基于LE -ELM的鋰電池?zé)徇^(guò)程時(shí)空建模方法

摘要

鋰電池管理系統(tǒng)對(duì)于鋰電池的效率、壽命和安全至關(guān)重要，而電池管理系統(tǒng)對(duì)電池的控制、熱管理和故障診斷等都需要依賴于準(zhǔn)確的電池?zé)徇^(guò)程模型。然而鋰電池?zé)徇^(guò)程屬于一種具有強(qiáng)非線性特征的分布參數(shù)系統(tǒng)，電池內(nèi)部的溫度分布是時(shí)空耦合的，并且具有無(wú)限維的特性，使得建模存在很大的困難。針對(duì)上述問(wèn)題，本工作提出了一種基于LE-ELM的鋰離子電池?zé)徇^(guò)程建模方法。首先使用基于拉普拉斯特征映射（laplacianeigenmaps，LE）的局部非線性降維方法構(gòu)建空間基函數(shù)，以表征系統(tǒng)固有的非線性拓?fù)涮卣?；利用所得的基函?shù)進(jìn)行時(shí)空分離，獲得原始數(shù)據(jù)的低階時(shí)序表達(dá)；然后用極限學(xué)習(xí)機(jī)（extremelearningmachine，ELM）以時(shí)間系數(shù)和對(duì)應(yīng)的電流電壓輸入信號(hào)來(lái)近似低階時(shí)序模型。最后集成辨識(shí)出的ELM模型與空間基函數(shù)，通過(guò)時(shí)空綜合重構(gòu)出鋰離子電池的全局時(shí)空模型。為驗(yàn)證算法的有效性，使用所提出的方法對(duì)三元軟包鋰電池?zé)徇^(guò)程進(jìn)行建模。關(guān)鍵詞

分布參數(shù)系統(tǒng)；鋰電池?zé)徇^(guò)程；拉普拉斯特征映射；極限學(xué)習(xí)機(jī)隨著電池技術(shù)的發(fā)展，鋰離子電池由于其高能量密度，在新能源汽車、無(wú)人機(jī)和儲(chǔ)能元件制造等行業(yè)越來(lái)越受歡迎。但由于鋰電池對(duì)于溫度變化的敏感性很強(qiáng)，在充放電過(guò)程中溫度過(guò)高會(huì)對(duì)電池造成損害，甚至可能會(huì)導(dǎo)致鋰電池燃燒、爆炸等嚴(yán)重后果，過(guò)低的溫度也會(huì)直接導(dǎo)致鋰電池的實(shí)際可用能源和功率密集性降低。因此一個(gè)全面和精確的電池管理系統(tǒng)對(duì)于鋰電池的效率、壽命和安全至關(guān)重要，而電池管理系統(tǒng)對(duì)電池的控制、熱管理和故障診斷等都需要依賴于準(zhǔn)確的電池?zé)徇^(guò)程模型。但是由于鋰電池?zé)徇^(guò)程本質(zhì)上屬于一種非線性分布參數(shù)系統(tǒng)(distributedparametersystem，DPS)，電池內(nèi)部的溫度分布是時(shí)間/空間耦合的，并且具有無(wú)限維的特性，使得建模存在很大的困難。徐蒙等建立了三維電化學(xué)-熱耦合模型，對(duì)放電倍率變化與電池產(chǎn)熱之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。Li等利用三維電化學(xué)-熱耦合模型的機(jī)理，對(duì)磷酸鐵鋰電池進(jìn)行建模并求解，得到了磷酸鐵鋰電池內(nèi)部的溫度分布。Lin等采用等效電路模型計(jì)算電池的端電壓和SOC，建立了一種由等效電路模型和雙態(tài)熱模型雙向耦合的電池?zé)崮Ｐ蛠?lái)求解相關(guān)的溫度參數(shù)。然而上述方法都是基于求解電池溫度偏微分方程和已知邊界條件的電池溫度模型，由于其模型的復(fù)雜性以及高階偏微分方程的存在，求解需要大量的計(jì)算成本。因此更多的學(xué)者開(kāi)始采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型對(duì)鋰電池溫度變化進(jìn)行建模。陳實(shí)等采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，建立了一個(gè)包含一層隱含層的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用LM算法對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練，對(duì)鋰電池不同放電倍率放電時(shí)的表面溫度進(jìn)行了預(yù)測(cè)。