【幾類矩陣的逆特征值問(wèn)題探究8700字（論文）】

幾類矩陣的逆特征值問(wèn)題研究目錄TOC\o"1-2"\h\u30608幾類矩陣的逆特征值問(wèn)題 128844摘要 130672一緒論 212710一矩陣?yán)碚摳攀?525166二左、右逆矩陣 846202.1概念 8269172.2左、右逆矩陣存在的條件 9283032.3左、右逆矩陣的求法 1017697三應(yīng)用和例題 11143773.1伴隨矩陣求逆矩陣和用初等變換求逆矩陣 11146651、用伴隨矩陣求逆矩陣 11112452、用初等變換求逆矩陣 139189例2用初等變換求 14303353.2幾種變換例析 154254z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3 21209511-2x3 217330用mathematical求正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所作的正交變換 2218187至此求出正交變換的矩陣 2217655至此求出標(biāo)準(zhǔn)型的三個(gè)項(xiàng) 2230311用正交線性替換化下列二次型為典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1為下標(biāo)) 2214440四結(jié)論 22摘要矩陣?yán)碚摷熬仃囁惴ㄔ诮y(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程計(jì)算等許多方面都有著廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)今科學(xué)計(jì)算中非常重要的工具。隨著矩陣?yán)碚撝R(shí)的發(fā)展，它在各種模型中的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。于一個(gè)n階方陣來(lái)說(shuō),它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷?duì)于n階方陣來(lái)說(shuō),我們可以證明“單邊”定義并對(duì)教科書(shū)均采取“單邊”定義的原因作探討本文討論了矩陣?yán)碚撝信c密切相關(guān)的幾個(gè)方面，并用一些有例算意義的變換結(jié)果。關(guān)鍵詞：矩陣逆特征值；單邊；逆矩陣；左逆；右逆；幾類矩陣的逆特征值問(wèn)題一緒論矩陣的廣義逆理論與計(jì)算在最優(yōu)化理論、控制理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.例如在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,廣義逆矩陣對(duì)于有限Markov鏈的研究具有十分重要的作用,Markov鏈可以由其轉(zhuǎn)移矩陣T描述,Ti表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的變遷概率。在回歸分析中還可運(yùn)用矩陣的Moore逆為回歸分析建立參數(shù)估計(jì)方法。在計(jì)算數(shù)學(xué)中,常以廣義逆矩陣為工具,研究長(zhǎng)方或奇異或約束線性方程組的求解與廣義逆矩陣的計(jì)算問(wèn)題。在最優(yōu)化理論中,可用Moore逆法由陰影恢復(fù)立體表面的實(shí)現(xiàn)算法求得矛盾方程組的最優(yōu)解。矩陣在數(shù)值分析、優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、自動(dòng)控制等自然科學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,其中的許多問(wèn)題都?xì)w結(jié)為求矩陣及其相關(guān)矩陣的代數(shù)問(wèn)題。因此,研究矩陣的左逆和右逆具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。我們認(rèn)為,由于只有方陣才可能有逆矩陣,因此對(duì)于一個(gè)n階方陣來(lái)說(shuō),它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷?duì)于n階方陣來(lái)說(shuō),我們可以證明“單邊”定義并對(duì)教科書(shū)均采取“單邊”定義的原因作探討。矩陣?yán)碚摷熬仃囁惴ㄔ诮y(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程計(jì)算等許多方面都有著廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)今科學(xué)計(jì)算中非常重要的工具。隨著矩陣?yán)碚撝R(shí)的發(fā)展，它在各種模型中的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。于一個(gè)n階方陣來(lái)說(shuō),它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷?duì)于n階方陣來(lái)說(shuō),我們可以證明“單邊”定義并對(duì)教科書(shū)均采取“單邊”定義的原因作探討本文討論了矩陣?yán)碚撝信c密切相關(guān)的幾個(gè)方面，并用一些有例算意義的變換結(jié)果。廣義逆矩陣的概念最早是由MooreE.H于1920年提出，但當(dāng)時(shí)并未受到重視。直到1955年P(guān)enroseR又提出了廣義逆矩陣的概念，并證明了加號(hào)廣義逆矩陣的唯一性，發(fā)現(xiàn)它在許多學(xué)科都有廣泛應(yīng)用，這才受到人們的關(guān)注。關(guān)于廣義逆矩陣的性質(zhì)，[1-2]總結(jié)了九十年代以前已有的結(jié)果。[3]總結(jié)出了加號(hào)廣義逆矩陣的一些性質(zhì)。在較嚴(yán)格的條件下，本節(jié)證明了加號(hào)廣義逆矩陣的三條性質(zhì)。