河北省張家口市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

張家口市2022～2023學(xué)年第二學(xué)期高一期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)據(jù)68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位數(shù)為()．A70 B.75 C.80 D.882.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為()．A B. C. D.3.已知圓錐的體積為，底面面積為，則該圓錐的側(cè)面積為()．A. B. C. D.4.某校為了讓學(xué)生度過(guò)一個(gè)充實(shí)假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計(jì)劃．已知該校高一年級(jí)有400人，占全校人數(shù)的，高三年級(jí)占，為調(diào)查學(xué)生計(jì)劃完成情況，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從全校的學(xué)生中抽取作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖所示統(tǒng)計(jì)圖，則樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的人數(shù)為()．A.80 B.90 C.9 D.85.在中，為的重心，為上一點(diǎn)，且滿足，則A. B.C. D.6.在三棱錐中，，，一只蝸牛從點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐三個(gè)側(cè)面爬行一周后，到棱的中點(diǎn)，則蝸牛爬行的最短距離是()．A. B. C. D.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P，Q是，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是()A. B.2 C. D.8.在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍為()．A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.實(shí)數(shù)x，y滿足，設(shè)，則()．A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.C.z的虛部是 D.10.已知函數(shù)，則()A.圖象的對(duì)稱中心為，B.的單調(diào)遞減區(qū)間為，C.為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度11.一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號(hào)為1，3的兩個(gè)紅球，編號(hào)為2，4的兩個(gè)藍(lán)球，編號(hào)為5，6的兩個(gè)黑球．現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的兩球顏色相同”，B＝“取出的兩球編號(hào)之差的絕對(duì)值為1”，C＝“取出的兩球編號(hào)之和為6或7”，D＝“取出的兩球編號(hào)乘積為5”，則下列說(shuō)法正確的是()．A.事件A與事件B相互獨(dú)立 B.事件A與事件C相互獨(dú)立C.事件B與事件C相互獨(dú)立 D.事件B與事件D互斥12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M是中點(diǎn)，E是線段(包含端點(diǎn))上任意一點(diǎn)，則()．A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角為C.平面內(nèi)一定存在直線l，使得平面D.存在點(diǎn)E，使得平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件B為“恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件C為“至少有兩次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則__________．14.已知，則的取值范圍是__________．15.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．16.已知正四面體，O是底面的中心，以為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)后，與原四面體的公共部分的體積為，則正四面體外接球的體積為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.為了了解全校學(xué)生計(jì)算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計(jì)算能力測(cè)驗(yàn)．現(xiàn)對(duì)全校學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)做統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)；(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的情況，從成績(jī)?cè)谥g的學(xué)生中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，選取7名學(xué)生進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@7名學(xué)生中任選2名學(xué)生在總結(jié)大會(huì)上發(fā)言，求抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)诘母怕剩?9.如圖，在直三棱柱中，D，M，N，P分別是，，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求異面直線與所成角的余弦值．20.如圖，在中，為鈍角，D在上，且滿足，，．(1)若，求；(2)若是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．21.已知函數(shù)．(1)若，求；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．22.如圖，在平行四邊形中，，，，將沿折起到，滿足．(1)求證：平面平面；(2)若在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，求此時(shí)的長(zhǎng)度．