宋明超等提出了一種基于電化學(xué)阻抗譜的鋰電池內(nèi)部溫度預(yù)測(cè)方法，根據(jù)不同SOC和SOH下交流阻抗相移曲線分布不同找到映射關(guān)系最好的頻率區(qū)間，然后利用三次多項(xiàng)式對(duì)合適的頻率下相移絕對(duì)值與內(nèi)部溫度的映射關(guān)系進(jìn)行擬合。同時(shí)部分學(xué)者開(kāi)始將基于時(shí)空分離的建模方法應(yīng)用于鋰離子電池?zé)徇^(guò)程。時(shí)空分離方法通常與空間基函數(shù)的學(xué)習(xí)相結(jié)合，Karhunen-Loève(KL)方法是從DPS的時(shí)空數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)最具特征的空間基函數(shù)的一種代表性方法，又稱為主成分分析(PCA)或本征正交分解(POD)。根據(jù)獲得的基函數(shù)，DPS的低階表達(dá)就可以用Galerkin方法計(jì)算或用基于數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行辨識(shí)。提出了一種基于KL方法的二維鋰離子電池?zé)崮Ｐ?，模型可以精確地預(yù)測(cè)單體電池表面溫度場(chǎng)的分布。提出了一種基于KL的圓柱型鋰電池溫度分布的實(shí)時(shí)估計(jì)方法，該模型對(duì)對(duì)流換熱的變化具有較好的適應(yīng)性，可在不同的邊界冷卻條件下工作。雖然KL方法已廣泛應(yīng)用于鋰離子電池?zé)徇^(guò)程的建模，但因?yàn)镵L分解是一種全局線性模型降維方法，本質(zhì)上是針對(duì)線性過(guò)程的最優(yōu)化，這將影響它們?cè)诜蔷€性DPS建模中的準(zhǔn)確性。在機(jī)器學(xué)習(xí)和模式識(shí)別領(lǐng)域，已經(jīng)提出了大量利用數(shù)據(jù)局部特性的非線性降維方法，例如局部線性嵌入(LLE)、HessianLLE、拉普拉斯特征映射(LE)等，其核心主張是通過(guò)提取數(shù)據(jù)的局部鄰域特征，保留數(shù)據(jù)的全局特征。與全局KL方法相比，通過(guò)結(jié)合時(shí)空數(shù)據(jù)的局部屬性，局部降維方法可以比非線性數(shù)據(jù)更有效。本工作提出了一種基于LE-ELM的鋰離子電池?zé)徇^(guò)程建模方法。首先，利用從原始系統(tǒng)采集的時(shí)空數(shù)據(jù)，使用基于LE方法的局部非線性降維方法構(gòu)建空間基函數(shù)，以表征系統(tǒng)固有的非線性拓?fù)涮卣?；利用所得的基函?shù)進(jìn)行時(shí)空分離，獲得原始數(shù)據(jù)的低階時(shí)序表達(dá)；然后用ELM以時(shí)間系數(shù)和對(duì)應(yīng)的電流電壓輸入信號(hào)來(lái)近似低階時(shí)序模型；最后集成辨識(shí)出的ELM模型與空間基函數(shù)，通過(guò)時(shí)空綜合重構(gòu)出鋰離子電池的全局時(shí)空模型。本工作所建立的有限維模型計(jì)算效率高，對(duì)空間復(fù)雜非線性特征的處理能力優(yōu)于傳統(tǒng)的基于KL的時(shí)空模型，更適用于在線估計(jì)和控制相關(guān)的應(yīng)用。1問(wèn)題描述鋰離子電池內(nèi)的熱過(guò)程屬于一個(gè)典型的非線性拋物型分布參數(shù)系統(tǒng)，其控制方程可以寫(xiě)成以下偏微分方程形式(1)其中，和C分別表示鋰電池的密度和熱容量，其值是通過(guò)基于陽(yáng)極/隔膜/陰極厚度的比值和體積分?jǐn)?shù)加權(quán)計(jì)算得到的。表示空間坐標(biāo)；表示時(shí)間變量；表示溫度的時(shí)空數(shù)據(jù)；表示空間積分算子；表示空間中不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)，表示未知的熱源項(xiàng)。鋰電池的邊界條件可表示為(2)其中，h為鋰電池表面的對(duì)流換熱系數(shù)；Tair表示環(huán)境溫度。由于分布參數(shù)系統(tǒng)具有時(shí)間/空間耦合的特性，式(1)無(wú)法直接用于鋰電池的控制和在線預(yù)測(cè)的應(yīng)用，原因可總結(jié)如下：（1）由于鋰電池內(nèi)部的熱過(guò)程中存在很多復(fù)雜或未知的動(dòng)態(tài)特性，使獲得鋰電池的精確解析模型非常困難。