高中數(shù)學(xué)人教A版（2019） 必修（第一冊(cè)）同步練習(xí)：第五章正弦定理和余弦定理提升篇

《作業(yè)推薦》一正弦定理與余弦定理提升篇

一、單選題（共40分）

cos2j=^（ab,<

1.在&4BC中，，分別為角A，B,C的對(duì)邊），則&48C的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形D.正三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

1+coJsinfl+sinC

根據(jù)正弦定理得到22sHlc,化簡得至ijsm>lcosc=0,得到C=],得到答案.

【詳解,】

1+CO&4sinB+sinC

則22sinC

即sinC+cosXsinC=sin4cosc+cosAsinC+sinC,gpsin>lcosC=0

siMHO,故cosC=0,C=

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

B=45a,c=2y/2,b=竽

2.在&4BC中，已知角,則角4=（）

A.15°B.75°C.105°D.75°或15°

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知及正弦定理可求加0,結(jié)合范圍CC（0F8CT）,可求C的值，利用三角形內(nèi)角和定理可求4的值.

【詳解】

B=45°,c=2y/2,b=-=-

??j

.._0nB2、12x^v*3

??SinC=-r-==y

丁，

vcw（o，i8（r）,

AC=6（r或120;

.-.4=180s-B-C=15*或75：

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題.

3.在AA8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=l,c=v13,且2sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,則AABC的面積是

()

里-里里\1

A.4B「C.4或之D."或"

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知關(guān)系求出51n8=根據(jù)余弦定理求出邊a,根據(jù)面積公式即可得解.

【詳解】

因?yàn)?sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,所以2siiMcosC=1-2cos4sinC,

所以2sin4cosc+2cosAsinC=1,所以2sin(4+C)=1,

所以2sinB=l,即sin8=；,

cosB=V1—sin2B=g

因?yàn)閎<c,所以BVC,所以角B為銳角，所以z,

,l=a2+3-2xaxV3x^

由余弦定理叢=*+'2_加箕053得2,

整理可得/-S+2=0,解得a=1或a=2.

S=yacsinS=1X1xV3X；=]

當(dāng)a=l時(shí)，△A8C的面積是24；

S=^acsinB=；X2

當(dāng)a=2時(shí)，AABC的面積是22.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)余弦定理解三角形，關(guān)鍵在于熟練掌握定理公式，結(jié)合邊角關(guān)系解方程，根據(jù)面積公式求解.

be_

4.設(shè)A48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,4c.已知2b-acosC=0,sin4=3sin(4+C),則"一()

口舊2n

人彳~1y

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

2

根據(jù)正弦定理把角化邊，可得a=3b,進(jìn)一步得到8sC=),然后根據(jù)余弦定理，可得c=、后”最后可得結(jié)果.

【詳解】

在MBC中，詢=而

由sia4=3sm(j4+C)=3sin(7r—B)=3sinB

所以a=3b①，又2b-acosC=0②

2

由①②可知：cosC=1

22

cos_c=W-r+-b72—-c=7

又3③

把①代入③化簡可得：C=跳

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于將c用萬表示，當(dāng)沒有具體數(shù)據(jù)時(shí)，可以聯(lián)想到使用一個(gè)參數(shù)表示另外兩個(gè)參

數(shù)，屬中檔題.

5.已知巴b,c為AABC的三個(gè)內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊，向量出=(百，-1),7=(cos4E4),若記1a，且acosB+bcos/=csinC,

則角B=()

111tlt!T

3462

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析〕

由說J.55求出A,由acos8+bcosA=csrnC結(jié)合正弦定理可求得C,最后可得5.

【詳解】

一「mn=V3cos4-sin4=2(?cos4-|sin4)=2cos(4+1)=0

?>??，

???4是三角形內(nèi)角，...4+1=T,A=?，

?/acosB+bcos4=csinC,由正弦定理得siiL4cos8+sinBcos4=sin2。，

sin(4+B)=sin2CsinC=sin%,。是三角形內(nèi)角，.?.sinC=l,C=也

.3=5

??r.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查兩角和的余弦與正弦公式，考查正弦定理、誘導(dǎo)公式，在解三角形問題中，如果出現(xiàn)關(guān)于邊a，4

的齊次式時(shí)常常用正弦定理化邊為角.

