2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.如果a<6<0,那么下列式子中一定成立的是（）

A”>abBl/C,^<1D.i<i

2.歐拉公式e?e=cosd+isinB（其中e是自然對數(shù)的底數(shù),i為虛數(shù)單位）是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函

數(shù)論里占有非常重要的地位.當(dāng)8=兀時，恒等式〃兀+1=0更是被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造

的公式”.根據(jù)上述材料判斷e-i華表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在平行四邊形4BCD中，BE=^BC,衣=/屈.若荏=根罰+n荏，則m+n=（）

AB

44c.ID.|

4.在△ABC中，AB-AC=9,sinB=cosAsinC,S^ABC=6,P為線段AB上的動點(diǎn)，且加=x.

蒜+y,簫則鴻最小值為（）

A?"容B《+?C.（DV

二、填空題（本大題共12小題，共53.0分）

5.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，-4的所有平方根為.

6.若塞函數(shù)/（%）=（m2—5m+1）%血+1為奇函數(shù)，則該函數(shù)的表達(dá)式/（%）=.

7.無論a為何值，函數(shù)y=a%-3+l（a>0,a。1）的圖像恒經(jīng)過一個定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為

8.若log?2=m,則log296=（用含租的式子表示）.

9.若向量五、后滿足〈乙另）=60。，\a\=|K|=3，則|有一2另|=.

10.己知集合A={x|言>0},集合B={x||x—a|<2},若力U8,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

11.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，銳角6的大小如圖所示，貝！Rem。=/

K

12.已知關(guān)于％的一元二次方程%2+2/c%+Ze?一2k+3=0有兩個虛根%1、冷，且好+避=

10,則實(shí)數(shù)k的值為

13.函數(shù)/(%)=sin?1+0)(3>0,|wl<今的部分圖像

如圖所示，則/(當(dāng)=______.

4

14.如圖，為計(jì)算湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C之間的距離，在岸上選取力和。兩斗一(，

點(diǎn)，現(xiàn)測得A8=5km,AD=7km,/-ABD=60°,zCBD=23°,/.BCD=/

117°,據(jù)以上條件可求得兩景點(diǎn)B與C之間的距離為km(精確到/

AB

O.lkni).

15.己知4(0,2),點(diǎn)P(sin(2”?cos(2t—燈是平面上一個動點(diǎn)，則當(dāng)t由0連續(xù)變到軻，

線段力P掃過的面積是.

16.已知函數(shù)/'(%)=出久|—|cosx|,有以下命題：

①函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀；

②函數(shù)y=/(x)在［一,芻上為增函數(shù)；

③直線x=］是函數(shù)y=f(x)圖像的一條對稱軸；

④函數(shù)y=/(x)-1在［0,用上有三個零點(diǎn)；

⑤函數(shù)y=/(x)的最小值為-1.

請寫出正確命題的全部序號.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知向量五=(1,2),b=(3,1).

(1)求位，為；

(2)若向量3=(1,2),則當(dāng)2為何實(shí)數(shù)時，己〃(2五+3)?平行時它們是同向還是反向？

18.(本小題12.0分)

流行性感冒簡稱流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快

的疾病.了解引起流感的某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對于預(yù)防流感的傳播有極其

重要的意義，某科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定是某種細(xì)菌進(jìn)行研究.經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面

積為48小機(jī)2,經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為64小62,后期其蔓延速度越來越快；菌落的覆蓋面積y(單

位：nun?)與經(jīng)過時間了(單位：m譏)的關(guān)系現(xiàn)有三個函數(shù)模型：(1)y-kax(k>0,a>1),

@y=logbx(/>>1),③丫=p//+q(p>0)可供選擇.(參考數(shù)據(jù)：⑷2=0.301,lg3?

0.477)

(1)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，說明理由，并求出該模型的解析式；

(2)在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300nmi2?(結(jié)果保留

到整數(shù))

19.(本小題12.0分)

已知復(fù)平面上有點(diǎn)4、B,向量成與向量屈對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為l+2i和4T.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)4對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4,復(fù)數(shù)Z2滿足|Z2|=2門，Imz2>0,且為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z2.

20.(本小題12.0分)

已知向量記=(sinx,3cosx),n=(sinx+21^cosx,cosx)，令函數(shù)f(x)=m-n.