張家口市2022～2023學(xué)年第二學(xué)期高一期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)據(jù)68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位數(shù)為()．A70 B.75 C.80 D.88【答案】C【解析】【分析】把給定的由小到大排列的數(shù)據(jù)，根據(jù)第p百分位數(shù)的定義求解作答.【詳解】依題意，，所以所求第30百分位數(shù)為80.故選：C2.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為()．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】根據(jù)投影向量的定義可得，在上的投影向量為.故選：A3.已知圓錐的體積為，底面面積為，則該圓錐的側(cè)面積為()．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐體積公式可求得高，根據(jù)圓錐的底面積公式可求得半徑，從而可求得圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.【詳解】令圓錐的高為，底面半徑為，母線為，由圓錐的體積公式，可得,解得，由圓錐的底面積公式，可得，解得，所以圓錐的母線長(zhǎng)，所以.故選：B.4.某校為了讓學(xué)生度過(guò)一個(gè)充實(shí)的假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計(jì)劃．已知該校高一年級(jí)有400人，占全校人數(shù)的，高三年級(jí)占，為調(diào)查學(xué)生計(jì)劃完成情況，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從全校的學(xué)生中抽取作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖所示統(tǒng)計(jì)圖，則樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的人數(shù)為()．A.80 B.90 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】首先計(jì)算出計(jì)算出樣本容量為120人，則高三年級(jí)有20人，根據(jù)高三完成率即可得到答案.【詳解】，故樣本容量為120，其中高三年級(jí)有人，由圖可知，樣本中高三年級(jí)假期學(xué)習(xí)計(jì)劃的完成率為，故樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的人數(shù)為，故選：D.5.在中，為的重心，為上一點(diǎn)，且滿足，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法和減法即可判斷結(jié)論．【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：根據(jù)向量加法運(yùn)算可得因?yàn)镚為△ABC的重心，M滿足所以，所以所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6.在三棱錐中，，，一只蝸牛從點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐三個(gè)側(cè)面爬行一周后，到棱的中點(diǎn)，則蝸牛爬行的最短距離是()．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，從而可知線段為所求，再利用余弦定理即可得解.【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，則線段為所求，由題意得，，由余弦定理可得，則，即蝸牛爬行的最短距離是.故選：D.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P，Q是，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是()A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，利用面面平行的判定定理確定平面，利用余弦定理及三角形面積公式求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，因，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，即三角形為所得截面，在中，，，由余弦定理得，所以，所以.故選：C.8.在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍為()．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得，進(jìn)而求得，再把化為，結(jié)合即可求解.【詳解】，,即，，，，，，.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.實(shí)數(shù)x，y滿足，設(shè)，則()．A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.C.z的虛部是 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)，再逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】由，得，而，則，解得，即，對(duì)于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，z的虛部是，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則()A.圖象的對(duì)稱中心為，B.的單調(diào)遞減區(qū)間為，C.為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】AC【解析】【分析】用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，采用整體代入的思想判斷A、B，利用圖象左右平移法則判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】令，解得，，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，，故A正確；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故C正確；將的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號(hào)為1，3的兩個(gè)紅球，編號(hào)為2，4的兩個(gè)藍(lán)球，編號(hào)為5，6的兩個(gè)黑球．現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的兩球顏色相同”，B＝“取出的兩球編號(hào)之差的絕對(duì)值為1”，C＝“取出的兩球編號(hào)之和為6或7”，D＝“取出的兩球編號(hào)乘積為5”，則下列說(shuō)法正確的是()．A.事件A與事件B相互獨(dú)立 B.事件A與事件C相互獨(dú)立C.事件B與事件C相互獨(dú)立 D.事件B與事件D互斥【答案】ABD【解析】【分析】列出6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球的全部結(jié)果，從而可以求解事件的概率，再結(jié)合互斥事件與獨(dú)立事件的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)題意可知，6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球，共有15種可能，分別為.事件包含3種可能，即；事件包含5種可能，即；事件包含5種可能，即；事件包含1種可能，即.事件分別為各1種可能，對(duì)于A，，A對(duì)；對(duì)于B，，B對(duì)；對(duì)于C，，錯(cuò)；對(duì)于D，事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，故事件與事件互斥，對(duì).故選：ABD.12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M是中點(diǎn)，E是線段(包含端點(diǎn))上任意一點(diǎn)，則()．A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角為C.在平面內(nèi)一定存在直線l，使得平面D.存在點(diǎn)E，使得平面【答案】AC【解析】【分析】利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)結(jié)合棱錐體積公式即可判斷A，對(duì)B，過(guò)作，垂足為，求出的范圍，則得到的范圍，即可判斷B，對(duì)C，利用線面平行的判定即可，對(duì)D，首先證明平面，再利用反證法即可判斷.