人教版高中數(shù)學選修一1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題（一） -A基礎練（解析版）

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)-A基礎練一、選擇題1.若O為坐標原點,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為()A.1652 B.214 C.53 D.【答案】D【解析】∵OP=12(OA+OB)∴PC=OC-OP=-22.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內,則平面α外的點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.【答案】D【解析】由題意可知PA=(1,2,-4).設點P到平面α的距離為h,則h=|PA3．（2020山東濰坊高二期末）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝||＝1×＝．4.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離是()A.6a6 B.3a6 C.【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a設平面MBD的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴點A1到平面MBD的距離d=|D5．（2020全國二高課時練）已知空間直角坐標系中有一點，點是平面內的直線上的動點，則，兩點的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為點是平面內的直線上的動點,所以可設點，由空間兩點之間的距離公式,得,令,當時,的最小值為,所以當時,的最小值為,即兩點的最短距離是,故選B.6．（多選題）（2020福建省高二期末）在正方體中，，分別是和的中點，則下列結論正確的是()A．平面 B．平面C． D．點與點到平面的距離相等【答案】AC【解析】對A,因為,分別是和的中點故,故平面成立.對B,建立如圖空間直角坐標系,設正方體邊長為2則，.故.故不互相垂直.又屬于平面.故平面不成立.對C,同B空間直角坐標系有,.故成立.對D,點與點到平面的距離相等則點與點中點在平面上.連接易得平面即平面.又點與點中點在上,故點不在平面上.故D不成立.故選AC二、填空題7．（2020浙江省高二期中）空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點坐標是______，______.【答案】；【解析】①空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點坐標橫坐標不變，縱坐標和豎坐標分別與的縱坐標和豎坐標互為相反數(shù)即；②利用空間直角坐標系中兩點距離公式即可求得.故答案為：①；②8.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點P到直線BD的距離為.

【答案】135【解析】如圖,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴點P到直線BDd=|PB|2-PB·BD|BD9.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD的距離為.

【答案】83【解析】如圖所示,建立空間直角坐標系Dxyz,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,則n·MN取z=1,則x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離.∵AB=(0,4,0),∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=|n10．（2020山東泰安一中高二月考）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，點B到平面AEF的距離為．【答案】【解析】∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，∴以A為原點，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，∵AB＝2，PA＝，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），E（），P（0，0，），D（0，2，0），設F（a，b，c），，則（a，b，c﹣）＝（0，2λ，﹣），解得a＝0，b＝2λ，c＝，∴＝（0，2λ，），＝（0，2，﹣），∵AF⊥PD，∴＝4λ﹣，解得λ＝，∴＝（），＝（），＝（0，，），設平面AEF的法向量＝（x，y，z），則，取y＝，得＝（0，），∴點B到平面AEF的距離為：d＝＝．三、解答題11.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中點,求PC與平面BED的距離,并說明直線PC上各點到平面BED的距離間的關系.【解析】以A為原點,AB所在直線為x軸,△ACD中CD邊上的高AF所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則F為CD的中點,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,23,0),C(2,23,0),D(-2,23,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設平面BED的一個法向量為n=(x,y,z),由BE=(-4,0,2),DE=(2,-23,2),得n·BE取z=2,則x=1,y=3,得n=(1,3,2).∵PC=(2,23,-4),∴n·PC=2+6-8=0,∴n⊥PC,故PC∥平面BED,∴PC到平面BED的距離就是點P到平面BED的距離.∵EP=(0,0,2),∴點P到平面BED的距離d=|EP即PC到平面BED的距離為2,且直線PC上各點到平面BED的距離都相等.12.（2019?全國高考新課標Ⅰ）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【解析】解法一：證明：（1）連結B1C，ME，∵M，E分別是BB1，BC的中點，∴ME∥B1C，又N為A1D的中點，∴ND＝A1D，由題設知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，∴四邊形MNDE是平行四邊形，MN∥ED，又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）過C作C1E的垂線，垂足為H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的長即為C到時平面C1DE的距離，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E＝，故CH＝，∴點C到平面C1DE的距離為．解法二：證明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0