高中數(shù)學培優(yōu)習題大全之統(tǒng)計

板塊一.隨機抽樣

mate知識內(nèi)容

隨機抽樣

i.隨機抽樣：滿足每個個體被抽到的機會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機抽樣方

法：

⑴簡單隨機抽樣：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為〃的樣本，如果每一次抽

取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標號后抽簽的方法.

②隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表是使用計算器或計算機的應用程序生成隨機數(shù)的功能生成的一張

數(shù)表.表中每一位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同.

隨機數(shù)表法是對樣本進行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應的樣本的

方法.

簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法.

⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個

個體，得到所需要的樣本的抽樣方法.

抽出辦法：從元素個數(shù)為N的總體中抽取容量為〃的樣本，如果總體容量能被樣本容量整

除，設(shè)憶=老，先對總體進行編號，號碼從1到N,再從數(shù)字1到人中隨機抽取一個數(shù)s作

為起始數(shù)，然后順次抽取第s+k,6+23…，s+5-l4個數(shù)，這樣就得到容量為〃的樣

本.如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣

方法進行抽樣.

系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.

⑶分層抽樣：當總體有明顯差別的幾部分組成時，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使

總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按

層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣的樣本具有較強的代表性，而且各層抽樣時，可靈活選用不同的抽樣方法，

應用廣泛.

2.簡單隨機抽樣必須具備下列特點：

⑴簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的.

⑵簡單隨機樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N.

⑶簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的.

⑷簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣.

⑸簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為4.

N

3.系統(tǒng)抽樣時，當總體個數(shù)N恰好是樣本容量〃的整數(shù)倍時，取k=J

若豈不是整數(shù)時，先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容

量〃整除.因為每個個體被剔除的機會相等，因而整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍

然相等，為上N.

n

—.頻率直方圖

列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計算它們的差;

極差

②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù);

③決定分點：決定起點，進行分組；

④列頻率分布直方圖：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得

到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標，以黑的值為縱坐標繪制直方圖,

組距

頻率

知小長方形的面積=組距X=頻率.

頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分

布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點沒有實際意義.

總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布

直方圖可以用一條光滑曲線y=/(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度

曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

三.莖葉圖

制作莖葉圖的步驟：

①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分；

②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線;

4)將各個數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應莖處同行列出.

四.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)；用樣本標準差估計總體標準差.

數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標準差來描述.

極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；

樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標準差是方差的算術(shù)平方根.

一般地，設(shè)樣本的元素為不，々，…，毛樣本的平均數(shù)為了，

定義樣本方差為$2=?一反2+區(qū)■■君2+…+(X“一豆,

樣本標準差s=卜&一丁尸+(%一＜/+???+

Vn

簡化公式：S?=匕(與2+考+…+片)一就2].

n

五.獨立性檢驗

1.兩個變量之間的關(guān)系；

常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系

所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機性的.當一個變量取值一定時，另一個變量的

取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.

2.散點圖：將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點(七,y)(i=1,2,…，〃)描在平面直角坐標系中，就得到

了散點圖.

散點窗形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個

變量的關(guān)系.

3.如果當一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時，

散點圖中的點在從左下角到右上角的區(qū)域.

反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負相關(guān).止匕時，散點

圖中的點在從左上角到右下角的區(qū)域.

散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系.

4.統(tǒng)計假設(shè)：如果事件A與B獨立，這時應該有尸(AB)=P(A)P(8),用字母4表示此式,

即Ho:P(AB)=P(A)P(B)，稱之為統(tǒng)計假設(shè).

5.%"(讀作“卡方”)統(tǒng)計量：

統(tǒng)計學中有一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達式為個叫)一,用它的大小可以

〃l+〃2+"+l”+2

用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)“0.如果/的值較大，就拒絕“°,即認為A與B是有

關(guān)的.

/統(tǒng)計量的兩個臨界值：3.841、6.635；當/>3.841時，有95%的把握說事件A與8有

關(guān)；當/>6.635時，有99%的把握說事件A與5有關(guān)；當/W3.841時，認為事件A與8

是無關(guān)的.

獨立性檢驗的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)

生，而小概率事件在一次試驗中通常是不會發(fā)生的，所以認為結(jié)論在很大程度上是成立的.

