湖北省五地中學(xué)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省五地中學(xué)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“直線與直線互相垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A.的極小值點(diǎn)為 B.的極大值點(diǎn)為C.有唯一的極小值點(diǎn) D.函數(shù)在(a，b)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為23.某鐵球在時(shí)，半徑為．當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中a為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為()A.0 B. C. D.4.已知橢圓C：()的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若△F1PF2的面積為4，且△F1PF2內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.44 B.88 C.99 D.1216.在平行六面體中，，，，，則()A. B. C.0 D.7.已知實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是()A. B. C. D.8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”).如果對(duì)于正整數(shù)，經(jīng)過(guò)步變換，第一次到達(dá)1，就稱為步“雹程”.如取，由上述運(yùn)算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)7個(gè)步驟變成1，得.則下列命題錯(cuò)誤的是()A.若，則只能是4 B.當(dāng)時(shí)，C.隨著的增大，也增大 D.若，則的取值集合為二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線.()A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線10.已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是()．A. B.是等比數(shù)列C. D.11.圓C：，直線，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是()A.直線l與圓C相交B.的最小值是1C.若P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P有2個(gè)D.從Q點(diǎn)向圓C引切線，則切線段最小值是312.已知函數(shù)(，且)，則()A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則C.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得有三個(gè)極值點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____.14.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡，若顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中三種結(jié)賬方式，則他們結(jié)賬方式的可能情況有________種．15.過(guò)拋物線C：的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P作C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q，則的最小值為_(kāi)_____．16.北宋著名建筑學(xué)家李誡編寫了一部記錄中國(guó)古代建筑營(yíng)造規(guī)范的書《營(yíng)造法式》，其中說(shuō)到“方一百，其斜一百四十有一”，即一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與它的對(duì)角線的比是，接近.如圖，該圖由等腰直角三角形拼接而成，以每個(gè)等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作為圓心，斜邊的一半為半徑作一個(gè)圓心角是90°的圓弧，所得弧線稱為螺旋線，稱公比為的數(shù)列為等比數(shù)列.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.若，且，則的最小整數(shù)為_(kāi)__________.(參考數(shù)據(jù)：，)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.18.已知數(shù)列滿足，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求n為何值時(shí)，最小．19.如圖，在幾何體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABCD，，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，四棱錐是高為4的正四棱錐.(1)求證：平面EAC；(2)求平面PAC與平面QAB所成銳二面角的余弦值.20.某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，規(guī)定每位參賽選手共需回答3道問(wèn)題.現(xiàn)有兩種方案供參賽選手任意選擇.方案一：只選類問(wèn)題：方案二：第一次類問(wèn)題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選類問(wèn)題，回答錯(cuò)誤則下一次選類問(wèn)題.類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得50分，否則得0分：類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分.已知小明能正確回答類問(wèn)題的概率為，能正確回答類問(wèn)題的概率為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)求小明采用方案一答題，得分不低于100分的概率：(2)試問(wèn)：小明選擇何種方案參加比賽更加合理？并說(shuō)明理由.21.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，直線為雙曲線的一條漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限)，記直線斜率為，直線斜率為，求的值.22.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值.(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：. 湖北省五地中學(xué)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“直線與直線互相垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線垂直求出范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A.的極小值點(diǎn)為 B.的極大值點(diǎn)為C.有唯一的極小值點(diǎn) D.函數(shù)在(a，b)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2【答案】D【解析】【分析】求得的極小值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；求得的極大值點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；求得的極小值點(diǎn)判斷選項(xiàng)C；求得函數(shù)在(a，b)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，有2個(gè)極小值點(diǎn).選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.則的極小值點(diǎn)為，選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；的極大值點(diǎn)為，選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；函數(shù)在(a，b)上的極值點(diǎn)為，共2個(gè).