（2）分布參數(shù)系統(tǒng)由于時(shí)空耦合具有無(wú)限維的特性，模型的計(jì)算復(fù)雜度非常高。（3）鋰電池的熱過(guò)程具有很強(qiáng)的非線性特征，這種強(qiáng)非線性會(huì)同時(shí)體現(xiàn)在時(shí)間維度和空間維度上。2基于LE-ELM的非線性時(shí)空建模策略在分布參數(shù)系統(tǒng)的建模過(guò)程中，空間基函數(shù)的學(xué)習(xí)會(huì)很大程度地影響最終模型的精度，而降維方法則會(huì)直接決定學(xué)習(xí)到的空間基函數(shù)的形式，因此降維方法的選擇對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)建模過(guò)程至關(guān)重要。傳統(tǒng)的KL方法屬于全局線性降維方法，它的目標(biāo)是通過(guò)某種線性投影將高維的數(shù)據(jù)映射到低維的空間中表示，KL方法并不會(huì)試圖去探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)因而在降維過(guò)程中只能保存數(shù)據(jù)的全局Euclidean結(jié)構(gòu)，因此在降維時(shí)可能無(wú)法保留時(shí)空數(shù)據(jù)內(nèi)固有的非線性拓?fù)涮卣鳎谔幚礓囯姵責(zé)徇^(guò)程這種具有強(qiáng)非線性特征的分布參數(shù)系統(tǒng)時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生較大的模型誤差。而拉普拉斯特征映射(LE)方法屬于局部非線性降維技術(shù)。它能夠通過(guò)構(gòu)造數(shù)據(jù)的局部線性結(jié)構(gòu)，使降維后的數(shù)據(jù)較好地保持原有的流形結(jié)構(gòu)，因而獲得表征系統(tǒng)空間非線性特征的空間基函數(shù)。因此，對(duì)于鋰電池這種強(qiáng)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)，基于LE的時(shí)空建模方法比傳統(tǒng)的基于KL的時(shí)空建模方法具有更好的模型性能。因此本工作提出了一種基于拉普拉斯特征映射的非線性時(shí)空建模策略來(lái)解決上述問(wèn)題。如圖1所示，方法的主要框架總結(jié)如下：圖1

基于LE-ELM的時(shí)空建模策略（1）采用拉普拉斯特征映射(LE)方法構(gòu)建非線性空間基函數(shù)來(lái)進(jìn)行時(shí)空分離和模型降階，從而表征原始系統(tǒng)的非線性空間結(jié)構(gòu)特征。（2）將原始時(shí)空數(shù)據(jù)投影到空間基函數(shù)上，獲得低維的時(shí)序數(shù)據(jù)。（3）根據(jù)獲得的低維時(shí)序數(shù)據(jù)，利用極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)建立一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)近似未知的時(shí)序動(dòng)態(tài)特性。（4）利用獲得的空間基函數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)原系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行重構(gòu)。2.1拉普拉斯特征映射方法拉普拉斯特征映射(LE)是一種典型的流形學(xué)習(xí)方法，它通過(guò)圖譜拉普拉斯的概念計(jì)算高維特征集從而得到低維流形的表示方法。LE算法降維的實(shí)質(zhì)就是尋找到一個(gè)平均意義上保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)局部鄰域特征的映射。其主要思想是，如果兩個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)例很相近，那么這兩個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)例在降維后的目標(biāo)子空間中也應(yīng)該盡量接近。LE算法所產(chǎn)生的映射可以看作是對(duì)幾何流形的一種連續(xù)離散逼近的映射，用數(shù)據(jù)點(diǎn)的鄰域圖來(lái)近似表示流形，并用Laplace-Beltrami算子近似表示鄰域圖的權(quán)值矩陣，實(shí)現(xiàn)高維流形的最優(yōu)嵌入。