1.獨立性檢驗的步驟：統(tǒng)計假設(shè)：Hn；列出2x2聯(lián)表；計算/統(tǒng)計量：查對臨界值表，

作出判斷.

2.幾個臨界值：P(/>2.706)=0.10,P(*》3.841)=0.05,P(*26.635)=0.01.

2x2聯(lián)表的獨立性檢驗：

如果對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個情況，這樣排成一張2x2的表，如

下：

狀態(tài)B狀態(tài)》合計

狀態(tài)A勺+

狀態(tài)A%+

%%2n

如果有調(diào)查得來的四個數(shù)據(jù)勺，與，%,n22,并希望根據(jù)這樣的4個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種

狀態(tài)A與8是否有關(guān)，就稱之為2x2聯(lián)表向獨立性檢驗.

六.回歸分析

I.回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.

回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性

相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

2.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量丫對變量x的回歸直線方程，其中叫做回歸

系數(shù).

9是為了區(qū)分丫的實際值y,當x取值茗時，變量V的相應觀察值為y,而直線上對應于蒼

的縱坐標是力="+bxi.

設(shè)x,丫的一組觀察值為(先，y),i=1,2,…，且回歸直線方程為^=。+公，

當x取值答時，K的相應觀察值為％,差必-力(i=1,2,…，〃)刻畫了實際觀察值y與回歸

直線上相應點的縱坐標之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們希望這〃個離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點.

記。=，回歸直線就是所有直線中。取最小值的那條?

/=!

這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回歸系數(shù)4,人有如下的公式：

2%切_時

5=三---------a=y-bx,其中a"上方加“人”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的

i=l

回歸系數(shù).

3.線性回歸模型：將用于估計y值的線性函數(shù)4+所作為確定性函數(shù)；y的實際值與估計

值之間的誤差記為￡,稱之為隨機誤差；將），=a+bx+￡稱為線性回歸模型.

產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當即模型近似引起的誤差；

②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較小；

③由于測量工具等原因，存在觀測誤差.

4.線性回歸系數(shù)的最佳估計值：

利用最小二乘法可以得到4,3的計算公式為

__

3=-^,----------=得-------->a^y-bx,其中x=丫=一卻，

之（X,.-JC）2'X；一心>"I"t

/=|1=1

由此得到的直線？=&+%就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程.其中4,5分

別為a,b的估計值，育稱為回歸截距，5稱為回歸系數(shù)，9稱為回歸值.

5.相關(guān)系數(shù)：

__

2（七一x）（x-y）?-nxy

i=l_i=l

、忙（七-;）2。（必一亍）2-〃G）2）

Vi=1i=lVf=l/=!

6.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：

⑴|r|Wl；

⑵|r|越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強；

（3）|川越接近于0,x,y的線性相關(guān)程度越弱.

可見，一條回歸直線有多大的預測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān).

7,轉(zhuǎn)化思想：

根據(jù)專業(yè)矢贏或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)

化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).

8.一些備案

①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸”這個詞英國統(tǒng)計學家FrancilsGalton提出來的.1889

年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，

但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母,他們的孩子也較矮，

但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近

的趨勢稱為''回歸現(xiàn)象后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱

為回歸分析.

②回歸系數(shù)的推導過程：

Q=ZKy-a）-如『=Zy：-2@%+na2-2bz+2abz占+^x；

=na2+2a（心毛-￡%）+從￡xj-2b￡x,%+，y；,

把上式看成a的二次函數(shù)，"的系數(shù)”>o,

因此當叫_2（m>）=—￡時取最小值.

2〃n

同理，把。的展開式按6的降基排列，看成6的二次函數(shù)，當6=2士設(shè)；工出時取最小值.

Lx"

一〃

Z茗y,--時

Z。一君（％一田

解得：b=R--------a=y-bx,

Z（%-君2

/=!

