取，有種取法，即以k為最小數(shù)的r子集有個，因此這些最小數(shù)之和為。于是平均數(shù)為。由和有上面兩式相減得：因此=。用二項式定理展開(4x-3y)8.解：(3y–2z)20的展開式中，y5z15的系數(shù)是什么？解：證明：證明：該等式的組合意義是說，n元集S的偶子集數(shù)與奇子集數(shù)相等。現(xiàn)在我們?nèi)稳中的一個元x。對S的任何一個偶子集AS，如果x∈A，那么令B＝A-{x}；否那么，令B＝A∪{x}。B顯然是S的奇子集。不難證明這是所有偶子集與所有奇子集之間的一一對應。所以，S的偶子集數(shù)與奇子集數(shù)相等。證明等式并討論其組合意義.證明：〔n+1〕！=n*n!+n!n!=(n-1)*(n-1)!+(n-1)!………………2!=1*1!+1!以上各式相加，整理得：(n+1)!=n+n!+(n-1)*(n-1)!+…+2*2!+1*1!+1故。組合意義：將〔n+1〕個不同物體a1,a2,…,an+1放入〔n+1〕個不同的盒子A1,A2,…,An+1內(nèi)的方法如下：〔a1不在A1內(nèi)〕+〔a1在A1內(nèi)但a2不在A2內(nèi)〕+〔a1,a2分別在A1,A2內(nèi)但a3不在A3內(nèi)〕+……+〔a1,a2,…,ai分別在A1,A2,…,Ai內(nèi)但ai+1不在Ai+1內(nèi)〕+……+〔a1,a2,…,an+1分別在A1,A2,…,An+1內(nèi)〕即：故證明：證明：證明：.證明：假設n=m：=1。假設n>m：我們知道，(1+x)n=對該式兩邊求m階導數(shù)：乘以：令x=-1：0=證明以下等式：〔1〕證明：因此，〔2〕證明：利用路徑問題解決。左邊第i項相當于從點c(-r-1,0)到點(-1,i)，再經(jīng)點(0,i)，最后到達b(n-m,m)的所有路徑數(shù)。而右邊為從c到b的所有路徑數(shù)。因此得證。證明：證明：因此試證明：〔1〕證明：由二項式定理知：=(1+x)n等式兩邊對x求2次導數(shù)得：=n(n-1)(1+x)n-2令x=1，那么：=n(n-1)2n-2整理得：〔2〕證明：得證。證明：.證明：由二項式定理知：=(1+x)n等式兩邊對x積分得：再次積分：令x＝1。整理，得證。展開(a+3b-7c-d)5.解：〔n1+n2+n3+n4=5〕。(4x+3y–2z)20的展開式中，x5y7z8的系數(shù)是什么？x5y15的呢？解：x5y7z8的系數(shù)：x5y15的系數(shù)：求(3+x+x2+2x3)6的展開式中x5的系數(shù).解：證明：整數(shù)n的m分拆數(shù)等于整數(shù)n-的m分拆數(shù).證明：設n=a1+a2+…+am是n的一個m項分拆，并假定a1≥a2≥…≥am≥1，那么(a1-1)+(a2-1)+…+(am-1)=n-m是n-m的一個項數(shù)不超過m的拆分。反之，設a1+a2+…+ar=n-m(r≤m)是n-m的一個分拆，那么=((n-m)+r)+(m-r)=n是n的一個m項拆分。于是這兩種拆分一一對應，故其拆分數(shù)相等。得證。設將N無序分拆成正整數(shù)之和且使得這些正整數(shù)都小于等于m的方法數(shù)為B’(N,m).證明：B’(N,m)=B’(N,m-1)+B’(N-m,m).證明：B’(N,m)分為兩類：一類是m不是其中一個，那么為B’(N,m-1)；一類是m是其中一個，即B’(N-m,m)。故B’(N,m)=B’(N,m-1)+B’(N-m,m).證明：周長為2n，邊長為整數(shù)的三角形的個數(shù)等于數(shù)n的3分拆數(shù).證明：設n的一個拆分n=x+y+z，那么2(x+y+z)=(x+y)+(x+z)+(y+z)＝2n其中(x+y)+(x+z)=2x+(y+z)>y+z同理(y+z)+(x+z)>(x+y)，(x+y)+(y+z)>(x+z)因此(x+y)，(x+z)，(y+z)可以組成一個三角形，且周長為2n。反之，設一個周長為2n的三角形，其三條邊長a，b，c是整數(shù)，那么n=設x=n-a，y=n-b，z=n-c。顯然x，y，z都是正整數(shù)，而x+y+z=n-a+n-b+n-c=3n-(a+b+c)=n即構(gòu)成n的一個拆分。得證.n個人出去野炊，其中r個人圍一圈，另外n-r個人圍一圈，問共有多少種不同的方案？解：把n個不同顏色的小球放入r個不同形狀的盒子，恰好有1個空盒的放法有多少種？恰好有m〔m<n〕個空盒呢？解：恰好有1個空盒的放法恰好有m〔m<n〕個空盒：一凸十邊形內(nèi)任意三條對角線不共點〔即不相交于同一點〕，問這些對角線被它們的交點分成多少條線段？解：該10邊形的對角線條數(shù)為：，交點數(shù)為。設第i條對角線上交點數(shù)為ni，那么線段有ni+1條；即總數(shù)為：每個交點由2條對角線相交而成，因而＝2*210＝420故總線段數(shù)為420+35＝455。一次小型聚會中，主人要把4塊相同的蛋糕、6杯不同的飲料和5盤不同的水果分給5個客人，其余各項可隨便使用。問任一客人接到3份不同食物的概率是多少？解：先把4塊相同的蛋糕分給5個人：；再分6杯不同的飲料：56＝15625；再分5盤不同的水果：55＝3125。而一位客人接到3種物品的情況有：1*6*5＝30種。因此所求概率為：*100。(x1+x2+…+xm)n的展開式有多少項？解：其中ni≥0，且n1+n2+…+nm=n〔*〕那么原題即相當于求方程〔*〕的非負整數(shù)解的個數(shù)。即為：。10個人進行排名，其中甲必須在乙的前面，丙必須在丁的后面，問共有多少種排名方案？解：先排好甲、乙。那么可把除丙、丁外的6人插入，方案數(shù)為36。那么現(xiàn)在有9個位置可以插入??；然后再把丙放在它后面的位置，方案數(shù)為：1+2+…+9＝45。故總方案數(shù)為45*36。10套試驗