2022-2023學(xué)年浙江省麗水市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省麗水市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i（l—2i）=（）

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

2.己知向量Z=（1,2）,b={cosd,sind^且向量Z與3平行，則的值為（）

A.B.-2C.|D.2

3.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4,乙的中靶概率為0.5,則兩人各射擊一次，

恰有一人中靶的概率是（）

A.0.2B,0.4C.0.5D.0.9

4.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)

分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變

的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

5.某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖（

如圖）和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯(cuò)誤的是（）

前200名學(xué)生分布的餅狀圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

A.成績(jī)前200名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績(jī)前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績(jī)前50名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績(jī)第51名到第100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

6.如圖，力、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓。上運(yùn)動(dòng)，且2C1BC,M

是圓。外一點(diǎn)，OM=2,貝!||以+麗+2覺|的最大值是（）

A.5

B.8

C.10

D.12

7.一個(gè)袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球,從中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)

球，則下列說法正確的是（）

A.“恰好摸到1個(gè)紅球”與“至少摸到1個(gè)白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸至個(gè)白球”是對(duì)立事件

C.“至少摸至個(gè)紅球”的概率大于“至少摸到1個(gè)白球”的概率

D.“恰好摸到2個(gè)紅球”與“恰好摸到2個(gè)白球”是相互獨(dú)立事件

8.將函數(shù)/（x）=sincox^co>0）的圖象向右平移六個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，點(diǎn)4,B,

C是y=/（?與y=g（x）圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若AYIBC是銳角三角形，則3的取值范

圍是（）

A.（0,^^兀）B.（0,^^兀）C.（^^兀，+8）D.+0°）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知復(fù)數(shù)2=（1+萬（￡1,66R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.|z|2-a2+b2B.z2-d2-+b2C.z-z-a2+b2D.|OZ|2=a2+Z?2

10.已知是異面直線，a,￡是不同的平面，m1a,nip,直線l滿足/1I1?i,

則下列關(guān)系不可能成立的是（）

A.a///?B.a10C.l//aD./1a

ii.已知由族是單位向量，則下列命題正確的是（）

A.若胃=（一字,t），貝！k=；

B.若2,3不共線，則位+石）,@一垃

C.若|五—修2，^，則乙狹角的最小值是:

D.若乙另的夾角是與，貝哈在石上的投影向量是浮五

12.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形4BCD所在平面互相E

垂直，BD=2,DE=1,點(diǎn)P是線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命

題中正確的是（

A.不存在點(diǎn)P,使得直線DP〃平面ACF

B.直線DP與BC所成角余弦值的取值范圍是［0,?］

C.直線DP與平面4CF所成角的取值范圍是［0,g

D.三棱錐4-CDE的外接球被平面4CF所截得的截面面積是等

O

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

13.若圓錐的母線長(zhǎng)為2,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是

^sina+2cosa

14.已知tana=2,

、sina—cosa

15.如圖，平面四邊形ABC。的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形A‘B'C'D',

A'D'=D'C'=1,那么原平面四邊形中的邊BC的長(zhǎng)是

16.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高4B,可以選取與塔底B在同一

水平面內(nèi)的兩個(gè)基點(diǎn)C和。進(jìn)行測(cè)量，現(xiàn)測(cè)得CD=28米，

/.CBD=30°,在點(diǎn)C和。測(cè)得塔頂4的仰角分別為45。,30°,

則塔高=米.

17.如圖，從正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)處截去4個(gè)相同的正四面體,

得到一個(gè)由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多面體.若該多面體的

表面積是14，與，則該多面體外接球的表面積是.

18.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為倜髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾

股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類

比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形

拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)同=AAB+fiAC，若而=5都，貝U-〃的值是

四、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題12.0分)

杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運(yùn)會(huì)的臨近，亞運(yùn)會(huì)的

熱度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和亞運(yùn)精神，某大學(xué)舉辦了亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽,

并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這100名學(xué)生中成績(jī)低于60分的人數(shù)；

(2)試估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；

(3)若采用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人參加志愿

者活動(dòng).現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人分享活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，求抽取的2人成績(jī)都在［80,100］的概率.

o22

O-o20

O-16

O..O

O..0110

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/0)=sin(x+看)+sin(x一勺+cosx+a的最大值為1.

