浙江省寧波市2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分一?選擇題1.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，所以.故選：B.2.若為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗為銳角，,故，所以，故選：A.3.已知平面，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由于，所以，若，則，，故充分性成立，若，，設(shè)，，則存在直線使得，所以，由于，故，同理存在直線使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，故選：C4.已知直線與圓相離，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圓即，則圓圓心為，半徑為，因為直線與圓相離所以，解得.故選：B.5.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出與線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：父親身高164166170173173174180兒子身高165168176170172176178則下列說法正確的是（）A.兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)B.當(dāng)父親身高增加時，兒子身高增加C.兒子身高為時，父親身高一定為D.父親身高為時，兒子身高的均值為〖答案〗D〖解析〗由題意知父親身高與兒子身高具有線性相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A不正確；當(dāng)父親身高增加時，兒子身高約增加，故B不正確；當(dāng)兒子身高為時，代入可得，父親身高可能為，故C不正確；若某父親身高為，則其兒子的身高估計為，故D正確．故選：D．6.已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.7.在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)棱臺上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點處，設(shè)中點為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C.8.已知集合且，若中的點均在直線的同一側(cè)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意集合即為關(guān)于、的方程組的解集，顯然，所以，即，令，由，解得或，即函數(shù)與的交點坐標(biāo)為和，又，所以為奇函數(shù)，因為與在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，依題意與、的交點在直線的同側(cè)，只需或，即或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二?多選題9.若平面向量滿足且，則（）A.的最小值為2B.的最大值為5C.的最小值為2D.的最大值為〖答案〗BD〖解析〗當(dāng)向量方向相同，與方向相反時，滿足，此時有最小值，A選項錯誤；當(dāng)向量方向相同時，滿足，此時有最大值，B選項正確；，有，即，則，向量方向相同時，的最小值為0，的最小值為3，C選項錯誤；向量方向相反時，的最大值為2，的最大值為，D選項正確.故選：BD10.已知函數(shù)，（）A.若，則是最小正周期為的偶函數(shù)B.若為的一個零點，則必為的一個極大值點C.若是的一條對稱軸，則的最小值為D.若在上單調(diào)，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗若，則，所以是最小正周期為的偶函數(shù)，A正確；若，則是最小正周期為，若為的一個零點，則為的一個極大值點或極小值點，B錯誤；若是的一條對稱軸，則，所以，即，又，所以最小值為，C正確；若則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令，解得，又在上單調(diào)，所以當(dāng)時，，即，解得，則的最大值為，D正確.故選：ACD.11.指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況.已知為全集且元素個數(shù)有限，對于的任意一個子集，定義集合的指示函數(shù)若，則（）注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由于,所以故，故A錯誤，對于B，若,則，此時滿足，若且時，，若且時，，若且時，，綜上可得，故B正確，對于C，而，由于，所以故,C正確，,當(dāng)時，此時中至少一個為1，所以，當(dāng)時，此時均為0，所以，故,故D正確，故選：BCD非選擇題部分三?填空題12.在中，，則__________.〖答案〗2〖解析〗由余弦定理可得,故〖答案〗為：213.某快遞公司將一個快件從寄件人甲處攬收開始直至送達(dá)收件人乙，需要經(jīng)過5個轉(zhuǎn)運環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個環(huán)節(jié)各有兩種運輸方式，第3，4兩個環(huán)節(jié)各有兩種運輸方式，第5個環(huán)節(jié)有兩種運輸方式.則快件從甲送到乙恰用到4種運輸方式的不同送達(dá)方式有__________種.〖答案〗16〖解析〗快遞從甲送到乙有4種運輸方式，且第5個環(huán)節(jié)從d，e兩種運輸方式中選一種，1，2，3，4個環(huán)節(jié)必須包含三種不同的運輸方式，若第1，2個環(huán)節(jié)運輸方式相同，則只能都選，則3，4個環(huán)節(jié)一個選，一個選，則有種，若第1，2個環(huán)節(jié)運輸方式不相同，則已經(jīng)包含兩種運輸方式，則3，4個環(huán)節(jié)一個選，一個選，或者都選，則由種，快遞從甲送到乙有4種運輸方式的運輸順序共有種.故〖答案〗為：16．14.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點在橢圓上，軸.點滿足.若直線與的交點在軸上，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè),由題意，；不妨設(shè)點位于第一象限，由可得,設(shè)直線與的交點為，則有,;，由可得，整理得①；，由可得，整理得②；聯(lián)立①②可得，由題意，所以，由橢圓的對稱性可知，，因為，設(shè)，，，其中；所以當(dāng)時，取到最大值.故〖答案〗為：.四?解答題15.在菱形中，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點為邊的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：平面平面平面.