高等數(shù)學公式(專升本)

江蘇省專轉本考試《高等數(shù)學》

復習指導

第。章初等數(shù)學公式

一.嘉函數(shù)公式

(l)x2-l=(x-l)(x+l)

(2)/_]=(1)(尤2+x+l)

(3)尤3+l=(x+l)(%27+1)

(4)x4-l=(x-l)(x3+x2+x+l)

(5)x"—1=(x-l)(x"1+x"+…廠+x+1)

(6)1x"=(1—x)(l+x+x~+...x"1)

(l)xn-yn=(x-火—+J-y+...xyn-2+yn-l)

二.指數(shù)函數(shù)公式(a〉O,3l)

⑴優(yōu)?〃=產

(2)優(yōu)+/=a'r

⑶⑷尸=優(yōu)，

三.對數(shù)函數(shù)公式(a>O,?^l)

⑴log〃x+log〃y=log〃xy

X

⑵log“XTog”y=log。一

y

ei“["log』.(〃為偶數(shù))

⑶k)g〃x=

nlogflx(〃為奇數(shù))

(4)log“x=3%(換底公式)

log/

四.三角函數(shù)

（一）商的關系

cosx

/c\cosx

(2)cotx=----

sinx

(二)倒數(shù)關系

(小1)tanx=-1--

cotx

小、1

(2)secx=---

cosx

0、1

(3)cscx=----

sinx

(三)平方關系

(l)sin2x+cos2x=1

(2)1+tan2x=sec2x

(3)14-cot2X=CSC2X

(四)二倍角公式

(l)sin2x=2sinxcosx

(2)cos2x=cos2x-sin2x

=2cos2x-l=>cos2x=1+c；2K(降幕公式)

=l-2sin2x=>sin2x=--(降塞公式)

五.數(shù)列的公式

(一)等差數(shù)列

(1)=6+(〃-1)4

兒(九一l)d_n(a+?！?

(2)S=叫+]

n22

幾個常見等差數(shù)列的和

(1)1+2+3+…〃=必業(yè)

2

222n(w+1)(2w+1)

(2)P+2+3+...?=-

6

——12

(3)P+23+33+.../73=返9

_2_

(二)等比數(shù)列

⑴％，。"'

(2)=

1-q1-q

幾個常見等比數(shù)列的和

1—/

(1)l+X+X?+..?元〃T=-----(XW1)

1-X

1_丫2〃

(2)1+/+/+*(,1)=[^(xw±l)

1-x2

(3)17+，7+...(7嚴x"T=1_(f)"(XH-1)

1+X

(4)l-x2+x4+...(-l)n-'x2(,,-°=>(-[)”

1+x~

注：這幾個公式在級數(shù)中會用到，尤其是級數(shù)的間接展開法.

六.幾個常見裂項公式

⑵*士-￡)

(3)-----5-----=—!—(―-----—)

(x-a)(x-b)a-bx-ax-b

七.球的公式A.扇形公式

(1)S表=4〃R2(1)弧長：l=R?a

411

2

(2)腺=—//?3(2)面積：S=-IR=-R

壞322

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)

第一部分基本內容

一.函數(shù)的基本概念

兩個要素：定義域。與對應法則/

二.六類基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)y=c

2.累函數(shù)y=xa(67eR)

3.指數(shù)函數(shù)y=a"(〃>0,Q工i)

4.對數(shù)函數(shù)y=\ogax,y=\nx

5.三角函數(shù)y=sinx,cosx,tanx,cotx,secx,escx

6.反三角函數(shù)y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx

三.函數(shù)的四個幾何性態(tài)

(一)奇偶性

若函數(shù)y=/(x)的定義域關于原點對稱，對于任意xe。，有

,(I)/(x)=-/(-x)或者/(x)+/(-x)=0,則稱f(x)為奇函數(shù)

[(2)/(*)=/(-%)或者/(x)-/(一X)=0,則稱/(x)為偶函數(shù)

顯然，若函數(shù)y=/(x)的定義域不關于原點對稱，則其一定是

非奇非偶函數(shù)

(二)周期性(通常指最小正周期)

(三)單調性

(四)有界性

對于任意無eD,存在Me/T,使得，(x)區(qū)M成立，則稱/(幻為

區(qū)間上的有界函數(shù).

四.關于復合函數(shù).