(1)求常數(shù)a的值；

(2)求使/(%)24百-1成立的％的取值集合.

21.(本小題12.0分)

在直三棱柱4BC—41當(dāng)6中，D、E分另U是4的中點(diǎn)，DC11BD,AC=BC=l,AAr=2.

(1)求證：BC1平面2alec

(2)求點(diǎn)E到平面C/D的距離.

22.(本小題12.0分)

在44BC中，三個(gè)內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，AD=2DC，BD=2,且(a-c)sin(4+

F)=(a-b^sinA+sinB).

(1)求B；

(2)當(dāng)2a+c取最大值時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng).

23.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P—ABC。中，底面4BCD為直角梯形，AB//CD,/.BAD=90°,AB=2CD=4,

PA1CD,在銳角△PAD中，AD=PD=3，7,點(diǎn)E在PD上，PE=2ED.

(1)求證：PB〃平面4CE；

(2)若力C與平面PCD所成的角為30。，求二面角P-AC-E的正切值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：復(fù)數(shù)一2i)=i—2/=2+i,

故選：C.

應(yīng)用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)i(l-2i),可得結(jié)果.

本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：向量日=(1,2),b=Qcos0,sin9)＞且向量4與3平行，

則sin。=2cos6,

故tcm。==2.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：記甲中靶為事件4乙中靶為事件B,

則「(4)=0.4,P⑷=1-0,4=0.6,P(B)=0.5,P(B)=1-0.5=0.5-

甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，

則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為

P=P(4)-P(B)+P(B)-P(4)=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5-

故選：C.

根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.

本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案.

本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義以及計(jì)算方法,

屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：根據(jù)題意，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，

7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，最中間的一個(gè)數(shù)不變，即中位數(shù)不變，

故選：A.

5.【答案】D

【解析】解：由餅狀圖，成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200x(45%-30%)=30,

A正確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200x45%x：=

45<50,8正確；

成績(jī)前50名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51到100名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數(shù)

比高一少，D錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：連接2B,如下圖所示：

A

因?yàn)锳C1BC,貝MB為圓。的一條直徑，故。為AB的中點(diǎn),

所以，AM+MB=(MO+OA)+(MO+OB)=2MO,

所以，|涼+麗+2杭|=|2MO+2(MO+0C)|=\4MO+2OC\<4|M0|+2\0C\

=4x2+2xl=10,

當(dāng)且僅當(dāng)M、。、C共線且說、方同向時(shí)，等號(hào)成立，

因此，|拓1+麗+2標(biāo)|的最大值為10.

故選：C.

連接A8,可知。為AB的中點(diǎn)，計(jì)算得出|祈江+麗+2祝|=|4而+2元|，利用向量模的三角

不等式可求得|+通+2覺|的最大值.

本題主要考查兩向量和的模的最值，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：對(duì)于a選項(xiàng)，“恰好摸到1個(gè)紅球”為1紅1白，“至少摸到1個(gè)白球”包含：1紅1白、

2白，

所以“恰好摸到1個(gè)紅球”與“至少摸到1個(gè)白球”不是互斥事件，4錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，“恰好沒摸到紅球”為2白，“至多摸到1個(gè)白球”包含：2紅、1紅1白，

所以“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個(gè)白球”是對(duì)立事件，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，2個(gè)紅球分別記為a、b,2個(gè)白球分別記為4、B,

從2個(gè)紅球和2個(gè)白球中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，所有的基本事件有：ab、aA,aB、bA、bB、AB,