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式及其單調(diào)增區(qū)間；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移t(t>0)個單位得到函數(shù)y=。(久)的圖像，且滿足g(-x)=

g(x),當(dāng)t最小時,存在實(shí)數(shù)X1、%2使得/'(Xl)L9(久2)=4,求出-久21的最小值.

21.(本小題12.0分)

在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余

弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：sinh{x)=eX-e雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=七，二(e是自然

對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-).

(1)計(jì)算cosh(2)-2cos%2(i)的值；

(2)類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：cosh(x+y)=,并加以證明；

(3)若對任意te[0,Zn2],關(guān)于x的方程s譏h(t)+cosh(x)=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：對于4a<力<0,.,?小>故A正確；

對于8,a<b<0,.<.a—h<0,a+b<0,

??.a2—b2=(a+b)(a—b)>0,即小〉/,故呂錯誤；

對于C,a<力<0,，2>1，故。錯誤；

對于。，va<b<0,ah>0,b—a>0,

=^-77>0,即工>:，故。錯誤.

ababab

故選：A.

利用不等式的性質(zhì)可判斷AC,利用作差法可判斷8，

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：歐拉公式e訪=cosO+isind,

12023..2023,7r...zr,.,江、

63=-----2023------------2023=COS~~-7T-LSlYi~~—7T—COS(674TT+—15171(^67471+~J

cos他2兀+is沆笠3333

=COsg—isi7^=：-Wi.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(1—?)在第四象限.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算法則，化簡求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)的指數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的判斷，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

1111

而

+-而+

【解析】解：由題意可得通=AE+EB=AE2-2-3-

15

*荏

2-

2-6-

所以zn=5，九=2,

Zo

4

所以TH+?!=§,

故選：D.

利用平面向量的四則運(yùn)算求及平面向量基本定理出小，n即可.

本題主要考查了向量的線性表示及平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，設(shè)4B=c,BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(4+C)=cosAsinC,

^sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,sinAcosC=0,

7T

???0<AV7T,???sinA>0,cosC=0,v0<C<7r,C=-,

AB?~AC-9,WflcbcosA=9,又S>ABC=^bcsinA-6,??.tanA==2=￡

2bcco嗎sA3b

-1P=1

S^ABC=-ab—6,貝=12,所以，lb3,

'Vab=12

解得｛:二,c=Va2+h2=5.

以AC所在的直線為%軸，以BC所在的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

產(chǎn)為線段48上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)；I使得而=XAB=2(-34)=(-32,4/1)(0<A<1)，

ACP=Cl+XAB=(3-3A,4A),

設(shè)同=曷'/=篙則同|=聞=1，

**,el=(1/0)?e2=

,#=x>篙+'湍="二+'孩=?辦

二二"，消去4得4x+3y=12,W+"=l,

所以，；+：=C+jG+*=金+卷++￡

當(dāng)且僅當(dāng)久=?y時，等號成立，

因此，；+3的最小值為5+?.

xy123

故選：B.

在AABC中，設(shè)力B=c,BC=a,AC=b,結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及和角的正弦公式化簡可求

cosC=0,可得C=],再由已知條件求得a=4,6=3,c=5,考慮建立以AC所在的直線為%軸,

以8C所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得4x+3y=12,

然后利用基本不等式可求得;+；的最小值.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于中檔題.

5.【答案】±2i

【解析】解：一4=4t2,

則-4的所有平方根為±2i.

故答案為：±2i.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】x

【解析】解：由募函數(shù)的定義可得，m2-5m+l=1,

解得ni=0或5,

當(dāng)?n=0時，f(x)=x,為奇函數(shù)，符合題意，

當(dāng)m=5時，/(x)=”為偶函數(shù)，不符合題意，

所以/'(x)=%.

故答案為：%.

由哥函數(shù)的定義可得爪2-5m+l=1,求出小的值，再利用/(%)為奇函數(shù)進(jìn)行排除即可.

本題主要考查了幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】(3,2)

【解析】解：函數(shù)y=a*—+i(a>0,aK1),

令x—3=0,得x=3,此時丫=口。+1=2,

二函數(shù)y=謨-3+i(a>0,a41)的圖像恒經(jīng)過定點(diǎn)(3,2).

故答案為：(3,2).

令X—3=0,結(jié)合a°=1即可求出結(jié)果.

