新教材高中數學人教a版必修第一冊學案453函數模型的應用

4.5.3函數模型的應用

［目標］會根據所給數據選擇合適的函數模型進行擬合.

［重點］根據給定的函數模型解決實際問題.

［難點］建立數學模型解答實際問題.

知識點一應用所給函數模型解決實際問題

［填一填］

解決應用問題的基本步驟

(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，

把握其中的數學本質.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語

言，利用數學知識，建立相應的數學模型.

(3)解模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題.

(4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論.

［答一答］

1.我們已學過的函數有哪些？

提示：一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及氟函數.

2.建立函數模型解決問題的基本過程是什么？

提示：①收集數據；②根據收集到的數據，在平面直角坐標系內

畫出散點圖；③根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函

數模型；④選擇其中的幾組數據求出函數模型；⑤將已知數據代入所

求出的函數模型中進行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，則

重復步驟③④⑤；若符合實際，則進入下一步；⑥用所得函數模型解

釋實際問題.

知識點二構建函數模型解決實際問題

［填一填］

（1）常見的8種函數模型

①一次函數模型：式淄=kx+b（k,。為常數，左W0）；

k

②反比例函數模型：“￥）=：+/?（左，8為常數，左W0）；

③二次函數模型：/（X）=or2+Z?x+c（a,b,c為常數，aWO）；

④指數函數模型：於）=Q〃+C（Q,b,c為常數，QWO,b>0,bWl）；

⑤對數函數模型：fix）=mlogflx+n（m,n,。為常數，a>Q,a字1,

m#0）；

⑥幕函數模型：f（x）=axn+b（a,b,〃為常數，aWO）；

⑦“對勾”函數模型：危）=依+，3,8為常數，且。〉0,。>0）；

⑧分段函數模型.

（2）幾類函數模型的增長差異

>n

在區(qū)間（0,+8）上，函數丁=爐3>1）,y=logax（?l）^ny=x（n>0）

都是增函數，隨著％的增大，>=〃3>1）的增長速度越來越快，會超過

并遠遠大于y=xn的增長速度，而y=log/（a>l）的增長速度則會越來越

慢.因此，總會存在一個％o,當X>%o時，就有l(wèi)ogoxaVa”.

［答一答］

3.哪些實際問題可以用指數函數模型來表示？

提示：人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題.

4.哪些實際問題可以用對數函數模型來表示？

提示：地震震級的變化規(guī)律、溶液pH的變化規(guī)律、航天問題等.

用函數圖象刻畫實際問題中兩個變量

類型一的變化過程

［解析］觀察函數圖象可得函數y=/⑺在［0,上是增函數，即說明

隨著直線/的右移，掃過圖形的面積不斷增大.再對圖象作進一步分析,

圖象首先是向下凸的，說明此時掃過圖形的面積增加得越來越快，然

后是向上凸的，說明此時掃過圖形的面積增加得越來越慢.根據這一

點很容易判定C項不符合.這是因為在C項中直線/掃到矩形部分時，

面積會呈直線上升.

［答案］C

判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數

模型，再結合模型選圖象.

(2)驗證法：當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中

兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從

中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

［變式訓練1］已知正方形ABCD的邊長為4,動點P從B點開始

沿折線BCDA向A點運動.設點P運動的路程為x,AABP的面積為S,

則函數5=火%)的圖象是(D)

解析：①當點尸在線段5。上運動時，點尸到A5的距離為X,則

S=；X4X%=2%(0W%W4),其函數圖象為過原點的一線段；②點尸在

邊CZ)上時，點尸到的距離不變，為4,則S=；X4X4=8(4W%W8),

其函數圖象是平行于％軸的一線段；③點尸在邊上時，點尸到A5

的距離為(12—%),則S=；X4X(12—x)=24—2%(8W%W12),其圖象是

一線段.縱觀各選項，只有D選項圖象符合.故選D.

類型二應用所給函數模型解決實際問題

［例2］某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年

利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來

利潤y(百萬元)與年投資成本%(百萬元)變化的一組數據：

年份2008200920102011???

投資成本工35917???

年利潤y1234???

給出以下3個函數模型：①/=丘+/?(左W0)；②y=a"(aWO,b>0,

且5W1)；③y=loga(%+Z?)(a>0,且aWl).

(1)選擇一個恰當的函數模型來描述X,y之間的關系；

(2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉型.

