隨機信號分析課后習題答案

第一次作業(yè)：練習一之1、2、3題

1.1離散隨機變量X由0,1,2,3四個樣本組成，相當

于四元通信中的四個電平，四個樣本的取值概率順序為

1/2,1/4,1/8,和l/8o求隨機變量的數(shù)學期望和方差。

117

\O&3

E[X]=fx/(X-王!-X+X+X=

解：/4-8-8-

/=!

8-

O[X]=W(x,一E[X])2￡=(02-—令2*；+(1一馬2、；+(2-32、:+(3―m2,:

i=]oZ34oooo

71

—=1.109

64

1.2設連續(xù)隨機變量X的概率分布函數(shù)為

ox<0

71

F(x)=<0.5+Asin[-(x-l)]0<x<2

12x>2

求⑴蠲A；(2)X取值在(0.5,1)內(nèi)的概率P(O.5<X<I)。

jrTT

解：_^(x),—Acos[-(x-l)]0<x<2

dx0其他

由J/(x)Jx=1

-00

/日82

j—Acos[—(x-1)]dr=Asin[—(x-1)]=2A

-oo222

A」

2

1711TCA/2

P(0.5<x<l)=F(l)-F(0.5)=-sin[-(l-l)]——sin[-(0.5-1)]=—=0.35

22224

1.3試確定下列各式是否為連續(xù)隨機變量的概率分布函

數(shù)，如果是概率分布函數(shù)，求其概率密度。

(1)F(x)=1一/x>0

0x<0

0x<0

(2)F(x)=<Ar20<x<1

1x>l

(3)F(x)=-[u(x)-u(x-a)]a>0

a

(4)F(x)-—M(X)--~-u(x—a)a>Q

aa

解(1)F(x)=<1-62xN。

0x<0

當xNO時，對于/NX],有尸⑷)N尸(X1),P(x)是單調

非減函數(shù)；

04F(x)W1成立；

尸(x+)=F(x)也成立。

所以，"X)是連續(xù)隨機變量的概率分布函數(shù)。

求得，/(》)=￡也=%2x>0

dx0x<0

0x<0

(2)F(x)=<Ax20<x<l

1x>l

在A>0時、對于有尸(4)”(/)，F(xiàn)(x)是單

調非減函數(shù)；

欲使OK尸(尤)41和尸(x+)=F(x)成立,必須使A=lo

所以，在A=1時\尸⑴是連續(xù)隨機變量的概率分

布函數(shù)。

同理，｛)=皿=[2"1>X>0

dx[0x<0

欲滿足j/(x)dx=l,也必須使A=l。

所以，l>x>0

x<0

(3)F(x)=~[u(x)-u(x-a)]a>0

a

x

上式可改寫為F⑴=》(x)一心一⑼°-%<a?>0

0其他

對于％2〉。>/，P(X1)不成立。

所以「尸⑴不是連續(xù)隨機變量的概率分布函數(shù)。

(4)F[x}-—M(X)--~-u(x—a)a>0

aa

x

--[u(x)+u(x-a)]-u(x-a)a>0

a

0x<0

=v—x0<x<aa>0

a

2

—x-1a<x

、a

當"x時，不滿足0"(x)41,所以F(x)不是連續(xù)隨機變

量的概率分布函數(shù)。

第二次作業(yè)：練習一之4、5、6、7題

1.4隨機變量X在位，切上均勻分布，求它的數(shù)學期望和

方差。

解：因X在[a,句上均勻分布

，/.---aW下WB

0其他

E[X]=]xf(x)dx=f-^dA=亨

-i部-a2

E[X2]=fx2/U)dx=f-^dx=1(a2+2|3+『)

1aP-a3

81

D[X]=j(x-E[X])2/(x)dr=E[X2]-(E[X])2=—(P-a)2

-00

1.5設隨機變量X的概率密度為九(幻=：求

o具他

Y=5X+1的概率密度函數(shù)。

解：反函數(shù)x=g)=(y-i)/5

h'(y)=1/5<1y<6

fI=1x1/5=

fY(y)=fx(h(y))Ih(y)1/5

于是有加y)=[E1<y<6

其他

1.6設隨機變量X1,X”…,X”在［a,b］上均勻分布，且互相獨立。

若Y=?X,,求

(l)n=2時，隨機變量Y的概率密度。

(2)n=3時.，隨機變量Y的概率密度。

'1,

---a<x<b

解：力(a)=<i=1,2,…,〃

0其它

n=2時，A(y)=/x,(y)*/x2(y)