6.A48C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,S"BC表示AA8C的面積，已知百川=v'3abcosC+25“%，則4=()

nnn511

643T

A.B.C.D.

【答案】c

【解析】

【分析】

利用三角形的面積公式，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得蟲=內(nèi)，結(jié)合范圍

A￡(0"),可求4的值.

【詳解】

=v'SabcosC+25Mse—v'3abcosC+2X；absinC

v'3fe2=>/3abcosC+absinC,可得：V3b=>/3acosC+asinC?

’由正弦定理可得："買inB='國sirh4cosc+siaAsinC,

sinB=sin(A+C)=sni4cosC+cosAsinCf

v'3sin4cosC+v,f3cosAsinC=HSIIL4cosc+sirUsinC,

可得：v'3cos4sinC=MlsinC,

vsinC>0

?**v'3cos4=sin>l,可得tanA二百，

???AE(0冬)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的面積公式，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考

查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

7.如圖，四邊形A8CD是邊長為2的正方形，EDI平面ABC。，F(xiàn)C1平面A8CD,ED=2FC=2,則異面直線AE與8F所成角的余弦

值為()

E

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形,取E"中點(diǎn)P,連接APPF,可得AP〃3F,故”曾為異面直線AE與“所成角，結(jié)合已知，即可求得答案.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖形,取ED中點(diǎn)々連接APPF

vPD//FC^PD=FC

二四邊形PDFC是平行四邊形

PF"DC旦PF=DC

又四邊形ABCD是的正方形

可得AB〃DC且AB=DC

故4B〃PF且48=PF

二四邊形ABPF是的平行四邊形

BF//AP^BF=AP

故"川為異面直線4E與BF所成角

在RtA4PD根據(jù)勾股定理可得:AP=）心+DPZ=V2Z+lz=、倍

在RtAE4D根據(jù)勾股定理可得:AE=VAD2+￡DZ=V2Z+22=26

在AE4F中?艮據(jù)余弦定理:EP2=EA2+AP2-2EA?AP?cosrE4P

￡4^+4產(chǎn)N-E尸工

COS￡￡AP=-TA-AP-

可得:

8+5-13_3g

2?2位?遙一后飛-1。

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查求異面直線夾角，解題關(guān)鍵是掌握異面直線夾角的定義和將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為共面夾角的求法,考查分析能力和計(jì)算能

力,屬于中檔題.

8.在M8C中，已知4，a,b,給出下列說法：

①若4之90。，則此三角形最多有一解;

②若4<90。，且。=云皿1,則此三角形為直角三角形，且8=90。；

③當(dāng)4<90。，且bsinAvaWb時(shí)，此三角形有兩解.

其中正確說袪的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析,】

對(duì)于①，由A290。，根據(jù)大角對(duì)大邊得a>“進(jìn)而得到8為銳角，即此三角形最多有一解，此說法正確；對(duì)于②，若AV90。，

且0=》51114得到sinB=l,此三角形為直角三角形，且8=90。，此說法正確；對(duì)于③取一個(gè)特例：時(shí)，'=8,由4為銳

角，得到5也為銳角，此三角形只有一解，此說法錯(cuò)誤；從而得到結(jié)果.

【詳解】

由4之90。，知B為銳角，則此三角形最多有一解，故①說法正確；

若4<90。，且。=,5山4貝盧1113=1,即8=90。，此三角形為直角三角形，

故②說法正確；

當(dāng)4V90。，且a=b時(shí)，A=B,此三角形為等腰三角形，只有一解，故③說法錯(cuò)誤.

故正確說法的個(gè)數(shù)為2.

故選：C

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)正確命題的個(gè)數(shù)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，三角形解的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目.