假設(shè)現(xiàn)場(chǎng)采集或從實(shí)驗(yàn)中收集到的時(shí)空數(shù)據(jù)為，其中和分別表示空間方向和時(shí)間方向上的時(shí)空變量的個(gè)數(shù)。根據(jù)傅里葉變換，可以將數(shù)據(jù)展開(kāi)為以下的時(shí)空間分離形式(3)根據(jù)快照法，假設(shè)空間基函數(shù)可以表示為快照的線性組合的形式(4)其中表示高維數(shù)據(jù)在低維空間中的嵌入。因此，學(xué)習(xí)空間基函數(shù)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為了對(duì)學(xué)習(xí)的過(guò)程。LE方法的思想是假設(shè)非線性的復(fù)雜高維數(shù)據(jù)在局部仍具有線性特征。如圖2所示，首先通過(guò)最優(yōu)權(quán)值構(gòu)造近鄰圖來(lái)描述時(shí)空數(shù)據(jù)的局部時(shí)間屬性，為每個(gè)樣本找到其最近鄰的K個(gè)點(diǎn)組成下標(biāo)集合Qi，使每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都可通過(guò)局部最優(yōu)方法用最近鄰的K個(gè)點(diǎn)的線性加權(quán)組合進(jìn)行重構(gòu)圖2

拉普拉斯特征映射原理圖(5)然后構(gòu)建權(quán)重矩陣，計(jì)算基于集合Qi中的樣本點(diǎn)對(duì)進(jìn)行線性重構(gòu)的權(quán)重系數(shù)，通過(guò)高斯核函數(shù)進(jìn)行計(jì)算(6)設(shè)為映射的低維時(shí)序特征，數(shù)據(jù)的低維嵌入表達(dá)可以通過(guò)最小化以下目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算(7)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算可以將目標(biāo)函數(shù)(7)轉(zhuǎn)化為以下形式(8)其中L稱為拉普拉斯矩陣，，其中D為一個(gè)對(duì)角矩陣，其元素為W的每行之和，即。根據(jù)上式構(gòu)造拉格朗日函數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解(9)式(9)的求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解特征值特征向量問(wèn)題(10)其中。經(jīng)過(guò)上述運(yùn)算問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為對(duì)拉普拉斯算子的特征函數(shù)的求解問(wèn)題，公式(10)可通過(guò)特征值分解(EVD)求解，將所得的特征值按從小到大的順序進(jìn)行排列：。其中從至的n個(gè)最小特征值所對(duì)應(yīng)的n個(gè)特征向量即為公式(10)的解。n的值可通過(guò)下式計(jì)算(11)其中表示一個(gè)很小的正值。最后，通過(guò)式(4)計(jì)算得到空間基函數(shù)。2.2基于ELM的時(shí)間系數(shù)建模通過(guò)LE方法獲得空間基函數(shù)后，便可通過(guò)投影得到低階的時(shí)序數(shù)據(jù)(12)其中表示內(nèi)積。使用獲得的低階時(shí)域數(shù)據(jù)，通過(guò)基于數(shù)據(jù)的建模方法可以用來(lái)估計(jì)未知的時(shí)間系數(shù)和輸入信號(hào)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。一般而言，非線性的時(shí)序動(dòng)態(tài)模型可以描述為式(13)(13)其中，和分別為最大輸入滯后和最大輸出滯后，式(13)一般稱為非線性自回歸外生模型。在數(shù)據(jù)建模方法的選擇上，目前已經(jīng)有各種模型方法被提出。本工作選擇使用ELM進(jìn)行訓(xùn)練，來(lái)表示時(shí)間動(dòng)態(tài)的非線性行為(14)ELM是一種基于數(shù)據(jù)的模型。