高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)各章要點(diǎn)掃描（7個方面）

高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)各章要點(diǎn)掃描(7個方面)

函數(shù)

1函.數(shù)的定義

(1)映射的定義:

(2)一一映射的定義:

上面中是映射的是，是一一映射的是

(3)函數(shù)的定義：(課本第一冊上.P51)

2.函數(shù)的性質(zhì)

(1)定義域：(南師大P32復(fù)習(xí)目標(biāo))

(2)值域：

(3)奇偶性(在整個定義域內(nèi)考慮)

①定義：

②判斷方法：I.定義法步驟：a.求出定義域；

b.判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；

c.求/(—x)；

&比較/(—X)句(X)或/(—X)與一/(X)

的關(guān)系。

n圖象法

③已知：H(x)=/(x)g(x)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)“(X)為偶函數(shù)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)〃(X)為奇函數(shù)

④常用的結(jié)論：若/(X)是奇函數(shù)，且Ow定義域，則

/(0)=0^(-1)=-/(1)；

若/(x)是偶函數(shù)，則=/⑴；反之不然。

(4)單調(diào)性(在定義域的某一個子集內(nèi)考慮)

①定義：

②證明函數(shù)單調(diào)性的方法：

I.定義法步驟：

a.設(shè)占,彳264且X］<x2;

b.作差/(西)一/。2)；

(一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負(fù)號能清

楚地判斷出)

C.判斷正負(fù)號。

II用導(dǎo)數(shù)證明：若“X)在某個區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，

則/'(x)N0,(xeN)o/(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；

/(%)<0,(xe/)o/(x)在A內(nèi)為減函數(shù)。

③求單調(diào)區(qū)間的方法：

a.定義法：

b.導(dǎo)數(shù)法：

c.圖象法：

d.復(fù)合函數(shù)歹=/［或刈在公共定義域上的單調(diào)性：

若f與g的單調(diào)性相同，則/國⑴］為增函數(shù)；

若f與g的單調(diào)性相反，則./［g(x)］為減函數(shù)。

注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。

④一些有用的結(jié)論：

a.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

b.偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

c.在公共定義域內(nèi)

增函數(shù)/(X)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(X)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

增函數(shù)/(X)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(X)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

d.函數(shù)y=ax+—(a>0,6>0)在(一叫一愧［，石,+℃>)上單調(diào)遞增；在

［-加石,0貨(0,&加］上是單調(diào)遞減。

(5)函數(shù)的周期性

定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x,使/(x+T)=/(x)恒

成立

則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。

例：(1)若函數(shù)/(x)在R上是奇函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù)，且

/(x+2)=-/W

則①/(%)關(guān)于對稱；②/(x)的周期為；

③/(x)在(1,2)是函數(shù)(增、減)；

④若xw(0,D時，/(x)=2\則/(log1,8)=o

2

(2)設(shè)/(x)是定義在(-8,+8)上，以2為周期的周期函數(shù)，且/(x)為

偶函數(shù)，在區(qū)間［2,3］±,〃x)=-2(x-3)2+4,則

x€［0,2］時，/(%)=o

3、函數(shù)的圖象

1、基本函數(shù)的圖象：(1)一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、

(4)指數(shù)函數(shù)、(5)對數(shù)函數(shù)、(6)三角函數(shù)。

2、圖象的變換

(1)平移變換

①函數(shù)卜=/0+。),(。>0)的圖象是把函數(shù)卜=/(x)的圖象沿x軸向左

平移a個單位得到的；

②函數(shù)7=./'(》+。),(4<0)的圖象是把函數(shù)少=/(X)的圖象沿X軸向右

平移同個單位得到的；

③函數(shù)y=/(x)+a,(a>0)的圖象是把函數(shù)N=/(X)的圖象沿N軸向上

平移a個單位得到的;

④函數(shù)y=/(x)+a,(a<0)的圖象是把函數(shù)歹=/(x)的圖象沿歹軸向下

平移同個單位得到的。

(2)對稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)夕=-./(X)的圖象關(guān)于直線y=0對稱；

函數(shù)N=/(x)與函數(shù)夕=-/'(-X)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；

②如果函數(shù)N=/(X)對于——切Xe火,都有/(x+a)=/(x-a),那么

y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=a對稱。

③函數(shù)夕=/(a+x)與函數(shù)y=/(。-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。

④歹=/(x)-N=|/(x)|

⑤y=/(x)->y=/(|x|)