同理可得平面.又平面，平面平面.平面平面.（2）解：法1：取中點，易知.平面平面，平面平面，又平面，，平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.從而，得.又，設(shè)平面的法向量，有，得，解得，取，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2：取中點，則是平行四邊形，所以.從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.過作交于，過作交于，過作交于.因為平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，從而平面，因平面，所以，又，平面，從而平面.所以的長即為到平面的距離.由，可得.又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即.又，可得.在中，，所以，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.（1）證明：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.（1）證明：時，，即.又，也符合，所以時，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）解：由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.17.三個人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動，紅包的總金額數(shù)為個單位.第一個人搶到的金額數(shù)為1到個單位且等可能（記第一個人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個人在剩余的個金額數(shù)中搶到1到個單位且等可能，第三個人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個單位.三個人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.（1）若，則第一個人搶到的金額數(shù)可能為個單位且等可能.（i）求第一個人搶到金額數(shù)的分布列與期望；（ii）求第一個人獲得手氣王的概率；（2）在三個人搶到金額數(shù)為的一個排列的條件下，求第一個人獲得手氣王的概率.解：（1）若第一個人搶到的金額數(shù)為個單位，第二個人搶到的金額數(shù)為個單位，第三個人搶到的金額數(shù)為個單位，我們將三個人搶到的金額數(shù)記作.（i），所以的分布列為123.（ii）第一個人獲得手氣王時，三個人搶到的金額數(shù)只可能為，故第一個人獲得手氣王的概率.（2）記事件“三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列”，事件“第一個人獲得手氣王”.所要求的是條件概率，有.當(dāng)三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列時，總金額數(shù)為9，故第一個人搶到的金額數(shù)可能為.又，，故.18.已知雙曲線，上頂點為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（在第一象限），與軸交于點.設(shè)直線的傾斜角分別為.（1）若，（i）若，求；（ii）求證：為定值；（2）若，直線與軸交于點，求與的外接圓半徑之比的最大值.（1）（i）解：，所以直線.直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）證明：法1：①直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)由得所以.當(dāng)時，由（i）可得；當(dāng)時，設(shè)的斜率分別為..所以，.所以.因為在第一象限，所以，所以，所以.②直線斜率不存在時，可得，可得，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.法2：①時，由（i）可得；②時，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，由在直線上可得.與聯(lián)立可得，即，所以就是方程的兩根.所以，，因為在第一象限，所以，所以，所以.綜上可得，為定值，得證.（2）解：由（1）可得時，.①不存在，則，由①（i）可得，所以，所以.②不存在，則，則，此時，由圖可得.③法1：若和均存在，設(shè)，則與雙曲線聯(lián)立可得.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.法2：若和均存在，設(shè)，則.由三點共線可得.所以，所以.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.法3：若和均存在，設(shè)，則，則.記直線的傾斜角為，則，所以所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.19.定義：對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個函數(shù)為單峰函數(shù)且稱為最優(yōu)點.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對稱的兩個試驗點，稱使得較小的試驗點為好點（若相同，就任選其一），另一個稱為差點.容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點與好點在差點的同一側(cè).我們以差點為分界點，把區(qū)間分成兩部分，并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿足，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點（或者接近最優(yōu)點），從第二次操作起，將前一次操作中的好點作為本次操作的一個試驗點，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前區(qū)間的長度的比值為同一個常數(shù)，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個實數(shù)作為最優(yōu)點的近似值，稱之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).（1）求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；（2）已知為函數(shù)的最優(yōu)點，為函數(shù)的最優(yōu)點.（i）求證：；（ii）求證：.注：.證明：（1）因為，令，則.，因為，則，則在上單調(diào)遞減，又因為，由零點存在定理知，存在唯一的，使得，且時，，，所以在上遞增，上遞減，所以為單峰函數(shù).（2）（i）令