【不定積分的計(jì)算及其應(yīng)用探究7300字（論文）】

不定積分的計(jì)算及其應(yīng)用研究目錄320331.引言 5301822.基本概念 5308402.1原函數(shù)的基本概念 521252.2積分的基本概念 6142383.不定積分的計(jì)算方法 7237883.1直接積分法 792673.2分步積分法 8302013.3換元法積分法 9251573.4有理化法 10120884.不定積分的計(jì)算與應(yīng)用 10119804.1直接積分法計(jì)算不定積分 10268734.2分步積分法計(jì)算不定積分 1128564.3換元積分法計(jì)算不定積分 13364.4有理化法計(jì)算不定積分 15259894.5不定積分的應(yīng)用 1791084.6定積分的性質(zhì) 18115895.結(jié)論 1922856附錄 2031720附錄1： 2032264附錄2： 2125070參考文獻(xiàn) 22摘要：定積分的計(jì)算中，不定積分的計(jì)算是重要步驟之一，計(jì)算不定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，且這種解題思路被廣泛地應(yīng)用于解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題之中，如：計(jì)算曲邊圖形的面積、計(jì)算曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成三維立體圖形的體積等問題。在這些問題的基礎(chǔ)上，本文首先介紹原函數(shù)，不定積分，牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式、定積分等相關(guān)概念；在此基礎(chǔ)上再介紹不定積分的幾種計(jì)算方法，如：直接積分法、分步積分法、換元積分法、有理化法等，其中換元法包括了第一換元法和第二換元法。另外還介紹了通過牛頓萊布尼茨公式將不定積分與定積分聯(lián)系起來；最后通過研究相關(guān)實(shí)際問題，闡述不定積分在計(jì)算內(nèi)積函數(shù)的原函數(shù)時(shí)所需要注意的問題以及在實(shí)際問題當(dāng)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：不定積分；分步積分法；換元法；牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式引言微積分作為人類從初等數(shù)學(xué)跨越到高等數(shù)學(xué)的標(biāo)志，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了很大的作用。中國古代有“割圓術(shù)”，這完美體現(xiàn)了微積分的思想。到了現(xiàn)代微積分學(xué)中，研究者為了計(jì)算定積分的精確值又研究出了不定積分計(jì)算方法。作為定積分問題研究的基礎(chǔ)，不定積分的計(jì)算起到了關(guān)鍵作用。如果沒有不定積分的計(jì)算方法，那么定積分精確值的計(jì)算就難以實(shí)現(xiàn)。本文首先在文獻(xiàn)[1]、[2]的基礎(chǔ)上重述了不定積分、牛頓萊布尼茨公式、定積分的相關(guān)概念；其次，把文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]作為重要參考對象，對不定積分的計(jì)算方法進(jìn)行深入討論、分析以及在運(yùn)用中所需要注意的問題；最后，利用牛頓萊布尼茨公式將不定積分和定積分聯(lián)系起來，運(yùn)用到解決現(xiàn)實(shí)生活或?qū)嶋H數(shù)學(xué)問題中。解決不定積分的計(jì)算問題的關(guān)鍵在于計(jì)算出原函數(shù)，雖然微分和積分互為逆運(yùn)算，但是不定積分的計(jì)算方法不像微分計(jì)算那樣有跡可循，有一定的計(jì)算法則和規(guī)律。對于不定積分的計(jì)算則需要根據(jù)不同的題型選用不同的方法，其技巧性更強(qiáng)，也需要大量的做題經(jīng)驗(yàn)。2.基本概念2.1原函數(shù)的基本概念根據(jù)函數(shù)的定義，x是屬于非空的集合A中任意的的一個(gè)元素，有一個(gè)對應(yīng)關(guān)系F使元素x與另外一個(gè)集合B中的元素y對應(yīng)，F(xiàn):A→B記為F(x)=y，當(dāng)對F(x)求導(dǎo)時(shí)，記為F'(x)=y定義1：[[1]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）上冊[M].高等教育出版社,2008(5).]設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間I有定義，存在函數(shù)Fx。若?x∈I,有[1]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）上冊[M].高等教育出版社,2008(5).