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第1頁/共24頁3123122023學年第二學期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點中學高二年級數(shù)學學科試題命題:蕭山中學王建國、沈建剛審校:臨平中學(余高)盛立忠審核:縉云中學潛艷蕾3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效4.考試結束后,只需上交答題卷.1.在‘ABC中,三個內角A,B,C成等差數(shù)列,則sin(A+C)=() 22C.D.1B.A.C.D.1B.222 1434A. 1434A.C.B.D.3.與直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水,未經蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度,一般以毫米為單位,它可以直觀地表示降雨的多少,目前,測定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測量時,將雨量筒中的雨水倒在量杯中,根據杯上的刻度就可知道當天的降雨量.某興趣小組同學為測量降水量,自制了一種圓臺形的雨量器(如圖).某次降水,這種容器收集到的雨水高度為150mm,則該次降水的降雨量最接近()第2頁/共24頁A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm5.()8展開式中常數(shù)項為()A.28B.28C.7D.76.若函數(shù)f(x)=x3一x2+b有兩個零點,則()7.將雙曲線=1繞原點逆時針旋轉45°后,能得到反比例函數(shù)y=的圖象(其漸近線分別為x軸和 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線. 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉得到,則此“對勾函數(shù)”所對應的雙曲線的實軸長為()A.4B.4C.2D.28.記由0,1,2,3,4五個數(shù)字組成的五位數(shù)為a1a2a3a4a5.則滿足“對任意i(ieN,1<i<5),必存在j子i(jeN,1<j<5),使ai=aj”的五位數(shù)的個數(shù)為()A.120B.160C.164符合題目要求.全部選對的得6分,有選錯的得0分,部分選對的得部分分.9.下列命題是真命題的是()第3頁/共24頁10.設等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,若a1>1,且a2022.a2023>1,)<0,下列結論正確的是()C.數(shù)列{Tn}無最大值D.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值11.已知拋物線y2=2px(p>0)上有兩點A(x1,y1)、B(x2,y2),焦點為F,下列選項中是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件的是()------322A.OA.OB=4pB.y1y2=p124FAFBp面ABC的距離為.n2024(1)求線段AC的長;(2)求ΔACD的面積.第4頁/共24頁16.已知函數(shù)f(x)=ex-ax(aeR).(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.17.如圖,四棱錐A-BCDE中,平面ABC」平面BCDE,‘ABC是邊長為2的等邊三角形,底面BCDE是矩形,且BE=.(1)若點G是AE的中點,(i)求證:AC//平面BDG;(ii)求直線DG與平面ABC所成角的正弦值;(2)在線段AB上是否存在一點F,使二面角B-CE-F的大小為.若存在,求的值;若不存在,請說明理由.18.已知拋物線C:y=,點D(x0,y0)為拋物線C外一點(如圖過點D作C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)求證:直線AB的方程為x0x-y-y0=0;(2)若D(x0,y0)在直線y=-上,以E(|(0,為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求該圓的方程.第5頁/共24頁19.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作,經過n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn.(1)寫出X1的分布列并計算E(X1);和S100的最大值;(3)定性分析當交換次數(shù)趨向于無窮時,E(Xn)趨向的值.2023學年第二學期期中杭州地區(qū)(含周邊)重點中學高二年級數(shù)學學科試題命題:蕭山中學王建國、沈建剛審校:臨平中學(余高)盛立忠審核:縉云中學潛艷蕾3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效4.