1.>=/［例》］

由復合而成

U=(p{x)

2.y=/b(gO))］

y=/(〃)

由<"=g(v)復合而成

v=夕⑴

分解的基本原則：由外到內，層層分解，每步都是基本初等函

數(shù)或類似基本初等函數(shù)(簡單函數(shù))

五.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算或復合，并且能用一個式子表示的

函數(shù).(我們研究的函數(shù)都是初等函數(shù))

六.關于極限問題(描述性定義)

1.x->x0時的極限

limf(x)=AQ/(x-O)=/(x+O)=A(左右兩個單側極限)

JI%oo

2.x78時的極限

lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A

、X—>coXT-ooX-

注意：極限記為8的情況，屬于極限不存在的情況.

七.數(shù)列的三個特性

1.單調性：

<2.有界性存在，稱為有界；否則稱為無界。

3.收斂性：lim/(〃)=A,此時數(shù)列收斂;A不存在，數(shù)列發(fā)散

、〃一>8

注意：邏輯關系

1.收斂數(shù)列一定有界，有界數(shù)列不一定收斂.

2.無界數(shù)列一定發(fā)散，發(fā)散數(shù)列不一定無界.

3.單調有界數(shù)列必收斂

八.兩類重要極限及其推廣

兩類重要極限

?sinx.x1

l.hm-----二I或hm-------二I

a。xsinx

2.lim(I+工戶=e或lim(I+—)x=e

x—?0xT8X

推廣：

arcsinx「sinx_arctanx「tanx

(1)lim--------=lim------=lim----------=lim------

xTOxx-?Oxx->0xnox

「ex-1].ln(l+x)i

=lim-------=lim-----------=1

XTOXx->0X

1-COSX{

(2)hm——--=1

XT。X2

2

1..A/1+x—1

(3)lim-------=1(4)lim-------------=1

x->oxlna%->ox

n

注意：利用等價無窮小的近似代換在求極限時，主要用于乘除運算，一般不

用于加減運算.

例如，當XT0時，下列近似代換經常用到

(l)arcsinx-sinx-arctanx-tanx~-1~ln(l+x)~x

x2

(2)l-cosx~—

(3)ax=l+xln?

(4)Vf+x=l+-

n

變形形式如:

(l)e2x=1+2x

(2)1-cos2x?2x2

⑶ln(l—3x)=—3x

(4)Vl+X=l+y

另外，下列公式求極限時也經常用到

8,m>n,

a?,xm+a+...+a.x+aa

hm------忙m1------------?------n\J-,mm=n,

nn

…bnx+bll_lx~+...blx+btibn

0,m<n.

此結論可以作為公式使用.

九.無窮大量與無窮小量

(1)lim/(*)=8,則稱/(%)為(x—X0-,Xo+,%o,8)時的無窮大

XTX。-

+

(x-?x0)

(x->x0)

<(x—>oo)

(2)lim/(%)=0,則稱/(%)為(%7%0,%7-00,%->8)時的無窮小

ax。

(XT-8)

、(X->?>)

注意：不能孤立地說一個函數(shù)是無窮大還是無窮小，它離不開自變量的變化趨勢.

十.關于無窮小的性質與定理

'⑴0是無窮小，無窮小不一定是0

(2)有限個無窮小的代數(shù)和(乘積)仍是無窮小

'(3)有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小

(4)常數(shù)與無窮小的乘積為無窮小

十一.關于無窮小的階的比較

設a(x),夕(x)都是在自變量的同一趨勢下的無窮小

(1)如果lim綱=0,則稱"x)是比a(x)高階的無窮小，記作￡(x)=0(a(x))

a(x)

(2)如果lim犯=8,則稱"x)是比a(x)低階的無窮小.

a(x)

(3)如果lim犯=CH0,則稱"x)與a(x)同階無窮小，特別是如果C=1,則稱/?(%)

a(x)

與a(x)是等價無窮小，記作△?a

十二.夾逼定理

定理如果g(x),/(x),〃(x)滿足下列兩個條件

(1)對于X。的某一空心鄰域內的一切X有g(x)</(X)</?(JC)成立，

(2)limg(x)=limh(x)=A

XT與X-?X0

則有l(wèi)im/(x)=A

Af0

十三.關于連續(xù)與間斷點

定義1如果函數(shù)y=/(x)在點/滿足

(1)/(X)在點X。的某鄰域內有定義(含X。點)

(2)limf(x)存在

(3)lim/(x)=./'(X())

Xf%

則稱函數(shù)y=f(x)在點/處連續(xù)，否則稱函數(shù)y=/(%)在點/處間斷.

