四川省德陽市2024屆高三下學(xué)期“三診”考試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽市2024屆高三下學(xué)期“三診”考試數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，，又，則，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B2.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位i，cosθ和sinθ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)滿足，則正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)為 B.的實部為1C.的虛部為i D.的模為1〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，可得，所以的共軛復(fù)數(shù)為，即A錯誤；的實部為0，即B錯誤；的虛部為，所以C錯誤；的模為1，可知D正確.故選：D3.在的展開式中的系數(shù)是（）A.30 B.35 C.55 D.60〖答案〗C〖解析〗由二項展開式的通項可得展開式中含的項包括兩項，即，所以展開式中的系數(shù)是55.故選：C4.已知函數(shù)，且，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，解得，所以.故選：B5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)流程框圖可知，第一次計算結(jié)果為；第二次循環(huán)計算可得；第三次循環(huán)計算可得，不滿足，循環(huán)結(jié)束，此時輸出.故選：A6.已知向量，為坐標(biāo)原點，動點滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗D〖解析〗易知，所以約束條件即為，畫出可行域如下圖陰影部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，當(dāng)其在軸上的截距最小時，的取值最大；對直線，令，則，則，顯然當(dāng)直線平移到過點時，取最大值3.故選：D7.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學(xué)生運動會在成都市舉行，組委會將5名大學(xué)生分配到A，B，C三個路口進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個路口至少分配一人，每人只能去一個路口．若甲、乙要求去同一個路口，則不同的分配方案共有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種〖答案〗C〖解析〗第一步：先將5名大學(xué)生分成三組，每組人數(shù)為1，1，3或1，2，2；當(dāng)分為1，1，3時，且甲、乙要求去同一個路口，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當(dāng)分為1，2，2時，且甲、乙要求去同一個路口，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個路口，共有種分配方案；因此共種.故選：C8.α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是，選A.9.如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（）A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，即，顯然，設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.故選：A10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗將“阿基米德多面體”補全為正方體，如下圖所示：不妨取兩棱中點為，由題知，易知，可得，所以正方體的棱長為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點，點P是C上異于實軸端點的任意一點，若則C的離心率為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗令雙曲線的焦點，設(shè)，則，即有，，同理，而，故，因此，即，所以雙曲線C的離心率.故選：D.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，則；因為，所以當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞減；又，所以，即；所以函數(shù)圖象上的點關(guān)于的對稱點也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不等式變形為，即；可得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題13.已知函數(shù)f(x)═cos(x+θ)是奇函數(shù)，則θ的最小正值為___________．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，則的最小正值為.故〖答案〗為：.14.在中，角的對邊分別為；已知,若向量滿足，則的面積為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意由可得，整理可得；又可知，即可得，解得；所以的面積為.故〖答案〗為：15.已知兩點，若直線上存在唯一點P滿足，則實數(shù)m的值為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點，則，由，得，因此點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，顯然直線與此圓相切，則，解得，所以實數(shù)m的值為.故〖答案〗為：16.已知F為拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A、B，若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點P，則的最小值為_______．〖答案〗5〖解析〗由拋物線可知，顯然直線的斜率一定存在，可設(shè)直線的方程為，；如下圖所示：聯(lián)立拋物線和直線的方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得；利用焦點弦公式可得；由可得，求導(dǎo)可得，所以拋物線在點處的切線方程為，由，整理可得；同理可得點處的切線方程為；聯(lián)立解得，即；可得；所以，令，則；利用對勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即的最小值為5.故〖答案〗為：5三、解答題17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前n項和為，在①，②這兩個條件中任選其中一個，完成下面問題的解答．（1）求數(shù)列和的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，是否存在，使得若存在，求出所有滿足題意的；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得；所以，即數(shù)列的通項公式為設(shè)等比數(shù)列的公比為，若選擇條件①，，由且，可得，即，解得，所以是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，可得；即數(shù)列的通項公式為；若選擇條件②，，令，則，所以公比，此時，經(jīng)檢驗滿足題意，即是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以（2）假設(shè)滿足題意得存在，因，所以，兩式相減可得；所以，因為，所以；所以由可得，即，又，所以，即，解得，因此滿足題意的存在，且.18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計劃，收集并整理了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表(其中有些數(shù)據(jù)污損不清)：月份123456廣告投入量2

7810

收益

20303437

他們分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值．（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型?（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=19，則（1）中所選模型收益的預(yù)報值是多少萬元?(精確到0.01)附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.解：（1）由于模型①殘差波動小，應(yīng)該選擇模型①.（2）（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，，，，，所以所選模型的回歸方程為.（ii）若廣告投入量，則該模型收益的預(yù)報值是(萬元).19.如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點，過的平面交棱于E，交于F．（1）求證:平面⊥平面；（2）若是等邊三角形，，求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因為，所以，所以.因為D為BC的中點，所以.因為，D為BC的中點，所以因為平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取的中點，連接，因為是等邊三角形，所以，由(1)可知平面，則兩兩垂直，故以為原點，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因為底面是邊長為的等邊三角形，所以，因為是等邊三角形，所以，所以則，設(shè)平面的法向量為，由，令，得.易知平面的一個法向量為，記二面角的大小為，則，故二面角正弦值為.20.已知橢圓的離心率為其左右焦點分別為下頂點為A，右頂點為B，的面積為（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)不過原點O的直線交C于M、N兩點，且直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．解：（1）依題意，又，又，所以，所以橢圓C的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線：，，聯(lián)立直線和橢圓，化簡得，由題意可知，即，且，則，又直線的斜率依次成等比數(shù)列.即，則，所以且，設(shè)點O到直線的距離為，又，所以，令，，顯然在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故面積的取值范圍為.21.設(shè)函數(shù)，．（1）試研究在區(qū)間上的極值點；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則在上單調(diào)遞增，即有，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以在區(qū)間上沒有極值點.（2）由（1）知，當(dāng)，則，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，則對任意的恒成立，當(dāng)時，，則當(dāng)時，對任意的恒成立，當(dāng)時，設(shè)，求導(dǎo)得，顯然，而函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，則存在實數(shù)，使得對于任意的，均有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，即，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.請考生在22、23二題中任選一題作答．[選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l的方程為．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的普通方程和直線l的極坐標(biāo)方程；（2）點P的極坐標(biāo)為，設(shè)直線l與曲線C的交點為A、B兩點，若線段AB的中點為D，求線段PD的長．解：（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參