其中y=』ZM，5=1?>,是樣本平均數(shù).

nn

9.對相關(guān)系數(shù)/"進行相關(guān)性檢驗的步驟：

①提出統(tǒng)計假設(shè)H。：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1-0.95=0.05與〃-2（〃是樣本容量）在相

關(guān)性檢驗的臨界值表中查出一個r的臨界值Qo,（其中1-0.95=0.05稱為檢驗水平）；

③計算樣本相關(guān)系數(shù)r；

④作出統(tǒng)計推斷：若則否定“。，表明有95%的把握認為變量y與x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系；若"氏a5,則沒有理由拒絕”。，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為變

量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

說明：

⑴對相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗，一般取檢驗水平a=0.05,即可靠程度為95%.

⑵這里的/?指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相

關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.

⑶這里的r是對抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時即使|r|=1,兩者也不一定是線性相關(guān)的.故在統(tǒng)計

分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實際情況進行合理解釋.

mte典例分析

題型一系統(tǒng)抽樣

【例1】已知某商場新進3000袋奶粉，為檢查其三聚氟胺是否超標，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣

的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號碼是11,則第六十一組抽出的

號碼為.

【例2】某校高三年級195名學生已編號為1,2,3,...195,為了解高三學生的飲食情

況，要按1：5的比例抽取一個樣本，若采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，其中抽取3

名學生的編號可能是（）

A.3,24,33B.31,47,147C.133,153,193D.102,

132,159

【例3】從編號為1~5。的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射

實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈

的編號可能是（）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5

D.2,4,6,16,32

【例4】有40件產(chǎn)品，編號從1至40,現(xiàn)在從中抽取4件檢驗，用系統(tǒng)抽樣法所抽的編

號可能為（）

A.5,10,15,20B.2,12,22,32

C.2,14,26,38D.5,8,31,36

【例5】采用系統(tǒng)抽樣法，從121人中抽取一個容量為12人的樣本，寫出抽樣的步驟,

并求每人被抽取的機率.

【例6】用系統(tǒng)抽樣法要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生隨機地

從1?160編號,按編號順序平均分成20組（1~8號，9~16號，…，153~160

號），若第16組抽出的號碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是

【例7】某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個容量為

〃的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個體；如果樣本

容量增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，則樣本容

量為.

【例8】一個總體中有100個個體，隨機編號0,1,2,99,依編號順序平均分成

10個小組，組號依次為1,2,3,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量

為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為機，那么在第k組中抽取的

號碼個位數(shù)字與加+%的個位數(shù)字相同，若加=6,則在第7組中抽取的號碼

是?

題型二分層抽樣

【例9】（2010朝陽二模）

某校共有學生2000名，各年級男、女學生人數(shù)如下表，已知在全校學生中隨機抽

取1名，抽到二年級女生的概率是0.19,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校學生中抽取

64人，則應在三年級抽取的學生人數(shù)為（）

一年級二年級三年級

女生385ab

男生375360C

A.24B.18C.16D.12

【例10】（2010湖北高考）

將參加夏令營的600名學生編號為：001,002,...,600.采用系統(tǒng)抽樣療法抽取一個容量

為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300

在第1營區(qū)，從301到495在第H營區(qū)，從496到600在第HI營區(qū).三個營區(qū)被抽中的

人數(shù)依次為

A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9

【例11】某城市有學校500所，其中大學10所，中學200所.現(xiàn)在取50所學校作為一個

樣本進行一項調(diào)查，用分層抽樣進行抽樣，應該選取大學所.

【例12】某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40

種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若

采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是

（）

A.4B.5C.6D.7

【例13］（北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試）

某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人.為了調(diào)查他們的身體情況，

用分層抽樣的方法從他們中抽取了”個人進行體檢，其中有6名老年人，那么

n=.

【例14】某中學高中部有三個年級，其中高一有學生400人，采用分層抽樣抽取一個容

量為45的樣本，高二年級抽取15人，高三年級抽取10人，問高中部共有多少

學生？

【例15】某學校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為

160的樣本，已知從學生中抽取的人數(shù)為150,那么該學校的教師人數(shù)

是

【例16】（2（X）9天津文）

為了了解某市工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A,B,C

三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查.已知A,8,C區(qū)中分別有18,27,18個工廠.求

從A,B,C區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)；

【例17】某校高三年級一共有900個學生，其中女生400人.為了解該年級學生的健康

情況，使用分層抽樣法進行抽樣調(diào)查.已知從男生中任意抽取了25人，則需要

從女生中任意抽取人進行調(diào)查.