二、填空題（共25分）

9.已知1MBe中，角4、5、C所對(duì)的邊分別為a、久c,且滿足a=4,asinB=V3bcos4,若A4BC的面積S=4百，則F+c2=

【答案】32

【解析】

【分析】

利用正弦定理邊角互化思想可求得131M的值，可得出角4的值，利用三角形的面積公式可求得加的值，再利用余弦定理可求得

榜+心的值.

【詳解】

由正弦定理，得麗4疝港=VJsinBcosA,又sinBH0,所以tan4=百，所以八=今由三角形的面積公式得

S=/csiii4=三be=46

24,所以反=16,

又由余弦定理得*=82+1-2bccas4即16=b2+c2-況，

因此，松+c2=16+bc=32.

故答案為：32.

【點(diǎn)睛】

.本題考查利用正弦定理和余弦.定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

sin2>l=4sinBsinC=（克11g到11c，

10.在&4BC中，已知角4是銳角，且\加,，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

（-揚(yáng)-豹U停詞

【答案】

【解析】

【分析】

4m2=30〈cosA=，^Vl6〈典V8

根據(jù)正弦定理得"，角人是銳角，由余弦定理：，化，簡得0c,即可得解.

【詳解】

sin24=4sinBsinC=（呼+5c.y

由題：",根據(jù)正弦定理可得：

a2=4hc=（勺4m2=（當(dāng)，

0<cosA=<1

角人是銳角，由余弦定理：，

0V.長2-4打V]

3>c222

即,4bc<b+C<6bcr6bc<（b+c）<8bc

6V3<8

oc

,京Vm2<2

所以6V4/V8,即

m€(-傷-%U(玄②

故答案為：片他

【點(diǎn)睛】

此題考查利用正余弦定理求解與三角形有關(guān)的參數(shù)取值范圍，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想求解范圍.

11在A4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b“，bsinC+asinA=bsinB+csinC,c+2b=4,點(diǎn)D在線段BC上，且BD=2DC,貝肝。

的最小值為.

竺

【答案】3

【解析】

【分析】

由正弦定理化邊得：兒+1=房+己再由余弦定理求出角A,由條件8D=2DC得:

AD=^AB+AD2=^c2+^b2+^bccosA

,兩邊平方得到，結(jié)合條件C+2b=4,利用基本不等式求解即可.

【詳解】

由正弦定理得屁+。2=必+已”85-星

又46(0”)，?"=￡,

由8D=2DC,得BD=2DC,

"AD=1AB兩邊平方得

4屏+^bccosA=lc2+4b2+26c=l(c+2h)2_2bc^^+2b))7,當(dāng)且僅當(dāng)c=乃=2時(shí)取等號(hào)，

2H

ADmin="

即

竺

故答案為:

【點(diǎn)睛】

AD=+|AC

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式求解最值，屬于中檔題.將BD=2DC轉(zhuǎn)化為是解決此題的一個(gè)關(guān)

鍵技巧.

12.在銳角AA8C中，角4,B,c的對(duì)邊分別是a,b,c,若bsinC+asiM=bsinB+csinC,且。=@貝心+2c的最大值為

【答案】2/

【解析】

【分析】

...1tgv8v；2R=4^=2

根據(jù)正弦定理得到兒+限=/+/,得到A=不計(jì)算范圍*,，＞+2c=2\7sin(8+p),得到答案.

【詳解】

由bsinC+asin4=bsinB+csinC及正弦定理得bc+a[=*+c2,

尸胃盧=；

4=Ae(o,J)4=?

[0<B<

(0<C=^-B<f,gvBV;

由得

門一2

2R=呵-2

設(shè)AABC的外接圓半徑為4則

b+2c=2R(sinB+2sinC)=2sinB+2sin(y-B)|=2(2sinB+v'3cosB)

2v7vH

cos(p=-=-sin羽=-=-

=2々皿(8+仍，(其中7,7),

當(dāng)8+3=T時(shí)，2bsin(8+p)=2/,即b+2c的最大值為2V7.

故答案為：2V7

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等變換求最值，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

oaa

13.AABC的內(nèi)角45c的對(duì)邊分別為a,b“，若弘cosC+3ccasB=5asim4,且4為銳角，則當(dāng)加取得最小值時(shí)，小的值為.