⑥歹=./T(X)與y=/(X)關(guān)于直線歹=X對稱。

(3)伸縮變換

①歹=af(x\(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸

長(a>1)或縮短(0<?<1)到原來的。倍。

②y=/(分),(“>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

伸長(0<?<1)或縮短(a>1)到原來的-倍。

a

例：(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(1,1),則/(4-X)的反函數(shù)

的圖象過點(diǎn)_______。

(2)由函數(shù)夕=(；『的圖象，通過怎樣的變換得到y(tǒng)=log；的圖象？

4、函數(shù)的反函數(shù)

1、求反函數(shù)的步驟：

①求原函數(shù)y=/(x),(xeZ)的值域B

②把夕=/(x)看作方程，解出x=(p3)；

③x,y互換的.=/(x)的反函數(shù)為歹=廣?),

2、函數(shù)與反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：廣(a)=Z>o./?)=。

3、原函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-h0上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，

且反函數(shù)y=/i(x)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)

不一定單調(diào)。

例1：y=3k)g；r),(x20)的反函數(shù)為o

2：已知/(x)=x2+2x+3,(x20),求y=/(2x—l)的反函數(shù)。

3：設(shè)/(x)=9'-2-3',貝曠九0)=。

4：四十五分鐘能力訓(xùn)練題十(13題)。

5、函數(shù)、方程與不等式

1、“實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為

“△=/一4"20"，你是否注意到必須aW0；當(dāng)a=0時，“方程有解”

不能轉(zhuǎn)化為AM/-dacNO。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或

不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？

2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布。

設(shè)Xi，》2為方程/(x)=0,(。＞0)的兩個實(shí)根。

則<=>0；

①若X]<tn,x2>m,f(m)<

②當(dāng)在區(qū)間(見〃)內(nèi)有且只有一個實(shí)根，時,

o1(2)考慮端點(diǎn)，驗證端點(diǎn)。

③當(dāng)在區(qū)間(〃?,〃)內(nèi)有且只有兩個實(shí)根時,

A>0

b

m<-----<n

<=><2a

/(⑼>0

/(?)>0

④若m<xx<n<p<x2時

7(⑼?/(〃)<o

/(P)?/⑷<o

注意：①根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。

②注意端點(diǎn)，驗證端點(diǎn)。

例：1、對于定義在R上的函數(shù)/(》)=與2,若其所以的函數(shù)值都不

X+1

超過1,則m的取值范圍?

2、已知函數(shù)^=1。82畫“川+：】的定義域是一切實(shí)數(shù)，則

3、若關(guān)于x的方程22*+2'“+。+1=0有實(shí)根，則

a€

4、設(shè)集合A=MX2_4X+3<0},B是關(guān)于x的不等式組

，2

x-2x+a<0的解集，試確定。的取值范圍，使N=8。

x2-2（a+7）x+5<0

5、已知方程/+mx+m+\=O的兩個根為一個三角形兩內(nèi)角的

正切值，試求機(jī)的取值范圍。

直線、平面、簡單幾何體

一、知識結(jié)構(gòu)

平面平面的概念和性質(zhì)（三條公理及三個推論）

一平行直線一平行直線的傳遞性（公理4）

|異面直線所成的角

空間兩—屏面直線卜

一條直線

?屏面直線間的距離

直4目交直線IT?互理

線

、

平直線在平面內(nèi)

面

口直線與平面平行

、

簡L直線與平面相交三垂線定理

單

幾直線與平面所成的角

何

一平面與平面平行-ramT平面的距離

鰥孟面

---------------荏置「垂直相交

」平面與平面相交?叵座”

二面角及其平面角

~~i棱柱?,—

應(yīng)-根

多面體與

正多面

-it

L宣-----|球的表面積和體萩

另注：三余弦公式？其中a為線面角，A為斜線與平面內(nèi)直線所成的角，。為？

二、主要類型及證明方法（主要復(fù)習(xí)向量法）

1、定性：

（1）直線與平面平行：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

（2）直線與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

（3）平面與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

2、定量：

、..—?P4,M

（1）點(diǎn)P到面的距禺d=|尸/?cos<PA,n>|=|一=；—|

\n\

（2）異面直線之間的距離：（同上）

（3）異面直線所成的角6：cos^=cos<PA,n>

（4）直線與平面所成的角。：sin^=cos<PA,n>

(5)銳二面角6：cos。=cos<根,〃>

二、例題

1.設(shè)集合4=｛正四面體｝,8=｛正多面體｝,C=｛簡單多面體｝,貝I」/、B、C

之間的關(guān)系為（A）

A.AuBuCB.AuCuBCCBolD.CCLACIB

2.集合/=｛正方體｝,8=｛長方體｝,。=｛正四棱柱｝,則4、B、。之間的關(guān)

