當(dāng)代控制理論課后習(xí)題答案5

（當(dāng)代控制理論）課后習(xí)題答案

（當(dāng)代控制理論）第5章習(xí)題解答

5.1已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為CxyBuAxx

=+=,,畫(huà)出參加狀態(tài)反應(yīng)后的系統(tǒng)構(gòu)造圖，寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式。

答：具有狀態(tài)反應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：

uKx=?+v（）x

ABKxBvyCx

=?+=

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)構(gòu)造圖為

fcy

閉環(huán)系統(tǒng)構(gòu)造圖

5.2

畫(huà)出狀態(tài)反應(yīng)和輸出反應(yīng)的構(gòu)造圖，并寫出狀態(tài)反應(yīng)和輸出反應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間

模型。

答：具有狀態(tài)反應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

uKx=?+v()xABKxBvyCx

=?+=

相應(yīng)的反應(yīng)控制系統(tǒng)構(gòu)造圖為

具有輸出反應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

uFy=?+v()xABFCxBvyCx

=?+=

相應(yīng)的反應(yīng)控制系統(tǒng)構(gòu)造圖為

5.3狀態(tài)反應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的能控性和能觀性有什么影響？輸出反應(yīng)對(duì)系統(tǒng)能控性和能觀性的影

響怎樣?

答：狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性，但不一定能保持系統(tǒng)的能觀性。輸出反應(yīng)不改變系統(tǒng)

的能控性和能觀性。

5.4通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)芸匦跃仃嚹芊駶M秩的方法證實(shí)定理5.1.1。答：參加狀態(tài)反應(yīng)后得到閉環(huán)系統(tǒng)

KS,其狀態(tài)空間模型為

OxABKxBvyCx

=?+=

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為

OSl[J[]ncABB

ABAB?r="

閉環(huán)系統(tǒng)KS的能控性矩陣為

l[(),][()()]ncKABKBBABKBABKB?r?=??"

由于

222

()()()()(ABKBABBKB

ABK

BAABKBKABKBKB

)

ABABKBBKABKBKB?=??=??+=???#

以此類推，總能夠?qū)懗傻木€性組合。因而，存在一個(gè)適當(dāng)

非奇異的矩陣U,使得

()mABKB?l///mmABABABB?[()/][/]cKcABKBABUr?=r

由此可得：若rank([,])cABn「=,即有個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，則n[()[cKABKBH^有個(gè)線性無(wú)關(guān)

的列向量，故

nrank([()J)cKABKBnr?=

5.5狀態(tài)反應(yīng)和輸出反應(yīng)各有什么優(yōu)缺點(diǎn)。

答：狀態(tài)反應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)是，不改變系統(tǒng)的能控性，能夠獲得更好的系統(tǒng)性能。其缺點(diǎn)是，不

能保證系統(tǒng)的能觀性，狀態(tài)x必須可測(cè)，成本高。

輸出反應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)是：保持系統(tǒng)的能控性和能觀性不變，構(gòu)造簡(jiǎn)單，只用到外部可測(cè)信號(hào)。

其缺點(diǎn)是，由于用到的信號(hào)少，它所到達(dá)的系統(tǒng)性能往往有限，有時(shí)甚至都不能到達(dá)閉環(huán)系統(tǒng)

的穩(wěn)定性。

5.6應(yīng)用能控性檢驗(yàn)矩陣的方法證實(shí)狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性。然而，對(duì)下面系統(tǒng)

[]01023131xxuyx

????

=+??????????=能夠通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反應(yīng)增益矩陣來(lái)改變閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性。

答:對(duì)于用能控性檢驗(yàn)矩陣的方法證實(shí)狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性，在題5.4中已經(jīng)證實(shí)。

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能觀性矩陣為

[]031,20CACCA????

「==????

?????

由于能觀性矩陣滿秩，故系統(tǒng)是能觀的。

設(shè)口1

2Kkk=,引入狀態(tài)反應(yīng)uKxv=?+后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣是

120213AABKkk??=?=????????

閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性矩陣為

012312CACkkCA??????r==??????????

???取口2

0K=?,則可得

03100AC????r=??

????

該矩陣不是滿秩的，故系統(tǒng)是不能觀的。這個(gè)例子講明了狀態(tài)反應(yīng)的引入使得原來(lái)能觀的

系統(tǒng)變得不能觀了。

5.7證實(shí)定理5.1.2o

證實(shí)：先證能控性。對(duì)任一輸出反應(yīng)系統(tǒng)都可對(duì)應(yīng)地構(gòu)造等價(jià)的一個(gè)狀態(tài)反應(yīng)系統(tǒng)。由定

理5.1.1知，狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性，因此，輸出反應(yīng)也不改變系統(tǒng)的能控性。

設(shè)被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

OSxAxBuyCx

=+=

引入狀態(tài)反應(yīng)后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

FS()xABFCxBvyCx

=?+=

系統(tǒng)和的能觀矩陣分別為

OSFSOlnCCAQCA??????

?=??????

#,Ol()()FnCCABFCQCABFC???

??

???=???????#能夠看出，(CABFC)?每個(gè)行均可表為,T

TTT

CAC????各行的線性組合，同理有是各行的線性組合，如此等等。據(jù)此能夠?qū)С?

2()CABFC?2〃()T

TTTTTCACAC????oForankQrankQ<

由于又能夠看成為的輸出反應(yīng)系統(tǒng)，因此有

oSFSoorankQrankQF<

由以上兩式可得

oorankQrankQF=

因而，系統(tǒng)完全能觀測(cè)等價(jià)于完全能觀測(cè)。FSOS

5.8采用狀態(tài)反應(yīng)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的條件是什么？

答：采用狀態(tài)反應(yīng)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的條件是，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是能控的。

5.9采用狀態(tài)反應(yīng)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置，其狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K的行數(shù)和列數(shù)怎樣確

定，計(jì)算方法有幾種？

答：狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K的行數(shù)是輸入變量的個(gè)數(shù)，列數(shù)是狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。計(jì)算方法有：

1.直接法；2.變換法；3.利用愛(ài)克曼公式求解。

5.10為什么要進(jìn)行極點(diǎn)配置？解決系統(tǒng)極點(diǎn)配置問(wèn)題的思路和步驟是什么？

答：對(duì)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能主要是由系統(tǒng)極點(diǎn)所決定，閉環(huán)極點(diǎn)在

復(fù)平面的適當(dāng)位置上就能夠保證系統(tǒng)具有一定的性能。因而，為了得到期望的系統(tǒng)性能，能夠

通過(guò)改變閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就是極點(diǎn)配置的思想。

解決極點(diǎn)配置問(wèn)題的思路如下:

1、要改變系統(tǒng)的行為，自然想到所考慮的系統(tǒng)應(yīng)該是能控的。因而，從能控系統(tǒng)入手來(lái)分

析系統(tǒng)的求解問(wèn)題；

2、一般的能控系統(tǒng)也是很復(fù)雜的，為了求解問(wèn)題，從最簡(jiǎn)單的能控系統(tǒng)開(kāi)場(chǎng)，即從三階的

能控標(biāo)準(zhǔn)型模型出發(fā)分析極點(diǎn)配置問(wèn)題的解，進(jìn)而推廣到階能控標(biāo)準(zhǔn)型模型；

n3、對(duì)一般的能控系統(tǒng)，設(shè)法將它化成等價(jià)的能控標(biāo)準(zhǔn)型模型，進(jìn)而利用第2步的方法得

到極點(diǎn)配置問(wèn)題的解。

解決極點(diǎn)配置問(wèn)題的詳細(xì)方法和步驟如下：(1)直接法：

1、檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性。假如系統(tǒng)是能控的，則繼續(xù)第2步。

2、利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可得到期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