【答案】話

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理將表達(dá)式邊化角變形，結(jié)合正弦和角公式即可求得51nA結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求得co54,代入余弦定理表示出

a2a

代入k中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值時(shí)瓦'關(guān)系，進(jìn)而求得"我的值.

【詳解】

由正弦定理將助cosC+3ccasB=5asin4變形可得

3sinBcosC+3sinCcasB=5sin2A

即3sin(B+C)=5sin，，

3

由sin(B+C)=sin4>0可得疝14二5

而4是銳角，所以但右:

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-1bc

則由余弦定理可得

a?亨+d￡、8_2

則時(shí)zX5855,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，”取得最小值5,

。2=押a=半匕

故，故，

a_vTl

所以沃-1{).

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，邊角轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)值，基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題(共30分)

14A4BC的內(nèi)角A,5,c的對(duì)邊分別為生比c,已知相丁=bsir".

(1)求5；

(2)若&48c為銳角三角形，且a=2,求44BC面積的取值范圍.

【答案】(1)8…-瓦(2)停-詢

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理，將邊化為角.結(jié)合三角函數(shù)恒等變換及角的取值范圍，即可求得8.

2sh<UTT)v3.4

2shicC=----r-r---=—j+l

(2)由正弦定理可得C=Q,結(jié)合三角恒等變化可化為n，由銳角三角形中角的取值范圍即可確定匕必的

范圍，進(jìn)而確定面積的取值范圍.

【詳解】

4MA4-C

asin-^-=bsiiL4>由正弦定理siiMsin一廠=sinBsirX

因?yàn)锳B,。是218c的內(nèi)角，sirMHO,

所以sin-y-=sin3=sin（7r-B）=sin（4+C）,

.4+C-.4+C4+r

所以5mh=2sm丁-cos—

4+^n

因?yàn)椤?lt;4+C<”，所以°<T〈W"

4+Cn

所以51n方-*°,cos—=5,,

_3t

所以4+。=T,

B=ff-（4+C）=w-^=?

a_b_c_2

//、,_siiv4-sinfl-sinC-sinS

（2）由正弦定理Z得P1，

2sinC

所以C=W育，

由三角形內(nèi)角和知0+C=12O。，所以。=120。-A,

ZsinfUD。-A）__丫停.

^n4―tanJ+

所以

又以BC為銳角三角形，所以120。-Av90。且AV90。,

即30,<A<90。,

又5MBe=；acsinB=；acx￥=*=^x（5^+1）

,*4V90*

tan4>g

因?yàn)?0°V4<901所以3

昌V3lvg+lv4

W,即皿5

所以S.BC=苧X（與+1）6俘，明

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角恒等變形的綜合應(yīng)用，三角形面積取值范圍的應(yīng)用，屬于中檔題.

V3asinC=2ccos2竿

15.在A48c中，角48,(的對(duì)邊分別是a標(biāo)，且.

(1)求角A的大?。?/p>

15vl

(2)若口=7,的面積是4,求A4BC的周長.

X

【答案】(1)3;(2)15

【解析】

【分析】

vl3sin4sinC=2sinCsin2^

(1)根據(jù)正弦定理得到，化簡得到儂百，得到答案.

(2)根據(jù)面積得到屁=15,再根據(jù)余弦定理得到b+c=8,計(jì)算得到周長.

【詳解】

(1)在A4BC中，A+B+C=”，所以cos華=cos手=sing,

vrSsin/lsinC=2sinCsin2

根據(jù)正弦定理，得，

vl3sin4=2sin2^

因?yàn)閟inCHO,所以z,

所以2V氧48^=251^,又啦!紅0,所以b8sLs1n2,

A_IT

所以tan$=百，易知。<4<6。<*<；,所以？三故4=

^bcsinA=^-bc=

(2)由題意得，得屁=15,

由余弦定理，得力+?—仍。8乂=榜+及+》。=49,

即(b+c)2一辰=49,所以(b+c)2-15=49,b+c=8,

故A48c的周長為a+b+c=15

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.

a_多y

16.在AABC中，角45c對(duì)應(yīng)的邊分別是a,網(wǎng)且8y。。式

(1)求正巴

(2)若。=1,A4BC的面積為遮，求b+c的值.