【例18】某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用

分層抽樣方法抽出一個容量為〃的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣

本的容量n=.

【例19】某校有500名學生，A型血的有125人，B型血的有125人，A3型血的有50人，

為了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個20人的樣本，按分層抽樣，。型

血應抽取的人數(shù)為人.

【例20】某校1000名學生中，。型血有400人，A型血有250人，3型血有250人，AB

型血有100人，為了研究血型與性格的關(guān)系，按照分層抽樣的方法從中抽取樣

本.如果從A型血中抽取了10人，則從AB型血中應當抽取的人數(shù)

為.

【例21】某單位業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員人數(shù)之比依次為15:3:2.為了了解

該單位職員的某種情況，采用分層抽樣方法抽出一個容量為〃的樣本，樣本中

業(yè)務人員人數(shù)為30,則此樣本的容量〃為（）

A.20B.30C.40D.80

【例22】某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)

用分層抽樣方法抽出一個容量為〃的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么

此樣本的容量〃=.

【例23】（2009湖南）

一個總體分為A,8兩層，其個體數(shù)之比為4:1,用分層抽樣方法從總體中抽取

一個容量為10的樣本，已知8層中甲、乙都被抽到的概率為,，則總體中的

28

個體數(shù)為.

【例24】（05年湖南）某工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來自甲、乙、丙三條生產(chǎn)

線.為檢查產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣法進行抽樣.已知甲'乙、丙三條

生產(chǎn)線抽取的個數(shù)成等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)了件產(chǎn)品.

【例25】某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個容量為

〃的樣本；如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，不用剔除個體；如果樣本

容量增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，則樣本容

量為.

【例26】（2009廣東12）

某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)

抽樣法，將全體職工隨機按1~200編號，并按編號順序平均分為40組（1~5號，

6~10號，...，196~200號）.若第5組抽出的號碼為22,則第8組抽出的號碼應

是.若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取人.

40歲以下

【例27】（北京市朝陽區(qū)2009年4月高三一模理）

從6名女生，4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組,

則不同的抽取方法種數(shù)為.

A-B.C〉C：C.C：。D.

【例28】（2008廣東19）

某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表:

初一年級初二年級初三年級

女生373Xy

男生377370Z

已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.

⑴求x的值；

⑵現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？

⑶已知.V2245,z2245,求初三年級中女生比男生多的概率.

【例29】（2009山東文）

一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的

產(chǎn)量如下表（單位：輛）：

轎車A轎車B轎車C

舒適型100150Z

標準型300450600

按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.

⑴求z的值.

⑵用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總

體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；

⑶用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,

8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中

任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

題型三抽樣方法選擇及其他

【例30】（04湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、

150個銷售點，公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個

容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從

中抽取7個調(diào)查其銷售收入和銷后服務等情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、

②這兩項調(diào)查采用的抽樣方法依次是.

【例31]⑴某社區(qū)有400戶家庭，其中高收入家庭25戶，中收入家庭280戶，低收入

家庭95戶，為了了解社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣

本；

⑵從10名職工中抽取3名參加座談會；

⑶一個年級有10個班，每個班有50名同學，隨機編為1至50號，為了了解他

們的學習情況，要求每個班的30號同學留下來進行問卷調(diào)查.

以上問題各對應哪種隨機抽樣方法？

【例32】下列抽樣問題中最適合用系統(tǒng)抽樣方法抽樣的是（）

A.從全班48名學生中隨機抽取8人參加一項活動.

B.一個城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150

家，為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為21的樣本.

C.從參加模擬考試的1200名考生中隨機抽取100人分析試題作答情況.

D.從參加模擬考試的1200名考生中隨機抽取10人了解某些情況.

【例33】某學校有職工140人，其中教師91人，教輔行政人員28人，總務后勤人員21

人.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本.以下的抽樣方

法中，依簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣順序的是

方法1：將140人從1~140編號，然后制作出有編號1~1人的140個形狀、大小

相同的號簽，并將號簽放入同一箱子里進行均勻攪拌，然后從中抽取20

個號簽，編號與簽號相同的20個人被選出.