剖析：同時滿足三個條件，缺一不可

(1)有定義，/(x。)存在

(2)有極限，lim/(x)存在

XT與

(3)極限值=函數(shù)值，lim/(x)=/(x0)

f%

定義2設函數(shù)y=/(%)在點與的某鄰域內有定義，如果有

limAy=0成立，

Ar->0

則稱函數(shù)/⑴在X0處連續(xù).

十四.間斷點及其分類

前提：X。是間斷點

第一類間斷點第二類間斷點

/(x-O),/(x+O)/(x-O),/(x+O)

oo/(xo-0)=/(xn+0)oo

X。為可去間斷點

都存在至少有一個不存在

—0)聲/(x0+0)

X。為跳躍間斷點

十五.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

定理(最值定理)在閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和

最小值.

注意：若定理的條件不滿足，則結論可能不成立.例如函數(shù)y=/在區(qū)

間(0,1)內連續(xù)，但在開區(qū)間(0,1)內既無最大值也無最小值.

推論若函數(shù))=/(%)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間上有界.

定理(介值定理)若/(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則它在［a,b］內能取得介于

其最小值和最大值之間的任何數(shù).

定理(零點定理)設函數(shù)/*)在［a,b］上連續(xù)，且/(a)與/3)異號，則在

開區(qū)間(a,b)內至少存在一點使得/6)=().

這一定理說明，若閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)曲線在端點處的函數(shù)值異號，則該連

續(xù)曲線與x軸至少有一個交點.

注:要證明根的唯一性時，要用到函數(shù)的單調性.

說明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像，象山的輪廓線一樣，高低起伏、

連綿不斷，有波峰(最大值)，也有波谷(最小值).

第二部分典型例題

專題一：關于函數(shù)值及表達式

1.若/(工)=。/+加：3+次-1,。,仇,為常數(shù)，/(一3)=3,求/(3)

答案：/⑶=-5

,,fllx|<1qr1

2.右〃x)=,求/[/(x)]

〔0|x|>l

答案：/[/(x)]=l

2

3.若,f(x)=lim(l+，求/(In3)

M-?0

答案：/(ln3)=9

4?若小I；：*求/⑴的表達式

x~-l<x<0

答案：/(*)=?+2x+1

2x+20<x<l

5.若f(x)=x2,叭x)=2*,求丹p(x)]，<p[f(x)]

答案：加答)]=4"<p[f(x)]=2x2

6.若/(x)可微，且/(x)+2j；■辿=1,求/(x)

答案：/(x)=x-g+ge-2"

7.若廣(x)=l+x,求/(x)

答案：/(x)=x+ex+C

8.若lim/(x)存在，且/(x)=/+----+21im/(x),求/(x)

IX+1*5

答案：/(x)=x3+2x^-5

9.若/(*)+8*2+2『/(x)dx=1,求/(x)

J0

答案：/(*)=-8/+與

9

10.設X20,求/(*)=1加彳1+》"+(2)”

"T8V2

10<x<l

答案：/(X)=max<1,x1<x<2

x2

x>2

2

專題二：關于奇偶性及應用.

11.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

⑴y=ln(x+7x2+1)

答案：奇函數(shù)

ex-e~x

⑵)二一z

答案：奇函數(shù)

1

(3)y=cosxIn—

答案：奇函數(shù)

(4)F(x)=/(x)+/(-x)

答案：尸(X)是偶函數(shù)

⑸b(*)=〃％)—/(—*)

答案；方(%)是奇函數(shù)

12.求下列定積分

(l)f(x)連續(xù),1[f(x)-/(-x)]dx

J—oo

5?2

⑵…續(xù)

答案:(1)0,(2)0

專題三：關于極限問題.