系為（B）

A.A<ZLB<ZICB.AUCCLBC.CCLAUBD.BuAuC

3.長方體/6。。一49C。中，E、F、G分別是48、BC、88上的點(diǎn)，則△￡/文；

的形狀是（C）

4等邊三角形反直角三角形C.銳角三角形D鈍角三角形

4.長方體的一條對角線與同一頂點(diǎn)處的三條棱所成角分別為a、尸、y,則有

（“2）2，222

4cos2a+cos%+cos1y=1B.sirra+sin2^+sirTy=1

C.co^a+cos2^+cos2y=2D.sirTa-\-sirT[i-\-=3

5.長方體的一條對角線與同一頂點(diǎn)處的三個而所成角分別為a、6、人則有

（匕），，，

A.cos1a+cos1^+cos1y=1B.sirTaJrsirr[i-\-sirry=1

C.cos2a+cos2/3+cos2y=3D.sin2a+sin2/]-\-sin2y=2

6.長方體NBC。一⑷9。。中，ZD'BA=45°,ZD'BB'=60°,則NO8C=（C）

43008.45°C.60°DJ5°

7.長方體的全面積為11,所有棱長之和為24,則這個長方體的一條體對角線

長為（C）

42小5.^14C.5D.6

8.棱錐的底面積為S,高位h,平行于底面的截面面積為S,則截面與底面的

距離為（）

（小一次）〃「（小+次）〃「（S—S”。.3

A.小B.小C~l—

A

9.三棱錐尸一/BC的三條側(cè)棱長相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的

（）

4內(nèi)心8.外心C.垂心。.重心

B

10.三棱錐P—Z8C的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是

底面三角形的（）

4內(nèi)心氏外心C垂心。.重心

B

11.三棱錐產(chǎn)一/8。的三個側(cè)面與底面所成的二面角相等，則頂點(diǎn)在底面上的射

影是底面三角形的（）

4內(nèi)心氏外心C.垂心。.重心

A

12.三棱錐產(chǎn)一Z8C的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形

的（）

4內(nèi)心區(qū)外心C.垂心。.重心

C

13.三棱錐K一Z8C中，VA=BC,VB=Ac,VC=Ah,側(cè)面與底面NBC所成的二面

角分別為a、B、＞（都是銳角），則cosa+cosA+cosy=（）

AAB.2C，2Dq

A

14.四面體的四個面中，下列說法錯誤的是（）

4可以都是直角三角形8.可以都是等腰三角形

C不能都是頓角三角形D可以都是銳角三角形

C

15.正n棱錐側(cè)棱與底面所成角為a,側(cè)面與底面所成角為夕，則tanatan^=

（）

7t7TIn27r

A.sin~nB.cosn-C.sin-nD.cos-n

B

16.一個簡單多面體的各個面都是三角形，且有6個頂點(diǎn)，則這個多面體的面數(shù)

為（）

AAB.6C.8D.10

C

17.正八面體的相鄰兩個面所成二面角的大小為（）

11n11

A.arccos^arccos^C.^-arccos^D.—arccosr^

B

18.正方體的全面積為a2,它的頂點(diǎn)都在一個球面上，這個球的表面積為（）

「四22n兀a

A.~B.—C2TT4~D37ra

B

19.一個長方體的長、寬、高分別為3、4、5,且它的頂點(diǎn)都在一個球面上，這

個球的表面積為（）

2072718.25啦無C.50無0.200兀

C

20.在球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA

=PB=PC=a,那么這個球面的面積是（）

A.2na2B^ita2C.47ta2D.Gita2

B

21.北緯30。的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為（）

AA：15.2：1C?。?D.y/2：1

A

22.地球半徑為R,在北緯30。的圓上有兩點(diǎn)A、B,A點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)120。，B

點(diǎn)的經(jīng)度為西經(jīng)60。，則A、B兩點(diǎn)的球面距離為（）

4；欣8.坐兀RC&R

D

23.球面上有三個點(diǎn)，其中任意兩個點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的看經(jīng)過這