則稱函數(shù)Fx是fx在區(qū)間I的原函數(shù)，簡稱Fx例如我們常見的原函數(shù)有：1.?x∈R，(cosx)'=?sinx，即cosx是?sinx的原函數(shù)；2.?x∈?1，1，(arccosx)由上可見，若函數(shù)fx存在著原函數(shù)Fx(F'x=fx)，則函數(shù)Fx2.2積分的基本概念在定義了原函數(shù)之后，緊接著在此基礎(chǔ)上可以定義不定積分，其次通過牛頓萊布尼茨公式將不定積分與定積分聯(lián)系起來。定義2：[NOTEREF_Ref14010\h1]函數(shù)fx在區(qū)間I的所有的原函數(shù)Fx+C（?C∈R）稱為函數(shù)fx的不定積分，表示為；fx在平面直角坐標(biāo)系中，若要計(jì)算一個(gè)曲邊圖形（函數(shù)表達(dá)式為f(x)）的面積時(shí)，通常是將這條曲線限制?。唇o定一個(gè)閉區(qū)間[a,b]），隨后再將所要求的目標(biāo)圖形無限分，分成n個(gè)近似的矩形，那么這個(gè)曲邊圖形的面積就是這n個(gè)矩形的面積之和。（即面積為）根據(jù)上述和定積分系統(tǒng)的定義，可以將定積分記為：aa和b是定積分的下限和上限，f(x)是被積函數(shù)，f(x)dx是被積表達(dá)式，x是積分變量。牛頓萊布尼茨公式不止可以計(jì)算定積分，而且理論上也將不定積分與定積分聯(lián)系起來。下面給出牛頓萊布尼茨的定義：定義3[[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）上冊[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李偉.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程[M].北京:天津大學(xué)出版社，2004.[4]陳文燈，黃先開，曹顯兵，等．高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)——思路、方法與技巧[M]．北京：清華大學(xué)出版社,2009（1）.[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分（第三版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，劉銘.數(shù)學(xué)分析選講[M].科學(xué)出版社。2014（8）[7]韓茂安.數(shù)學(xué)研究與論文寫作指導(dǎo)[M].科學(xué)出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(編)李伯民,汪軍,張懷勇（譯）.微積分的歷程[M].人民郵電出版社,2010(8).[9]景慧麗,劉華.求不定積分易犯錯(cuò)誤分析[J].高師理科學(xué)刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定積分的計(jì)算方法.[J].貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，2019（6）[11]陳立莉.不定積分的幾種計(jì)算方法[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊,2019,27（10）.[12][2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）上冊[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李偉.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程[M].北京:天津大學(xué)出版社，2004.[4]陳文燈，黃先開，曹顯兵，等．高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)——思路、方法與技巧[M]．北京：清華大學(xué)出版社,2009（1）.[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分（第三版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，劉銘.數(shù)學(xué)分析選講[M].科學(xué)出版社。2014（8）[7]韓茂安.數(shù)學(xué)研究與論文寫作指導(dǎo)[M].科學(xué)出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(編)李伯民,汪軍,張懷勇（譯）.微積分的歷程[M].人民郵電出版社,2010(8).[9]景慧麗,劉華.求不定積分易犯錯(cuò)誤分析[J].高師理科學(xué)刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定積分的計(jì)算方法.[J].貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，2019（6）[11]陳立莉.不定積分的幾種計(jì)算方法[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊,2019,27（10）.[12]章美月，劉海媛，金花.Mathematica數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2013（6）.a或可記作a在有了相關(guān)基本概念之后，接下來就討論、研究不定積分的具體求法。