選項(xiàng)D判斷正確；故選：D3.某鐵球在時(shí)，半徑為．當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中a為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義可知在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率即為的值，求導(dǎo)代入即可.【詳解】已知當(dāng)溫度為時(shí)鐵球半徑為，則其體積(單位：)，求導(dǎo)得，所以，所以在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為，故選：D.4.已知橢圓C：()的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若△F1PF2的面積為4，且△F1PF2內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助內(nèi)切圓半徑及三角形面積的關(guān)系建立的關(guān)系式，再結(jié)合求解.【詳解】由的面積為4，得，即.又，所以，所以，，.故選：D.5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.44 B.88 C.99 D.121【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的關(guān)系可求出，再利用與的關(guān)系，即可求出答案.【詳解】由于為等差數(shù)列，，則故選：A.6.在平行六面體中，，，，，則()A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出和，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，即，,則，即，則故選：C.7.已知實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題中指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都有，不能分參，可以轉(zhuǎn)化為同構(gòu)求解.【詳解】由可得，易得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以恒成立，即，設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可得，則有.故選：C.8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”).如果對(duì)于正整數(shù)，經(jīng)過(guò)步變換，第一次到達(dá)1，就稱為步“雹程”.如取，由上述運(yùn)算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)7個(gè)步驟變成1，得.則下列命題錯(cuò)誤的是()A.若，則只能是4 B.當(dāng)時(shí)，C.隨著的增大，也增大 D.若，則的取值集合為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”進(jìn)行推理即可判定.【詳解】對(duì)于A，，逆推，只能是4，故A對(duì)；對(duì)于B，時(shí)，，，故B對(duì)；對(duì)于C，時(shí)，，時(shí)，，，故C錯(cuò)，對(duì)于D，時(shí)，逆推，故D對(duì).故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線.()A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示雙曲線，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10.已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是()．A. B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)，，，利用等比數(shù)列的定義，得到的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別是以2為公比的等比數(shù)列求解判斷.【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，，，所以，解得，又，所以，即，所數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別是以2為公比的等比數(shù)列，所以，，，，，故選：ABC11.圓C：，直線，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是()A.直線l與圓C相交B.的最小值是1C.若P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P有2個(gè)D.從Q點(diǎn)向圓C引切線，則切線段的最小值是3【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A:求出圓心到直線的距離，即可判斷直線與圓相離；對(duì)于B:利用幾何法求出的最小值，即可判斷；對(duì)于C:設(shè)直線m與l平行，且m到l的距離為2.求出m的方程，判斷出直線m與圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，即可判斷；對(duì)于D:根據(jù)圖形知,過(guò)Q作QR與圓C相切于R，連結(jié)CR.要使切線長(zhǎng)最小，只需最小.利用幾何法求出切線段的最小值，即可判斷.【詳解】對(duì)于A:由圓C：，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:圓心到直線的距離,所以的最小值為.故B正確;對(duì)于C:設(shè)直線m與l平行，且m到l的距離為2.則可設(shè).由，解得：或.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離,所以直線m與圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1.當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離,所以直線m與圓C相離，不合題意.綜上所述，圓上到直線l的距離為1的點(diǎn)有且只有2個(gè).故C正確.對(duì)于D:根據(jù)圖形知,過(guò)Q作QR與圓C相切于R，連結(jié)CR.則切線長(zhǎng).要使切線長(zhǎng)最小，只需最小.點(diǎn)Q到圓心C的最小值為圓心到直線的距離d=5,由勾股定理得切線長(zhǎng)的最小值為,故D正確.故選：BCD12.已知函數(shù)(，且)，則()A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則C.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得有三個(gè)極值點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，將不等式變形，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及最值得出結(jié)論；對(duì)于B、C，都是在A的構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)之上，由其圖象的性質(zhì)得到的相關(guān)結(jié)論；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，判斷新函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步推斷原函數(shù)的性質(zhì).