高一年級(jí)上學(xué)期2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式講義

題型一：解一元二次不等式（不含參）【例1】不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式，求出答案.【詳解】，解得：，解得：或.故選：C【】不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】化簡原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可.【詳解】原不等式即為，解得，故原不等式的解集為.故選：B.【】表示不超過x的最大整數(shù)，則滿足不等式的x的值可以為（

）A．3 B． C． D．8【答案】AC【分析】由一元二次不等式得，再結(jié)合新定義可求x的值.【詳解】不等式可化為，所以，所以，所以的值可以為內(nèi)的任何實(shí)數(shù)，故選：AC.【】不等式的解集為.【答案】【分析】將因式分解后即可求出解集，要注意隱藏條件.【詳解】不等式可化為，.故答案為：.題型二：解一元二次不等式（含參）【例2】（1）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）分，和三種情況，結(jié)合一元一次不等式的解法解之即可；（2）分，，，和五種情況，結(jié)合一元二次不等式的解法解之即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，有，不符合題意，無解；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，有，所以解集為R；當(dāng)，即時(shí)，解得或，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.【】設(shè)，解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】將所求不等式變形為，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【詳解】解：由可得.（1）當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；（2）當(dāng)時(shí)，解方程可得或.①當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得或②當(dāng)時(shí)，則，解原不等式可得；③當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；④當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【】解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析.【分析】討論，以及時(shí)，對應(yīng)不等式的解集即可．【詳解】關(guān)于的不等式：中，，當(dāng)或時(shí)，，對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，且，故不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；綜上，或時(shí)，不等式的解集為或；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查含參一元二次不等式的求解，注意分類討論即可，屬基礎(chǔ)題.【】符號(hào)[x]表示不大于x的最大整數(shù)（xR），例如：[1.3]=1，[2]=2，[1.2]=2.(1)已知[x]=2，[x]=2，分別求兩方程的解集M、N；(2)設(shè)方程[|x1|]=3的解集為A，集合，若，求k的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意解方程即可；（2）根據(jù)題意列方程，解方程得到集合，然后分，，三種情況討論求集合B即可.【詳解】（1）因?yàn)楸硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)，時(shí)，解得：，所以，時(shí)，解得：，所以.（2）因?yàn)?，所以，根?jù)絕對值不等式的幾何意義解得：，又；當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，，若，則有：，解得；當(dāng)時(shí)，，若，則有：，解得；綜上：.題型三：一元二次不等式與一元二次函數(shù)，方程的關(guān)系【例3】若不等式的解集是，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根于系數(shù)的關(guān)系先求出，再解不等式即可.【詳解】不等式的解集是則根據(jù)對應(yīng)方程的韋達(dá)定理得到：，解得，則的解集為故選：A【】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，結(jié)合一元二次函數(shù)與一元二次不等式的解集的關(guān)系即可求解.【詳解】由二次函數(shù)圖象知：，二次函數(shù)的零點(diǎn)為和，所以一元二次方程的兩根為或，所以不等式的解集為.故選：A.【】已知的解集為，則的值為（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【分析】由題知為方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋詾榉匠痰囊粋€(gè)根，所以．故選:B．【】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．不等式的解集是D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式與解集的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理可得出、與的等量關(guān)系，利用一次不等式的解法可判斷B選項(xiàng)；利用二次不等式的解法可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是或，則，A對；對于B選項(xiàng)，由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為，，由韋達(dá)定理可得，可得，，則，由可得，解得，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由可得，即，解得，因此，不等式的解集是，C對；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：ACD.【】（多選）已知不等式的解集為或，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．不等式的解集為或C．D．不等式的解集為或【答案】AB【分析】對于A，由不等式的解集進(jìn)行判斷，對于BD，由韋達(dá)定理，然后結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行判斷，對于C，由不等式的解集結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系判斷.【詳解】不等式的解集為或，所以，，所以A正確，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正確，由，得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以不等式的解集為或，所以B正確，D錯(cuò)誤，故答案為：AB三、解答題【例4】已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；(2)若，解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為或【分析】（1）知道的解集為，可確定的根為和，代入求解a，b即可.（2）將轉(zhuǎn)化為含參一元二次不等式，討論a的范圍可求解不等式的解集.【詳解】（1）的解集為，和是方程的兩個(gè)根，∴，解得：.（2）不等式，可化為：.當(dāng)時(shí)，原不等式即為，．當(dāng)時(shí)，原不等式化為，或.當(dāng)時(shí)，原不等式為，可化為因，．綜上，時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為；時(shí)，原不等式的解集為或【】已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求的值.(2)設(shè)關(guān)于x不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得到是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案；（2）分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，題意可轉(zhuǎn)化成恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到答案【詳解】（1）∵關(guān)于x的不等式的解集為，所以是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得，解得；（2）關(guān)于x不等式在上恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式為恒成立；當(dāng)時(shí)，可整理得恒成立，∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)）∴解得，∴綜上所述，的取值范圍是題型四：一元二次根的分布問題【例5】關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論a，確定，則可將化為，令，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可得，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，故時(shí)，，即，解得，故，故選：D【】要使關(guān)于的方程的一根比1大且另一根比1小，則的取值范圍是A． B．或 C．或 D．【答案】D【分析】由題意可得，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)在的兩邊，則，由此求解關(guān)于的不等式得答案．【詳解】解：方程對應(yīng)的二次函數(shù)為，其圖象是開口向上的拋物線，要使方程的一根比1大且另一根比1小，則拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)在的兩邊，，即，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，靈活運(yùn)用“三個(gè)二次”的結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【】若方程有唯一的實(shí)數(shù)根3，則不等式的解集為．【答案】【分析】由題設(shè)條件得到拋物線的圖象特點(diǎn)，即可求得不等式的解集【詳解】由已知得拋物線的開口向下，與x軸交于點(diǎn)，故不等式的解集為．故答案為：【】關(guān)于的一元二次方程在區(qū)間內(nèi)、外各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】令，當(dāng)不是方程的根時(shí)，得到，求解得到的范圍；再驗(yàn)證當(dāng)以及是方程的根時(shí)是否滿足題意，即可得出結(jié)果.【詳解】在區(qū)間內(nèi)、外各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，當(dāng)不是方程的根時(shí)，所以，解得：；當(dāng)是方程的根時(shí)，得，此時(shí)方程變?yōu)椋?，解得：或，在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外，符合題意；當(dāng)是方程的根時(shí)，得，此時(shí)方程變?yōu)椋海獾茫夯?，此時(shí)方程的兩根均在區(qū)間外，不符合題意；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用一元二次方程根的分布問題求參數(shù)，解題時(shí)要注意分析判別式、對稱軸以及端點(diǎn)（與根比大小的數(shù)）的函數(shù)值符號(hào).三、解答題【例6】已知一元二次方程．(1)寫出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件；(2)寫出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的一個(gè)必要而不充分條件，并給予證明．【答案】(1)(2)方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)必要而不充分條件可以是，證明見解析【分析】（1）利用判別式及韋達(dá)定理即可得到不等式組，解出即可；（2）首先由（1）知其充要條件為，故可以選取作為其必要不充分條件，再證明即可.【詳解】（1）若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，即，．方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是．（2）方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)必要而不充分條件是，證明：若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則由（1）知其充要條件為，從而，故必要性成立．若，則方程中，，，方程有兩個(gè)同號(hào)根，充分性不成立，故是方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)必要而不充分條件．【】已知（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的范圍；（3）若的兩根都在內(nèi)，求的范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）分別在、、和的情況下，得到函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；由二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可得不等式組，解不等式求得結(jié)果；（3）令可求得兩根，根據(jù)根所處范圍可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時(shí)，開口方向向下，對稱軸為在上單調(diào)遞減

