高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 分層限時跟蹤練59-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時跟蹤練(五十九)(限時40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．(2015·山東高考)若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，則z＝1－i，故選A.【答案】A2．給出下列命題，其中正確的命題是()A．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是純虛數(shù)B．當(dāng)a≠0時，b≠0時，a＋bi一定是虛數(shù)C．若z∈R，則z·eq\x\to(z)＝|z|不成立D.eq\f(4－3i,1－2i)的虛部為－1【解析】當(dāng)z是一個復(fù)數(shù)時，若z2能夠與實數(shù)比較大小，則z2是一個實數(shù)，則z一定是一個純虛數(shù)，故A正確；當(dāng)a是不為0的實數(shù)，b為純虛數(shù)時，a＋bi為實數(shù)，故B不正確；當(dāng)z＝1時，選項C不正確，eq\f(4－3i,1－2i)＝eq\f(4－3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(10＋5i,5)＝2＋i，其虛部為1.故D不正確．故選A.【答案】A3．(2015·東北二模)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝i2012＋i2015在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】i2012＝i503×4＝1，i2015＝i503×4＋3＝－i，∴復(fù)數(shù)z＝1－i在復(fù)平面上對應(yīng)點為(1，－1)，位于第四象限．【答案】D4．已知f(x)＝x3－1，則復(fù)數(shù)eq\f(fi,2－i)的虛部為()A.eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)【解析】∵f(i)＝i3－1＝－i－1，∴eq\f(fi,2－i)＝eq\f(－i－1,2－i)＝eq\f(－i－12＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－1－3i,5)，其虛部為－eq\f(3,5).【答案】D5．(2015·南昌二模)設(shè)復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則|(1－z)·eq\x\to(z)|＝()A.eq\r(10)B．2C.eq\r(2)D．1【解析】∵z＝－1－i，∴eq\x\to(z)＝－1＋i，∴(1－z)·eq\x\to(z)＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，∴|(1－z)·eq\x\to(z)|＝|－3＋i|＝eq\r(10).【答案】A二、填空題6．(2015·天津高考)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．【解析】由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是純虛數(shù)可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.【答案】－27．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)eq\f(1,1＋i)，eq\f(1,1－i)對應(yīng)的點分別為M、N，若點P為線段MN的中點，則點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)是________．【解析】∵eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,2)，eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，而P是MN的中點，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．(2015·重慶高考)設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，則(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】3三、解答題9．已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2.【解】∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.設(shè)z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R.∴a＝4，∴z2＝4＋2i.10．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解】如圖，z1、z2、z3分別對應(yīng)點A、B、C.∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))，∴eq\o(AB,\s\up12(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，在正方形ABCD中，eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(DC,\s\up12(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－i，又eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，∴eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)【解析】A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，真命題；B，z1＝eq\x\to(z)2?eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2＝z2，真命題；C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2，真命題；D，當(dāng)|z1|＝|z2|時，可取z1＝1，z2＝i，顯然zeq\o\al(2,1)＝1，zeq\o\al(2,2)＝－1，即zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，假命題．【答案】D2．(2015·河南調(diào)研)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍是()A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))【解析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化簡得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)))2－eq\f(9,16)，因為sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7)).【答案】C3．(2015·江蘇高考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為______．【解析】∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝eq\r(32＋42)＝5，∴|z|＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)4．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為______．【解析】∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)5．復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值．【解】eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.6．已知復(fù)數(shù)z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值時的z.【解】法一設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(4－y2＋y－12)＝eq\r(5－2y).∵y2＝4－x2≤4