00

/「(>)=J/xg/xJy-xM

-00

='f?—L四積分上下限選錯了，此題答案有誤

Jb-ab-a

1

b-a

同理，n=3時，4(y)=—!—

b-a

1.7設隨機變量X的數(shù)學期望和方差分別為m和山求隨

機變量y=-3x—2的數(shù)學期望、方差及X和Y的相關矩。

解：數(shù)學期望：E[Y]=-3m-2

2

方差：￡>[y]=(-3)CT-0=9o

2

Rxy=E[XY]=E[X(-3X-2)]=E[-3X-2X]

E[X2]=D[X]+(E[X])2=c+m2

2

相關矩：RXY=—3a—3m—2m

第三次作業(yè)：練習一之9、10、11題

1.9隨機變量X和Y分別在[0,回和[0,引上均勻分布，且互

相獨立。對于匕<4,證明：

2b

P(x<fecosK)=—

7ia

證：e.X和y分別在和[04]上均勻分布

2八乃

0<x<a0KyW—

aTC2

有〃X)=和/(丫)=

0其它0其它

x<hcosY0<x<hcosy

八7tx<bcosY

bcosy<b<a0<y<—

2

p(x</?cosy)=p(0<x<bcosy,0<y

”/2bcosy

=Jdyjf(x,y)dxdy

00

乃/2bcosy

=jdyJ/(x)/(y)dxdy因為rv.X和y相

00

互獨立

bcosy

---dxdy

0a7i

產(chǎn)/2/-x1

r2b

-----cosyay

0a兀

2b

m

命題得證

X?X

1.10已知二維隨機變量（2）的聯(lián)合概率密度為

力?。ㄔ?尤2），隨機變量（x?x2）與隨機變量（片,為）的關系由

下式唯一確定

=%匕+"為匕=aX,+/?X2

[X[=cj+4L

Y2=CX1+dX2

證明：（匕,%）的聯(lián)合概率密度為

力也（乃，乃）=荷!而九此（為為+4%，。出+4乃）

證：做由力必（弘,力）到￡占（國,％2）的—.維變換

/x|X2（X|,%2）—1，|力必為）

/八握（〉1，丁2）—jJTfxtx2

現(xiàn)生

dxdxab

l2-ad-be

②2以d

dx2

1

人必（口，乃）+by,cy+dy)

\ad-bc\i2ill2

1.11隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為

/xy(x，y)=Asin(x+y)Q<x,y<—

求(1)系數(shù)A；(2)X,Y的數(shù)學期望；(3)X,Y的方差;

(4)X,Y的相關矩及相關系數(shù)。

解：

兀nKTC乃

22222

(1)JJfxY(x、y)dxdy=|JAsin(x+y)dxdy=Ajsinxdxjcosydy+Ajcosxdxjsinydy

oo0000

=2A=1

71

8J2]2

fx(x)=\fY(x,y)dy+y)dy=—jsinxcosydy+—jcosxsinydy

(2)X

2()2°

-00

1.、

=—(zsinx+cosx)

同理6(x)=；(siny+cosy)

冗n

I??2?2?2

jy—(siny+cosy)dy=—Jysinydy+—jycosydy=——jyd

mx=mYcosy+siny

022222o

”￡

I2-2

11.?11(r

-￡2+IcosI2￡1

-2-2-2--2-*lslin

Oo?oo

￡

-4

3

2712

二-2

―)2-夜Jsin(y+—

上+J

162

71n

2

(4)相關矩Rxy=E[XY]=^xyfXY(x,y)dxcly=jjxy^-sin(x+y)dxdy=y_1

0000，2

2

協(xié)'方差C\y=RXY一譏X]仇F]=g-3—1

2lo

.目關系數(shù)％=4=_￡_y+;:

(Tx(Jy〃+8乃一32

第四次作業(yè)：練習一之12、13、14、15題

1.12求隨機變量X的特征函數(shù)，已知隨機變量X的概率

密度

fx(X)=2Lx>0

00<x>

j<MaxjtM

M：①x⑼=\fxWedx=2\u(t)e-edx

—co—oo

利用傅氏變換：w(f)e"—

a+JCD

爾,、2

%(M=-----

a-JCD

1.13已知隨機變量X服從柯西分布求他的

笈cr+x

特征函數(shù)。

解：①X(⑼=U(x)e"%x=

-i2%”+尤

利用傅氏變換：4^~6-加

a~+x

%3)="刎

1.14求概率密度為/x(x)=；e川的隨機變量X的特征函數(shù)。

.00100

解：0X⑼=J/x(x)ejm'dx=1\e^ejmxdx

利用傅氏變換：？三~”喇

aCD

%?）=\+a>

1.15已知相互獨立的隨機變量X”X2,X3,…，心的特

征函數(shù)，求Xi，X2,X3,…，Xn線性組合y=|>,x,+c的特

征函數(shù)。伯和。是常數(shù)。"

解：互相獨立隨機變量之和的特征函數(shù)等于各隨機變

量特征函數(shù)之積。

冊（。）=E{expb?這+c）］}=e加￡［口e“x，］

/=1

第五次作業(yè)：練習二之1、2、3、4、5題

2.1隨機過程X(f)=Acosw+Bsinw,其中①為常數(shù)，A、B是兩

個相互獨立的高斯變量，并且譏*=￡網(wǎng)=0,E[A2]^E[B2]^a20

求X⑺的數(shù)學期望和自相關函數(shù)。

角翠：E[X(f)]=E[Acoscot+Bsintyf]=E[4cos(yf]+E\Bsina)t]

=E[A]coscot+￡[B]sincot

=0(仇A]=E[8]=0)

Rx(%/2)=E[X?)X?2)]=E[(Acoscot}+5sincotA)(Acos69Z2+BsinM2)]

22

=E[AcosM}coscot2+ABcoscot}sincot2+ABsinct)t}cos+Bsina)txsincot2]

2

=E[A]coscoscot2-^E[A]E[B]cossinM2+E[A]EfB]sincoscot2-\-E[B~]sincot{sincot2

222

=E[A]cosMicost^j+EffiMsin^sinty/2(E[X]=D[X]+(E[X]))

2

=acosco(t27J

=a2cos69(r)(7=L-4)

2.2若隨機過程X。）在均方意義下連續(xù)，證明它的數(shù)學期

望也必然連續(xù)。

證：由均方連續(xù)的定義limE[|X?+4)-X⑴門=0,

A/->011

展開左式為：limE[X2(/+A/)-X(r+Af)X(r)-X(t+/^t)X(t)+X2(/)]

Aff0

=lim{E[X(t+4)((X(t+Af)—X(?))]-E[XQ)((X?+A)—X(f))]=0

A/f0

固有l(wèi)imE[X?+Af)]-E[X(f)]=0,證得數(shù)學期望連續(xù)。

2.3證明隨機過程存在均方導數(shù)的充分條件是：自相關函

數(shù)在他的自變量相等時存在二階偏導數(shù)整…。

1

dt{dt22

證：

而（22）=Um%也+期川-叫?。?1加E1X（4+AGX（f2）]—E[X（GXQ2）]

MTA/J

dt}M-0。

XQ+AGXX（GX?2）]；）（（

ra匕）—r仇XQ{X4+AG—XG}]

MT。4]M-*OAZ,

於砥廿2）二limaXQ2+42）{Xa+AG—X（G}]—XX（f2）{X4+AG-X（G}]

TO.4

dt}dt2細2fo加1加2

=lim+X&）}{X（/AG-X（?]在時存在,

的句4-0Ar,Ar,

也就是limE[{Xa+4）-x"）}2]存在。

加->0Af

2.4判斷隨機過程x?）=A8s（&+0）是否平穩(wěn)？其中①為常

數(shù)，4、。分別為均勻分布和瑞利分布的隨機變量，且相

互獨立。

上

/式。）=2e2Ma>0

O'

0

E[X(t)]=E[ACOS(M+0)]=E[A]E[COS(M+@)]=0

.1.