其中事件“至少摸到1個(gè)紅球”包含的基本事件有：ab、aA,aB、bA,bB,其概率為g,

事件“至少摸到1個(gè)白球”包含的基本事件有：a4、aB、bA,bB、AB,其概率為葭

所以“至少摸到1個(gè)紅球”的概率等于“至少摸到1個(gè)白球”的概率，C錯(cuò)；

對(duì)于。選項(xiàng)，記事件已恰好摸到2個(gè)紅球，事件尸：恰好摸到2個(gè)白球，

貝！|P(E)=P(F)=，P(EF)=0,貝!|P(EF)HP(E)-P(F),

所以“恰好摸到2個(gè)紅球”與“恰好摸到2個(gè)白球”不是相互獨(dú)立事件，。錯(cuò).

故選：B.

利用互斥事件的定義可判斷4選項(xiàng)；利用對(duì)立事件的定義可判斷8選項(xiàng)；利用古典概型的概率公式

可判斷C選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷D選項(xiàng).

本題主要考查了互斥事件、對(duì)立事件的定義，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解:依題意，g(x)=/(%—最)=sin[3(x-，)]=sin(3XW),函數(shù)y=y(X)，y=gQ)

周期r=空，

0)

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=/(%),y=g(%)的圖象，如圖，

4B,C為連續(xù)三交點(diǎn)，(不妨設(shè)B在無軸下方)，。為ZC的中點(diǎn)，

由對(duì)稱性知，△力BC是以4C為底邊的等腰三角形，2AD=AC=T=—,

0)

由s譏ax=sin(o)x—^),整理得=—sT^cossx,

Xsin2tox+COS26)X=1,解得s譏3%=+J，

于是點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)以，如有Xi——犯=即8。=21yBi=V_3>

要使為銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)今VMAC<今

4Z

BPtanzB^C=整=二^>1，解得3>

AD713

所以3的取值范圍是(W^7T,+00).

故選：C.

由條件，可得g(x)=sin(3久-金，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及已知條件列出

不等式求解即可.

本題主要考查函數(shù)y=4s譏(3乂+9)的圖象變換，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于3的不等式，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)閦=a+bi(a,b6R),

故|z|=|應(yīng)|=Ka2+爐,故|被『=+爐，團(tuán)2=a?+爐

而z?z=(a+次)(a—bi)=a2+b29故ACD正確.

取a=1,b=1,故z=1+3則z?=23a2+b2=2,z2a2+h2,故B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

根據(jù)模的計(jì)算公式和復(fù)數(shù)的乘法可判斷4CD的正誤，取特例根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算后可判斷B的正

誤.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：若aj甲，mla可得ml0,又nl0,可得與m,九是異面直線矛盾，故A

不可能成立；

若al￡,m1a,nip,則m,n可能異面或相交，故5可能成立；

當(dāng)m1a,nip,直線I滿足/1m,I1n,

當(dāng)直線與兩個(gè)平面的交線平行且在平面外時(shí)，滿足〃/a,如圖，

故C可能成立；

當(dāng)11a時(shí)，由mla知m〃/,這與Zlzn矛盾，故。不可能成立.

故選：AD.

根據(jù)面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷力，由題目所給條件及兩平面垂直的性質(zhì)判斷B,根

據(jù)特殊情況判斷C，由線面垂直的性質(zhì)判斷以

本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4因?yàn)橄蛄咳帐菃挝幌蛄?

1

22+

+t-1---

所以|五|=(-?)w-t2

對(duì)于選項(xiàng)8,0+母.(有一3)=f-方=1-1=0)所以(五+3)1(2-3)，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,\a—b\=J(a—b)2=Ja2—2a-b+b2=J2—2cos(a,b)>

得cos位，無貝圾3〉6隹用，所以乙狹角的最小值是看故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,3在2上的投影向量是I旬cos位花刀=-等自故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)向量房3是單位向量，結(jié)合向量模，數(shù)量積和投影向量公式，即可判斷選項(xiàng).