矩陣的廣義逆理論與計(jì)算在最優(yōu)化理論、控制理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.例如在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,廣義逆矩陣對(duì)于有限Markov鏈的研究具有十分重要的作用,Markov鏈可以由其轉(zhuǎn)移矩陣T描述,Ti表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的變遷概率。在回歸分析中還可運(yùn)用矩陣的Moore逆為回歸分析建立參數(shù)估計(jì)方法。在計(jì)算數(shù)學(xué)中,常以廣義逆矩陣為工具,研究長(zhǎng)方或奇異或約束線性方程組的求解與廣義逆矩陣的計(jì)算問(wèn)題。在最優(yōu)化理論中,可用Moore逆法由陰影恢復(fù)立體表面的實(shí)現(xiàn)算法求得矛盾方程組的最優(yōu)解。矩陣在數(shù)值分析、優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、自動(dòng)控制等自然科學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,其中的許多問(wèn)題都?xì)w結(jié)為求矩陣及其相關(guān)矩陣的代數(shù)問(wèn)題。因此,研究矩陣的左逆和右逆具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。我們認(rèn)為,由于只有方陣才可能有逆矩陣,因此對(duì)于一個(gè)n階方陣來(lái)說(shuō),它的逆矩陣可以采取“單邊”定義,即單純定義左逆或右逆。亦即:設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=E,則B叫做A的逆矩陣(或稱為右逆矩陣)。因?yàn)閷?duì)于n階方陣來(lái)說(shuō),我們可以證明“單邊”定義并對(duì)教科書(shū)均采取“單邊”定義的原因作探討。矩陣的跡及其應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，首先介紹了矩陣跡的相關(guān)性質(zhì)，然后給出了矩陣不等式的證法，最后對(duì)矩陣的應(yīng)用給出實(shí)例.矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)體系中有著不可缺少的地位人類對(duì)于矩陣的研究歷史極為悠久，據(jù)考證，早在史前年代拉丁方陣和幻方就已經(jīng)有人開(kāi)始研究歷經(jīng)千萬(wàn)年人類歷史發(fā)展和科技進(jìn)步，矩陣及其理論體系早已形成并得到逐步的發(fā)展和完善，它在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用同時(shí)也吸引著無(wú)數(shù)計(jì)數(shù)學(xué)家們的深入探索和研究，并且獲得了極為豐碩的成果，為數(shù)學(xué)的發(fā)展史添上了精彩的一幕設(shè)有階矩陣；那么矩陣的跡就等于的特征值的總和，也即矩陣的主對(duì)角線元素的總和矩陣的跡作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值估計(jì)、濾波、隨機(jī)控制及其計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論等方面都有著重要的應(yīng)用國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入研究，并取得了一系列重要成果許多量的計(jì)算最終都會(huì)歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算因此，作為矩陣的跡，它有著無(wú)窮的奧秘，正等待著我們做進(jìn)一步的探索、研究和發(fā)現(xiàn)在矩陣?yán)碚撝?，尤其是矩陣跡的不等式，有著更為突出的解決實(shí)際問(wèn)題和理論問(wèn)題的特點(diǎn)它在許多領(lǐng)域，諸如管理科學(xué)與工程、信息科學(xué)與技術(shù)、系統(tǒng)工程、通信工程、數(shù)值分析、逼近論、測(cè)量誤差、噪聲、病態(tài)矩陣、最優(yōu)化理論、概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論、等學(xué)科以及統(tǒng)計(jì)估計(jì)都有著相當(dāng)多的應(yīng)用本文我們將討論有關(guān)矩陣跡的一些重要不等式，以及它們?cè)诒平撝芯仃嚤平矫娴膽?yīng)用同時(shí)還給出了一些關(guān)于矩陣和的控制不等式，以及對(duì)著名跡不等式的推廣，矩陣乘積的特征值和奇異值估計(jì)，并運(yùn)用矩陣特征值與奇異值不等式的性質(zhì)，對(duì)矩陣幕乘積之跡方面的不等式做了相應(yīng)的推廣.矩陣跡的不等式是矩陣?yán)碚摰闹饕n題之一，許多量的計(jì)算最終都會(huì)歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算控制不等式作為一種數(shù)學(xué)工具，它常常能夠深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在關(guān)系，幾乎滲入到各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且處處扮演著精彩角色范數(shù)是典型的酉不變范數(shù)，是研究最小二乘解，矩陣擾動(dòng)的主要手段乘積是一種比較特殊的矩陣乘法，在組合論中的組合方案，概率論中的特征函數(shù)及通信工程等方面都有著重要的應(yīng)用。一矩陣?yán)碚摳攀鰧⒁粋€(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單或者性質(zhì)比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計(jì)算。