【不定積分的計算及其應用探究7300字（論文）】

不定積分的計算及其應用研究目錄320331.引言 5301822.基本概念 5308402.1原函數(shù)的基本概念 521252.2積分的基本概念 6142383.不定積分的計算方法 7237883.1直接積分法 792673.2分步積分法 8302013.3換元法積分法 9251573.4有理化法 10120884.不定積分的計算與應用 10119804.1直接積分法計算不定積分 10268734.2分步積分法計算不定積分 1128564.3換元積分法計算不定積分 13364.4有理化法計算不定積分 15259894.5不定積分的應用 1791084.6定積分的性質(zhì) 18115895.結(jié)論 1922856附錄 2031720附錄1： 2032264附錄2： 2125070參考文獻 22摘要：定積分的計算中，不定積分的計算是重要步驟之一，計算不定積分的關鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，且這種解題思路被廣泛地應用于解決實際數(shù)學問題之中，如：計算曲邊圖形的面積、計算曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成三維立體圖形的體積等問題。在這些問題的基礎上，本文首先介紹原函數(shù)，不定積分，牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式、定積分等相關概念；在此基礎上再介紹不定積分的幾種計算方法，如：直接積分法、分步積分法、換元積分法、有理化法等，其中換元法包括了第一換元法和第二換元法。另外還介紹了通過牛頓萊布尼茨公式將不定積分與定積分聯(lián)系起來；最后通過研究相關實際問題，闡述不定積分在計算內(nèi)積函數(shù)的原函數(shù)時所需要注意的問題以及在實際問題當中的應用。關鍵詞：不定積分；分步積分法；換元法；牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式引言微積分作為人類從初等數(shù)學跨越到高等數(shù)學的標志，在數(shù)學發(fā)展中起到了很大的作用。中國古代有“割圓術”，這完美體現(xiàn)了微積分的思想。到了現(xiàn)代微積分學中，研究者為了計算定積分的精確值又研究出了不定積分計算方法。作為定積分問題研究的基礎，不定積分的計算起到了關鍵作用。如果沒有不定積分的計算方法，那么定積分精確值的計算就難以實現(xiàn)。本文首先在文獻[1]、[2]的基礎上重述了不定積分、牛頓萊布尼茨公式、定積分的相關概念；其次，把文獻[1]、[2]、[3]作為重要參考對象，對不定積分的計算方法進行深入討論、分析以及在運用中所需要注意的問題；最后，利用牛頓萊布尼茨公式將不定積分和定積分聯(lián)系起來，運用到解決現(xiàn)實生活或?qū)嶋H數(shù)學問題中。解決不定積分的計算問題的關鍵在于計算出原函數(shù)，雖然微分和積分互為逆運算，但是不定積分的計算方法不像微分計算那樣有跡可循，有一定的計算法則和規(guī)律。對于不定積分的計算則需要根據(jù)不同的題型選用不同的方法，其技巧性更強，也需要大量的做題經(jīng)驗。2.基本概念2.1原函數(shù)的基本概念根據(jù)函數(shù)的定義，x是屬于非空的集合A中任意的的一個元素，有一個對應關系F使元素x與另外一個集合B中的元素y對應，F(xiàn):A→B記為F(x)=y，當對F(x)求導時，記為F'(x)=y定義1：[[1]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧.數(shù)學分析講義（第五版）上冊[M].高等教育出版社,2008(5).]設函數(shù)fx在區(qū)間I有定義，存在函數(shù)Fx。若?x∈I,有[1]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧.數(shù)學分析講義（第五版）上冊[M].高等教育出版社,2008(5).則稱函數(shù)Fx是fx在區(qū)間I的原函數(shù)，簡稱Fx例如我們常見的原函數(shù)有：1.?x∈R，(cosx)'=?sinx，即cosx是?sinx的原函數(shù)；2.?x∈?1，1，(arccosx)由上可見，若函數(shù)fx存在著原函數(shù)Fx(F'x=fx)，則函數(shù)Fx2.2積分的基本概念在定義了原函數(shù)之后，緊接著在此基礎上可以定義不定積分，其次通過牛頓萊布尼茨公式將不定積分與定積分聯(lián)系起來。