方法2：將140人分成20組，每組7人，并將每組7人按1~7編號，在第一組

采用抽簽法抽出上號（1W上W7）,則其余各組上號也被抽到，20個人被

選出.

方法3:按20:140=1:7的比例，從教師中抽取13人，從教輔行政人員中抽取4

人，從總務后勤人員中抽取3人，從各類人員中抽取所需人員時，均采

用隨機數(shù)表法，可抽到20個人.

A.方法2,方法1,方法3B.方法2,方法3,方法1

C.方法1,方法2,方法3D.方法3,方法1,方法2

【例34】某工廠有工人1021人，其中高級工程師20人，現(xiàn)抽取普通工人40人，高級工

程師4人組成代表隊參加某項活動，怎樣抽取較好？

【例35】現(xiàn)有以下兩項調(diào)查：①某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書361冊，要求檢驗員

每小時抽取40冊圖書，檢查其裝訂質(zhì)量狀況；②某市有大型、中型與小型的商

店共1500家，三者數(shù)量之比為1:5:9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽

取其中15家進行調(diào)查.

完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）

A.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

【例36】某校有40個班，每班有50人，每班選派3人參加“學代會”，在這個問題中樣

本容量是（）

A.40B.50C.120D.150

【例37】為了了解參加運動會的2000名運動員的年齡情況，從中抽取100名運動員；就

這個問題，下列說法中正確的有（）個

①2000名運動員是總體；

②每個運動員是個體；

③所抽取的100名運動員是一個樣本；

④樣本容量為100;

⑤這個抽樣方法可采用按年齡進行分層抽樣；

⑥每個運動員被抽到的概率相等

A.1B.2C.3D.4

【例38】（2008湖南12）

從某地區(qū)15000位老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：

人別

男女

生活"—能否自''理''二------

能178278

不能2321

則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多人.

【例39】一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5

的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為.

板塊二.頻率直方圖

mte知識內(nèi)容

一.隨機抽樣

i.隨機抽樣：滿足每個個體被抽到的機會是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機抽樣方

法：

⑴簡單隨機抽樣：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為〃的樣本，如果每一次抽

取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標號后抽簽的方法.

②隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表是使用計算器或計算機的應用程序生成隨機數(shù)的功能生成的一張

數(shù)表.表中每一位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同.

隨機數(shù)表法是對樣本進行編號后，按照一定的規(guī)律從隨機數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應的樣本的

方法.

簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法.

⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個

個體，得到所需要的樣本的抽樣方法.

抽出辦法：從元素個數(shù)為N的總體中抽取容量為”的樣本，如果總體容量能被樣本容量整

除，設(shè)女=包，先對總體進行編號，號碼從1到N,再從數(shù)字1到4中隨機抽取一個數(shù)s作

n

為起始數(shù),然后順次抽取第s+A,s+23…，s+(〃-l)無個數(shù),這樣就得到容量為"的樣

本.如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣

方法進行抽樣.

系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.

⑶分層抽樣：當總體有明顯差別的幾部分組成時，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使

總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按

層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣的樣本具有較強的代表性，而且各層抽樣時，可靈活選用不同的抽樣方法，

應用廣泛.

2.簡單隨機抽樣必須具備下列特點：

⑴簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的.

⑵簡單隨機樣本數(shù)〃小于等于樣本總體的個數(shù)N.

⑶簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的.

⑷簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣.

⑸簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為烏.

N

3.系統(tǒng)抽樣時，當總體個數(shù)N恰好是樣本容量〃的整數(shù)倍時，取女=包；

n

若d不是整數(shù)時，先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容

n

量〃整除.因為每個個體被剔除的機會相等，因而整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍

然相等，為紇

n

—.頻率直方圖

列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計算它們的差；

②決定組距與組數(shù)：取組距，用餐決定組數(shù)；

組距

G)決定分點：決定起點，進行分組：

列頻率與布直方圖；對落入各小組的數(shù)據(jù)累計，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得

到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標，以禁的值為縱坐標繪制直方圖,

組距

頻率

知小長方形的面積=組距X=頻率.

頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分

布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點沒有實際意義.