由于矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對(duì)角形的問(wèn)題中占有特殊位置，因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質(zhì)，但是并不是總能正確地表示矩陣的“大小”。矩陣的奇異值和按奇異值分解是矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用中十分重要的內(nèi)容，已成為多變量反饋控制系統(tǒng)最重要最基本的分析工具之一，奇異值實(shí)際上是復(fù)數(shù)標(biāo)量絕對(duì)值概念的推廣，表示了反饋控制系統(tǒng)的輸出/輸入增益，能反映控制系統(tǒng)的特性。正n階方陣A的主對(duì)角線上元素和稱為A的跡。從定義看,既明了又簡(jiǎn)單。用它解題時(shí),如果題中出現(xiàn)“跡”,都要從這方面考慮,用它來(lái)解;如果題中沒(méi)有出現(xiàn)它,往往就被遺忘了。殊不知,有些題特別是結(jié)論是否定的題,用它來(lái)解,比用其它方法就顯得更簡(jiǎn)捷。蛇階方陣A的主對(duì)角線上元素和稱為A的跡.從定義看,既明了又簡(jiǎn)單.用它解題時(shí),如果題中出現(xiàn)“跡”,都要從這方面考慮,用它來(lái)解;如果題中沒(méi)有出現(xiàn)它,往往就被遺忘了.殊不知,有些題特別是結(jié)論是否定的題,用它來(lái)解,比用其它方法就顯得更簡(jiǎn)捷.先給出幾個(gè)解題過(guò)程中經(jīng)常用到的結(jié)論.根據(jù)矩陣跡的定義,首先給出了矩陣跡的性質(zhì),然后依據(jù)方陣的F—范數(shù)定義Cauchy—Schwarz不等式,給出了零矩陣,不相似矩陣,數(shù)冪矩陣,列矩陣,冪等矩陣及矩陣不等式的證法。對(duì)矩陣的跡在解題中進(jìn)行了應(yīng)用。矩陣跡的不等式是矩陣?yán)碚摰闹饕n題之一,許多量的計(jì)算最終都會(huì)歸結(jié)到矩陣跡的運(yùn)算.控制不等式作為一種數(shù)學(xué)工具,它常常能夠深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在關(guān)系,幾乎滲入到各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且處處扮演著精彩角色Frobenius范數(shù)是典型的酉不變范數(shù),是研究最小二乘解,矩陣擾動(dòng)的主要手段Hadamard乘積是一種比較特殊的矩陣乘法,在組合論中的組合方案,概率論中的特征函數(shù)及通信工程等方面都有著重要的應(yīng)用.本文主要分為以下六個(gè)部分：第一部分概述文章主要內(nèi)容,介紹相關(guān)引理及符號(hào)；第二部分給出在一定條件下復(fù)矩陣以及Hermite矩陣特征值與奇異值不等式,控制不等式和Frobenius范數(shù)不等式；第三部分介紹并推廣著名的Neumann跡不等式；第四部分給出兩個(gè)關(guān)于矩陣Hadamard乘積之奇異值不等式,并對(duì)這兩個(gè)不等式進(jìn)行推廣；第五部分給出若干復(fù)矩陣連乘積之跡的不等式,并運(yùn)用矩陣特征值與奇異值不等式的性質(zhì),獲得m個(gè)復(fù)矩陣乘積以及Hermite半正定矩陣偶次冪之跡的不等式,并推廣了相關(guān)結(jié)果；第六部分給出矩陣跡的不等式在逼近論中矩陣逼近方面的應(yīng)用.矩陣的跡（trace）是一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)名詞，X∈P（n×n）,X=（xii）的主對(duì)角線上的所有元素之和稱之為X的跡，記為tr(X)，即tr(X)=∑xii。矩陣的跡在矩陣?yán)碚撝杏兄匾淖饔?，它在矩陣估?jì)與計(jì)算有著重要的一席之地(參見(jiàn)文獻(xiàn)[29][30]>。而利用Hermite陣探討約束條件下矩陣跡的研究也較多(參見(jiàn)文獻(xiàn)[31-32]，涉及內(nèi)容也非常廣泛，特別是在線性模型參數(shù)估計(jì)最優(yōu)性方面發(fā)揮著重要的作用(參見(jiàn)文獻(xiàn)。本節(jié)首先建立在約束條件XX=I:下給出了tr(XAX-(XA-'X)-')的上界，但是XX-I:范圍太苛刻，本節(jié)中我們將可逆矩陣X和XX=△分別代替XX=I:并且得到了與在約束條件XX=I:下給出的tr(XAX-(XA-'X)-')的上界相一致的不等式的結(jié)果。設(shè)有N階矩陣A，那么矩陣A的跡（用tr（A）表示）就等于A的特征值的總和，也即A矩陣的主對(duì)角線元素的總和。跡是所有對(duì)角元的和；跡是所有特征值的和；某些時(shí)候也利用tr(AB)=tr(BA)來(lái)求跡。奇異值分解（Singularvaluedecomposition），奇異值分解非常有用，對(duì)于矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對(duì)角陣與增廣行或列組成），滿足A=U*B*V，U和V中分別是A的奇異向量，而B(niǎo)是A的奇異值。AA'的特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特征值問(wèn)題緊密聯(lián)系。如果A是復(fù)矩陣，B中的奇異值仍然是實(shí)數(shù)。SVD提供了一些關(guān)于A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目（B的階數(shù)）和A的階數(shù)相同，一旦階數(shù)確定，那么U的前k列構(gòu)成了A的列向量空間的正交基。在數(shù)值分析中，由于數(shù)值計(jì)算誤差，測(cè)量誤差，噪聲以及病態(tài)矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數(shù)目。二左、右逆矩陣2.1概念矩陣集合上定義了乘法。以向量?jī)?nèi)積為基礎(chǔ)的矩陣乘法非常成功。但它是不可交換的。即，通常有AB≠BA，那怕在n階方陣子集中也這樣。

