浙江省杭州市s9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2022學(xué)年第二學(xué)期S9聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解無(wú)理不等式確定集合，解指數(shù)不等式確定集合，然后由交集定義求解．【詳解】，，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，得到復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可判斷所在象限.【詳解】由題意可知：，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊平方化簡(jiǎn)后結(jié)合二倍角公式可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故選：A4.已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】通過(guò)分析條件能否推出結(jié)論，結(jié)論能否推出條件，即可確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，如果b是負(fù)數(shù)，則是虛數(shù)，與無(wú)法比較大小，即由不可推出，因?yàn)?，取，，則，即由不可推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.5.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇環(huán)的面積公式求出母線長(zhǎng)，利用勾股定理求高，在根據(jù)圓臺(tái)體積公式計(jì)算即可.【詳解】解：圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)扇環(huán)，，所以圓臺(tái)的高，則，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所?故選：C.7.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，則的值可以是（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負(fù)值，所以，解得，綜上所述.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性，然后逐一分析即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故，，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，，所以，，所以，即函數(shù)的周期為8，由可得，由可得，對(duì)于①，，正確；對(duì)于②，，正確；對(duì)于③，，錯(cuò)誤；對(duì)于④，，正確；故選：C.二、多選題（每題5分，共20分．多選錯(cuò)選不得分，少選得2分）9.已知為3與5的等差中項(xiàng)，為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線描述正確的是（）A.曲線可表示為焦點(diǎn)在軸橢圓B.曲線可表示為焦距是4的雙曲線C.曲線可表示為離心率是的橢圓D.曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件先求出的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判斷即可【詳解】由為3與5的等差中項(xiàng)，得，即，由為4與16等比中項(xiàng)，得，即，則曲線的方程為或．其中表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，此時(shí)它的離心率，故A正確，C正確；其中表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，焦距為，漸近線方程為，故B不正確，D正確．故選:ACD．10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D.在上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)周期的計(jì)算公式可判斷A，根據(jù)整體法即可驗(yàn)證是否單調(diào)，判斷B,計(jì)算，由此可判斷C,將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，即可求解D.【詳解】對(duì)于A;周期,故A正確；對(duì)于B;當(dāng)時(shí)，，故在上不單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C;，故是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；對(duì)于D;令,解得，故當(dāng)時(shí)，取分別得故在上有5個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤,故選：AC11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載有“耗子穿墻”問(wèn)題：今有垣厚五尺，兩老鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列說(shuō)法中正硆的有（）A.大鼠與小鼠在第三天相逢 B.大鼠與小鼠在第四天相逢C.大鼠一共穿墻尺 D.大鼠和小鼠穿墻的長(zhǎng)度比為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A和B構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可求出的值，對(duì)C，首先求出前兩天每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的長(zhǎng)度，最后即可判斷C和D.【詳解】對(duì)A和B，今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由題得大鼠和小鼠每一天的穿墻長(zhǎng)度成等比數(shù)列，分別設(shè)大鼠和小鼠每日穿墻長(zhǎng)度所成的數(shù)列為，則大鼠第日穿墻，小鼠第n日穿墻，則，整理得，解得，則，，，故大鼠與小鼠在第三天相逢，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了尺，這一天一共打了尺，兩天一共打了尺，還剩尺.第三天按道理應(yīng)是大老鼠打4尺，小老鼠尺，可是總長(zhǎng)度只剩尺沒(méi)有打通，所以在第三天肯定可以打通.設(shè)第三天大老鼠打了尺，小老鼠則打了尺，則打洞時(shí)間相等：，解方程得大老鼠在第三天打了尺，小老鼠打了，三天總的來(lái)說(shuō)：大老鼠打了尺，故C正確；對(duì)D，大鼠和小鼠穿墻的長(zhǎng)度比為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn).下列命題正確的是（）A.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面最多只有三個(gè)面是直角三角形B.P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C.Q在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D.M是正方體的面內(nèi)到點(diǎn)D和距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線段【答案】BCD【解析】【分析】畫(huà)出正方體圖形，：以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面最多只有三個(gè)面是直角三角形；作出反例否定；；根據(jù)線面垂直判定可得判斷；：根據(jù)底面積不變，高不變，則體積不變，即可判斷；：根據(jù)線段滿(mǎn)足可判斷．【詳解】畫(huà)出圖形，如圖（1）四個(gè)面都是直角三角形，,所以不正確．對(duì)于，在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，；如圖（2），因?yàn)槠矫?，所以平面，所?所以正確．對(duì)于，Q在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變；如圖（2）三角形面積不變，到平面距離不變，所以體積為定值．所以正確；對(duì)于，是正方體的面內(nèi)到點(diǎn)和距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是一條線段．線段滿(mǎn)足題意．故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體的體積常用的方法有：（1）規(guī)則的公式法；（2）不規(guī)則的割補(bǔ)法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇解答.第II卷（非選擇題部分）三、填空題（每題5分，共20分）13.已知向量，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，解得.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，則在處的切線方程為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)解析式求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，可得切線方程.【詳解】函數(shù)，在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則在處的切點(diǎn)斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則_________．【答案】【解析】【分析】利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以.故答案為：.16.已知拋物線，直線l交該拋物線于M，N兩點(diǎn)（直線l不過(guò)原點(diǎn)），若，則直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)________．【答案】【解析】【分析】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)，可得，求出，即可得解.【詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，，因?yàn)?，所以，即，即，所以，所以，又，所以，所以直線的方程為，所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.四、解答題（第17題10分，其余5題每題12分．共70分）17.如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）這一組的頻數(shù)?頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù).（3）從成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1），（2），，（3）【解析】【分析】（1）先求得，，，，各組的頻率，再利用對(duì)立事件的概率求解，進(jìn)而得到頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)的定義求解；（3）易得和之間的人數(shù)分別為4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，則這一組的頻率為，其頻數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】這次競(jìng)賽的平均數(shù)為，一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為，分左右兩側(cè)頻率均為，則中位數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】記“取出的人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件，因?yàn)橹g的人數(shù)為，設(shè)為???，之間有人，設(shè)為?，從這人中選出人，有、、、?、、、、、、?、、、，共個(gè)基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共個(gè)基本事件，則.18.已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出數(shù)列的首項(xiàng)根公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由成等比數(shù)列，得，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.19.如圖，與所在平面相互垂直，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取BD的中點(diǎn)，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面，由此證明，結(jié)合，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求二面角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】取BD的中點(diǎn)M，連接AM．因?yàn)闉榈冗吶切危裕驗(yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．【小?wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意可知，，，，，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面法向量為，，，由，可得，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為．20.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若，求中BC邊中線AD長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再利用向量化即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所以；小?wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，因?yàn)闉橹蠦C邊的中線，所以，則，所以21.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件：直線與直線的斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，直線與交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求出這條直線方程；若不是，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）點(diǎn)在直線上【解析】【分析】（1）設(shè)，由斜率公式得到方程，整理即可得解；（2）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線、的方程，即可得到直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，根據(jù)韋達(dá)定理求出，即可求出，從而得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則，得，即，故軌跡的方程為：．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得，其中，則或．設(shè)，，則，．顯然，從而可設(shè)直線的方程為①，直線的方程為②，所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足：．而，因此，，即點(diǎn)在直線上．22.已知函數(shù)．