河北省邯鄲市2023-2024學年高一下學期4月期中聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市2023-2024學年高一下學期4月期中聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.若向量滿足，且，則向量的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗B〖解析〗設的夾角為，.故選：B.3.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，則，直角梯形對應的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.4.已知圓錐的母線長為2，軸截面面積為，則圓錐的側面積為（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗已知圓錐的母線長，設圓錐的底面半徑為，高為，由已知得，解得或，由于圓錐的側面積為：，所以，或.故選：D.5.在中，內角，，的對邊分別是，，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理及，得，而，則，又，于是，而，所以．故選：A.6.已知，為兩個不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列結論中正確的是（）A.若，且，則 B若，且，則C.若，，則 D.若，，且，，則〖答案〗A〖解析〗對于A，由面面平行的定義可知，若兩個平面平行，則其中一個面內的任意一條直線平行于另一個平面，故A正確；對于B，若則或，故B錯誤；對于C，若，，則或異面或相交，故C錯誤；對于D，若，且，則，或，故D錯誤.故選：A.7.已知為復數，則“實部大于0”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設，，則，所以z的實部大于0是的充要條件．故選：C.8.在中，角，，所對的邊分別是，，，其中為常數，若，且，則的面積取最大值時，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由及余弦定理，得，即，則，又，則有，即，又，因此，則，當且僅當，即時取等號，所以的面積取最大值時，．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，其中，是虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則的虛部為C.若為純虛數，則 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗當時，，對于A，，A正確；對于B，z的虛部為，B錯誤；，對于C，z為純虛數，則，滿足，C正確；對于D，，則，解得或，D錯誤.故選：AC.10.已知，，為非零向量，下列說法正確的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示為B.若，，則C.若向量可由向量，線性表出，則，，一定不共線D.若，則〖答案〗AB〖解析〗對于A，由投影向量的定義，得向量在向量上的投影向量可表示為，A正確；對于B，均為非零向量，存在實數m，n使得，，則，B正確；對于C，令，，，有，而共線，C錯誤；對于D，令，，，有，而，D錯誤.故選：AB.11.四棱錐的底面為正方形，，，，，動點在線段上，則（）A.直線與直線為異面直線B.四棱錐的體積為2C.在中，當時，D.四棱錐的外接球表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為平面，平面，點不在直線上，所以直線與直線為異面直線，A正確；對于B，因為，，平面，，所以平面，又，，四邊形為正方形，所以四棱錐的高，底面面積為，所以四棱錐的體積，B錯誤；對于C，因為平面，平面，所以，所以為直角三角形，又，所以，又，，，所以，所以，所以，所以點到平面的距離為，所以，C正確；對于D，因為平面，平面，所以，因為，，平面，，所以平面，又平面，所以，故為直角三角形，同理可證為直角三角形，取的中點，則，所以四棱錐的外接球的外接球的球心為，所以四棱錐的外接球的半徑為，所以四棱錐的外接球得表面積，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將一實心鐵球放入圓柱形容器中（厚度忽略不計），鐵球恰好與圓柱的內壁相切，且鐵球的最高點與圓柱上底面在同一平面內，則鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為______.〖答案〗〖解析〗設鐵球的半徑為r，則圓柱的高為2r，所以鐵球的體積與圓柱形容器的體積之比為．故〖答案〗為：.13.已知，，為復數，且，則______.〖答案〗1〖解析〗令，顯然，則，，，，由，得，，所以．故〖答案〗為：1.14.在四邊形中，，點是四邊形所在平面上一點，滿足.設分別為四邊形與的面積，則______.〖答案〗〖解析〗在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點，顯然，于是點M，X，Y，N順次共線并且，顯然，，而，則，因此點P在線段XY上，且，設A到MN的距離為h，由面積公式可知．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知，復數，.（1）若在復平面內對應的點位于第三象限，求的取值范圍；（2）設為坐標原點，，在復平面內對應的點分別為，（不與重合），若，求.解：（1）依題意，，而在復平面內對應的點位于第三象限，則，解得，所以m的取值范圍為.（2）依題意，，，由，得，解得或，而時，為原點，不符合題意，因此，，，，所以．16.已知的內角，，所對的邊分別為，，，向量與垂直.（1）求；（2）若，求的周長的取值范圍.解：（1）因為向量與垂直，所以，由于，即，因為，所以.（2）由（1）知：，則三角形的周長為，因為，所以，所以，則周長的范圍是.17.如圖，在四棱錐中，，，，設，分別為，的中點，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面.解：（1）在四棱錐中，連接，由，分別為，的中點，得，而，，則，四邊形為平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面.（2）由，得是的中點，而為中點，則，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.18.如圖，圓柱的底面半徑為1，側面積為，，分別是圓柱上、下底面圓的一條直徑，且點在下底面的投影點平分圓弧.（1）若圓柱上下底面的圓周均在球的表面上，求球的表面積；（2）求四面體的體積.解：（1）設圓柱的高為h，由圓柱的側面積為，底面圓半徑，得，解得，設球O的半徑為R，由對稱性知，球心為線段的中點，則，所以球O的表面積為.（2）連接，，則四面體的體積等于四面體和的體積之和，由為圓柱下底面圓的直徑，得平面截圓柱所得的截面是圓柱的軸截面，又為圓柱上底面圓的直徑，且點在下底面的投影點平分圓弧，因此點A，B到平面的距離相等，均為1，則四面體的體積，所以四面體的體積為．19.在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，.（1