［解］⑴將(3,1),(5,2)代入〉=丘+WW0),

1=3左+8,

得《解得《x

2=5k+b,-y=2~2-

b=-r

當％=9時，y=4,不符合題意；

將(3,1),(5⑵代入y=a〃(aWO,b>0,且〃Wl),

l=ab3,%內=2三

得[2=加,??尸

、歷^2^

當％=9時，y=4,(也)=1,不符合題意;

將(3,1),(5,2)代入丁=108.(%+份3〉0,且21),

”=loga(3+b),]。=2,

得0—1zc_1_解得—1???y=log2(x—l).

[2—log〃(5+ZM?),[b——l,

當％=9時，y=log28=3;

當％=17時，y=log216=4.

故可用③來描述X,y之間的關系.

(2)令log2(X—1)26,則％265.

二,年利潤*10%,J該企業(yè)要考慮轉型.

求解已給函數模型，解決實際問題的關注點

⑴認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

⑵根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

⑶利用該模型求解實際問題.

提醒：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍.

［變式訓練2］據報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最

近50年內減少了5%,如果按此速度，設2018年北冰洋冬季冰雪覆蓋

面積為陰，則從2018年起，％年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與％的

函數關系式是(A)

_x__x_

5050

A.y=0.95-mB.y=(l—0.05>m

C.y=Q.9550~x-mD.y=(l-O.O550~x)-m

解析：設北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q%.由題意可知

1

0%產=0.95,所以q%=0.95°,所以從2018年起，入年后北冰洋冬季

冰雪覆蓋面積y與％的函數關系式為y=0.955°-m.

類型三構建指數、對數函數模型解決實際問題

［例3］某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公

司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)

資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200

萬元的年份是(參考數據：lgl.12po.05,Igl.3yo.11,lg2po.30)()

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

［分析］寫出第〃(“￡N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金與〃的關系

式，解不等式即可.

［解析］設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200

20

萬元.由130(1+12%)〃〉200,得1.12"〉石，兩邊取常用對數，得

心與需筆詈."24,.?.從2019年開始，該公司投

■其-L?J-V/?J

入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.

［答案］B

(1)求解與指數函數、對數函數兩類函數模型有關的實際問題時，

要學會合理選擇模型，在兩類模型中，指數函數模型是增長速度越來

越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都

屬于指數函數模型.

(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般需要先通過待定

系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題，必要時可

借助導數.

［變式訓練3］(1)世界人口在過去40年內翻了一番，則每年人口

平均增長率是(參考數據坨2七0.3010,1000°75七1.017)(C)

A.1.5%B.1.6%

C.1.7%D.1.8%

(2)某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的

數量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間*單位：小時)滿足

t

一而

=po2,其中po為t=0時的污染物數量.又測得當/=30時，污

染物數量的平均變化率是一101n2,則p(60)=(C)

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

解析：(1)設每年世界人口平均增長率為X,則(1+%嚴=2,兩邊取

i2

以10為底的對數，則401g(l+x)=lg2,所以聯1+%)=家e「0.0075,

所以100.0075=1+%,得1+工=1.017,所以％=1.7%.故選C.

(2)因為當1=30時，污染物數量的平均變化率是一101n2,所以一

1t

要of~死

101n2=30_0，所以po=6OOln2.因為p(f)=po2,所以p(60)=

6001n2X2-2=1501n2(毫克/升).故選C.

類型四構建分段函數模型解決實際問題

［例4］今年春節(jié)期間某自駕游車隊，組織車友前往某地游玩.該

車隊是由31輛車身長都約為5m(以5m計算)的同一車型組成的，行

程中經過一個長為2725m的隧道(通過該隧道的車速不能超過25

m/s).勻速通過該隧道時，設車隊的速度為％m/s.根據安全和車流的需

要，當0<%W12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當124W25時,

相鄰兩車之間保持'好十；3m的距離.自第1輛車車頭進入隧道至第

31輛車車尾離開隧道所用的時間為y(s).

(1)將y表示為％的函數；

(2)求該車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度.

［解］由于不同路段，保持的距離不同，因此可用分段函數表示，分

段函數的有關最值問題要分段求解.