11211()()()nnnnbb入入XXUX入入？？Ob???=+++””+

3、系統(tǒng)矩陣ABK?的特征多項(xiàng)式

llldet[()]nnnOIABKaaaXAA????=++++”入

4、兩個(gè)多項(xiàng)式相等即等號(hào)兩邊入同次幕的系數(shù)相等，導(dǎo)出關(guān)于K的分量的一個(gè)線性方程組，

求解該線性方程組，可得要求的增益矩陣l,nkk"K。[2)變換法：

1、檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性。假如系統(tǒng)是能控的，則繼續(xù)第2步。

2、利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式

llldet()nnnOIAaa入入XX???=++++”a

確定的值。

011z//naaa?"3,確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣T。若給定的狀態(tài)方程已

經(jīng)是能

控標(biāo)準(zhǔn)形，那么Tl=。非奇異線性變換矩陣T可由下式?jīng)Q定:

l[,](cc

B[,])TAAB?=「0b「4、利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可得到期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

11211()()()nnnnbb入入XXUUX?????：**〉。

5、確定極點(diǎn)配置狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K：

[]00

1122

HnnnnKbabababaT????=????"

5.11已知系統(tǒng)狀態(tài)方程

111011xxu????=+????????

計(jì)算狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣，使得閉環(huán)極點(diǎn)為2?和3?,并畫(huà)出反應(yīng)系統(tǒng)的構(gòu)造圖。答：由，,

得能控性矩陣為1101A??=??

??11B??

=????

[]12(JllcABBAB??

「==????

det((z))10cABr=?#

所以系統(tǒng)是能控的。

由于

211det()210

1IA入入入入入？？？？

?==?+?????系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形矩陣對(duì)是

0112A??=?????,01B??=????

故狀態(tài)變換矩陣為：

l[J([,])ccTABAB?=rr01121211?????=??????????1110???=????

根據(jù)給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

212()()⑵(3)5人入入入入入入入??=++=++6

因而，狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣是

[]57KT=[]125=?

構(gòu)造圖為

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而，故系統(tǒng)是能控的。因而，若系統(tǒng)性能不知足要求，能夠通過(guò)配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)來(lái)改善

系統(tǒng)性能。det((J)10cABr=?#⑶設(shè)狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣口1

2Kkk=,可得

()IABKX??122

llkk入入+???=??++??

2212det(())⑶22IABKkkk入入入??=+++++

由指定的閉環(huán)極點(diǎn)3?和，可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

3?22⑶6入入入9+=++

由此可得：，即121,3kk==[]13K=

極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為:

210()141xABKxBvxv?????

=?+=+????????????

它的單位階躍響應(yīng)曲線為:

StepResponse

Time(sec)

Amplitude

比照兩圖能夠發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能大大改善。

5.13已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2(1)

()(3sGsss+=

)

+,根據(jù)其能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反應(yīng)

控制器，將閉環(huán)極點(diǎn)配置在一2,—2和一1處，并講明所得的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型能否

能觀。

答：由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2(1)

()(3sGsss)

+=

+,能夠得到系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形為：

設(shè)狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣口1

2

3Kkkk=,則

()IABKA??12310013kkkXXA???

??=???

??++??

3232det(())⑶llABKkkkM入??=++++入

由指定的閉環(huán)極點(diǎn)2?、和可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式:

2?1?232⑵(1)58入入入M++=+++4

由此可得：，即1234,8,2kkk===[]4

因而，要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反應(yīng)控制器是

82K=O

[]482ux=?

極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為：

該系統(tǒng)的能觀性矩陣為：

[]2110011484oCACCACA????

????「==????

???????????

[]det()OoACr=

因而所得的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型是不能觀的。

5.14已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

⑴⑵

()(l)(2)(3ssGssss?+=

)+?+

試問(wèn)能否用狀態(tài)反應(yīng)將閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

1

()(2)(3csGsss?=

)

++

若有可能，試給出相應(yīng)的狀態(tài)反應(yīng)控制器，并畫(huà)出控制系統(tǒng)構(gòu)造圖。答：能夠用狀態(tài)反應(yīng)

將閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變?yōu)?