Z?xQJ+7)=E\A~cos(m+0)cos{<y(Z+r)+0}]=—E[A~]E[cos(2(ot+2⑦+①7)+cos6yr]

^E[A2]cosar與時間的起點無關，且仇X2（f）]<8

因此，是廣義平穩(wěn)的隨機過程。

2.5證明由不相關的兩個任意分布的隨機變量A、B構成

的隨機過程

X(t)=Acoscoj+Bsina)Qt

是寬平穩(wěn)而不一定是嚴平穩(wěn)的。其中如為常數(shù)，A、B的

數(shù)學期望為零，方差〃相同。

11E：E[X⑺]=E[A]cosco()t+E[B]sin=0

Rx(，/+】)=￡[(Acos%+Bsina)ot)(Acos/(r+匯)+8singQ+r)]

=E[A2cos①otcosgQ+r)+A5cos豌，singQ+7)+ABsing，cos+r)+B2sing，singQ+匯)]

2

=E[A]COSCOS+r)+E[A]E[B]cosa)Qtsin+r)+E[A]E[B]sind20Zcosa)Q(t+r)

2

+E[B]sinco0tsing。+r)2

2

=E[A]cosco()tcosgQ+匯)+仇公]singfsincoQ(t+r)

(E[X2]^D[X]+(E[X]Y)

2

=acosC()QT

E[X2(Z)]<OO

因此，是廣義平穩(wěn)的隨機過程。

Rx(%也，%)=E[(Acosgf]+8sin%])(Acos%2+Bsin/^XAcosg^+8singf3)]

2

=E[(Acoscos0)^2+A8cosg4sin0)^2+ABsingKcos690f2+82sing。sin)(/1cos690r3+8sin

32

=E[(Acosa)()t]cosgj+A8cosgqsinco0t2+cosa)Qt2+AB?sing)sin^0r2)cos6y0r3]

223

+E[(ABcosco{)t}cosco()t2+ABcos6D()t]singj+AB?sin6yoz)costy(/2+Bsina)^xsin^/2)sin6y()/3]

3cos

=E[Acos卬]cosW3]+aB'sin卬]sina)ot2sincoQt3]

可見，該隨機過程構不成三階平穩(wěn)，因此不符合嚴平穩(wěn)過

程的要求。

第六次作業(yè)：練習二之6、7、8、9、10題

2.6有二個樣本函數(shù)再⑺=2,x2(t)=Zcosf,%。)=3sinf組成的隨機過

程X"),每個樣本函數(shù)發(fā)生的概率相等，是否滿足嚴平穩(wěn)

或寬平穩(wěn)的條件？

解：X(t)={%,(0,x2(t),x3(t)}={2,2cosr,3sin/)

"尸2=6=；

31

E[X(f)]==-(2+2cosf+3sinf)

由于數(shù)序期望與時間相關，不為常數(shù)，因此不滿足一

階平穩(wěn)，也就不滿足嚴平穩(wěn)或寬平穩(wěn)的條件。

2.7已知隨機過程X(f)=AcosQ+O),⑦為在[0,2萬]內(nèi)均勻分布

的隨機變量，A可能是常數(shù)、時間函數(shù)或隨機變量。A滿

足什么條件時，X”)是各態(tài)歷經(jīng)過程？

解：

(1)考查X。)為平穩(wěn)過程的條件

在A為常數(shù)或與。不相關的隨機變量時，滿足

頊X")]=o

Rx(t,t+r)=E[X(t)X(t+r)]=E[A2cos(M+⑦)cos{啰。+「)+◎}]