矩陣的乘法有“單位元”E（n階方陣）即在可乘的條件下，=A。AE或BE=B，E在乘法中的作用，就象數(shù)1那樣。若n階方陣A滿秩，它就應(yīng)該有逆元。即“右逆”AB=E或“左

逆”CA=E由于矩陣乘法不可易，按理“右逆”與“左逆”可能不同。但是《線性代數(shù)》中，滿秩方陣A的逆陣B的定義就是AB=BA=E之所以有這個(gè)特殊性，原因在于A有伴隨陣A*基本恒等式A*A=AA*=|A|E在A滿秩時(shí)，它告訴我們，A*/|A|就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩陣相等的定義，滿秩方陣A的逆陣唯一。有趣的是，如果n階方陣A的“列向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組（單位正交組），則A′A=E你只能先說(shuō)A′是A的“左逆”。A′的行，就是A的列。左行右列作內(nèi)積，恰好用上已知條件。但是，逆陣唯一，“左逆”就是“右逆”。AA′=E這樣一來(lái)，A的行向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。同樣，如果n階方陣A的“行向量組”是標(biāo)準(zhǔn)正交組，那它的列向量組必定也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。實(shí)際上，很簡(jiǎn)單，AA′=E，則|A|=±1滿秩方陣A的的逆陣唯一，A′=±A*只有兩類正交陣——要么A的每一元就等于自己的代數(shù)余子式，要么A的每一元等于自己的代數(shù)余子式的相反數(shù)。另有一個(gè)應(yīng)用逆陣唯一性的好例。

2.2左、右逆矩陣存在的條件首先,行列式乘積定理|AB|=|A|*|B|的證明不依賴于你想要證明的結(jié)論,它可以通過(guò)初等變換來(lái)證明.

然后就是一個(gè)觀念的問(wèn)題,滿足|A|≠0的矩陣A稱為非奇異矩陣,而關(guān)于X的方程AX=XA=E有解的矩陣A稱為可逆矩陣,這兩者的等價(jià)性沒(méi)有驗(yàn)證之前最好不要混淆.