三個點(diǎn)的小圓周長為4兀，那么這個球的半徑為（）

44s5.273C.2D幣

B

24.球面上有三個點(diǎn)A、B、C,其中AB=18,BC=24,AC=30,且球心到平面

ABC的距離為球半徑的一半，那么這個球的半徑為（）

41麗5.10C.20D30

A

25.在北緯60。圈上有甲、乙兩地，它們在緯度線上的弧長等于史＜,R為地球半

徑，則這兩地的球面距離為（）

4班兀R8&RC.坐7tRD坐7TR

B

填空題：

設(shè)m、n是不重合的兩條直線，a,四/是不重合的平面，給出下列命題：請判斷

其是否正確，如錯誤，請舉出反例。

若〃〃則〃_1_夕

若加_1_La,_L夕，貝ija_L夕

若〃_La,a_L4,加u,，貝lj加〃〃

若〃_L民aJ_/，則〃〃a或〃ua

若。則a〃尸

若a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到/?的距離相等，則a〃夕

若aua,buB，aHB，bH0,貝Ua〃/?

若a、b是異面直線，aua,bu。,貝Ua//￡

三、解答題

26.如圖：已知正三棱柱NBC—/0。的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,〃是8C的

中點(diǎn)。

(1)求異面直線AB,8C1的夾角；

(2)在直線CC上求一點(diǎn)N,使得MNLAB1

(3)若AB的中點(diǎn)為P,BC，的中點(diǎn)Q,求證：PQ〃面ABC

(1)解法一：因為四'=加+歷'，猶'=琥'+眈'又因為NEC是正三棱

柱，加，胡；助」灰7，<屈,眈由題意，|曲|=|吐1=1,|加1

=2從而得：比，=(丘+加)(5號+灰?)=

屈?歐一(歐￥+屈,.眈,+加，.眈，=|用(+油.吐，=

4+

7

g=四區(qū)匚=2

閉即87tlicos<加,夕1.cos<

2,*|范11配1510

77

<A^f,覺>="ccos而即異面直線/夕與8。的夾角為arccos~^

解法二：以4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，44,為z軸，力C為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

題

由

省。O57

B:V,2),C(0,1,2)

V23

當(dāng)1,0)=(一坐,1,2)

-(z--(

\T2)V23

51

_2）?（一坐g，2）

.4、碇'?猶,2'2'7

cos<A^,既>二

（當(dāng)了+$+22訃羋y+（畀+22W

77

?二〈刀-">=arccos~^即異面直線48與8c的夾角為arccos~^

(2)解法一：設(shè)C7V=x55,由題意可得：砒《防

2兀

曲=血+磔，MN=Mt+CN(屈,眈1>=3

屈」疝,：.戲'砌=0也就是(加+歷,)—(敬+附=0

相加+鰭加+蘇CV+防◎=()

|制做|cos＜m戒＞+x|附2=0...-1+4x=0/.x=^即當(dāng)im=T時，

AB'LMN.

解法二：同解法一建立空間直角坐標(biāo)系，

S13

有4(0,0,0),5(^-,5，0),M4J4f0),N(0,1,z)

9=吟~,2),A^=(一乎,z)V腑上而/,/.砧?而1=0

/.(坐]2),(一平，pz)=0/.—l+|+2z=0

乙乙IIOO

解得Z=1,:.N=Q,1,1)即CN=t時，AB,A_MN.

(3)非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系數(shù)法)P(—,-,1)

44

0哼則而=吟0),又因為方=g,g,0),就=(0,1,0)

0=^-x+0y

11——?1—?—?

設(shè)尸。=x/8+兒4。得＜—=—x+y得x=0,y=l/2,所以尸。=：4C+0AB所

22

0=Ox+Oy

以PQ與面ABC共面，又因為尸02面/3C,所以PQ//面ABC

例2已知/(%)=上(xwT).(來源課本第二冊P17、EX9；P23、EX4；P31、EX3)

x+1

(1)求/1X)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：x>y>0,^f(x+y)</(x)+f(y).

I4

(3)若a?>b>O,c=------，求證：f(a2)+/(c)>—.

(a—b)b5

講解：G)對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項變形，得/(x)=l-一1一,

x+1

???/(X)在區(qū)間(-00,-1)和(-1,+8)上分別單調(diào)遞增.