考試結束后,只需上交答題卷.1.在‘ABC中,三個內角A,B,C成等差數(shù)列,則sin(A+C)=()A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】由條件可知A+C=2B,結合A+B+C=π求得A+C,從而代入得解.【詳解】因為A,B,C成等差數(shù)列,所以A+C=2B;第6頁/共24頁又A+B+C=π,所以3B=π,即B=,所以A+C=2B=,所以sin(A+C)=sinπ=.故選:C.2.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根據條件概率公式計算即可.【詳解】因為P(B|A)=,P(AB)=,所以P(B|A)===,即P(A)=,故選:B.3.與直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0【答案】B【解析】【分析】把方程中的y換成-y即可得到所求直線方程.【詳解】直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線為:3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.故選:B.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水,未經蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度,一般以毫米為單位,它可以直觀地表示降雨的多少,目前,測定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測量時,將雨量筒中的雨水倒在量杯中,根據杯上的刻度就可知道當天的降雨量.某興趣小組同學為測量降水量,自制了一種圓臺形的雨量器(如圖).某次降水,這種容器收集到的雨水高度為150mm,則該次降水的降雨量最接近()第7頁/共24頁A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm【答案】B【解析】【分析】如圖,根據相似三角形的性質求得DF=80mm,由圓臺的體積公式求出收集到的雨水量,利用等體積法,結合圓柱的體積公式建立關于h的方程,解之即可求解.【詳解】如圖,AC,GH分別為上底面、下底面的半徑,AG//HB且AG=HB,DF//AC,當DG=EH=150mm時,在‘HBC中,=,即=,解得EF=30mm,所以DF=80mm,所以圓D的面積為S1=802π=6400πmm2,又圓G的面積為S2=502π=2500πmm2,3mm,設此時量杯的刻度為hmm,故選:B5.()8展開式中常數(shù)項為()第8頁/共24頁TT令8A.28B.-28C.7D.-7【答案】C【解析】【分析】利用二項式的展開式的通項即得.【詳解】由題意(-)8得展開式通項為:8r84r38-rrr8-rCx8-,故選:C.6.若函數(shù)f(x)=x3-x2+b有兩個零點,則()【答案】D【解析】【分析】由直線y=b與y=g(x)有兩個交點,利用導數(shù)求出g(x)的極值,作出圖象,數(shù)形結合求出即可.【詳解】令f(x)=x3-x2+b=0,則b=-x3+x2,令g(x)=-x3+x2,則由題意可得直線y=b與y=g(x)有兩個交點, 6所以g(x)極小值為g(x)=0,極大值為g(1 6作出圖象:第9頁/共24頁所以b=0或b=故選:D. 16 1x7.將雙曲線-=1繞原點逆時針旋轉45°后,能得到反比例函數(shù)y= 1x的圖象(其漸近線分別為x軸和 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線. 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉得到,則此“對勾函數(shù)”所對應的雙曲線的實軸長為()A.4B.4C.2D.2【答案】D【解析】【分析】求出旋轉后實軸所在直線方程,求出雙曲線的兩個頂點坐標,再由兩點間的距離公式可得解.【詳解】旋轉后兩條漸近線分別為y=x和x=0,夾角為60。,旋轉前后兩條漸近線的夾角不變,實軸所在直線是兩條漸近線所夾角的平分線,所以旋轉后,雙曲線的實軸所在直線的傾斜角為60。,斜率為,方程為y=x,(|x=|x=6622所以旋轉后的雙曲線的兩個頂點為(,)或(-,-),故選:D.8.記由0,1,2,3,4五個數(shù)字組成的五位數(shù)為a1a2a3a4a5.則滿足“對任意i(i=N,1<i<5),必存在=aj”的五位數(shù)的個數(shù)為()A.120B.160C.164【答案】C【解析】【分析】滿足條件的五位數(shù)分為兩類:一類是只由一個數(shù)字組成,另一類是由兩個數(shù)字組成,其中由兩個第10頁/共24頁數(shù)字組成又分為0入選與0不入選,0入選時可以是包含2個0或3個0,結合0不能放在萬位求解即可.【詳解】由題意知,滿足條件的五位數(shù)分為兩類:一類是只由一個數(shù)字組成,另一類是由兩個數(shù)字組成.