利用Cranmer法則可以證明非奇異矩陣必可逆,因?yàn)榇藭r(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)解X=adj(A)/|A|.再利用行列式乘積定理可以證明可逆矩陣必定非奇異.準(zhǔn)備工作到此為止.回到你的問(wèn)題,如果AB=E,那么由|A||B|=1得A非奇異,因此必定可逆,取A的逆X,那么X=XE=XAB=B,從而B(niǎo)A=XA=E.2.3左、右逆矩陣的求法A乘以A的逆等于單位矩陣，兩側(cè)同時(shí)轉(zhuǎn)置，右側(cè)單位矩陣轉(zhuǎn)置仍然得單位矩陣，左側(cè)分別轉(zhuǎn)置兩個(gè)矩陣，然后以相反順序相乘，因此A的逆的轉(zhuǎn)置乘以A的轉(zhuǎn)置得到單位陣。A轉(zhuǎn)置的逆即是A的逆的轉(zhuǎn)置。因此，要求A轉(zhuǎn)置的逆，只需要先求A的逆，然后求該逆的轉(zhuǎn)置即可。轉(zhuǎn)置和逆兩種乘法運(yùn)算，對(duì)于單個(gè)矩陣而已，其順序可以顛倒。這種算法就是在右邊加上一個(gè)單位矩陣E組成一個(gè)新矩陣，然后使用初等變換，當(dāng)變換到新矩陣左半部分是單位矩陣的時(shí)候，右半部分就是原來(lái)矩陣的逆了。

1.02.03.01.00.00.0

2.02.01.00.01.00.0

3.04.03.00.00.01.0

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1.00.00.01.03.0-2.0

0.01.00.0-1.5-3.02.5

0.00.01.01.01.0-1.0所以右邊就是他的逆。Am×nBn×p=Cm×p，A列必須等于B的行數(shù)1）常規(guī)方法，行列點(diǎn)乘法：C=AB，C中的第i行j列結(jié)果來(lái)自A的第i行向量與B的第j列向量的點(diǎn)乘。整行整列的進(jìn)行。2）列方法，整列考慮，列的線性組合方式：B的一個(gè)列向量乘以A（矩陣A各列向量的線性組合）得到C的對(duì)應(yīng)列向量，此過(guò)程其余列向量暫不參與計(jì)算。3）行方法，整行考慮，行的線性組合方式：A的一個(gè)行向量乘以B（矩陣B各行向量的線性組合）得到C的對(duì)應(yīng)行向量，此過(guò)程其余行向量暫不參與計(jì)算。4）列×行法：AB等于A各列與B各行乘積之和：A中列乘以B中行，如A第一列乘以B第一行得一個(gè)矩陣（這樣的矩陣很特殊，行向量和列向量都是單個(gè)向量的線性組合，第四講會(huì)講到有關(guān)行空間，列空間的概念），最后將得到的各矩陣相加。三應(yīng)用和例題3.1伴隨矩陣求逆矩陣和用初等變換求逆矩陣1、用伴隨矩陣求逆矩陣定義：設(shè)矩陣A=所對(duì)應(yīng)的行列式detA中元素aij的代數(shù)余子式矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為A*。顯然，AA＊=仍是一個(gè)n階方陣，其中第i行第j列的元素為由行列式按一行（列）展開(kāi)式可知=所以AA＊==detAE（1）同理AA＊=detAE=A＊A定理：n階方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，而且A-1=A＊=證必要性：如果A可逆，則A-1存在使AA-1=E，兩邊取行列式det(AA-1)=detE,即detAdetA-1=1,因而detA≠0,即A為非奇異矩陣。充分性：設(shè)A為非奇異矩陣，所以detA≠0，由（1）式可知A(A＊)=(A＊)A=E所以A是可逆矩陣。且A-1=A＊例1求矩陣A=的逆矩陣。解因?yàn)閐etA=,所以A是可逆的。又因?yàn)樗訟-1=A＊==2、用初等變換求逆矩陣用初等變換求一個(gè)可逆矩陣A的逆矩陣，其具體方法為：把方陣A和同階的單位矩陣E，寫成一個(gè)長(zhǎng)方矩陣，對(duì)該矩陣的行實(shí)施初等變換，當(dāng)虛線左邊的A變成單位矩陣E時(shí)，虛線右邊的E變成了A-1即從而可求A-1。例2用初等變換求的逆矩陣。解因?yàn)?所以A-1=例3解線性方程組解：方程組可寫成=設(shè)A=X=B=則AX=B由例2知A可逆，且A-1=所以X=A-1B，即=A-1B==于是，方程組的解是3.2幾種變換例析1設(shè)表示所有系數(shù)在域中的矩陣的集合，考慮的子空間序列