(2)首先證明任意x>y>0,數(shù)(％+用</(太)+/3).事實(shí)

孫+盯+x+y>孫+x+y

上，/*)+/b)=M+W=/(盯+x+y)

盯+x+y+l盯+x+y+l

V]]xy+x+y>x+y,由(1)知/?+x+力>/(x+y),

114

/./(x)+f(y)>/(x+y)*?,c=------->----；~：—=丁〉0,

(a-b)ba-b+ba2

[2'2

44

.-.a2+c>a2+—>4.：.f(a2)+/(c)>f(a2+c)>/(4)=

a5

函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中常考常新，是既考知識又

考能力的好題型，在高考備考中有較高的訓(xùn)練價值.針對本例的求解

你能夠想MiW任意x>y>0,有/(x+y)</(x)+/3).采用逆向分析法，給

出你的想法！

例4對于函數(shù)/(X),若存在「€火,使/'(/)=X。成立，則稱為/(X)的不動點(diǎn)。

21

如果函數(shù)/(x)=上+3,ceN)有且只有兩個不動點(diǎn)0,2,且/(_2)<-±

bx-c2

(1)求函數(shù)/(X)的解析式;

(2)已知各項不為零的數(shù)列｛%｝滿足4SJ/(L)=1,求數(shù)列通項凡；

%

(3)如果數(shù)列｛4｝滿足q=4,a“M=/(勺),求證:當(dāng)〃N2時，恒有凡<3成

立.

2

講解：依題意有土上￡=x,化簡為(1-3，+5+。=0,由違達(dá)定理，得

bx-c

c

2+0=-----,Q=02

'l~b解得C,代入表達(dá)式/(x)=---，由

20=-^-,6-1+2(l+；)x-c

I1-62

_91

/(—2)=——<一一，得c<3,又CGN,b€N,若c=。,b=1,貝曠(x)=x不止有兩個

1+C2

V2

不動點(diǎn)，.?.c=2,b=2,故〃x)=——,(xwl).

2(x-l)

（2）由題設(shè)得4S,?—?一=1得：25,,=%-個，（*）

2（——1）

an

且4“豐1,以〃一1代〃得：2s“T=%（**）

由（*）與（**）兩式相減得：

2?！?（a"一）一（a；—）,即（a?+4_1）（?！耙籥“_]+1）=0,

an=-%_1或/=T,以〃=1代入（*）得：2q=%-a；,

解得6=0（舍去）或為=-1,由/=-1,若得々=L這與a"矛盾,

an-an_x=-1,即｛4｝是以T為首項，T為公差的等差數(shù)列，a”=-〃；

2

（3）采用反證法，假設(shè)a“N3（〃N2）,則由（1）知。川=/也,）=—^

2%-2

.?.也=^^=；?（1+-^）<；（1+；）=：<1,即“,用<4（〃22,〃€"）,有

an2（a?-1）2an-\224

〃21Ao

a<a,<...<a,而當(dāng)”=2時,a,=---!——=----=一<3;a<3,這與假

""T222?,-28-23

設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，a”<3.

關(guān)于本例的第（3）題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上：

由?！?1=/（4,）得4+1=-=_2（__^）2+\<得明+i〈°或4+i22.

2%一2a?+la,,222

若a“+i<0,則%+[<0<3,結(jié)論成立；

若用22,此時〃22,從而％M-a"=""乩一2）<0,即數(shù)列｛凡｝在〃22時單

2（??-1）

22

調(diào)遞減，由牝=2—,可知。〃4生=<3,在〃>2上成乂.

比較上述兩種證法，你能找出其中的異同嗎？數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的

反思，學(xué)會反思才能長進(jìn).

解析幾何中的基本公式

1、兩點(diǎn)間距離：若人氏*）》（*2，丫2），則|工邳=J（》2-Xi）"+（必—M產(chǎn)

特別地：AB〃x軸，則|AB|=

AB//y軸，則|AB|=

2、平行線間距離：若L：Ax+By+G=O,12:Ax+By+C2=0

|c,-c|

則：d=2

VA2+B2

注意點(diǎn)：X,y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。

3、點(diǎn)到直線的距離:P(xo,yo),1:Ax+By+C=0

則P和的距離為:

4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式：[丫二e+卜

lF(x,y)=0

消y：ox?+&r+c=0,務(wù)必注意△>().

