2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)全真模擬試卷

姓名準(zhǔn)考證號_______________________________________

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)能力測試

本試卷共6頁，22題。全卷滿分150分，考試用時120分鐘。

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注意事項：

1.答題前，請先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形

碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

特別說明：經(jīng)過很久的打磨，本卷的命題人和審定人前后進行了數(shù)次審定和刪改，最終確定該版本。本卷

除個別試題外，均為原創(chuàng)題,試題3、4,7、10、11,22為匯編題，如有不妥,請原創(chuàng)作者聯(lián)系QQ：3114104207

并備注名為“試題爭議解決”進行說明，經(jīng)確認將立即刪除有關(guān)試題。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，有且只有

一項是符合題目要求的。

x+5

1、已知集合4=｛%］——20｝與6=｛刈＞=111（1—1）｝,則AUB=（）。

3-x

A、（―20,3］B、（—co,3）

C、SJ）D、［-5,1）

2、一個簡單幾何體的三視圖都一樣，則其可能是（）。

A、圓錐B、正四棱臺

C、正方體D、圓臺

3、［2020年北京人大附中高三］記數(shù)列｛%｝的前〃項和為則“數(shù)列｛SJ是

等差數(shù)列”是“數(shù)列｛””｝為常數(shù)列”的（）0

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

4、［2020年新課標(biāo)全國一卷改編］4名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1

個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排1名，則不同的安排方法共有（）

種。

A、24B、18

C、12D、6

5、在平行四邊形ABC。中，3AM=MB,3AN=AD,設(shè)MN交AC于點P,則前=（）

APO

A、8B、7

C、6D、5

6、古希臘學(xué)者阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，已知平面上兩點A、3與動點P,若始終滿足四=左。1,

\PB\

則點P的軌跡是一個圓，這個圓又被稱為“阿波羅尼斯圓”,其半徑為|#\-\AB\oAABC中,

k—1

sinA=2sinB,Z?2（5-4cosC）=3,則AABC的面積的最大值為（）。

A、6B、4

4

C、2D、一

3

7、若點。和點尸（―2,0）分別是雙曲線r—y2=i（Q>o）的中心和左焦點，點尸

a

在其右支上，則而?加的最小值是（）0

A、3+273B、3-273

7_7

C、D、

4-4

8、已知〃=￥25、b=e/、c=V3,貝ij()o

A、c<b<aB、a<b<c

C、a<c<bD、c<a<b

02/12

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

%e。

G

9、設(shè)函數(shù)/(%)=<”G則下列說法中不正確的是()o

A、/(%)是關(guān)于任意垂直于x軸的直線對稱

B、/(%)是關(guān)于點(0、)中心對稱

C、/(X)是周期函數(shù)

D、Ba,b&R,使得/(a)+/S)+l=/(a+?

10、［2021年5月華師一附中押題卷］已知復(fù)數(shù)2=饃5140°+在由140°,則下列說法中正確

的有()。

A、z的虛部是，sinl40°

B、z在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限

1

C、z==

Z

11、對于四面體A—BCD,則下列說法中正確的有()。

A、若==則直線AB、AC,與底面BCD所成的角相等

B、若ABLCD,ACVBD,則點A在底面5co內(nèi)的投影是A5CD的內(nèi)心

C、四面體A-5CD的四個面不可能全是直角三角形

71

D、若四面體A-BCD的棱長全部為1,則其內(nèi)切球表面積為1

12、數(shù)列｛4｝中，4=1,q二+收(〃eZ+),其中S“為｛4｝前〃項和，則下列說

法中正確的有()□

i=iicij6i=iictj5

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、在(3/+2%-4的展開式中，/項系數(shù)是o

14^若圓A:X?+V_2y-4a2=0與圓3:X?+y?_4a=0有且只有一條公切線，

則實數(shù)a的值是。

15、在三角形AABC中，角A、3、C的對邊分別為a、b、c,滿足：a2+Z>2+c2=180以

三邊為直徑向外作半圓，三個半圓上分別取點P、。、R,以三邊為軸分別向上翻折AAPB、

ABQC、ACR4,使得P、。、R重合，則翻折后得到的三棱錐體積最大為。

16、設(shè)函數(shù)/(x)=e'sinx、g(x)=ex-1,則y=/(%)和y=g(%)的圖像在(-8,2萬)上有

_______________個交點。

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、(本小題滿分10分)在單位正方體的八個頂點中任選三個，這三個點順次連接成一個三

角形。請回答下列問題：

(I)在這個三角形所在平面將該正方體分為兩個部分的條件下，這兩部分等體積的概率是多

少？

(II)記這個三角形的面積為求J的分布列與數(shù)學(xué)期望。

18、(本小題滿分12分)銳角三角形AA5C中，6C邊上的高為AH,長度為人，角A、3、

八?cosCcos8cosA

C的對邊分別為a、b、c,且----+-----=請回答下列問題:

cb-J3h

(I)求A值;