3.不定積分的計(jì)算方法計(jì)算不定積分的方法有很多種，本文主要以直接積分法、分步積分法、第一換元法、第二換元法、有理化法這五種常用的方法為例，進(jìn)行深入的研究與探討；其中第二換元積分法用于引出新的積分公式。為了不定積分計(jì)算的簡便，下面引入積分的運(yùn)算法則。定理1[NOTEREF_Ref14010\h1]:積分的運(yùn)算法則((Fafxdx=af[fx3.1直接積分法直接積分法是可以直接通過記憶積分表（見附錄1）和利用積分的運(yùn)算法則直接計(jì)算出原函數(shù)，此方法適用于同一類函數(shù)與另一類函數(shù)和、差的形似，或?qū)Ρ环e函數(shù)先經(jīng)過恒等變形的形式簡單的函數(shù)，直接積分法是不定積分中較為簡單的計(jì)算方法。根據(jù)不定積分的定義，設(shè)一個(gè)函數(shù)為Q(x),且函數(shù)Q(x)有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是q(x)（即Q'x=q(x)），當(dāng)被積函數(shù)為q(x)，被積表達(dá)式就為qx若被積函數(shù)是一個(gè)和、差或者一個(gè)常數(shù)倍的形式是，可以先利用積分的運(yùn)算法則，恒等變形為幾個(gè)不定積分的形式，然后求出這幾個(gè)不定積分的原函數(shù)。設(shè)有n個(gè)函數(shù)Qxnn=1,2,…,n，且這n個(gè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是qxn(即Q'xn=qxnn=1,2,…,n)，當(dāng)被積函數(shù)是sin2x+cos在進(jìn)行了一系列化簡后，不能進(jìn)行計(jì)算的據(jù)可以考慮用其他方法。3.2分步積分法分步積分法一般適用于兩類函數(shù)（冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）的乘積的形式，通過分布積分公式變?yōu)橐浊蟮牟欢ǚe分，是計(jì)算不定積分常用的方法之一，分步積分法起到了化繁為簡的作用。在遇到可以用分步積分法求原函數(shù)時(shí)，會用到分布積分公式，而分步積分公式是利用乘積形式的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)出的。分步積分公式:設(shè)u和v都是x的可導(dǎo)函數(shù)。由乘積函數(shù)求導(dǎo)法則可得:(uv)移項(xiàng)u兩邊同時(shí)求不定積分u根據(jù)不定積分運(yùn)算法則u或一般情況下計(jì)算原函數(shù)時(shí)，可以直接利用“(?3.3換元法積分法換積分法有兩種方法：第一換元法和第二換元發(fā)，兩種換元積分法是由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的出的，它是求不定積分的經(jīng)常使用的，是極為重要的求積分的方法，也常常在應(yīng)用其他方法求不定積分時(shí)嵌套使用.3.3.1第一換元積分法第一換元法是將被積表達(dá)式“湊”成微分的形式，所以也叫“湊微分”法，形如x24?3x3定理2：[NOTEREF_Ref14010\h1]若函數(shù)u=φ(x)在區(qū)間[a,b]可導(dǎo)，且α≤φx≤β，?u∈[a,b]f[φ(x)]根據(jù)定理可設(shè)u=4?3x3，剛好u'=?9x2，與x2有倍數(shù)的關(guān)系，所以x24?3x33.3.2第二換元積分法定理3[NOTEREF_Ref14010\h1]若函數(shù)x=φ(t)在區(qū)間[α,β]嚴(yán)格單調(diào)并且可導(dǎo)，a≤φt≤b，φ'(t)≠0，函數(shù)f(x)在區(qū)間G則原函數(shù)fx在區(qū)間a,bf相對第一換元而言第二換元法需要豐富的做題經(jīng)驗(yàn)，也更有技巧性，因此如何換元成為解題的關(guān)鍵。通常情況下都是利用下面三種三角函數(shù)進(jìn)行換元。(1)不定積分的被積函數(shù)含有a2?x2時(shí)，設(shè)(2)不定積分的被積函數(shù)含有x2+a2(3)不定積分的被積函數(shù)含有x2?a2時(shí)，設(shè)x=a因此可以得出新的積分表（見附錄2）3.4有理化法有理化法指的是：[NOTEREF_Ref14010\h1]在有理函數(shù)的不定積分中，若為真分式（若為假分式，可化為多項(xiàng)式與真分式之和）分解為若干簡單的部分分式之和，最后利用積分運(yùn)算法則，逐個(gè)求出其原函數(shù)。有理函數(shù)的不定積分都是能計(jì)算出它的原函數(shù)的，但是需要掌握兩積分表和初等函數(shù)的一些變形技巧，這種計(jì)算不定積分的方法也叫“有理化法”。例如，設(shè)分式為，其中（），，則原分式。當(dāng)分式為被積函數(shù)，則不定積分為。若要用有理化法求其原函數(shù)則需要先將分式通過恒等變換，化為，最后根據(jù)積分運(yùn)算法則化簡（不定積分為）即可求出其原函數(shù)。4.不定積分的計(jì)算與應(yīng)用4.1直接積分法計(jì)算不定積分直接積分法是一種較為簡單的方法，通過觀察可以直接利用積分公式和積分的運(yùn)算法則快速計(jì)算出原函數(shù)。例1求