這里，由于是上的有限維的向量空間，因此存在自然數(shù)使得，于是存在的矩陣使得

由于，對(duì)歸納就可以得到。上式同時(shí)乘以得到

因此

（2）因?yàn)椋粒拢剑?，Ａ，Ｂ是n階方陣（已知條件）

故必然存在ＡＡ（－１）＝Ｅ＝A(-1)A（Ａ（－１）是n階方陣，存在性）

比較上面兩式，得到Ｂ＝Ａ（－１）（等效性）

故ＢＡ＝Ａ（－１）Ａ＝Ｅ方法２：因?yàn)椋ǎ拢粒n=BA*BA*...=B(AB)^(n-1)A=BA對(duì)任意正整數(shù)n成立，

所以，ＢＡ必然是單位方陣Ｅ或者是０。

因?yàn)椋粒拢剑?，故可排除ＢＡ＝０可能性。故ＢＡ＝Ｅ?/p>

方法３：ＢＡ*BA=BEA=ＢＡＥ,兩邊除以ＢＡ（因?yàn)閨ＢＡ|=|AB|不等于０，故可除）

可得ＢＡ＝Ｅ

方法４：AB*A=A=AE,兩邊除以Ａ（因?yàn)椋粒坏扔冢?，故允許除法）

可得ＢＡ＝Ｅ（3）由隱含條件從而有：

若存在,使得則的行向量組線性無(wú)關(guān),因?yàn)槿舸嬖趧t：因而的行向量組是線性空間的一個(gè)基，所以可以用A的行向量組表示出的標(biāo)準(zhǔn)基，即存在令：,則：,最后易證（4）初等行變換，將(A,E)用初等行變換化為行最簡(jiǎn)形

若左子塊是E,則A可逆,且此時(shí)右子塊就是A^-1

--建議用此方法

例如題1

(A,E)=

-11-1100

-1-11010

1-1-1001

-->

00-2101

0-20011

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

100-1/2-1/20

-->

100-1/2-1/20

0100-1/2-1/2

001-1/20-1/2

A^-1=

-1/2-1/20

0-1/2-1/2

-1/20-1/2（5）如果那么互為強(qiáng)逆矩陣。那么可以知道強(qiáng)逆矩陣存在的充要條件是行列式不為零。這個(gè)過(guò)程只不過(guò)是書(shū)上可逆充要條件是行列式不為零這個(gè)過(guò)程的文本替換而已。如果，那么稱為的右逆矩陣，那么容易知道如果一個(gè)矩陣有右逆矩陣，根據(jù)Cachy-Binet定理，行列式必然不為零，必然有強(qiáng)逆矩陣，并且強(qiáng)逆矩陣就是右逆矩陣。（6）有7位有效數(shù)字，這和定義所得結(jié)果完全一致,這是共它任何方法所難得到的.（7）設(shè)mxn二實(shí)矩陣A是列滿秩的,是A的近似左逆矩陣,如果滿足條件列則：其中R(A)表示矩陣A的象空間，A十表示A的廣義逆矩陣，這里即為A的左逆矩陣·（8）如果二次型中含變量xi的平方項(xiàng)，則先將含xi的項(xiàng)集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項(xiàng)；如果二次型不含平方項(xiàng)，但某混合項(xiàng)系數(shù)aIj不為0，可先通過(guò)xi=yI+yj，xj=yI-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現(xiàn)平方項(xiàng)后，按前一方法配方。例：f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標(biāo)準(zhǔn)型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號(hào)表示矩陣行結(jié)束）就是合同變換中的變換矩陣。例，f=2x1x2-6x1x3,無(wú)平方項(xiàng)，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;再作變換：z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成f=2z1^2-2z2^2這種標(biāo)準(zhǔn)二次型。最后將再次用的變換寫成矩陣形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,則C=C1*C2就是所求（具體計(jì)算略）。先寫出二次型的A的矩陣形式拼單位陣，變換左半為對(duì)角陣，要靈活運(yùn)用三種初等變換（交換，倍數(shù)，加倍都需要行列相繼對(duì)應(yīng)變換），當(dāng)對(duì)角線元素為零時(shí)，單純交換不能解決問(wèn)題，采用具有規(guī)律性的后行/列加前行/列，寫在題目最后的一句話：做可逆變換x=Cy即（矩陣形式），把f做成標(biāo)準(zhǔn)形f=...。注意：用配方法或合同變換解題時(shí)，系數(shù)不是A的特征值，只有用正交變換才是特征值，它們的共同點(diǎn)是：項(xiàng)數(shù)一樣，符號(hào)一樣。變換得出左半對(duì)角陣即可寫出標(biāo)準(zhǔn)形。將二次型的矩陣寫出來(lái)，在下方寫一個(gè)單位矩陣，然后對(duì)行和列做相同的初等變換，使上面的矩陣變成對(duì)角矩陣，對(duì)角線上是1或-1。下面的矩陣就變成了線性替換的矩陣。設(shè)矩陣A=1-81X=x1411x211-2x3解:f=x1^2+x2^2-2x3^2-4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3x2^2-3x3^2+6x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3(x2-x3)^2=y1^2-3y2^2對(duì)AE用類同的行列變換將上子塊化為對(duì)角矩陣,則下子塊即X與Y的關(guān)系X=CYPS.這個(gè)方法很少用,不如配方法好使。用mathematical求正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所作的正交變換mat={{1.1,2.3,-2.4},{2.3,-2.2,4.45},{-2.4,4.45,4.2}};{lam,