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】5+-

m

-1

【解析】解：由log?2=a,則k)g296=log2(32x3)=log232+log23=5+log32=5+—.

故答案為:5+Z

m

直接根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】

【解析】解：已知向量五、至滿足〈五花)=60。，|五|=|后|=3，

則方?b=|a||K|cos<a,b>=3x3x|=

貝”五一2石|=Ja2-4a-b+4b2=J9-4x|+4x9=3c-

故答案為：3c.

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】[—1,1]

【解析】解：由芒|>0可得(％+1)(%-1)V0,解得一故A={%[-1<%<1},

由<2可得一2<%—a<2,即a—2<x<a+2,故B={x\a-2<x<a+2},

若A=則有即一iWaWL

la+2>1

實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,1].

故答案為：[—1,1].

用分式不等式的解法解出集合4,絕對值不等式的解法解出集合B,再根據(jù)集合的包含關(guān)系的定義,

找到端點(diǎn)關(guān)系，從而解出參數(shù)a.

本題考查了分式不等式，絕對值不等式的解法以及集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬簡單題.

n.【答案】|

【解析】解：由已知有tan(8+》=蜉吟=p

4，l—tan3tan-4r1

即署露=5,解得tan”今

1—tany3

故答案為：|.

根據(jù)三角函數(shù)定義可得tan(8+5=5,由此可得1加仇

本題考查三角函數(shù)定義，兩角和差公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】-4

【解析】解：因?yàn)橛诰玫囊辉畏匠?+2"+1-2k+3=0有兩個虛根%1、%2,

3

所以4=(2fc)2-4(/c2-2/c+3)=4(2fc-3)<0,2-

2

由韋達(dá)定理可得%i+x2=—2k,=fc—2/c+3,

=22

所以后+%2(%i+%2)2—2%I%2=4k2—2(fc—2fc+3)=2(k+2fc-3)=10,

所以在2+2k-3=5,fc2+2/c-8=0,解得k=-4或k=2,

又因?yàn)閗<|,所以k=—4.

故答案為：-4.

根據(jù)4<0可得k<I，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

本題考查了一元二次方程的求解、韋達(dá)定理，屬于中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：由已知，r=G)X4=7

又T=—,ci)=2,則/'(x)=sin(2x+(p),

60

圖象過點(diǎn)?,i),對應(yīng)五點(diǎn)法中的第二點(diǎn)，

則有2x2+0???(P=-

DZO

W(X)=sin(2x-5=sin(y-1)=sin(^-1)=cos1

故答案為：?.

根據(jù)圖象上的點(diǎn)確定解析式，再求函數(shù)值即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5.8

【解析】解：由題意得在AABO中，AB=5km,AD=7km,^ABD=60°,

2

由余弦定理得=AB2+BD-2-AB-BD-COS600,

即49=25+-2x5xBDx點(diǎn)

解得BD=8或BD=-3（不合題意，舍去），

在ABC。中，乙CBD=23°,ABCD=117°,

上CDB=40°,

利用正弦定理BD_BC即BC=g震=5.8.

sinl17°—sin400,sinll"

故答案為：5.8.

首先利用余弦定理的應(yīng)用求出BD的長，進(jìn)一步利用三角形內(nèi)角和定理和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的值，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】cy

【解析】解：由sin2(2tY)+cos2(2t*)=1可知,

點(diǎn)P在圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓上.

如圖，當(dāng)t=o時，P(—?W)'此時，NPoa=60°，

又。P=1,0A=2,PA10P.

t=軻，點(diǎn)P運(yùn)動到Q(yW),同理可得力Q10Q,

故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)Q時，線段4P掃過的面積S=S”O(jiān)Q-

c

。扇形POQ，

又

SAPOQ=2xx1xV_3=y/~39

由NPOQ=120。可得S扇衿。Q=彳x兀x12.

故線段AP掃過的面積為，石-泉

故答案為：-熱

首先找出點(diǎn)P的軌跡，然后利用圖形找到線段4P掃過的圖形，解答時注意切線位置是關(guān)鍵.

本題在幾何背景下考查了三角函數(shù)的定義，求值，扇形面積等知識，屬簡單題.