③當(dāng)時(shí)，開口方向向上，對稱軸為若，則

在上單調(diào)遞減

若，則

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述：（2）恒成立等價(jià)于恒成立當(dāng)時(shí)，不恒成立，不合題意當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述：的取值范圍為（3）令，即若，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意；若，則方程兩根為，

，解得：綜上所述：的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)最值的求解、一元二次不等式恒成立問題和一元二次方程根的分布問題的求解；考查學(xué)生對于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的掌握；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論，造成求解錯(cuò)誤.題型五：一元二次函數(shù)恒成立和最值問題【例7】若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】討論和兩種情況，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【】不等式對任意的恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】可整理為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有：，故A正確；當(dāng)時(shí)，滿足，即原不等式成立，B錯(cuò)誤；由，得，所以，C正確；，D正確；故選：ACD．【例8】設(shè)函數(shù)．(1)若不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）把不等式整理為關(guān)于的不等式，然后利用其在時(shí)恒成立可得關(guān)于的不等關(guān)系從而得結(jié)論；（2）不等式化簡為，然后分類討論求解．【詳解】（1）不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，即，，顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）不等式，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)，即時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，或，當(dāng)，即時(shí)，或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【】已知關(guān)于的不等式．(1)若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）不等式整理成標(biāo)準(zhǔn)的一元二次不等式，由判別式可得參數(shù)范圍；（2）不等式換成以為主元，為一次不等式，這樣只要和時(shí)不等式都成立即可得的范圍．【詳解】（1）若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立則關(guān)于的方程的判別式，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）不等式，可看成關(guān)于的一次不等式，又，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【】已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求的值.(2)設(shè)關(guān)于x不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得到是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案；（2）分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，題意可轉(zhuǎn)化成恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到答案【詳解】（1）∵關(guān)于x的不等式的解集為，所以是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得，解得；（2）關(guān)于x不等式在上恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式為恒成立；當(dāng)時(shí)，可整理得恒成立，∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)）∴解得，∴綜上所述，的取值范圍是【例9】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)求在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）求出二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的值域，（2）分和兩種情況結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，（3）求出拋物線的對稱軸，然后分，，和由種情況求函數(shù)的最值即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在區(qū)間上的值域是