總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布

直方圖可以用一條光滑曲線y=/(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度

曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

三.莖葉圖

制作莖葉圖的步驟：

①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分；

②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線；

國將各個數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應莖處同行列出.

四.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)；用樣本標準差估計總體標準差.

數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標準差來描述.

極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；

樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標準差是方差的算術(shù)平方根.

一般地，設(shè)樣本的元素為玉，々，…，馬樣本的平均數(shù)為5，

定義樣本方差為S?=g二4I+區(qū)一君+…+(%—宜,

n

樣本標準差s=卜「丁『+(占一丁y+…+區(qū)-立

Vn

簡化公式:S1=，[(k+X；+…+*)-成2].

n

五.獨立性檢驗

1.兩個變量之間的關(guān)系；

常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系

所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機性的.當一個變量取值一定時，另一個變量的

取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.

2.散點圖：將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點(七,y)(i=l,2,…，〃)描在平面直角坐標系中，就得到

了散點圖.

散點窗形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個

變量的關(guān)系.

3.如果當一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時,

散點圖中的點在從左下角到右上角的區(qū)域.

反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負相關(guān).此時，散點

圖中的點在從左上角到右下角的區(qū)域.

散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系.

4.統(tǒng)計假設(shè)：如果事件4與B獨立，這時應該有P(AB)=P(A)P(8),用字母兒表示此式,

即Ho:P(4B)=P(4)P(8),稱之為統(tǒng)計假設(shè).

5.力2(讀作，，卡方，，)統(tǒng)計量：

統(tǒng)計學中有一個非常有用的統(tǒng)計量，它的表達式為個=〃5也2一八%)］用它的大小可以

nl+n2+n+ln+2

用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)如果/的值較大，就拒絕“”,即認為A與B是有

關(guān)的.

/統(tǒng)計量的兩個臨界值：3.841、6.635；當％?>3.841時，有95%的把握說事件4與8有

關(guān)；當/>6.635時，有99%的把握說事件A與8有關(guān)；當/W3.841時，認為事件A與B

是無關(guān)的.

獨立性檢驗的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)

生，而小概率事件在一次試驗中通常是不會發(fā)生的，所以認為結(jié)論在很大程度上是成立的.

1.獨立性檢驗的步驟：統(tǒng)計假設(shè)：出,；列出2x2聯(lián)表；計算/統(tǒng)計量：查對臨界值表，

作出判斷.

2.幾個臨界值：2(.222.706)=0.10,P(力223.841)=0.05,P(力226.635)=0.01.

2x2聯(lián)表的獨立性檢驗：

如果對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個情況，這樣排成一張2x2的表，如

狀態(tài)B狀態(tài)萬合計

狀態(tài)A勺年4+

狀態(tài)入%〃22%+

%n

如果有調(diào)查得來的四個數(shù)據(jù)勺，勺，％,”22,并希望根據(jù)這樣的4個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種

狀態(tài)A與8是否有關(guān)，就稱之為2x2族表向獨立性檢驗.

六.回歸分析

1.回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.

回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性

相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

2.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量丫對變量x的回歸直線方程，其中a,h叫做回歸

系數(shù).

9是為了區(qū)分V的實際值y,當x取值%時，變量丫的相應觀察值為天，而直線上對應于七

的縱坐標是1=a+bXj.

設(shè)x,丫的一組觀察值為(%,%),i=l,2,…，"，且回歸直線方程為9=a+,

當x取值七時，丫的相應觀察值為％,差%-力4=1,2,…，〃)刻畫了實際觀察值y與回歸

直線上相應點的縱坐標之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們希望這，7個離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點.

記。='(》-。-6七)2，回歸直線就是所有直線中。取最小值的那條.

/=1

這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回歸系數(shù)a,匕有如下的公式:

〉:x.y—nxy

3=上」------a^y-bx,其中a,6上方加“八”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的

Z->—2

X；-X

1=1

回歸系數(shù).

3.線性回歸模型：將用于估計y值的線性函數(shù)4+法作為確定性函數(shù)；），的實際值與估計

值之間的誤差記為￡,稱之為隨機誤差；將丫=。+云+￡稱為線性回歸模型.