定義2：[NOTEREF_Ref14010\h1]函數(shù)fx在區(qū)間I的所有的原函數(shù)Fx+C（?C∈R）稱為函數(shù)fx的不定積分，表示為；fx在平面直角坐標系中，若要計算一個曲邊圖形（函數(shù)表達式為f(x)）的面積時，通常是將這條曲線限制?。唇o定一個閉區(qū)間[a,b]），隨后再將所要求的目標圖形無限分，分成n個近似的矩形，那么這個曲邊圖形的面積就是這n個矩形的面積之和。（即面積為）根據(jù)上述和定積分系統(tǒng)的定義，可以將定積分記為：aa和b是定積分的下限和上限，f(x)是被積函數(shù)，f(x)dx是被積表達式，x是積分變量。牛頓萊布尼茨公式不止可以計算定積分，而且理論上也將不定積分與定積分聯(lián)系起來。下面給出牛頓萊布尼茨的定義：定義3[[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第四版）上冊[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李偉.高等數(shù)學習題課教程[M].北京:天津大學出版社，2004.[4]陳文燈，黃先開，曹顯兵，等．高等數(shù)學復習指導——思路、方法與技巧[M]．北京：清華大學出版社,2009（1）.[5]同濟大學數(shù)學系.微積分（第三版）學習輔導與習題選解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，劉銘.數(shù)學分析選講[M].科學出版社。2014（8）[7]韓茂安.數(shù)學研究與論文寫作指導[M].科學出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(編)李伯民,汪軍,張懷勇（譯）.微積分的歷程[M].人民郵電出版社,2010(8).[9]景慧麗,劉華.求不定積分易犯錯誤分析[J].高師理科學刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定積分的計算方法.[J].貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，2019（6）[11]陳立莉.不定積分的幾種計算方法[J].科技經(jīng)濟導刊,2019,27（10）.[12][2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第四版）上冊[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李偉.高等數(shù)學習題課教程[M].北京:天津大學出版社，2004.[4]陳文燈，黃先開，曹顯兵，等．高等數(shù)學復習指導——思路、方法與技巧[M]．北京：清華大學出版社,2009（1）.[5]同濟大學數(shù)學系.微積分（第三版）學習輔導與習題選解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，劉銘.數(shù)學分析選講[M].科學出版社。2014（8）[7]韓茂安.數(shù)學研究與論文寫作指導[M].科學出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(編)李伯民,汪軍,張懷勇（譯）.微積分的歷程[M].人民郵電出版社,2010(8).[9]景慧麗,劉華.求不定積分易犯錯誤分析[J].高師理科學刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定積分的計算方法.[J].貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，2019（6）[11]陳立莉.不定積分的幾種計算方法[J].科技經(jīng)濟導刊,2019,27（10）.[12]章美月，劉海媛，金花.Mathematica數(shù)學軟件與數(shù)學實驗[M].中國礦業(yè)大學出版社，2013（6）.a或可記作a在有了相關基本概念之后，接下來就討論、研究不定積分的具體求法。3.