4V2

【答案】(1)9(2)b+c=3

【解析】

【分析】

a_%y

(1)根據(jù)題意，化簡占"1得acosC+(c-%)cosA=0,根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡，可求

cosA=I再根據(jù)二倍角正弦公式，計(jì)算可解；

(2)由(1)和三角形面積公式，可求尻=3,再根據(jù)余弦定理，可知乒+犬=3,計(jì)算即可求解b+c的值.

【詳解】

fi_七-C

(1)因?yàn)?rfeosC,所以acosC+(c-3b)cosA=0,

由正弦定理，可得仙4cosc+(sinC-3sinB)cos4=0,

即sin4cosc+sinCcosA=3sin5cosA,

即

sin(4+C)=3sinBcos4?

即sinE=3sinBcos4

又因?yàn)樗詓inBHO.

所以cos4=；

sin4=V1—COS24=與

又因?yàn)椤鉜4<”,所以，

2X3X￥=￥

所以sin24=2sia4cas4=3

S“BC=，bcsiiL4=3c?苧=&

(2)因?yàn)椋?/p>

所以屁=3.

cos4=--——

又由余弦定理，可得，

1_

即'-2x3,所以^+*=3,

所以b2+c2+2bc=3+2X3,

即（b+cy=9,解得b+c=3（-3已舍去）.

【點(diǎn)睛】

本題考查（1）正弦定理邊角互化（2）三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題型.

挈C2cos4

17.已知AABC的內(nèi)角A、B、c的對(duì)邊分別為.、b、c,面積為z,，且b=3c.

（1）求角4

（2）若角4的角平分線交8c于點(diǎn)D,且8D=、昆求C0S2DB.

【答案】（1）4=60’（2）7

【解析】

【分析】

i-bcsiivl廠

（1）利用三角形面積公式結(jié)合題意可得皿情=、'3,結(jié)合4的范圍即可得結(jié)果；

CD4co2

5K=r—sinzJlDB=-^

（2）首先通過2H求出8D=、昆進(jìn)而得到a=4\工利用余弦定理可求出c=4,接著AABD中，由正弦定理可得

進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

挈C2cosA

（1）因?yàn)锳A8C的面積為z,

ybcsin>l=孥c2cos4

所以，

3c-CSUL4=苧ACOS4

因?yàn)閎=3c,所以z,

所以tan>l=百，

又0°VAV180。,所以4=60。.

（2）因?yàn)锳=60°,角4的角平分線交BC于點(diǎn)D,所以NC4D=ZB4D=30。，

CD=_件Hn3rJ_§

又b=3c,所以麗一二大一還高開'-I-,

因?yàn)锽D=/,所以CD=3vZ所以a=C8=4。，

因?yàn)?=砂+°2—2bCCOSJ4；

所以16X7=9c2+c2-2-3c-ci解得c=4,

BD_c

.on?i.r、^_E一，sniZ35D—snilADS

在AA5D中，由正弦定理可知：

4

丁=同加sin41DB=

即i，所以

因?yàn)閎=3c>c,所以5>C

因?yàn)橐?D8=30°+C,LADC-30°

所以乙1DBV〃DC,所以〃DB為銳角,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理"，余弦定理，三角形面積公式等在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

CA-^B+ABAC=j(a+c)b

18.已知在&48c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

(1)若4sin4=3sinB,求°值；

(2)若C=120。，且c-a=8,求44BC的面積S.

5

【答案】⑴3(2)15百.

【解析】

【分析】

C

(1)條件可化為2=a+c以及4a=2b,替換b后即可得到0；

(2)利用余弦定理可整理出7a=3c,結(jié)合(1)中所得可求出a,"c的值，進(jìn)而求出面積即可.

【詳解】

解：根據(jù)調(diào)價(jià)得：CAC8+AB-AC=abcosC+bccas4

=aA吐新+“筆式=$=如+?工

*0力c2、'得2b=a+c,