(1)當0"12時,

2725+5X31+20X(31-1)3480

y==;

JXX

當12aW25時，

2725+5X31+(31-1)

5X2+10X+2880,2880,

=5xi?10

￥(0<XW12),

所以y=<2QQQ

5x++10(12<%W25).

(2)當0aW12時，在％=12(m/s)時，ymin=-^-=290(s);

,),,2880,、I―2880,

當時，+10^2A

12<%W25y=5%+---X---\/5x----J-C---+10=250(s),

2QQQ

當且僅當5%=------,即％=24(m/s)時取等號.

因為％=24￡(12,25],所以當％=24(m/s)時，ymin=250(s).

因為290〉250,所以當％=24(m/s)時，ymin=250(s).

即該車隊通過隧道時間y的最小值為250s及此時該車隊的速度為

24m/s.

分段函數模型問題的解答方法：實際問題中有些變量間的關系不

能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票

價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解.構造分段函數時，要

力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏.

［變式訓練4］首屆中國國際進口博覽會于2018年11月5日至10

日在國家會展中心(上海)舉辦.一個更加開放和自信的中國，正用實際

行動為世界構筑共同發(fā)展平臺，展現推動全球貿易與合作的中國方

案.某跨國公司帶來了高端智能家居產品參展，供購商洽談采購，并

決定大量投放中國市場.已知該產品年固定研發(fā)成本30萬美元，每生

產一臺需另投入90美元.設該公司一年內生產該產品x萬臺且全部售

完，每萬臺的銷售收入為G(x)萬美元，G(x)=

1240—3%,0<x<20,

<30006000

x>20.

、%+1%(%+1)

(1)寫出年利潤S(萬美元)關于年產量％(萬臺)的函數解析式；(利潤

=銷售收入一成本)

(2)當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？并求出最大

利潤.

解：(1)當0<%W20時，S=xG(x)~(90x+30)=-3x2+150x-30;

3000(x—2)

當x>20時，S=xG(x)~(90%+30)=-10x430.

%+1

—3^+150A：—30,0<%W20,

則S=<,3000(%-2)

T°X+F^—3。，x〉20.

(2)由(1)知，當0<%W20時，5=—3%2+150%—30=—3(%—25)2+1

845.

因為5=—3(%—25)2+1845在(0,20］上單調遞增，所以當％=20時,

Smax=8(20)=1770.

,L,3000Q—2)9000,

當,>20時,5=—1。%+「^—3。=—1。％—市+297。=

,9000.八.當，當且

—10(x+1)—?+2980W—2()(%+1)+2980=2380,

人I_1L人I_L

僅當雷=IO（x+l）,即％=29時等號成立.

因為2380〉1770,所以％=29時，S取得最大值，最大值為2380

萬美元.

故當年產量為29萬臺時，該公司在該產品中獲得的利潤最大，最

大利潤為2380萬美元.

1.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間*月）

與枝數y（枝）的散點圖，那么紅豆生長時間與枝數的關系用下列哪個函

數模型擬合最好（C）

A.y=t3B.y=log2t

C.y=2tD.y=2戶

解析：符合指數函數模型.

2.某食品的保鮮時長y（單位：小時）與儲藏溫度工（單位：。C）滿足

函數關系y=*+"（e=2.718…為自然對數的底數，k,。為常數）.若該

食品在0℃的保鮮時長是192小時，在22℃的保鮮時長是48小時，

則該食品在33℃的保鮮時長是（C）

A.16小時B.20小時C.24小時D.28小時

解析：由已知條件得，192=e",所以b=lnl92.又因為48=^2k+b

1

=e22*+ini92=]92e?2尢=192?1千，所以=；.設該食品在33℃

33klu3

的保鮮時長是1小時，則^=e33Him92—ig2e=192（e）=192X=

24.故選C.

3.將進貨單價為8元的商品按10元/個銷售時，每天可賣出100

個，若此商品的銷售單價漲1元，日銷售量就減少10個，為了獲取最

大利潤，此商品的銷售單價應定為14元.

解析：設銷售單價應漲入元，則實際銷售單價為(10+%)元，

此時日銷售量為(100—10%)個，

每個商品的利潤為(10+%)—8=2+%(元)，

.?.總利潤y=(2+x)(100-10x)=~10^+80x+200=-10(^-4)2

+360(0<x<10,且％￡N*).

.,.當％=4時y有最大值，此時單價為14元.

4.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。米/秒和燃料的

質量M