不定積分的計算方法計算不定積分的方法有很多種，本文主要以直接積分法、分步積分法、第一換元法、第二換元法、有理化法這五種常用的方法為例，進行深入的研究與探討；其中第二換元積分法用于引出新的積分公式。為了不定積分計算的簡便，下面引入積分的運算法則。定理1[NOTEREF_Ref14010\h1]:積分的運算法則((Fafxdx=af[fx3.1直接積分法直接積分法是可以直接通過記憶積分表（見附錄1）和利用積分的運算法則直接計算出原函數(shù)，此方法適用于同一類函數(shù)與另一類函數(shù)和、差的形似，或?qū)Ρ环e函數(shù)先經(jīng)過恒等變形的形式簡單的函數(shù)，直接積分法是不定積分中較為簡單的計算方法。根據(jù)不定積分的定義，設一個函數(shù)為Q(x),且函數(shù)Q(x)有導數(shù)，其導數(shù)是q(x)（即Q'x=q(x)），當被積函數(shù)為q(x)，被積表達式就為qx若被積函數(shù)是一個和、差或者一個常數(shù)倍的形式是，可以先利用積分的運算法則，恒等變形為幾個不定積分的形式，然后求出這幾個不定積分的原函數(shù)。設有n個函數(shù)Qxnn=1,2,…,n，且這n個函數(shù)有導數(shù)，其導數(shù)是qxn(即Q'xn=qxnn=1,2,…,n)，當被積函數(shù)是sin2x+cos在進行了一系列化簡后，不能進行計算的據(jù)可以考慮用其他方法。3.2分步積分法分步積分法一般適用于兩類函數(shù)（冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）的乘積的形式，通過分布積分公式變?yōu)橐浊蟮牟欢ǚe分，是計算不定積分常用的方法之一，分步積分法起到了化繁為簡的作用。在遇到可以用分步積分法求原函數(shù)時，會用到分布積分公式，而分步積分公式是利用乘積形式的復合函數(shù)求導法則推導出的。分步積分公式:設u和v都是x的可導函數(shù)。由乘積函數(shù)求導法則可得:(uv)移項u兩邊同時求不定積分u根據(jù)不定積分運算法則u或一般情況下計算原函數(shù)時，可以直接利用“(?3.3換元法積分法換積分法有兩種方法：第一換元法和第二換元發(fā)，兩種換元積分法是由復合函數(shù)的求導法則的出的，它是求不定積分的經(jīng)常使用的，是極為重要的求積分的方法，也常常在應用其他方法求不定積分時嵌套使用.3.3.1第一換元積分法第一換元法是將被積表達式“湊”成微分的形式，所以也叫“湊微分”法，形如x24?3x3定理2：[NOTEREF_Ref14010\h1]若函數(shù)u=φ(x)在區(qū)間[a,b]可導，且α≤φx≤β，?u∈[a,b]f[φ(x)]根據(jù)定理可設u=4?3x3，剛好u'=?9x2，與x2有倍數(shù)的關系，所以x24?3x33.3.2第二換元積分法定理3[NOTEREF_Ref14010\h1]若函數(shù)x=φ(t)在區(qū)間[α,β]嚴格單調(diào)并且可導，a≤φt≤b，φ'(t)≠0，函數(shù)f(x)在區(qū)間G則原函數(shù)fx在區(qū)間a,bf相對第一換元而言第二換元法需要豐富的做題經(jīng)驗，也更有技巧性，因此如何換元成為解題的關鍵。通常情況下都是利用下面三種三角函數(shù)進行換元。(1)不定積分的被積函數(shù)含有a2?x2時，設(2)不定積分的被積函數(shù)含有x2+a2(3)不定積分的被積函數(shù)含有x2?a2時，設x=a因此可以得出新的積分表（見附錄2）3.4有理化法有理化法指的是：[NOTEREF_Ref14010\h1]在有理函數(shù)的不定積分中，若為真分式（若為假分式，可化為多項式與真分式之和）分解為若干簡單的部分分式之和，最后利用積分運算法則，逐個求出其原函數(shù)。有理函數(shù)的不定積分都是能計算出它的原函數(shù)的，但是需要掌握兩積分表和初等函數(shù)的一些變形技巧，這種計算不定積分的方法也叫“有理化法”。例如，設分式為，其中（），，則原分式。當分式為被積函數(shù)，則不定積分為。若要用有理化法求其原函數(shù)則需要先將分式通過恒等變換，化為，最后根據(jù)積分運算法則化簡（不定積分為）即可求出其原函數(shù)。4.不定積分的計算與應用4.1直接積分法計算不定積分直接積分法是一種較為簡單的方法，通過觀察可以直接利用積分公式和積分的運算法則快速計算出原函數(shù)。例1求