(5x==54.2分步積分法計(jì)算不定積分利用分步積分法計(jì)算不定積分，通常情況下，要將合適的被積函數(shù)令其為u，其原則是：反三角函數(shù)優(yōu)先于對數(shù)函數(shù)，其次是冪函數(shù)，然后是三角函數(shù)，最后考慮指數(shù)函數(shù)。根據(jù)優(yōu)先選擇u的原則，一些看似復(fù)雜的被積函數(shù)，在計(jì)算過程中也迎刃而解。類似被積函數(shù)為lnx，把其不定積分可以看成1·lnxln例2求

x分析:根據(jù)選u函數(shù)的原則選取u=sinxx解:令

u=x,dv=sinxdx

因?yàn)?/p>

udv=uv?v將

u=x,dv=sinxdx,du=cos對分部積分公式還有一類題目，這類題目是不能直接得出原函數(shù)，而是要用到一定解方程的思想，將原函數(shù)的一部分與被積函數(shù)建立起聯(lián)系。例3求

eαx被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,依舊可以使用分步積分法，首先根據(jù)選u函數(shù)的原則，令u=cosβx,dv=eαxdxe解:令

u=cosβx,dv=eI=eαx根據(jù)分部積分公式:udvI=根據(jù)積分運(yùn)算法則:I“+”后面的式子也是一個(gè)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,為了得出最后的結(jié)果還得再運(yùn)用一次分部積分公式，為了區(qū)別于前面，我們用其他大寫字母表示.令

J=u=sinβx,dv=根據(jù)分部積分公式可得:將其代入上式I中得I移項(xiàng)化簡得:I=4.3換元積分法計(jì)算不定積分4.3.1第一換元法計(jì)算不定積分在計(jì)算此類不定積分時(shí)，要靈活應(yīng)用三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，把復(fù)雜的不定積分換為簡單的不定積分，再運(yùn)用第一換元法求出其原函數(shù)。例4求

解：方法①:因?yàn)閠an所以csc方法②:csc==同法還可得：sec4.3.2第二換元法計(jì)算不定積分當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)了根式的情況如a2±x例5[NOTEREF_Ref22978\h2]

a2?x解：設(shè)

x=a根據(jù)定理3，得a=4.4有理化法計(jì)算不定積分在運(yùn)用有理化法計(jì)算原函數(shù)時(shí)，將分式分解為部分分式之和是利用有理化法的關(guān)鍵，但是也不局限于死板硬套。與其他求法一樣，還是要更具體題型選擇合適的分解方法。成功分解后解題過程中也會出現(xiàn)和其他方法交叉使用的情況。例6求

dx解：設(shè)：1有 1≡得方程組：A+B=0解得：A=即dx附錄1（公式3）1第一換元法：令u=1附錄21=將上兩式子代入原式得=其中C=a+b+c4.5不定積分的應(yīng)用根據(jù)上述定義可將不定積分通過牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式與定積分聯(lián)系起來，即可求出定積分的精確值。4.5.1定積分得計(jì)算計(jì)算定積分是同樣需要題型選擇合適得方法，下面以分步積分法為例計(jì)算定積分。例7求0解：根據(jù)分部積分公式，設(shè)u=x，dv=e?xdx，則du=1dx04.5.2曲邊的面積在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中常常會遇到一些求曲邊圖形面積的問題。f(x)f(x)abyx圖1如上圖1所示，圖中所出現(xiàn)的封閉區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)fx，及其區(qū)間段[a,b]所圍成的面積，如果在沒有學(xué)習(xí)定積分時(shí)，在解決以上問題的時(shí)候就會有一定的困難，如：求不出封閉區(qū)域面積的精確解，而只能求出的面積都是近似值。但是在掌握了定積分之后，我們就可以利用定積分來求出的曲邊圖形的面積。根據(jù)定積分性質(zhì)可得曲邊梯形面積公式：

例7設(shè)fx=x分析：所圍面積，?x與fx；gx與fx分別列方程求出上限和下限，代入面積公式，被積函數(shù)是解：根據(jù)題意可設(shè)?xx得:x=0或x=?1同理可得gx=fx，所以fxS=S=|S=|(4.6定積分的性質(zhì)在計(jì)算定積分時(shí)，可以通過觀察積分的上下限和被積表達(dá)式是否可以讓計(jì)算過程變得簡便，同時(shí)計(jì)算更