①只由一個數(shù)字組成,如11111、22222等共4個;②由兩個數(shù)字組成,可分為0入選與0不入選,0不入選,則從1,2,3,4中選擇兩個數(shù)組成滿足條件的五位數(shù),如11122、11133、22211等,共有0入選,則從1,2,3,4中選擇一個數(shù)組成滿足條件的五位數(shù),且0不能放在萬位,如11100、22200、11000所以滿足條件的五位數(shù)共有4+120+40=164故選:C.符合題目要求.全部選對的得6分,有選錯的得0分,部分選對的得部分分.9.下列命題是真命題的是()【答案】BC【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式計算可判斷A項,設出z1、z2,結合z1.z2=0計算即可判斷B項,由平面向量數(shù)量積公式可知2=||2計算可判斷C項,舉-則z1.z2第11頁/共24頁2但此時z12故選:BC.10.設等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,若a1>1,且a2022.a2023>1,)<0,下列結論正確的是()C.數(shù)列{Tn}無最大值D.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值【答案】ABD【解析】2023項的遞減數(shù)列,再根據等比數(shù)列的性質逐項判斷即可.【詳解】根據題意,等比數(shù)列{an}的公比為q,a2022.a2023>1,所以等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù).20232023則必有0<q<1,所以等比數(shù)列{an}為正項的遞減數(shù)列.依次分析選項:對于A,S2024S2023=a2024>2320222023>0,可知T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值,故C錯誤,D正第12頁/共24頁確.故選:ABD.11.已知拋物線y2=2px(p>0)上有兩點A(x1,y1)、B(x2,y2),焦點為F,下列選項中是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件的是()------3A.OA.OB=4p2B.y1y2------3124FAFBp【答案】ACD【解析】【分析】根據題意設過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的直線為x=my+,代入拋物線的方程得關于y的方程,利用根與系數(shù)的關系以及平面向量的運算法則,判斷題目中的命題是否正確即可.【詳解】設直線AB的方程為x=my+t,則直線AB交x軸于點T(t,0),且拋物線的焦點F的坐標為(,0),則y1=2pm,y1y2=2pt,uuruur+y1y2+y1y22p2即t2pt+4pp23p,2∴“.=p2”是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件;此時直線AB過拋物線的焦點F,∴“y1y2=p2”是“直線AB經過焦點F”的充要條件;)22∴“xx=p2”是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件;第13頁/共24頁+=+=+2 m(y12 2pm2+2t+p222∴“1+1=2“是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件.【答案】##1.5【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù),即可得到函數(shù)的單調性,從而求出最大值.【詳解】因為f(x)=x2一27lnx,當xE[1,2]時f,(x)<0,所以f(x)在[1,2]上單調遞減,又f(1)=,所以f(x)在[1,2]上的最大值為.故答案為:面ABC的距離為.【答案】【解析】【分析】求出平面ABC的法向量后,再計算到平面ABC的法向量的投影即可得.------------------------------------第14頁/共24頁2則點O到平面2則點O到平面ABC的距離為.3設平面ABC的法向量為m-----mn2024【答案】①.0②.2023【解析】nn ,21212an1a1=,以上n1個式子相加可得:故答案為:0;2023.第15頁/共24頁(1)求線段AC的長;(2)求‘ACD的面積.【解析】【分析】(1)由同角三角函數(shù)的平方關系和二倍角的余弦公式可得cos經ABC=-,再由余弦定理可求出線段AC的長;(2)由二倍角的余弦公式可得cos經BCD=,再由同角三角函數(shù)的平方關系和面積公式求解即可.【小問1詳解】 3 ,32cos22-1由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AC.BCcos經ABC第16頁/共24頁【小問2詳解】因為AC為經BCD的平分線,在直角ΔBCD中,得cos經DCB1,3所以S‘ACD=CD.ACsin經ACD=x4x18x=36.