產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當即模型近似引起的誤差；

②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較?。?/p>

③由于測量工具等原因，存在觀測誤差.

4.線性回歸系數(shù)的最佳估計值：

利用最小二乘法可以得到a,h的計算公式為

〃__n__

.=且不----------=々--------.a=y-bx,其中犬=一￡%，y=-^jyi

豆吠-稱￡片-疝了n<=>NM

1=11=1

由此得到的直線嬴就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程.其中a,g分

別為“，方的估計值，a稱為回歸截距，/稱為回歸系數(shù)，》稱為回歸值.

5.相關(guān)系數(shù)：

__

Z（若-x）（x-y）nxy

.二j=l一i=l

.￡（必一?。?-〃（]）（￡￥

Vi=]7=1V1=1/=1

6.相關(guān)系數(shù);?的性質(zhì)：

⑴|r|Wl；

⑵IrI越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強；

⑶|r|越接近于0，x,y的線性相關(guān)程度越弱.

可見，一條回歸直線有多大的預測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān).

7.轉(zhuǎn)化思想：

根據(jù)專業(yè)矢贏或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)

化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).

8.一些備案

①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸”這個詞英國統(tǒng)計學家FrancilsGalton提出來的.1889

年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，

但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高;身材較矮的父母,他們的孩子也較矮,

但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Gallon把這種后代的身高向中間值靠近

的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”.后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱

為回歸分析.

②回歸系數(shù)的推導過程：

Q=Z。一“）一如『=Zyj-2匯y+na2-2bz應%+2a必x.+b1^x；

=na2+2a（心七-Z%）+〃gxf-2b￡x*+Z#,

把上式看成a的二次函數(shù)，a?的系數(shù)〃>o,

因此當a=-2（￡N%）=Z）；一￡時取最小值.

2nn

同理，把。的展開式按6的降基排列，看成b的二次函數(shù)，當6=》票在小時取最小值.

Z石

解得：6=初二=斗曰"2,八"反，

Z（x，-君

i=l

其中工=lz七是樣本平均數(shù).

9.對相關(guān)系數(shù)/"進行相關(guān)性檢驗的步驟：

①提出統(tǒng)計假設(shè)/：變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系；

②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1-0.95=0.05與〃-2（〃是樣本容量）在相

關(guān)性檢驗的臨界值表中查出一個/?的臨界值%.%（其中1-0.95=0.05稱為檢驗水平）；

③計算樣本相關(guān)系數(shù)r；

④作出統(tǒng)計推斷：若|網(wǎng)>領(lǐng)5,則否定表明有95%的把握認為變量y與x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系；若IrWQg，則沒有理由拒絕”。，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為變

量>與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

說明：

⑴對相關(guān)系數(shù)/■進行顯著性檢驗，一般取檢驗水平a=0.05,即可靠程度為95%.

⑵這里的/?指的是線性相關(guān)系數(shù)，r的絕對值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相

關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.

⑶這里的r是對抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時即使|r|=l,兩者也不一定是線性相關(guān)的.故在統(tǒng)計

分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實際情況進行合理解釋.

典例分析

題型一頻率分布直方圖

【例1】（2010西城二模）

某區(qū)高二年級的一次數(shù)學統(tǒng)考中，隨機抽取200名同學的成績，成績?nèi)吭?0分

至100分之間，將成績按如下方式分成5組：第一組，成績大于等于50分且小于60

分；第二組，成績大于等于60分且小于70分；……第五組，成績大于等于90分且

小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

則這200名同學中成績大于等于80分且小于90分的學生有名.

【例2】（2010東城二模）

已知一個樣本容量為100的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，樣本數(shù)據(jù)落在

[6,10）內(nèi)的樣本頻數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)落在[2,10）內(nèi)的頻率為.

率

距

o?

n

-9

二

82￡.

c

s.

0

oS.1

.3.1一

2

O..O丁

0\2610141822樣本藪據(jù)

【例3】（2010北京）

從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分

布直方圖（如圖）.由圖中數(shù)據(jù)可知“=.若要從身高在［120,130）,

［130,140）,［140,150］三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活

動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為.

【例4】（2010江蘇高考）

某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了