2024年-二重積分的計算(極坐標(biāo))

*三、二重積分的換元法第二節(jié)二、利用極坐標(biāo)計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計算1二極坐標(biāo)下二重積分的計算(一)極坐標(biāo)知識回顧1定義:在平面取一點O稱為原點,稱為極軸.O平面上任意點P向量OP與極軸為夾角為則點P由數(shù)組唯一確定,稱數(shù)組是點P的極坐標(biāo).P從原點出發(fā)作一條射線與原點距離為曲線上點的極坐標(biāo)滿足的方程稱為曲線的極坐標(biāo)方程.2O例:

如圖半徑為與極軸相切,且圓心與原點連線垂直于極軸,求圓的極坐標(biāo)方程.P對圓上任意一點設(shè)其極坐標(biāo)為則三角形是直角三角形,且故故圓的極坐標(biāo)方程為3OP若平面上極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系關(guān)系如圖.對平面上的點P設(shè)其極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別是和則它們有關(guān)系以下假設(shè)平面有極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系且關(guān)系如上2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系4法一:根據(jù)曲線的幾何特征及與幾何含義建立方程OP法二:根據(jù)直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)關(guān)系建立圓的直角坐標(biāo)方程為圓的極坐標(biāo)方程為如圖圓的極坐標(biāo)方程為3曲線的極坐標(biāo)方程的求法5例如圖P法一法二:圓的直角坐標(biāo)方程為故即故圓的極坐標(biāo)方程為例如圖P法一法二:圓的直角坐標(biāo)方程為故圓的極坐標(biāo)方程為6例如圖直線P法一法二:由直線直角坐標(biāo)方程為得故直線極坐標(biāo)方程為7記為(二)極坐標(biāo)下的型簡單區(qū)域定義:

若區(qū)域D在極坐標(biāo)下是由及其中圍成.則稱D為極坐標(biāo)下的型簡單區(qū)域

特征若區(qū)域D的的取值為對從原點出發(fā)以為角做射線與區(qū)域邊界交點至多兩個:8為什么引用極坐標(biāo)計算二重積分21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計算？需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!二、利用極坐標(biāo)計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束9引例.

其中D為解:將轉(zhuǎn)化為二次積分,D0y

xD1D2D3D4分割D為10又如計算其中的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束本題解法見后面例題8還可舉例11極坐標(biāo)系下的面積元素將變換到極坐標(biāo)系0D

iriri+1...

...利用極坐標(biāo)計算二重積分

i

i

i+

iI=

rir..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束用坐標(biāo)線:

=常數(shù)；r=常數(shù)

分割區(qū)域D12怎樣利用極坐標(biāo)計算二重積分(1)1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部0ABFE

DD:

rr130ABFE

DD:.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部r140ABFE

DD:.步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部r152.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部0

DrD:怎樣利用極坐標(biāo)計算二重積分(2)r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束16

D:D0.2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束17

D:.D0步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

.2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束180y

x2a

..解例1..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（第一象限部分）(極點不在區(qū)域D的內(nèi)部)19此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..

例2.計算D:

=1和

=2

圍成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束20例2續(xù)其中D為計算D0y

xD1D2D3D4解:在極坐標(biāo)系下故212R區(qū)域邊界：x=0.0y

x

即

r=2Rsin

r=2Rsin

例3..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束220y

x12

y=xD..

例4.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束230y

x4r=4cos

r=8cos

8D

1

2例5.計算y=2xx=y機動目錄上頁下頁返回結(jié)束240y

xr=8cos

D48.r=4cos

2

1例5..計算I=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束25例6計算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束26例7.

將積分化為極坐標(biāo)形式y(tǒng)=RxD1D2..R0y

xD...arctanR.I=I=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束r=R27若f≡1

則可求得D的面積思考:下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:

問

的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(極點位于區(qū)域D的內(nèi)部)

28例:判斷下列區(qū)域是否是簡單區(qū)域若是請表示出來.29例8.計算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.由于故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束30注:利用例8可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例8的結(jié)果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束31例9.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束32常用D到D’的轉(zhuǎn)換機動目錄上頁下頁返回結(jié)束極坐標(biāo)下的二次積分注釋33作業(yè)P138-1392;3;4(2),(4);

5(2),(4);6第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束34定積分換元法三*、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束35證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy

面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束36同理得當(dāng)h,k

充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束37因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束38例21.計算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束39例22.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束40例23.試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束41內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束42則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結(jié)束43(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分序?

寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束44思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁下頁返回結(jié)束452.交換積分順序提示:

積分域如圖機動目錄上頁下頁返回結(jié)束46