1,、

=—E[A~]{E[cos(2(ot+204-COT)]+￡[cos69r]}

1

=—E[A^2]cosa)r

=Rx⑺

(2)考查x⑺為各態(tài)歷經(jīng)過程的條件

在A為常數(shù)或與。不相關的隨機變量時，滿足

_____[7]74

X(t)=lim——=lim——|,Acos(^+(P)dt=lim——cos(Psin(t)T=0=E[X(r)]

r-*?2T*z82T{ttb①T

—I—/

而

______________]T,T

X?)XQ+r)=li。m—Jx(/)X(f+2)df=lim—JA2cos(m+6)COS{GQ+7)+◎}力

丁―02TTT->g2T7

17rA2

lim—[——[cos(2切+2⑦+GT)+COS郵■[力

eTfg27T-*/2

A2

=——COSCOT

2

只有在A為常數(shù)時，滿足X(f)X(f+r)=Rx(r)。

欲使X⑺是各態(tài)歷經(jīng)過程，A必為常數(shù)。

2.8設X”)和丫⑴是相互獨立的平穩(wěn)隨機過程，他們的乘積

是否平穩(wěn)？

解：令z(f)=x?)y(f)

E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]E[Y(t)]=mxmY

R7(t,t+r)=仇XQ)y(f)XQ+r)y(Z+r)]

=E[X(t)X(t++r)]=/?x(r)/?/r)=/?z(r)

又E[Z\t)]=E[X\t)Y\t)]<oo

X⑺和丫⑺的乘積是平穩(wěn)的。

2.9求用x(t)自相關函數(shù)及功率譜密度表示的

y(f)=x(/)cos(%+。)的自相關函數(shù)及功率譜密度。其中，①為

在[。,2%]內(nèi)均勻分布的隨機變量，X")是與。相互獨立的隨機

過程。

角華：RYQ,f+r)=E\Y{t}Y(t+T)]=E[X(Z)cos(6y0Z+①)X(t+r)cos{<y0(f+r)+0}]

=E[XQ)X(t+r)]E[cos(d)(/+⑦)cos{為oQ+r)+0}]

=；Rx(r)cos6?0r

=Ry(r)

0018

je0T；￡yr

SY(co)=^RY(T)e~dr=—(r)cos690re'^r

-O02-8

10

=—p?x⑺+e97一”""

-<J0

=-j/?xe)[e-〃3+⑥”+e〃3-%)rUr

-oo

=—[Sx(coco0)+Sx(co-coQ)]

2.10平穩(wěn)高斯過程x“)的自相關函數(shù)為感⑺=產(chǎn)1,求x⑴的

一維和二維概率密度。

角1:=R(oo)=limR(r)==0

xr->ooxr->co2

mx=0

,1

城=0(0)-用(8)=萬

(1)X(f)的一維概率密度：

上

12x112

2=下建

V2

(2)求出r,帶人二維高斯概率密度公式即可。

第七次作業(yè)：練習二之11、12、13、14、15題

2.11對于兩個零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程XQ)和丫⑺，已知

城=5,才=10,說明下列函數(shù)是否可能為他們的自相關函數(shù),

并說明原因。

9

R(T)=-cos(6r)e'r(2)

(1)Y3r

⑶Ry(r)=6+4產(chǎn)(4)/?x(r)=5sin(5r)

⑸Rx⑺=5認⑺**(6)Rx(r)=5e-|r|

解：

(〃)自相關函數(shù)是偶函數(shù)，僅有(1)、(2)、(3)、(6)

滿足；

(b)Rx(o)>\Rx(T)\t(〃)中僅有(2)、(3)、⑹滿足;

(c)對于非周期平穩(wěn)過程有犬=陽(0)-&(8),(Z?)中僅

有(6)滿足。

因此，(6)是自相關函數(shù)。

2.12求隨機相位正弦信號x?)=cos(如+初的功率譜密度,

為在［0,21］內(nèi)均勻分布的隨機變量，g是常數(shù)。

Rx(t,t+T)=E[X(t)X(t+r)]=E[cos(d?0r+G)cos{g(f+工)+—}]

解：1

=—cos<y^r

00|00

JMTja)r

Sx(①)=^Rx(r)e~dT=—^cosco0Te~dr

-oo2V

7T

=—[^(<y+(y0)+^(<y-(y0)]

2.13已知隨機過程x(f)="x,c),式中為是常數(shù)，x?)是平

穩(wěn)過程，并且相互之間是正交的，若心⑼表示xe的功率

普密度，證明X。)功率譜密度為

Sx3)=Z"：Sxi3)

證：因xe是平穩(wěn)過程;并且相互之間是正交的，

號6)=0,凡.。

Rx?)=譏X(f)X(f+r)]=《X?)￡qX,(f+r)]

i=li=l

=*港[X?)X?+r)]=%?⑺

Sx?)=限⑺JEDRH(93d7=Zq2Sxj(@)