【詳解】對(duì)于A，即，兩邊取對(duì)數(shù)，，令，，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；的最大值為，，A正確；對(duì)于B，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則，兩邊取對(duì)數(shù)，有：，由A選項(xiàng)知，即時(shí)此時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，兩邊取對(duì)數(shù)，有：，由A選項(xiàng)知：，，C正確；對(duì)于D，，令得：，兩邊取對(duì)數(shù)可得：，設(shè)則，令得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；最多有兩個(gè)零點(diǎn)，最多有兩個(gè)極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)的等價(jià)，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的應(yīng)用，本題的難點(diǎn)在于對(duì)式子的變形以及構(gòu)造函數(shù)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】30【解析】【分析】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，即可算出答案.【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，故含的項(xiàng)系數(shù)是故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查的是利用分步計(jì)數(shù)原理處理多項(xiàng)式相乘的問(wèn)題，較簡(jiǎn)單.14.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡，若顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購(gòu)物后，恰好用了其中三種結(jié)賬方式，則他們結(jié)賬方式的可能情況有________種．【答案】20【解析】【分析】由題意，根據(jù)乙的支付方式進(jìn)行分類，根據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理即可求出．【詳解】當(dāng)乙選擇支付寶時(shí)，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇支付寶時(shí)，丙丁也可以都選微信，或者其中一人選擇微信，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時(shí)共有5+5=10種，當(dāng)乙選擇微信時(shí)，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇微信時(shí)，丙丁也可以都選支付寶，或者其中一人選擇支付寶，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時(shí)共有5+5=10種，綜上故有10+10＝20種，故答案為20.【點(diǎn)睛】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.15.過(guò)拋物線C：的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P作C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在A和B的切線方程，根據(jù)切線過(guò)P得A和B滿足的方程，從而求得AB所在直線方程，聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的表達(dá)式，根據(jù)表示式即可求其最小值.【詳解】，設(shè)，，，則，，則切線：，∵切線PA過(guò)P，∴，同理，，∴直線AB方程為：.由得，，則，，則，則，即最小值為2.故答案為：2.16.北宋著名建筑學(xué)家李誡編寫了一部記錄中國(guó)古代建筑營(yíng)造規(guī)范的書《營(yíng)造法式》，其中說(shuō)到“方一百，其斜一百四十有一”，即一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與它的對(duì)角線的比是，接近.如圖，該圖由等腰直角三角形拼接而成，以每個(gè)等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作為圓心，斜邊的一半為半徑作一個(gè)圓心角是90°的圓弧，所得弧線稱為螺旋線，稱公比為的數(shù)列為等比數(shù)列.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.若，且，則的最小整數(shù)為_(kāi)__________.(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】【解析】【分析】令求出，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而求出，再由裂項(xiàng)相消法求和得出，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】令，則，即，所以，解得，所以，所以，，所以，即，即，所以的最小整數(shù)為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即得；(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，得切線方程為，所圍成的三角形的面積.18.已知數(shù)列滿足，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求n為何值時(shí)，最?。敬鸢浮?1)(2)或【解析】【分析】(1)依題意可得，再利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到最小的；【小問(wèn)1詳解】解：由且，即，即又，，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】解：由(1)可知．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)或時(shí)，的值最?。?9.如圖，在幾何體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABCD，，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，四棱錐是高為4的正四棱錐.(1)求證：平面EAC；(2)求平面PAC與平面QAB所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)證明出平面，可得出，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，可證明出，由中位線的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面；(2)以為原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，與交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问钦叫危赃B接，因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以平面，平面，則，因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，平面，則，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則，又，，所以，，，所以，所以連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得．設(shè)平面的法向量為，則得，取，得．設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20.某學(xué)校組織的“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，規(guī)定每位參賽選手共需回答3道問(wèn)題.現(xiàn)有兩種方案供參賽選手任意選擇.方案一：只選類問(wèn)題：方案二：第一次類問(wèn)題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選類問(wèn)題，回答錯(cuò)誤則下一次選類問(wèn)題.類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得50分，否則得0分：類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分.已知小明能正確回答類問(wèn)題的概率為，能正確回答類問(wèn)題的概率為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)求小明采用方案一答題，得分不低于100分的概率：(2)試問(wèn)：小明選擇何種方案參加比賽更加合理？并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)小明選擇方案二參加比賽更加合理，