13.求下列極限

（l）lim

1-cos（l-cosX）

答案：⑴-8

/lx-X

一

a。sin4x

小、1

答案：（2）1

(3)lim5nsin—

5”

答案：（3）x

(2X-1)30(3X+2)20

(4)lim

X—>oo(5x+l)50

23q2。

答案：（4:51

答案：⑸;

(6)lim(Vx3+x2+x+l-x)

x—>4-00

答案：⑹；

(7)lim(―/.+7…+-/-)

"f8-\/w2+1J/+2yjn2+n

答案：(7)1

22sinx

答案：(8)g

⑼lim(/4嚴

282x-1

答案：(9)e2

3+3x-

(10)lim(-------)x

J3+2x

答案：(10)1

14.設lim(衛(wèi)生)*=8,求。的值.

xt8x-a

答案：a=ln2

ax.3

is.設1吧z(1一r--一)二弓,求。的值.

ii1-x1-x2

答案：a=2

工2+hjr+c

16.設H斗----)=5,求加c的值.

I1-X

答案：b=—Q,c=6

專題四:關于連續(xù)與間斷問題.

17.指出下列函數(shù)的間斷點及其類型

sinx

⑴/（x）=----

X

答案:X=0第一類（可去）間斷點

⑵/（x）=U1x1

X

答案：x=0第一類（跳躍）間斷點

⑶/（幻=外

答案：x=0第二類間斷點

（4）/（x）=sin-

X

答案：》=0第二類間斷點

2X—1

(5)/(%)=———

2；+1

答案：x=0第一類（跳躍）間斷點

rz、，+X—6

(6)/(x)=_2~—

x-4

答案：尤=2第一類（可去）間斷點；x=-2第二類間斷點.

sin2x

x<0

x

18.判斷函數(shù)/（尤）=bx=0的連續(xù)性

3x+2x>0

答案：。=2時處處連續(xù)，否則其余點連續(xù)，而在x=0處不連續(xù).

i^ax

1-e八

----x<0

X

19.若函數(shù)八幻=hx=0在x=0處連續(xù),求的值.

Jl+x-1

x>0

、sinx

答案：—^4

b(l-cosx)

x<0

x2

20.若函數(shù)/(x)=.ax=0在x=0處連續(xù)，求〃力的值.

J_

Acosr2Jrx>0

0

答案：a-1,b-2

專題五：無窮小與無窮大

21.下列函數(shù)何時為無窮小，何時為無窮大?

⑴/(x)=2'

答案:xT_8;XT+8

⑵/(工)=與三

x—1

答案：x->-2,oo；X一±1

⑶/(x)=e、

答案：x-?0;x-?0+

(4)/(x)=lnx

答案：x—>l;x0+,4-oo

專題六：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

22.證明：若/(%)在區(qū)間［a,4上連續(xù),a<M<%…<%<小則在

國,招］內至少有一點使/C)=/3)+/(々)+.../氏)

n

23.證明:方程-3x+l=0

(1)在(1,2)內至少有一根

(2)在(1,2)內有且僅有一根

24.證明:方程2/一1_J：-Ldt=0在［0,1］內有且僅有一根

25.設任意函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［㈤上連續(xù)，且a＜玉＜/＜b,ct,c2

為任意正常數(shù)，求證在［a,b］內至少有一點J，使等式

c］f(xi)+c2f(x2)=(ci+。2)/《)成立.

第2章導數(shù)與微分

第一部分基本內容

.導數(shù)定義

函數(shù)y=/(x)在點％=與的某鄰域內有定義，若極限［四，魯存在，則稱

函數(shù)在該點可導,y'(x°)=f\x.)=lim=lim+Ax)-/(x0)

二.導數(shù)的兩種形式

(I)增量式r(％o)=lima=lim十&)一~)

&TO24rzk-?oAx

(2)兩點式/'(10)=lim-=lim二’

xftOaxftOX-

三.導數(shù)的幾何意義(K切=〃(尤。))

⑴切線方程丁一/(%0)=/'(%0)(%一/)

⑵法線方程y-f(x0)=-J(%—★)

/(殉)

四.左導數(shù)與右導數(shù)

⑴左導數(shù)以%。)=lim生=lim〃%。+&)-/(%。)

4T?！?^JA—?o-4^

⑵右導數(shù)單與)=lim@=lim-。+—。)

Av—>0+4^4H()+4^

<(%)=AQ￡(%)=/：(/)=A

注意邏輯關系：

五.導數(shù)的運算法則

/

(l)[w(x)+v(x)]=，(x)+/(x)

，

(2)[w(x)v(x)]=w，(x)v(x)+〃(x)M(尢)

/

推論[M(X)V(X)6\X)]=”'(x)v(x)6y(x)+M(X)V'(X)0(X)+M(X)V(X)<Z)/(JC)

⑶3u\x)v(x)一〃(x)/(x),

7——叭X)MUn

v(x)V(x)

1"，(x)

推i匕----——5--------(u(x)0)

_M(X)JU2(x)

六.導數(shù)的基本公式.