【詳解】，故A正確；過(guò)作，垂足為，連接，則為直線與平面所成角，則，又因?yàn)椋?，，，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，平面，則，則四邊形為矩形，則，，當(dāng)與或重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，顯然直線與在底面內(nèi)相交，故平面與平面相交，在平面內(nèi)一定存在直線與交線平行，則平面，故C正確；對(duì)D，因?yàn)榈酌妫矫?，，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，延長(zhǎng)使得，再分別連接，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則異面直線與的夾角即為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，假設(shè)平面，則平面與平面重合，顯然假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過(guò)作過(guò)作，從而計(jì)算出的范圍即可，對(duì)D選項(xiàng)，首先證明平面，然后再利用反證法即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件B為“恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件C為“至少有兩次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，則__________．【答案】1【解析】【分析】判斷試驗(yàn)的空間與事件的關(guān)系，即可求解作答.【詳解】依題意，一枚骰子拋擲三次的試驗(yàn)的所有基本事件構(gòu)造的空間，而事件兩兩互斥，所以.故答案為：114.已知，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，利用圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楸硎緩?fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，故所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，如下圖所示，則最小值為，最大值為，故的取值范圍是.故答案為：15.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由可得，再由函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)可得則，求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以的取值范圍為.故答案為：16.已知正四面體，O是底面的中心，以為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)后，與原四面體的公共部分的體積為，則正四面體外接球的體積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出變換后的公共部分圖形，由其體積求出原正四面體的棱長(zhǎng)，再求出外接球半徑作答.【詳解】以為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)后，公共部分為正六棱錐，如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，而，則，正六邊形的邊長(zhǎng)，，因此公共部分的體積，解得，顯然正四面體的外接球球心在上，設(shè)此球半徑為，由，得，所以正四面體外接球的體積.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量共線解出，則，則得到的模；(2)根據(jù)題意推出，則得到關(guān)于的方程，解出即可；(3)由題意得，且與不反向共線，解出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】，，，，，，【小問(wèn)2詳解】，兩邊同平方得，則化簡(jiǎn)得，，，.【小問(wèn)3詳解】與的夾角是鈍角，，且與不反向共線，即，由(1)可知，則，且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.為了了解全校學(xué)生計(jì)算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計(jì)算能力測(cè)驗(yàn)．現(xiàn)對(duì)全校學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)做統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)；(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的情況，從成績(jī)?cè)谥g的學(xué)生中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，選取7名學(xué)生進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@7名學(xué)生中任選2名學(xué)生在總結(jié)大會(huì)上發(fā)言，求抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)诘母怕剩敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】(1)先根據(jù)頻率之和為1求得，再根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；(2)由圖可知成績(jī)?cè)谂c的樣本比例為5:2，從而可求得7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)冢?名成績(jī)?cè)冢倮昧信e法可求得概率.【小問(wèn)1詳解】由題意得，可得，所以，所以此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)為76分.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，成績(jī)?cè)谂c的樣本比例為5:2，所以7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)冢?名成績(jī)?cè)冢糁?人分別為，中2人分別為，則從中抽取2人的所有組合為，有21種情況，兩人中至少一人的成績(jī)?cè)诘挠蟹N情況，所以抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)诘母怕蕿?19.如圖，在直三棱柱中，D，M，N，P分別是，，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)連接，設(shè)，連接，利用線面平行的判定推理作答.(2)利用定義法求出異面直線夾角的余弦作答.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，連接，設(shè)，連接，如圖，由,分別是矩形對(duì)邊的中點(diǎn)，得四邊形是矩形，即是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，于是，又平面平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榉謩e是矩形對(duì)邊的中點(diǎn)，則，因此四邊形是平行四邊形，則，于是或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，由，得，在中，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.2