若1與曲線交于A(x,,y1),B(x29y2)

變形后：入=土二土或九=2二左

/一%y2-y

6、若直線h的斜率為k],直線b的斜率為k2，則11到b的角為a,a￡(0,7T)

適用范圍：ki，k2都存在且k|k2W-1,tana“2—h

1+k\k?

k-kJT

若1與b的夾角為0,則tan。{2，0e(0,-]

1+k、k)

注意：(1)h到b的角，指從h按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到b所成的角，范圍(0,兀)

h到12的夾角:指h、b相交所成的銳角或直角。

(2)l|_Lb時，夾角、到角=二。

2

(3)當(dāng)h與12中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。

7^(1)傾斜角a,ae(0,n)；

(2)W/夾角。，0e[0,7t]；

(3)直線1與平面a的夾角p,Pe[O,^];

(4)h與b的夾角為0，0e[0,1],其中h〃b時夾角0=0;

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)h至ljb的角仇9e(0,7i)

8、直線的傾斜角a與斜率k的關(guān)系

a)每一條直線都有傾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直線存在斜率k,而傾斜角為a,則k=tana。

9、直線h與直線12的的平行與垂直

(1)若h，b均存在斜率且不重合:①li〃boki=kz

②如1<2=—1

(2)若:Axx+Byy+Cy-0,l2:A2x+B2y+C2=0

若Ai、A2>BI、B2都不為零

①v/12^A=A^￡_；

4B2C2

②li±h<=>A]A2+B]B2=0;

③h與12相交O區(qū)工至

4B2

④h與b重合O4.=2=6；

4B]C2

注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與力0的情況。

10、直線方程的五種形式

名稱方程注意點(diǎn)

斜截式：y=kx+b應(yīng)分①斜率不存在②斜率存在

點(diǎn)斜式:y-y.=k(x-x)(1)斜率不存在：x=x。(2)斜率存在時

為=g—九)

兩點(diǎn)式：上江=土玉

先一口x2-x(

截距式：2+*=1其中1交X軸于5,0),交y軸于(0,6)當(dāng)直1

ab

在坐標(biāo)軸上，截距相等時應(yīng)分：

(1)截距=0設(shè)尸kx(2)截距awO設(shè)

—+—=1B[Jx+y=a

aa

一般式：Ax+By+C^0(其中A、B不同時為零)

10、確定圓需三個獨(dú)立的條件

圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-by=r2,

(4,6)—圓心，丫—半徑。

22

(2)一般方程：/+瓜+4+產(chǎn)=o,(Z)+￡-4F>0)

zDE.囿pyjD2+E2-4F

(-y-y)一―圓也r=------------

11、直線Zx+欣+C=0與圓(%一0)2+3-6)2=尸2的位置關(guān)系有三種

若6/=嗎?竺S1,4＞廠=相離=公＜0

d-ro相切?！?0

d＜尸=相交o△＞0

12、兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為Oi，。2,半徑分別為h，r2,\O,O2\=d

d＞r1+r2o外離＜=＞4條公切線

d=r1+r2＜=＞外切＜=＞3條公切線

h-r2kd＜八+尸2o相交o2條公切線

d=卜-修=內(nèi)切=1條公切線

0＜d＜h-々|=內(nèi)含。無公切線

13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

（一）橢圓

定義定若Fi，F(xiàn)2是兩定點(diǎn),P為動點(diǎn),且|尸￡|+歸局=2。＞|月工|為

常數(shù)）則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

定義n：若&為定點(diǎn)，i為定直線，動點(diǎn)P到R的距離與到定直線1的距

離之比為常數(shù)e（0<e<l）,則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

準(zhǔn)線方程：x=+—

c

焦半徑：|M|=e（x+?）,|PF21=e（?-x），|尸用=2。-歸周，

4-C引尸用4“+C等（注意涉及焦半徑①用點(diǎn)P坐標(biāo)表示，②第一定

義。）

注意：（1）圖中線段的幾何特征：用=區(qū)用=Q-C,=|42耳I=4+C

忸闿=忸向|=忸2「2H與耳|=4，%星|=|482|=行不等等。頂

點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離分別與“,“C有關(guān)。

（2）四片工中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段仔耳|、

|PF2|>2C,有關(guān)角/耳結(jié)合起來，建立|尸耳|+歸尸2卜]囹?四|

等關(guān)系

（3）橢圓上的點(diǎn)有時常用到三角換元：F=：c°s（；

[y=psin0

（4）注意題目中橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，請補(bǔ)充當(dāng)焦點(diǎn)在y軸