⑴c'=o

⑵(X)'=l

(3)(xay=axa-'

常見(五)'=—尸；(一)'=--

2dxxx

(4)(ax)'=axIna(a>0,aH1)

(5)07

z

(6)(logox)=J—(a>0,aH1)

xina

(7)(lnx)z=-

X

(8)(sinxY=cosx

(9)(cos?’=—sinx

(10)(tanx)/=sec2x

(1l)(cotx)z=-esc2x

(12)(secxY=secx-tanx

(13)(escxY=-escx?cotx

(14)(arcsinx)'=/1

717?

(15)(arccosx),=——11

(16)(arctanx\=—

1+x

(17)(arctanx)z=---

1+x2

七.微分的概念

1.y=/(x)A=/(x+Ar)-/(x),

若Ay=AAx+a(x),其中l(wèi)ima(x)=0,A與Ax無關，貝！J記

微分力=AAx,其中A=/(x),又M=dx,

則微分dy=f\x)dx.

2.微分的幾何意義：表示曲線y=/(x)上點x處的切線的縱坐標的增量.

A.微分的運算法則

(1)J[M(X)+v(x)]=du(x)+Jv(x)

(2)<4〃(x)v(x)]=v(x)t/w(x)+M(X)JV(X)

⑶"]=上皿口四^心)HO

1u(x)」v-(x)

推論：d」一二一'#"）（〃（x）wO）

_M（X）JW2（X）

九.微分的基本公式.

⑴dC=O

(2)dx=dx

⑶辦=axa~]dx

(4)dax=axInadx(a>0,a，1)

(5)de'=e'dx

(6)dlog“x=--—dx(Q>0,aW1)

x\na

⑺dlnx=—dx

x

(8)Jsinx=cosx(ix

(9)dcosx=-sinxdx

(10)6/tanx=sec2xdx

(11)Jcotx=-esc2xdx

(12)dsecx=secx-tanxdx

(13)Jescx=-escx?cotxdx

(14)darcsinx=/】dx

(15)darccosx=——.dx

(16)darctanx=-dx

1+x

(17)arctanx=----L7ax

1+x~

上述公式可以左右互換，這個就是后面經常要用到的湊微分公式,

這里提前掌握，有利于后面不定積分的學習.

十.常見湊微分公式

(l)dx=—d(ax+與(aW0)

a

(2)xadx=—1―dxa+}(aW-1)

a+1

常用~^=dx=2dy[x,-\-dx=-d—

NxXX

(3)—djc=d\nx

x

x

(4)優(yōu)dx=d-^—(a>0,。w1)

Ina

(5)e'dx=dex

(6)sinxdx=-dcosx

⑺cosx八二dsinx

(8)sec2xdx=dtan尢

(9)esc2xdx=-dcotx

(10)secx-tanxdr=Jsecx

(1l)cscx?cotxdx=-descx

1

(12),-dxdarcsinx=-darccosx

Ti-x7

（13）-dx-darctanx--darecotx

1+x~

十一.隱函數(shù)的求導的三種方法

方法一：將隱函數(shù)化為顯函數(shù)（一般很困難）

方法二：方程兩邊同時對X求導數(shù).

（始終將y看成X的函數(shù)，對含有y的函數(shù)求導時必有y'）

方法三：方程兩邊同時求微分.

（最后合并同類項，求出立即可）

ax

十二.對數(shù)求導法

適用對象：(1)幕指函數(shù)

(2)函數(shù)的連乘、連除、乘方、開方的形式

步驟：(1)兩邊同時取自然對數(shù)(顯函數(shù)變成隱函數(shù))

(2)兩邊同時對x求導

十三.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導.

=/

-,

r?e

/<■.

--,r(("⑺/0)

川

嬴

dy，⑺]

⑵-=型=承=L乃。[=廣⑴“⑺1'⑴，⑺(夕”0)

dxdx(p\t)(p(t)

~dt

十四.復合函數(shù)的求導.(鏈式法則)

基本方法：由外到內，層層分解，層層求導，逐個相乘.

(l)y=由〈復合而成.

