河北省邢臺(tái)市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則（）A.的實(shí)部為 B.的虛部為C.的實(shí)部為 D.的虛部為〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以與的實(shí)部均為1，A，C錯(cuò)誤；的虛部為，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.2.在中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由余弦定理得．故選：A.3.在正方體中，為的中點(diǎn)，在該正方體各棱所在的12條直線中，與直線異面的共有（）A.5條 B.6條 C.7條 D.8條〖答案〗D〖解析〗如圖與直線異面的直線為，，，，，，，，共8條．故選：D.4.在四面體中，已知底面為正三角形，則“三棱錐為正三棱錐”是“與均為等腰三角形”的（）A充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若三棱錐為正三棱錐，則，與均為等腰三角形，充分性成立；若與均為等腰三角形，滿足，，此時(shí)三棱錐不是正三棱錐，必要性不成立；“三棱錐為正三棱錐”是“與均為等腰三角形”的充分不必要條件.故選：C.5.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.6.據(jù)重心低更穩(wěn)定的原理，中國(guó)古代的智者發(fā)明了一種兒童玩具——不倒翁，如圖所示，該不倒翁由上底面半徑為2cm、下底面半徑為3cm且母線為的圓臺(tái)與一個(gè)半球兩部分構(gòu)成，若半球的密度為圓臺(tái)密度的3倍（圓臺(tái)與半球均為實(shí)心），圓臺(tái)的質(zhì)量為190g，則該不倒翁的總質(zhì)量為（）A.370g B.490g C.650g D.730g〖答案〗D〖解析〗如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，且過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則由題意得：，，，所以，，故圓臺(tái)的體積，又半球的體積，因?yàn)榘肭虻拿芏葹閳A臺(tái)密度的3倍，所以半球的重量為g，故該不倒翁的總重量為.故選：D.7.在空間中，，，為互不重合的三條直線，，為兩個(gè)不同的平面，則（）A.對(duì)任意直線，，總存在直線，使得，B.對(duì)任意直線，，總存在直線，使得，C.對(duì)任意平面，，總存在直線，使得，D.對(duì)任意平面，，總存在直線，使得，〖答案〗B〖解析〗當(dāng)直線與不平行時(shí)，不存在直線，使得，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)直線與相交，直線垂直于直線，所確定的平面時(shí)，即可滿足，；當(dāng)，異面，直線垂直于與直線，均平行的平面時(shí)，即可滿足，，B正確；當(dāng)與不平行時(shí)，不存在直線，使得，，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不存在直線，使得，，D錯(cuò)誤．故選：B.8.如圖，已知，，分別以為直徑作半圓弧，D是半圓弧的中點(diǎn)，E為半圓弧上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意可得，所以向量在向量上的投影向量為：.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，，，則可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)樵谥?，，，所以，又，所以或．故選：AD.10.已知四邊形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖為直角梯形，如圖所示，，，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)斜二測(cè)畫法可還原四邊形的平面圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如下圖所示，對(duì)于A，B，，，，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，，，，又，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11.如圖，E，H分別在線段PA，PD上，C是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EH的中點(diǎn)，，PC與EH交于點(diǎn)G，則（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則有，由，可得，設(shè)，則由平面向量基本定理可得，解得，又，，三點(diǎn)共線，故可設(shè)，設(shè)，由為中點(diǎn)可知，，將代入可得，即，正確；又，，，設(shè)，則有，即，解得，，故，正確.故選：CD．12.已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）的母線長(zhǎng)為，高為，線段為底面圓的一條直徑，為線段的中點(diǎn)，則（）A.底面圓的周長(zhǎng)為B.圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形C.直線與圓錐底面所成角的正切值為D.沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，則其側(cè)面展開圖面積，又圓錐側(cè)面展開圖面積，，，B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，又底面圓，底面圓，直線與底面所成的角為，，，直線與底面所成角的正切值為，C正確；對(duì)于D，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，在中，，，，，沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是，D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.若復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則__________，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限．〖答案〗二〖解析〗為純虛數(shù)，，解得：；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為與第二象限.故〖答案〗為：二.14.已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗向量，，且，的夾角為鈍角，且，不共線，則，解得：且.故〖答案〗為：.15.已知球的表面積為，平面截球所得的截面面積為，則以為頂點(diǎn)，截面為底面的圓錐的體積為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為，球心到平面的距離為，，，，，，以為頂點(diǎn)，截面為底面的圓錐的體積為.故〖答案〗為：.16.羅星塔位于福建省福州市馬尾區(qū)南部閩江之濱，是國(guó)際公認(rèn)的航標(biāo)、閩江門戶標(biāo)志，有“中國(guó)塔"之譽(yù)．如圖，為測(cè)量羅星塔的塔高，選取與塔底在同一水平面的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則估計(jì)羅星塔的塔高_(dá)_________m．（參考數(shù)據(jù)：取，結(jié)果精確到0.1m）〖答案〗〖解析〗由題意可知，由正弦定理可得，，所以，因?yàn)?，所以羅星塔的塔高約為．故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.已知是兩個(gè)單位向量，且與的夾角為．（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1），，.（2），.18.（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）若復(fù)數(shù)滿足，，求．解：（1）由，可得，則，所以方程的解為或．（2）設(shè)，則由，得，解得，又，所以，所以.19.如圖，四棱錐的底面為菱形，底面，且，，．（1）若點(diǎn)平面，且平面，證明，并求的最小值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，又點(diǎn)平面，且平面，所以，因?yàn)榈酌?，所以，設(shè)到的距離為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4．（2）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，，所以，因?yàn)榈酌妫?，所以，因?yàn)?，所以，同理可得，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得．20.如圖，在直三棱柱中，是中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若是正三角形，，，求三棱柱的表面積．解：（1）連接交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)闉檎切?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，在直三棱柱中，底面，則，因?yàn)?，所以，所以三棱柱的表面積為．21.在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，已知．（1）求的最小值；（2）若，，求外接圓的周長(zhǎng).解：（1），由正弦定理可得：，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為.（2），，，解得：或，又，，又，；設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得：，，外接圓的周長(zhǎng)為.22.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與均為正三角形，將，與向上折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到三棱錐．（1）證明：平