(II)求巴的取值范圍。

h

19、(本小題滿分12分)如圖，圓錐尸頂點為且側(cè)面積為底面

積的兩倍，底面半徑為3,底面圓心為0,若底面圓兩條直徑分別

為AB、CD,且ABLCD,設(shè)￡為人尸的中點。請回答下列問題

(I)試在線段上找一點。，使得C￡〃平面PD。；

04/12

(II)求二面角Q-9-C的平面角的正弦值。

20、(本小題滿分12分)已知恒正等比數(shù)列｛4｝首項為1,且％+1是％和%+1的等比中項。

請回答下列問題：

(I)求｛4｝前幾項和與積匕；

(II)出于方便，我們將Ix2x3x…X”的結(jié)果記為稱為““的階乘"。令a=log2%+],

b

求數(shù)列｛——｝的前n項和Sn。

電+1)!

21、(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中有點A(2,0)、5(-2,0),點P是平面內(nèi)一

3

個動點，直線PA和直線的斜率之積為-一。請回答下列問題：

4

(I)求點尸的軌跡￡；

(II)記點F縱坐標(biāo)的最大值取到的位置為點。，當(dāng)F和。不重合時，過。(2,-Q)作直線P。

的垂線CH,垂足為〃，求下列表達式的取值范圍：

(i)\PQ\-\CH\；

(ii)\PQ\-\PH\O

22、(本小題滿分12分)[2021年綿陽市高三第三次診斷考試]已知函數(shù)/(x)=e，-alnx。請

回答下列問題：

(I)若函數(shù)/(%)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(II)當(dāng)a=e?時，求證：/(x)>0o

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)能力測試參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，有且只

有一項是符合題目要求的。

12345678

BCBCBCAD

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9101112

ABBCDADABCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-25

14、1±V5

16、2

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17、（I）三角形分為以下三種（圖見下頁）：

A：三個頂點位于正方體的同一個表面內(nèi)

B：三個頂點構(gòu)成等邊三角形

C：三個頂點中有兩個位于某一條棱上，另一個頂點位于與前述棱平行且相對的棱上

（1分）

任取一個三角形，事件總數(shù)為C；=56個，A類三角形一共有24個，B類三角形一共8個，C

類三角形一共24個（3分）

（A類三角形）（B類三角形）（C類三角形）

三類三角形所在平面中，B類和C類都可以將正方體分為兩個部分，其中C類可以將正方體

分為體積相等的兩部分，故在這個三角形所在平面將該正方體分為兩個部分的條件下，這兩

部分等體積的概率是P=上24一=-3（4分）

8+244

13

（IDA類三角形的面積是上，概率是士（5分）

27

06/12

B類三角形的面積是上，概率是二（6分）

27

723

C類三角形的面積是空，概率是？（7分）

27

故分布列如下：（8分）

1V2V3

J

2~T~T

33

P(G

777

數(shù)學(xué)期望E?=3+3,+>

（10分）

18、(I)根據(jù)幾何關(guān)系，h=csinB=bsinC（1分）

,,cosCcosBcosCsinB+cosCsinBsinA

故----+-----=---------------------=-----（2分）

cbhh

E”..COSA,,/1A小兀、工二A兀

田ikrQinA一±6ton4-.......lilAPdu/八\.±6A—（4分）

,V3V3526

(II)由于^bcsinA=SA.*故Z?C=2Q/Z

2/vine2（6分）

r\2022

因此目標(biāo)式化為:=--,由正弦定理又化為￡=二=2sinA1

hbehbesinBsin(72sinBsinC

(7分)

考慮該式子分母即可。由2sin5sinC=2sin5sin（5+工）uJ5sin^B+sin5cos5,用三角恒

6

等變換，VSsin^+sinBcosB=—--cos2B+-sin2B=—+sin(2B--)(9分)

22223

Q<B<-

兀n冗

而2故一<B〈一（10分）

Q<C=27i-B--<-32

[62

因此百<0+sin(2B-馬1（11分）

232

因此q=------i——e[4-2V3,—）

h2sinBsinC3

19、（I）點。位于如右圖位置，處于線段05的靠近5的三等分點

的位置，即[0。|=1（2分）

連接4。并取中點連接上H、CH、PD、PQ.DQ,線段

交至于點/。由相似關(guān)系推出|0州|=1（3分）故

|021=10M\,因此ACMOMADQO,故CH〃DQ,由于C"不在平面陽。內(nèi)，故CH〃

平面PQQ（4分）

另一方面，E、H分別為線段AP、AD的中點，WEHIIPD,由于石H不在平面PQQ內(nèi),

故〃平面PQQ（5分）

另一方面，EHC\CH=H,于是可以得到平面〃平面PQQ,故C￡〃平面PQQ。

（6分）

（II）由于側(cè)面積是底面積的2倍，設(shè)|尸D|=/,則

成/=2成之，可得/=2火=6（7分）

如右圖，由于0。、0B、0。兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,寫出相關(guān)坐標(biāo)。（0,1,0）、￡＞（3,0,0）、

P（0,0,3A/3）,計算得到DP=（-3,0,373）.