U=夕(X)

<=4*竺=廣(〃)義”(幻

duax

y=/(?)

(2)y=/{g[e(x)]},由<"=gO)復合而成.

V=(p(x)

y==f\u)xgz(v)x(p\x)

duavdx

注：復合函數(shù)的微分形式的不變性.

注：求復合函數(shù)的微分既可以按照微分的定義求，也可

以按照微分形式不變性求.

十五.高階導數(shù).

"/，、/dyd~yr"

y="）"正=2

d'y

y=（y）=”-,-/”（九）,

axdx3

v（4）_（v“）/_dy"_dAy

y-。）~~arx~~arxr

例如：(l)sin</0x-sin(xd---),(2)cos<"'x=cos(xH----)

22

注：顯函數(shù)的高階導數(shù)往往要用到歸納的方法，建立y⑺

與〃的關系.

十六.微分在近似計算中的應用.

因為AXTO時，-dy9所以

⑴Ay=fXx0)Ax

(2)/(x0+Ax)=/(x0)+f\xa)^x

特別，當x0=O時，有

⑴Ay=y'(O)x

(2)/(x)=/(0)+/W

第二部分典型例題

專題一關于導數(shù)值.

1.若/(尤)=尤(％-l)(x-2)(x—3)...(x—10),求/'(0)

答案：10!=3628800

2.若按定義求廣⑴

答案：3

3.若/(%)=-2,求

⑴1質-/(X。)⑵./(x。+必Y)-/(/+Mx)

Xi%Ar刀.與Ar

答案:(1)2(2)2--a)

4.若/(x)在x=2處連續(xù)，且lim3=3,求廣⑵

22X—2

答案：3

5.若/'(x)=2',求lim"?_/(")

…x-a

答案：2aIn2

6.若y=/(x)為偶函數(shù)，且在x=0處可導，求證/'(0)=0

專題二：復合函數(shù)的求導.

7.(l)y=ln(J-+1+%)

答案：⑴了=74=

Vx2+1

(2),="rctan&

arctan&

答案:(2)y'=—『------

2jx(l4-x)

⑶y=arctan—

x

答案：(3)y=-1

\+x

X

(4)/(%)=3而，求八e)

答案：(4)/修)=0

(5)y=/(/)/")"⑴可導，求半

ax

答案?(5)孚=尸(《"/x)+f(ex)efMf(x)

專題三：對數(shù)求導法.

8.(l)y=(l+x嚴

sinx

答案：⑴y'=(l+x產*cosxln(l+x)+

1+x

(2)y=sinxtanx

答案：(2)y'=sin%snx(sec2xlnsinJC+1)

⑶…得

l-x11

答案：y'=x.)

1+x2(1—x)2(1+x)

x23-x

⑷y二-----■

1一1(3+%產

答案:

x22112

(4)y

l-xxx3(3-x)3(3+x)

專題四：隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導.

9.(1)方程e-v+cos盯=0確定函數(shù)丁=y(%),求；/(%)

答案：⑴—mx1

e)-xsinxy

(2)方程孫+/=0確定函數(shù)y=y(x)求y'(x)(尤)

答案：⑵八個，/=

x+e(2—y)

(3)方程y=1+%""確定函數(shù)丁=y(%),求dy

x=0

答案：⑶力=edx

x=0

10(1)方程卜"sinr確定函數(shù)y=求字〃

*Iy=1cos，dxt=—

i4

答案：⑴0

\x=acos31.w,、“

(2)<3確定函數(shù)y=y(x),求y(%)

[y=<2sint

答案：(2)y'=-tanf,/=-~—1———

3asint-cost

專題五：高階導數(shù)

ii.(i)T,求嚴"°,

x=0x=0n

答案：(1)0,10!

⑵產)=]nsinx,求產

答案：(2)j(n)=esc2x

(3)y=In(x-l),求y(")

答案：(3)產=(-1嚴產?

(x-l)

(4)y=J-，求.*

1-x

答案：(4)嚴)=:

(1-X)

專題六：導數(shù)的幾何意義

12.求證曲線y上任意點處的切線與x軸，y軸所圍的三

X

角形的面積為2.

13.求證拋物線五+6=后上任意點M(x0,y。)處的切線在

兩個坐標軸上的截距之和為a.

14.求曲線>=，上經過點(1,0)處的切線方程.