()(2)(3csGsss)

?=

++o

根據(jù)原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)能夠得到能控標(biāo)準(zhǔn)形。由定理5.1.3,對(duì)能控的單輸入單輸出系統(tǒng)，

只要不發(fā)生零極點(diǎn)相消的現(xiàn)象，狀態(tài)反應(yīng)就不能改變零點(diǎn)。因而我們只能用狀態(tài)反應(yīng)把原系統(tǒng)

變換為

2(1)(2)

()(2)(3cssGsss)

?+=

++

即將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在、和2?2?3?的位置上O原系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

[]211yx=?

設(shè)狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣口1

2

3Kkkk=,則

()IABKX??123100165kkkXXX?2??

??=???

????++??

32321det(())(2)(5)6IABKkkk入入入入??=+++?+?

由指定的閉環(huán)極點(diǎn)2?、和可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式：

2?3?232(2)⑶7161人入入入入++=+++2

由此可得：，即12318,21,5kkk===[]18215K=。因而，要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反應(yīng)控制器

是

[]18215ux=?

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是：

1000010121671xxv????=+??

???????

??????????[]211yx=?

構(gòu)造圖為

5.15已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

00

52

010********[001]xxuyx???????=?+??

????????=?????

(1)驗(yàn)證開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)是能控能觀的；(2)證實(shí)該系統(tǒng)能夠采用輸出反應(yīng)使

得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；T12[]uhhy=(3)驗(yàn)證該系統(tǒng)不能采用輸出反應(yīng)任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。

T12[]uhhy=答:

(1)由于系統(tǒng)的特征值為-0.1607,6.5676,14.4931,所以開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的能控

性矩陣是

L]cABr=200555122114011112???

????????????

其秩rank=3,所以系統(tǒng)是完全能控的[JcABr系統(tǒng)的能觀性矩陣是

[]0001,013138AC??

??「=??

????

由于rank口0,AC「=3,故系統(tǒng)也是完全能觀的。12)在輸出反應(yīng)口1

2T

uhhyH=y=作用下，閉環(huán)系統(tǒng)為

()x

ABHCxyCx

=+=

其閉環(huán)狀態(tài)矩陣是：

[]11122200520002510112001102101301013hhABHChhhh??+??????

??

?????????????+=??+'??=??????????

該系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

32212det(())⑶(21)(25)IABHChhhh入入XX?+=+??+?+++?10b

設(shè)配置極點(diǎn)后的系統(tǒng)特征多項(xiàng)

式為3221bb入入入+++,則有即需知足

13115

222

bb2b???=

閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則須有三個(gè)負(fù)根，即，和b都必為正，這與上式矛盾，故原系統(tǒng)

不可能用輸出反應(yīng)lb2b3[]12T

uhh=yl來(lái)鎮(zhèn)靜原系統(tǒng)。

22

211032125hbhhbhb

??=??

?+=???=?

原題有誤。

5.16極點(diǎn)配置能夠改善系統(tǒng)的過(guò)渡經(jīng)過(guò)性能，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。它對(duì)穩(wěn)態(tài)性能有何影

響？怎樣消除對(duì)穩(wěn)態(tài)性能的負(fù)面影響？

答：極點(diǎn)配置能夠改善系統(tǒng)的過(guò)渡經(jīng)過(guò)性能，加快系統(tǒng)的響應(yīng)性能，但可能使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)

生穩(wěn)態(tài)誤差。能夠引進(jìn)一個(gè)積分器來(lái)抑制或消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，這樣一種跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

問(wèn)題能夠通過(guò)建立增廣系統(tǒng)，進(jìn)而求解增廣系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題來(lái)得到既保持所期望的動(dòng)態(tài)性

能，又無(wú)靜差的比例一積分控制器。

5.17考慮例542中的倒立擺系統(tǒng)，假定風(fēng)以一個(gè)水平力作用在擺桿上，以5(作

()wt)wt

用在小車上，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程是

01

00000

010140001000011016[1000]x

AxBuEwxuwyCxx

??????

????"????????????=++=++????????????