極坐標(biāo)參數(shù)方程題型總結(jié)

極坐標(biāo)參數(shù)方程專題訓(xùn)練知識要點〔一〕曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M〔x，y〕都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．〔二〕常見曲線的參數(shù)方程如下：1．過定點〔x0，y0〕，傾角為α的直線：〔t為參數(shù)〕其中參數(shù)t是以定點P〔x0，y0〕為起點，對應(yīng)于t點M〔x，y〕為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離．根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．eq\o\ac(○,1)設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，那么＝＝．eq\o\ac(○,2)線段AB的中點所對應(yīng)的參數(shù)值等于．③設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，那么P到A，B兩點距離之積2．中心在〔x0，y0〕，半徑等于r的圓：〔為參數(shù)〕3．中心在原點，焦點在x軸〔或y軸〕上的橢圓：〔為參數(shù)〕〔或〕中心在點〔x0,y0〕焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4．頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：〔t為參數(shù)，p＞0〕直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點P〔x0，y0〕，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是〔t為參數(shù)〕．〔三〕極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向〔通常取逆時針方向〕。對于平面內(nèi)的任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)惟一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標(biāo)不惟一．一個點可以有無數(shù)個坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)〔極點除外〕的全部坐標(biāo)為(,＋)或〔，＋〕，(Z)．極點的極徑為0，而極角任意?。僭O(shè)對、的取值范圍加以限制．那么除極點外，平面上點的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點與坐標(biāo)是一多對應(yīng)的．即一個點的極坐標(biāo)是不惟一的．3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：1.極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點重合，極軸與軸的非負半軸重合.曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)〕，曲線的極坐標(biāo)方程為問曲線是否相交，假設(shè)相交請求出公共弦所在的直線的方程，假設(shè)不相交，請說明理由.2.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，在極坐標(biāo)系〔與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸〕中，圓的方程為。〔Ⅰ〕求圓的直角坐標(biāo)方程；〔Ⅱ〕設(shè)圓與直線交于點。假設(shè)點的坐標(biāo)為〔3，〕，求。3.P為半圓C：〔為參數(shù)，〕上的點，點A的坐標(biāo)為〔1,0〕，O為坐標(biāo)原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為?！?1\*ROMANI〕以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)；〔=2\*ROMANII〕求直線AM的參數(shù)方程。4.直線C1〔t為參數(shù)〕，C2〔為參數(shù)〕，〔Ⅰ〕當(dāng)=時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；〔Ⅱ〕過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線。5.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為，以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，寫出直線的直角坐標(biāo)方程和圓C的普通方程；求圓C截直線L所得的弦長。6.直線L經(jīng)過點〔1〕寫出直線L的參數(shù)方程；〔2〕設(shè)L與圓相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積。7.曲線化為直角坐標(biāo)方程，化為普通方程；假設(shè)M為曲線與X軸的交點，N為曲線上一動點，求的最大值。8.曲線C：〔t為參數(shù)〕，C：〔為參數(shù)〕?！?〕化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；〔2〕假設(shè)C上的點P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動點，求中點到直線〔t為參數(shù)〕距離的最小值。9.在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a