(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)之0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】(1)借助導數(shù)的幾何意義計算即可得;(2)要使f(x)之0恒成立,則需f(x)min之0成立,借助導數(shù),分a<0、a=0、a>0討論,得其單調性即可得解.【小問1詳解】【小問2詳解】第17頁/共24頁則f(x)在(一偽,lna17.如圖,四棱錐ABCDE中,平面ABC」平面BCDE,‘ABC是邊長為2的等邊三角形,底面BCDE是矩形,且BE=.(1)若點G是AE的中點,(i)求證:AC//平面BDG;(ii)求直線DG與平面ABC所成角的正弦值;(2)在線段AB上是否存在一點F,使二面角B一CE一F的大小為.若存在,求的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1)(ⅰ)證明見解析;(ⅱ)【解析】【小問1詳解】第18頁/共24頁(ⅰ)設矩形BCDE的中心為P,則P是CE的中點,而G是AE的中點,所以ACGP.而P是矩形BCDE的中心,故P也是BD的中點,所以GP在平面BDG內,又因為AC不在平面BDG內,所以AC//平面BDG;(ii)由于平面ABC」平面BCDE,平面ABC和平面BCDE的交線為BC,DC」BC,DC在平面BCDE內,故DC」平面ABC.所以直線DG與平面ABC所成角的正弦值等于cos經CDG.下面證明一個結論:在UVW中,若VW,WU,UV的長分別為u,v,w,則邊UV上的中線長為222d22d.2d.2v所以d2+w22v2u+d22u2w2222u+vw.回到原題.由于BE,CD」平面ABC,而AB,AC在平面ABC內,故BE」AB,CD」AC.而CE===,故根據之前證明的結論,我們有+2AC2AE2CE22 42 2第19頁/共24頁CD2+DG2CG2CD2CD2CD.DG2CD.DG2DG147所成角的正弦值等于.【小問2詳解】在平面ABC內過F作FM」BC,交BC于M,在平面BCDE內過M作MN」CE,交CE于N.由于平面ABC」平面BCDE,平面ABC和平面BCDE的交線為BC,F(xiàn)M」BC,F(xiàn)M在平面ABC內,故FM平面BCDE.而CE在平面BCDE內,故FM」CE.又因為MN」CE,F(xiàn)M,MN在平面FMN內交于F,故CE」平面FMN.由CE」平面FMN,F(xiàn)N在平面FMN內,知CE」FN.綜上,存在滿足條件的點F,=.18.已知拋物線C:y=,點D(x0,y0)為拋物線C外一點(如圖過點D作C的兩條切線,切點分別為A,B.第20頁/共24頁(1)求證:直線AB的方程為x0x-y-y0=0;(2)若D(x0,y0)在直線y=-上,以E(|(0,為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求該圓的方程.【答案】(1)證明見解析2【解析】【分析】(1)先利用導數(shù)幾何意義分別求出在A,B兩點處的切線方程,再分別代入點D(x0,y0)即可發(fā)現(xiàn)A,B兩點都在直線y0+y=x0x上,進而得到直線AB的方程.(2)由(1)得直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立,求出線段AB的中點為M,再根據圓的性質所得」建立方程進行研究即可.【小問1詳解】所以在A(x1,y1)處的切線方程為y+y1=x1x,同理在B(x2,y2)處的切線方程為y+y2=x2x,兩條切線都過D(x0,y0),所以y0+y1=x1x0,y0+y2=x2x0,顯然A,B兩點都在直線y0+y=x0x上,所以直線AB的方程為x0x-y-y0=0.【小問2詳解】第21頁/共24頁 2若D(x0,y0)在直線y=-上,則直線AB的方程為x0x-y 2 12(1) 12(1)|x222----219.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作,經過n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn.(1)寫出X1的分布列并計算E(X1);和S100的最大值;(3)定性分析當交換次數(shù)趨向于無窮時,E(Xn)趨向的值.(2)50(3),理由見解析【解析】【分析】(1)第一問就是用相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式就可求得X1的分布列,然后利用期望公式即可計算出結果;第22頁/共24頁所以要想數(shù)列{an}的前100項和最大,則盡最大可能讓甲口袋中黑球個數(shù)為0,從而得到問題的解法及結(3)第三問關鍵是找到第n+1次交換球后的概率與第n次交換球后的概率關系,有了第n+1次交換球后的概率分布,就可以計算第n+1次甲口袋中黑球期望與第n次的期望關系E(Xn+1)=1+E(Xn),從而構造成等比數(shù)列求出E(Xn),再用極限思想就可以
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