—oo—coi=li=l

2.14由x⑺和丫⑺聯(lián)合平穩(wěn)過程定義了一個隨機過程

V(r)=X(r)cos卬+Y⑺sin卬

(1)X⑺和y⑺的數(shù)學期望和自相關函數(shù)滿足那些條件可使

v⑺是平穩(wěn)過程。

(2)將(1)的結果用到“)，求以x⑺和丫⑴的功率譜密度

和互譜密度表示的”)的功率譜密度。

(3)女睞Xo)和y⑺不相關，那么V”)的功率譜密度是什么？

解：

(1)E[V(t)]=￡[X(r)cosd；0r+y(r)sin690r]=￡[X(r)]cosd)0r+E[y(r)]sin690z

欲使E[V(r)]與時間無關，不隨時間函數(shù)cosg八sing/變

化，x(f)和y⑴的數(shù)學期望必須是￡[%(/)]=o,￡[/(?)]=o；

Rv(t,t+r)=E[V(t)V(t+r)]

=E[{X(z)cos(oQt+y(r)sin6>or}{X(r+r)cos^0(r+r)+K(z+r)sin<y0(z+r)}]

=E[X(t)X(t+工)]cosgfcosg〉+r)+E[X(t)Y(t+一]cos%sing4+r)

+E[Y(t)X(t+r)]sin30tcosg(r4-r)+E[Y(r)K(t+r)]singfsing(t+r)

=Rx(r)cos690rcos6y0(z+r)+Rxy(r)cossin6y0(/+r)

+Ryx(r)sin4rcos為?+r)+Ry(r)sin①°tsin%(r+r)

推導有誤

在Rx〃)=Ry⑺,Rxy。“修⑺時，上式可寫作與時間起點無

關的表達式：

/?v(r)=Rx(r)cosgr+/?xr(r)sinCD^T

因此,當司乂(6=0閩丫(/)]=0,Rx?)=&，)，&《)=—%⑺時，V⑺

是平穩(wěn)過程。

(2)對&(T)=Rx⑺cosd)aT+RXy(r)sin6v兩邊同時作傅氏變換:

oooo

JMTJ(OT

Sv(co)=^Rv(T)e~dr=jfRx(r)cosCO^T+/?xr(r)sinco^T]e~dT

-CO-00

=~[^x_^o)+5，x(6y+^yo)l+^[^xr(6y-6yo)+^xr(69+69())l

結果有誤，第二項系數(shù)是l/(2j).

(3)x⑺和丫⑺不相關，v⑺的互功率譜密度為零。

5V(6>)=—[Sx(69-690)+5x(69+ty0)]

2.15設兩個隨機過程x?)和丫⑺各是平穩(wěn)的,且聯(lián)合平穩(wěn)

X(。=cos(gt+①)

YQ)=sin(gf+①)

式中，⑦為在［0,2乃］內(nèi)均勻分布的隨機變量,例是常數(shù)。他

們是否不相關、正交、統(tǒng)計獨立。

解:￡[X(/)]=￡[/(/)]=0

Rx(r)=RY(r)=geosco^r

Rxy(7)=E[X(f)y(f+7)]=E[cos(gf+0)sin(gf+0)]=gsing7有誤：改

為sin(wot+woZ+0)

Cxr(r)=7?xr(r)-E[X(t)]E[Y(t)]=；sing"0

XQ)和YQ)是相關的，不是統(tǒng)計獨立的;

又Rx“r)wO,X(f)和丫⑺是非正交的。

第八次作業(yè)：練習三之1、2、3、4、5題

3.1RC積分電路的輸入電壓為x“)=x°+cos(卬+。)，其hX。和

。分別是在[0,1]和[0,24]上均勻分布的隨機變量，且相

互獨立。求輸出電壓y⑺的自相關函數(shù)。

解:Rx(T)=E[X(t)X(t+T)]=￡[(X0+cos(?w0f+0)}{Xo+cos?+g」+0)}]

=E\X^+XoCos(gf+0)+XoCos(4f+gz+0)+cos(gf+