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：取EF中點(diǎn)G,連DG,令A(yù)CCBD=。，連F。，如圖,

在正方形ABCD中，。為8。中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則。O〃GF且D。=GF,

即四邊形DGF。是平行四邊形，即有DG〃FO,而F。u平面ACF,

DG，平面2CF,于是得DG〃平面4CF,

當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線DP〃平面4CF,故A錯(cuò)誤；

因平面BDEF1平面ABCD,平面BDEFC平面力BCD=BD,

ED1BD,EDu平面BDEF,所以ED1平面ABC。，

因?yàn)锽F〃ED,所以BF1平面ABCD,

因?yàn)锳D,AB,BC,80u平面ABC。，

所以EDIAD,ED1BD,BF1AB,BF1BC,因?yàn)锽O=2,DE=1,

所以AD=C，EA=C，DF=AT5>AF=CF=C，

5LBC//AD,所以直線DP與BC所成角為乙4DP（或其補(bǔ)角），

因?yàn)?。?麗=刀?（礪+EP）=DA■（DE+AEF）=WA-~DB=2V_22cos45o=22.（0<A<1）>

而|加『=（癥+兀前）2=i+4萬，\DA\^V~2-所以I麗I=71+4萬,

._DA-DP2Ac

當(dāng)"=°時(shí),59=n兩而=工3=°,

5nDA^DP242,2<T0

當(dāng)。c時(shí)，===

綜上，0wC0S4WPW?故8正確；

設(shè)。到平面4CF的距離為d,因?yàn)?F=FC=/后，AC=BD=2,

所以SMFC—1^4C-OF=|x2xA/-^=V-2>

又SAABC—,BC=xA/-2xy]-2=1,

由等體積法，VB-AFC=^F-ABC—3d.ShAFC=§FB.SAABC,

即。d=i,解得d=號(hào)，設(shè)直線DP與平面acf所成角為e,

當(dāng)P與G重合時(shí)，直線DP〃平面ACF,直線DP與平面力CF所成角8=0,

當(dāng)P點(diǎn)由G向E,尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，。變大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，

因?yàn)镈E〃8F,所以s譏8=旦=孕，由owe知，e=l，

Dr2Z一

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，sin。=M綜上知，8€[。,勺，故C正確；

DF2V51024

22

在△江/中，4F=CF=VBC+BF=C，顯然有尸。1AC,^n/FAr_絲_J/+/_

smW-Q-一赤一-73

由正弦定理得A/ICF外接圓直徑2R=—霽萬=*，R二條,

smZ.FACV22V2

以。力，DC,DE為長(zhǎng)寬高作長(zhǎng)方體，如圖，

則三棱錐力-CDE的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，

三棱錐力-CDE的外接球被平面2CF所截得的截面是AACF的外接圓，其面積為兀夫2=等，故。

正確.

故選：BCD.

當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷4利用向量法求出異面直線夾角的余弦的范圍判斷8,利用線面角的

定義轉(zhuǎn)化為正弦值計(jì)算判斷C,求出△力CF外接圓面積判斷D.

本題考查異面直線所成的角，線面所成的角，外接球問題，屬于中檔題.

13.【答案】?兀

【解析】解：因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為2,軸截面是等腰直角三角形，

故圓錐的高為C且底面半徑為

故體積為,X兀X（。）2X=拶兀.

故答案為：殍兀.

根據(jù)軸截面可求圓錐的高和底面半徑，故可求圓錐的體積.

本題主要考查圓錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

tana+22+2/

【解析】解—0=2,則需鬻----=4,

tana—12-1

故答案為：4.

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】V-6

【解析】解:在等腰梯形4‘B'C'D'中,AD'A'B'=45°,A'D'=D'C=1,

則AB'=2-A'D'cosAD'A'B'+D'C=C+1,

由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，四邊形ABCD的頂點(diǎn)2與原點(diǎn)。重合，

點(diǎn)B,D分別在x軸、y軸上，DC//AB,且4。=22'。'=2,DC=D'C'=1,2B=4B'=2+1,

如圖，

顯然四邊形4BCD為直角梯形，于是得BC=VAD2+（AB-DC}2=V-6.