vec}=Eigensystem[mat];

vec=Transpose[vec];

vec//MatrIxForm至此求出正交變換的矩陣Diagonal[Inverse[vec].mat.vec]至此求出標(biāo)準(zhǔn)型的三個(gè)項(xiàng)用正交線性替換化下列二次型為典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1為下標(biāo))四結(jié)論隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,科學(xué)與工程計(jì)算簡(jiǎn)稱科學(xué)計(jì)算的研究受到科學(xué)技術(shù)人員的極大重視,其應(yīng)用范圍己滲透到許多學(xué)科領(lǐng)域。而矩陣計(jì)算是科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)重要方面。對(duì)于科學(xué)研究和工程技術(shù)上的各種問(wèn)題,用矩陣的理論和方法來(lái)處理己越來(lái)越普遍。引入矩陣?yán)碚摬粌H使理論的表達(dá)更為簡(jiǎn)捷,而且對(duì)理論實(shí)質(zhì)的刻畫(huà)也更為深刻。這一點(diǎn)已被越來(lái)越多的科技工作者所認(rèn)識(shí)。特別是由于計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的普及和發(fā)展,不僅為矩陣?yán)碚摵头椒ㄩ_(kāi)辟了廣闊的研究前景,也使科學(xué)與工程技術(shù)的研究發(fā)生新的變化,開(kāi)拓了嶄新的研究途徑。矩陣?yán)碚撆c方法已成為眾多學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具。它不僅在數(shù)值分析、最優(yōu)化方法、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)分支上有極其重要的應(yīng)用,還在信號(hào)處理、圖像處理、無(wú)線電技術(shù)和衛(wèi)星通信等尖端科學(xué)領(lǐng)域中有重要的用途。矩陣計(jì)算的理論和方法在圖像恢復(fù)與重建、壓縮與編碼、圖像分析、圖像識(shí)別及近年來(lái)研究較熱的數(shù)字水印等各個(gè)領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。這里我們就圖像識(shí)別中的代數(shù)特征提取、基于四元數(shù)矩陣的彩色圖像處理及數(shù)字水印中的水印嵌入分別簡(jiǎn)要地介紹矩陣計(jì)算的理論和方法在圖像處理及識(shí)別中的應(yīng)用。五參考文獻(xiàn)[1]TianYaobang,Lidong,WangAnna.ExtensionsoftheMatrixAnthropocentricInequalities.ProceedingsoftheEighthInternationalConferenceonMatrixTheoryanditsApplications.2008[2]TianYaobang,WangAnna,Mialei.ExtensionoftheMatrixCauchy-SchwaandMarshallKinfolksinequality.ProceedingsofThirdInternationalWorkshopOnMatrixAnalysisandApplicationsinchina.2009[3]LiuShijiazhuang,KroneckerHeinz.Sever