上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。

二、雙曲線

（一）定義：I若F],F2是兩定點(diǎn)，歸用-|尸尸2||=2"歸閱（。為常數(shù)），

則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。

II若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線1的距離之比是常數(shù)e（e>l）,

則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。

（二）圖形：

（三）性質(zhì)

方程：-7--=1（a>0,/>>0）~~~2=（a>0,6>0）

a~ba~b

定義域：｛布24或不<々｝；值域為R；

實(shí)軸長=2%虛軸長=2b

焦距：2c

Q2

準(zhǔn)線方程：工=±—

C

22

焦半徑：戶用=*+?）,\PF2\=e（--x）,歸用-匹||二2々；

注意：（1）圖中線段的幾何特征：|力用=忸閭=C-4,|力用=忸周=4+C

22

頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：或a+<；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：

CC

a~一a

C---或CH----

2?2

兩準(zhǔn)線間的距離=

c

(2)若雙曲線方程為=-口=1=＞漸近線方程：4-4=0=＞y=±-^

b~cTb~a

22

若漸近線方程為夕=±2'=＞%土上=0n雙曲線可設(shè)為餐—4=入

aaba2b2

若雙曲線與W-《=1有公共漸近線，可設(shè)為4=九

a-b-ab-

(人＞0,焦點(diǎn)在x軸上，入＜0,焦點(diǎn)在y軸上)

(3)特別地當(dāng)。=6時。離心率e=&。兩漸近線互相垂直，分別為

y=±x,此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為一一/=入；

(4)注意A/岑g中結(jié)合定義歸用-|PF2b2a與余弦定理cos/與產(chǎn)工，

將有關(guān)線段|尸用、\PF2\＞出用和角結(jié)合起來。

(5)完成當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)。

二、拋物線

(-)定義：到定點(diǎn)F與定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。

即：到定點(diǎn)F的距離與到定直線1的距離之比是常數(shù)e(e=l)0

(二)圖形：

（三）性質(zhì)：方程：V=2px,（p>0）,p--焦參數(shù)；

焦點(diǎn)：名,0）,通徑|曲=2p；

準(zhǔn)線：x=-d

2

焦半徑：|5=兀+多過焦點(diǎn)弦長

\CD\=%1+y+x2+^=X!+x2+p

注意：（1）幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=5:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=p；

通徑長=2p

頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。

2

（2）拋物線F=2px上的動點(diǎn)可設(shè)為或

2P

尸(2",20)或P(x“。)其中y!=2px。

三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象

復(fù)習(xí)要求（以下內(nèi)容摘自《考綱》）

1.理解弧度的意義，并能正確進(jìn)行弧度和角度的換算.

2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號、特殊角的三角函數(shù)值、

三角函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正

周期的意義.會求尸為in（3x+（p）的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上

述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，能運(yùn)用上述三角公式化簡三角函數(shù)式，求任意角的

三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式.

3.了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點(diǎn)法”畫正

弦、余弦函數(shù)和函數(shù)尸加in（3x+（p）的簡圖，并能解決與正弦曲線有關(guān)的實(shí)際

問題.

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱軸，對稱點(diǎn)的求法。

5.形如y=$出％+（：05＞或/=sinx-cosy的輔助角的形式，求最大、

最小值的總題。

6.同一問題中出現(xiàn)sinx+cosx,sinx-cosy,sinx?cosy,求它們的范

圍。如求y=sinx+cosy+sinx?cosy的值域。

7.已知正切值，求正弦、余弦的齊次式的值。

如已知tanX=2,求sin2x+2sinx-cosy+cos2y+4-的值。

8正弦定理：，_=_A_=1J=2R（及為三角形外接圓的半徑）

sinAswinBsinC

a:b:c=sin力：sin8:sinC

i22_2

余弦定理：a2=b2+c2-2ahcosA,...cosA=---------

lab

可歸納為表9—1.

表97三角函數(shù)的圖象三、主要內(nèi)容及典型題例

三角函數(shù)是六個基本初等函數(shù)之一，三角函數(shù)的知識包括三角函數(shù)的定義、

圖象、性質(zhì)、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差

的三角函數(shù)，二倍角，降次公式等。

1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和性質(zhì)

二角出數(shù)j=sinrj=cosry=tanxy=cotx

y

二1f;

圖象4

1I-A

1