故答案為：V6.

根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測(cè)畫法規(guī)則還原平面四邊形48CD,再計(jì)算邊長(zhǎng)作答.

本題主要考查平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】28

【解析】解：設(shè)4B=八米，

在AABC中，BC=h,

tan4b

在△48。中，BD=-^=Ch,

tan30

在ABCD中，CD2?CB2+DB2-2CB-DB-cos30°,

即282=層+（2八）2一2h-O/i-?，

所以F=282,

解得八=28（米）.

故答案為：28.

設(shè)力B=h米，進(jìn)而可得BC,BD,然后利用余弦定理求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】Un

【解析】解：由題意可得多面體的棱長(zhǎng)為原正四面體棱長(zhǎng)的主設(shè)原正四面體的棱長(zhǎng)為a,

則其表面積為4x厚xa2=Ca2,由圖易知該多面體與原正四面體相比較，

表面積少了8個(gè)邊長(zhǎng)為"a的正三角形的面積，

所以該多面體的表面積為Ca2—8x厚x《a）2=修貯=所以口=34.

4、39

如圖，01是下底面正六邊形ABCDEF的中心，。2是上底面正三角形MNG的中心,

由正四面體的對(duì)稱性可知截角四面體的外接球的球心。在原正四面體的高P。1上，

0?G=<7xyx|=?，0。=|「。1=|J(3q)2_(3「x?x|)2=宇

設(shè)球。的半徑為R,在RtA。。遇中，。氏=0142+。0卜所以R2=2+。。3

22

在RtA。。2G中，0G=00l+02G,所以R2=5G2+(殍一。。力2=|+(殍—。。力2,

所以。。/+2=|+(巧三一。。1)2,解得。。1=?，所以R=J。。/+2=子，

所以該多面體外接球的表面積S=4兀7?2=117r.

故答案為：117r.

求出原正四面體外接球的半徑，從而可求出多面體外接球的球心到底面的距離，求出多面面體的

棱長(zhǎng)，即可求出其外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.

本題主要考查球的表面積的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】~

【解析】解：?.?而=5AF，

不妨設(shè)OF=4AF=4,

BD=AF=1,AD=5,

由題意得N2DB=120°,

???AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB=25+l-2x5xlx

1

（一分=31，

???AB=AOT.

延長(zhǎng)4D交BC于M,

Hz-AMB-a,/-DAB-6,

222

則cos。=AD+AB-BD

2AD-AB

25+31-1_11<31

2x5x731-62

?

???sin6n=—V—-93

62

又由題意易知NDBM=ADAB,

則a=120°-。，

在三角形DBM中,

DMBD

由正弦定理得BM

sin乙MDBsin乙DBMsmZ-DMB1

BM_DM_1

即pnsin60°=sind=sin(1200-6)'

sind

DM=

sin(12O°-6>)

sinO_1

^■cosG^sinO6

nn/sin60°

BM

=Sin(12O°-0)

V3i—

_____HZ_____=73I=LBC,

^-cosG+^sinO66

31

AM=AD+DM=?

6

30

AD=扣時(shí),

JM=y~BC,

o

即俞一屈="函-甌),

整理得前=IAB+IAC,

o6

所以而=叫前=算焉話+/)

=|>+

又???而=4荏+〃宿

255

則2=五，"=31

C20

=我

故答案為：骨.

先設(shè)DF=4AF=4,根據(jù)題意可知N4DB=120°,求出4B=d，延長(zhǎng)力。交BC于M,求出BM,

DM的長(zhǎng)，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果.

本題考查平面向量的基本定理，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：(0.002+0.016)x10x100=1800

(2)成績(jī)小于80的頻率為10X(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.7,成績(jī)?cè)冢?0,90)的頻率為

10x0.020=0.2,因?yàn)?.7<0.75<0.9,

所以這100名學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，

所以隨機(jī)抽取的100名學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)為80+10X第耳=82.5.