(5x==54.2分步積分法計算不定積分利用分步積分法計算不定積分，通常情況下，要將合適的被積函數(shù)令其為u，其原則是：反三角函數(shù)優(yōu)先于對數(shù)函數(shù)，其次是冪函數(shù)，然后是三角函數(shù)，最后考慮指數(shù)函數(shù)。根據(jù)優(yōu)先選擇u的原則，一些看似復雜的被積函數(shù)，在計算過程中也迎刃而解。類似被積函數(shù)為lnx，把其不定積分可以看成1·lnxln例2求

x分析:根據(jù)選u函數(shù)的原則選取u=sinxx解:令

u=x,dv=sinxdx

因為

udv=uv?v將

u=x,dv=sinxdx,du=cos對分部積分公式還有一類題目，這類題目是不能直接得出原函數(shù)，而是要用到一定解方程的思想，將原函數(shù)的一部分與被積函數(shù)建立起聯(lián)系。例3求

eαx被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,依舊可以使用分步積分法，首先根據(jù)選u函數(shù)的原則，令u=cosβx,dv=eαxdxe解:令

u=cosβx,dv=eI=eαx根據(jù)分部積分公式:udvI=根據(jù)積分運算法則:I“+”后面的式子也是一個指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,為了得出最后的結(jié)果還得再運用一次分部積分公式，為了區(qū)別于前面，我們用其他大寫字母表示.令

J=u=sinβx,dv=根據(jù)分部積分公式可得:將其代入上式I中得I移項化簡得:I=4.3換元積分法計算不定積分4.3.1第一換元法計算不定積分在計算此類不定積分時，要靈活應用三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，把復雜的不定積分換為簡單的不定積分，再運用第一換元法求出其原函數(shù)。例4求

解：方法①:因為tan所以csc方法②:csc==同法還可得：sec4.3.2第二換元法計算不定積分當被積函數(shù)中出現(xiàn)了根式的情況如a2±x例5[NOTEREF_Ref22978\h2]

a2?x解：設

x=a根據(jù)定理3，得a=4.4有理化法計算不定積分在運用有理化法計算原函數(shù)時，將分式分解為部分分式之和是利用有理化法的關鍵，但是也不局限于死板硬套。與其他求法一樣，還是要更具體題型選擇合適的分解方法。成功分解后解題過程中也會出現(xiàn)和其他方法交叉使用的情況。例6求

dx解：設：1有 1≡得方程組：A+B=0解得：A=即dx附錄1（公式3）1第一換元法：令u=1附錄21=將上兩式子代入原式得=其中C=a+b+c4.5不定積分的應用根據(jù)上述定義可將不定積分通過牛頓萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式與定積分聯(lián)系起來，即可求出定積分的精確值。4.5.1定積分得計算計算定積分是同樣需要題型選擇合適得方法，下面以分步積分法為例計算定積分。例7求0解：根據(jù)分部積分公式，設u=x，dv=e?xdx，則du=1dx04.5.2曲邊的面積在數(shù)學的學習中常常會遇到一些求曲邊圖形面積的問題。f(x)f(x)abyx圖1如上圖1所示，圖中所出現(xiàn)的封閉區(qū)域為一個函數(shù)fx，及其區(qū)間段[a,b]所圍成的面積，如果在沒有學習定積分時，在解決以上問題的時候就會有一定的困難，如：求不出封閉區(qū)域面積的精確解，而只能求出的面積都是近似值。但是在掌握了定積分之后，我們就可以利用定積分來求出的曲邊圖形的面積。根據(jù)定積分性質(zhì)可得曲邊梯形面積公式：

例7設fx=x分析：所圍面積，?x與fx；gx與fx分別列方程求出上限和下限，代入面積公式，被積函數(shù)是解：根據(jù)題意可設?xx得:x=0或x=?1同理可得gx=fx，所以fxS=S=|S=|(4.6定積分的性質(zhì)在計算定積分時，可以通過觀察積分的上下限和被積表達式是否可以讓計算過程變得簡便，同時計算更