16.【答案】①③⑤

【解析】解：當(dāng)xe[2/OT,2k?r+》keZ時，/(x)=V-3|sinx|—\cosx\—yj~3sinx—cosx—

2sin(x—

當(dāng)％E[2/CTT+，2/C7T+TT),keZ時，f(x)=y/~^\sinx\—\cosx\=V_3smx+cosx=2sin(x+，

當(dāng)％e[2/CTT+TC,2kn+-TT),/cGZ時，/(%)=V3|sinx|—\cosx\=—\3sinx+cosx——2sin{x—

6人

3____

當(dāng)汽E[2/CTT+27T,2/CTT+2兀)，keZ時，/(%)=y/~^\sinx\—\cosx\=-V-3sinx—cosx=

—2sin(x+\)；

r2sm(x-3xG[2kn,2kn+：)

2sin(x+￡),無€[2/CTT+2/CTT+TT)

所以/(%)={兀3兀，kEZ,

—2sin(x—-),xG[2/CTT+TI,2/CTT+—)

-2sin(x+^),xG[2/CTT+^-,2kn+2TT)

作出f(%)的圖象，如圖所示:

由此可得y=/(x)的最小正周期為兀，故①正確；

y=/(x)在［-為］上不為增函數(shù)，故②錯誤；

直線％=5是函數(shù)y=/(久)圖像的一條對稱軸，故③正確；

y=f(x)與y=1在［0,兀］上有2個交點(diǎn)，即函數(shù)y=f(%)-1在［0,兀］上有2個零點(diǎn)，故④錯誤；

函數(shù)y=/(X)的最小值為一1,故⑤正確.

所以說法正確的有：①③⑤.

故答案為：①③⑤.

討論％的范圍，去絕對值可得/(%)的解析式，作出/(尤)的圖象，結(jié)合圖象逐一判斷即可.

本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)3=(1,2),b=(3,1)>

則N?B=3+2=5，|a|=7-5,\b\=

故c°s<2,3>=部=7^^=苧，

(a,b)e［0,TT］，

(a,b)=熱

(2)2a+b=(2,4)+(3,1)=(5,5)，

c=(1,2),c//(2a+b)，

則54=5,解得2=1,

它們?yōu)橥蚬簿€.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量的夾角公式，以及向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)閥=kax(k>0,a>1)的增長速度越來越快,

y=logbx(fo>1)和y=pC+q(p>0)的增長速度越來越慢，

所以應(yīng)選函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1).

由題意得｛卷;：普，解得卜=2,

Ka—64Ik=27

所以該函數(shù)模型為y=27x(尸0>0)；

(2)由題意得27x6尸>300,即《尸>早,

所以久〉log^-,

39

1100

Pl1001。歹2-2功32-2x0.477

XZo54—=—i-?8.368,

3,%21g2—lg32x0.301-0.477

所以至少經(jīng)過97n譏培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300nwi2.

【解析】(1)根據(jù)題意，分析三個函數(shù)模型的增長速度快慢，選擇y=并求出解析式;

(2)根據(jù)題意，27x(g)x>300,求出久的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.

本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴訕=(1,2),AB=(4,-1),

OB=AB-XO=(4,-1)+(1,2)=(5,1)，

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,1)；

(2區(qū)=1+2Kz2=a+bi(b>0),

則Z1Z2=(1+2i)(a+bi)=Q-2b+(a+2b)i為純虛數(shù)，即｛:_|_26即。=如，

\z2\=2V-

???M+62=20,即b=2,a=4,

故Z2=4+2i.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)/(%)=sinx(sinx+2A/-3cosx)+3cos2x=sin2%+21^sinxcosx+3cos2x=

1+V_3sm2x+3Q+："2")=y/~^i2x+cos2x+2=2+2sin(2x+g),

22sn6

由由2/CTT—<2%+^<2kn+號，kGZ,得2/CTT—<2%〈2kn+fkEZ,得E—<x<kir+

乙。乙33J

7o，kEZ,

即f(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為Mg,/OT+Jkez.

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖像向右平移t(t>0)個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖像，

g(x)—2+2sin[2(x—t)+g=2+2sin(2x—2t+^),

:滿足g(-x)=g(x),二g(x)是偶函數(shù)，則一2t+*=/OT+5,kez,

即t=_"

L6

,:t>0,?,?當(dāng)A=—1時，t最小,此時t=,一〈=],此時g(%)=2