(3)因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的學(xué)生人數(shù)所占比例為3：2：1,

所以從成績(jī)?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1人.

記抽取成績(jī)?cè)冢?0,80)的3人為a,b,c,成績(jī)?cè)冢?0,100］為。，E,F.

從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為：(a,6),(a,c),(a,。)，(a,E),(a,F),(瓦c),(b,D),(6,E),

(瓦尸),(c,D),(c,E),(c,F)(D,E),(D,F),(E,F),共15種,

抽取的2人成績(jī)都在［80,100］的是(O,E),(O,F),(E,F),共3種，

抽取的2人成績(jī)都在［80,100］的概率為得=

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可得解；

(2)由百分位數(shù)的定義直接計(jì)算即可；

(3)根據(jù)分層抽樣，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.

本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)/(久)=sin(x+*+sin(x-$+cosx+a

,口

=—Csi.nxJ+-cosx+—sinx--1cosx+cosx+a

=yf^sinx+cosx+a

=2sin(x+*)+a,

由于函數(shù)的最大值是1,所以2+a=l,

即a=-1.

(2)由/(%)=2s譏(％+*-1>V-3-l,

所以sin(%+^)>?，

oZ

鼻+2k.iT4%+g<§+2k.iT,k￡Z,

363

解得g+2/CTT4%Wg+2/CTT,kEZ

6Zf

%的取值集合為{久|+2/CTT<%<2kmkeZ}.

【解析】(1)對(duì)/(%)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，然后根據(jù)最大值得到。的值；

(2)根據(jù)⑴將不等式轉(zhuǎn)化為sin(%+g)，從而解得解集.

本題主要考查三角函數(shù)的最值，三角恒等變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】(1)證明：連接CD,

因?yàn)?c=1,44i=2,。是的中點(diǎn)，

所以CD=。，JD=C，貝帖。2+。］。2=cc/,

所以CDIRD,又DQ1BD,DCHBD=D,DC,BDu平面BCD,

所以DC11平面BCD,

又BCu平面BCD,所以DC11BC,

又"i1平面ABC,BCu平面力BC,所以CG1BC,

CCtCiDCr=G，CC「DQU平面2Ale1C,所以BC_L平面a&QC；

(2)解:如圖,

由BC_L平面4216。，ACu平面A41GC,BC1AC,

XCQ1AC,CQCiBC=C,CCVBCu平面BBiGC,

所以AC1平面BBiGC,

因?yàn)?C=BC=1,所以AB=。，則BD=C，BC[=7F+22=門,

所以+DC/=BC/,所以BD_LDG，

設(shè)點(diǎn)E到平面QBD的距離為h,

'''/-CiBD=%-BQE，

11

,h=3*AC，

即/ixgx<7x<^=lx2><2x2xL解得％=?,

所以點(diǎn)E到平面CiBD的距離為率.

【解析】(1)連接CD,即可得至UCD1G。，從而得到￡>G1平面BCD,則DC】1BC,再由直棱柱

的性質(zhì)得到CQ1BC,即可得證；

(2)設(shè)點(diǎn)E到平面C/D的距離為無，根據(jù)/-QB。=%-BQE，利用等體積法計(jì)算可得.

本題主要考查線面垂直的判定，點(diǎn)到平面距離的求法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

22.【答案】解：(1)因?yàn)?+B+C=Tt,所以(a—c)sin(X+B)=(a+c)sinC=(a-b^sinA+

sinB),

由正弦定理可得(a+c)c=(a-6)(a+b),整理得到：a2+c2-b2=ac,

所以cosB=a2+c?一廬=L而Be(0,7T),故B=?

2ac20

(2)因?yàn)槎?2尻，故前一瓦？=2(阮一麗)，

故前=力源+|近，所以說之=4=之+[近2西.前，

222

故36=c+4a2+Saccos=c+4a+2acf

2

整理得到(2a+c)2=36+2ac<36+,

故2a+cW4，飛，