2D=(3-1,0)（8分）

n?DP=Q[-3。+36c=0

并設(shè)平面POQ的某一個法向量為〃=（a,b,c）,由______得

n?QD=0b=0

（9分）

可以令c=l,則〃=百、b-3A/3,故平面DD。的某一個法向量為幾=（J§,3g,l）

（10分）

而平面PDC的一個法向量是m=（0,1,0）（11分）

08/12

因此cos<藐5>=尸’2二半,故二面角Q—P。—。的平面角的正弦為名包

\m\-\n\V3131

（12分）

3

20>(I)設(shè)a"=q"T(nGN+),故％=1,a2=q,a4=q,

由題，(q+l)2=q3+i（1分）

得到/—q?—2q=0,解得夕=一1,q=0,q=2（2分）

因為該數(shù)列是恒正的，故夕=2,4=2-（3分）前72項和

T=1+2+22+---+2"-]=^-=2"-1

（4分）

1-2

n(n—l)

前〃項積與=lx2x2?x…x2"T=2°+I+2+“+('T)=（5分）

n

(II)由題，bn=log22=n（6分）

,,bn,n11

故一-n-=------,由裂項------=----------（10分）

(/??+1)!5+1)!(n+1)!n\(n+1)!

,,iririi、，i

故Je=(zr5)+(,-a)+…+(/-小長)=1-小而

21、(D設(shè)P(%,y)(|x|w2),則左kPB=^~—(1分)

x-2x+2

化簡為一+々-=1（1%1。2）,或—+—=l（y，。）（3分）

4343

（II）（i）由題，Q（0,J§）,而|PQ|-|CH|=2SAP℃，故考慮S”2c的取值范圍即可

（4分）

當(dāng)P和。很接近時，SAP℃接近于零。直線/℃的方程是y=—設(shè)與直線QC平行

且與橢圓相切的直線為y=—岳+0（5分）

22

代入亍+\=1,化為15%2—862％+422—12=0,用判別式為零的條件知道

A=192p2—60(4p2—12)=0,解得/=±岳（6分）

故使得s“2c最大的尸點即y=-瓜-巫與橢圓的切點，該直線到的直線QC的距離為

,|V15-V3|V15-V3八

d=---------------=——-——（6.5分）

22

而|℃|=4,故SAP℃max=：X巫丁叵X4=一百，因此

22

|P2I-|CH|G(0,2(V15-J3)](7分)

(ii)\PQ\\PH^~PQ?~PC\,故考慮而?正的取值范圍即可(9分)

并設(shè)尸(％,y)(yw0),則而=(—%,/§—>),正=(2—蒼6—y),故

PQ?PC^x2-2x+3-y2(10分)

2

而下+一=1,故尸。?PC=Y—2x+3—3x(1—一)=-X-2X(11分)

4344

——?——?7

由于xe(-2,2),所以|PQ|?|P"|=|P。?PC|=|—V-2xk[0,11)(12分)

4

22、(I)求導(dǎo)，f(x)=et--(x>0),由于/(%)在凡上單調(diào)遞增，故r(x)=e‘—色20

xx

(1分)

該不等式即記g(x)=xeYx>0),g'(x)=(x+l)eA>0(2分)

因此g(x)在此上單調(diào)遞增，故g(x)=xe*>g(0)=0(3分)

因此ae(-8,0](4分)

JCP—P

(H)由(I)可知,/'(%)=:------(%>0),并令g(x)=xex-e2(x>0),故g'(x)=(x+I)ex>0

x

(5分)

另一方面，g(l)^e-e2<0,g(2)=2e2-e2=e2>0,所以玉0C(1,2),使得8(/)=0

(6分)

在(0,%)上，g(x)<0,f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；在(%o，+8)上，g(x)>0,/'(x)>0,

x2

/(x)單調(diào)遞增，fmin(x)=/(x0)=e°-eInx0(8分)

10/12

另外,由gOo）=0知道/淖=e?,取對數(shù)知道%+In/=2（9分）

22

故￡式光)=泊=-----/(2-/)=一+ex0-2e(10分)

/九0

2222

通過基本不等式結(jié)合x°e(l,2),fmm(x)^—+exo-2e>2e-2e^O,即/(x)>0

（12分）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)能力測試考點分析

題號涉及考點難度系數(shù)分值

1集合的運算A5

2三視圖A5

3數(shù)列、充分條件與必要條件A5

4排列與組合A5

5平面向量A5

6解三角形C5

7雙曲線B5

8