X

答案：x+y—1=0

15.求曲線卜=31+〃)上在處的法線方程.

[y=arctant

TT

答案：y--=-2(x-\x\2)

4

16.設y=y(x)由方程ylnx=xl”確定，求曲線y=y(九)在點

%=1處的切線方程.

答案：y二x

17.已知y=ox"+而+/+3在點(—1,4)與直線>=-尤+5相

切，求。，人的值.

答案：a=—l;b=—1

18.設曲線/(幻=丁+OY與g(X)=加+0的交點為(1,0),且在

此點處有公共切線，求的值.

答案：a=-l;b=l,c=-l

專題七：關于分段函數(shù)

19.討論函數(shù)y=兇在點光=0處的連續(xù)性與可導性.

答案:連續(xù)但不可導

20.討論函數(shù))=布|在點x=0處的連續(xù)性與可導性.

答案:連續(xù)且可導

21.函數(shù).一人叫XHO，問當％為何值時，該函數(shù)在點

0x=O

x=O處⑴連續(xù)；(2)可導；(3)導函數(shù)連續(xù)

答案:(1)%>0;(2)k>i;(3)k>2

I2

22.若函數(shù)/(x)=(rX-［在X=1處可導，求ag的值.

ax+bx>1

答案：a=2,b--\

23.若函數(shù)/(幻=卜"'%-°，求r(x).

[xsinxx>0

2xe~x-x~e~xx<0

答案：，(x)=<0x=O

sinx+xcosxx>0

專題八：關于微分在近似計算中的應用

24.(1)求"麗的近似值

答案”)2.001

(2)求027.0027的近似值

答案：(2)3.001

25.證明:當x-?0時,(sinx+cosx)"==1+zu

第3章導數(shù)的應用

第一部分基本內容

一.微分中值定理及其推論

1.羅爾定理

如果函數(shù)/(x)滿足下列條件

(1)在閉區(qū)間上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內可導;

(3)在區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值相等，即/(。)=/(份,則至少存在一點Je(a,b),

使得/'C)=o.

2.拉格朗日定理

如果函數(shù)/(x)滿足下列條件

(1)在閉區(qū)間［a,上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,份內可導;

則至少存在一點(a,b),使得/'?)=二&)

b-a

3.柯西定理

如果函數(shù)/(X)與g(x)滿足下列條件

(1)在閉區(qū)間除以上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(。,價內可導，并且在(a,加內每一點處均有g'(x)HO,則至少存在

/G)

一點Jw(a,b),使得

g(b)-g(a)g'C)

推論1若函數(shù)/(X)在區(qū)間3,與內可微，且/'(X)三0,則/(X)在(。力)內是一

個常數(shù).

推論2若函數(shù)/(%)和g(x)在①力)內每一點的導數(shù)f\x)與g'(x)都相等，則這

兩個函數(shù)在(a,b)內僅僅相差一個常數(shù).

羅必塔法則

0oo

適用對象：未定式V型與一型

08

定理如果函數(shù)/(X)和g(x)滿足

(1)lim/(%)=limg(x)=0；

,Ifo

(2)在點X。及其附近可導，且g'(x。)W0；

(3)lim，產)=A3),

f。g(九)

則lim=lim華^=A(g).

i。g(X)HOg(X)

注：條件成立，羅必塔法則可以多次使用.0.8型和8-8型可以轉

化為。型或巨型

08

三.單調性及其判斷

(1)定理如果函數(shù)/(%)在區(qū)間(a力)內可導：

(1)若在(。/)內/'(x)>0,則/(幻在(a,》)內是單調增加的；

(2)若在(a,價內f(x)<0,則/(幻在(a,切內是單調減少的；

(2)單調區(qū)間的分界點(只有兩類)

(1)駐點

(2)一階不可導點

四.函數(shù)的極值

1.函數(shù)的極大值與極小值

定義如果函數(shù))(幻在點/及附近有定義，對于與近旁除點與外的所有無，滿足

(1)/(幻</(%),則稱/(%)為函數(shù)/(幻的一個極大值，/稱為

函數(shù)的極大值點.

(2)/(x)>/(%),則稱/(%)為函數(shù)/(x)的一個極小值，/稱為

函數(shù)的極小值點.

定理1(極值的必要條件)

設函數(shù)/(X)在點X。處可導，且在點無。處取得極值，則必有

,

/(