如圖3所示，其本質(zhì)上屬于一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SLFN)。它理論上可以以任意精度逼近任意非線性函數(shù)，即具有普遍逼近能力。ELM與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別在于ELM的輸入層權(quán)值和隱含層閾值可以任意給定，一旦完成識(shí)別后它們的值在訓(xùn)練過(guò)程中都是固定的，因此當(dāng)選定隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)和隱含層的輸出激活函數(shù)后，只需要學(xué)習(xí)輸出層的權(quán)值。輸出層權(quán)值的學(xué)習(xí)過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)最小二乘問(wèn)題，因此ELM的巧妙之處在于它可以將非線性學(xué)習(xí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性學(xué)習(xí)問(wèn)題，大大降低了復(fù)雜度和操作時(shí)間。圖3

單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)給定一組輸入輸出數(shù)據(jù)集，其中和分別表示模型輸入層和輸出層中神經(jīng)單元的個(gè)數(shù)。N為輸出數(shù)據(jù)的樣本數(shù)。因此具有N個(gè)隱藏節(jié)點(diǎn)的SLFN模型的輸出函數(shù)可以表示為(15)其中，表示連接隱含層中第i個(gè)隱藏節(jié)點(diǎn)到輸出層的輸出權(quán)重向量；表示連接第i個(gè)隱藏節(jié)點(diǎn)和輸入層的輸入權(quán)向量；表示第i個(gè)隱藏節(jié)點(diǎn)的閾值；表示t時(shí)刻模型的輸出值，表示和的內(nèi)積，表示隱層的輸出激活函數(shù)，一般選擇Sigmoid函數(shù)或徑向基函數(shù)(RBF)。ELM可以近似任何連續(xù)非線性目標(biāo)函數(shù)而不產(chǎn)生任何誤差，即，其中表示Frobenius范數(shù)。由參數(shù)、與可以構(gòu)成下式(16)將上式轉(zhuǎn)化為矩陣乘積的形式(17)其中

(18)(19)矩陣H表示ELM模型的隱含層輸出矩陣，其中第i列表示隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出向量，第j行表示在第j個(gè)時(shí)間點(diǎn)隱含層的輸出向量。在ELM模型的學(xué)習(xí)過(guò)程中，輸入權(quán)值和隱層閾值是隨機(jī)生成的，與輸入的訓(xùn)練數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)。因此當(dāng)隱藏層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與隱藏層輸出激活函數(shù)確定后，只有輸出權(quán)重這一變量是未知的，它的解可通過(guò)對(duì)公式(17)求逆獲得(20)其中表示矩陣H的Moore-Penrose(M-P)廣義逆。2.3基于ELM的時(shí)間系數(shù)建模將低階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果與前文LE方法得到的空間基函數(shù)結(jié)合，對(duì)整個(gè)時(shí)空域的時(shí)空輸出進(jìn)行重構(gòu)(21)(22)3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證3.1實(shí)驗(yàn)設(shè)置為了驗(yàn)證本工作所提出的建模方法的模型性能，以三元軟包鋰電池為對(duì)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和仿真。由于電池的厚度比電池的其他維度的尺寸要小得多，因此忽略了電池厚度方向上的溫度變化，將電池的熱過(guò)程簡(jiǎn)化為二維模型，將30個(gè)傳感器均勻分布在電池表面用于采集電池溫度，如圖4所示。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中電池的輸入電流與電壓如圖5所示，每隔1s采集一次輸入電流電壓和每個(gè)傳感器的溫度數(shù)據(jù)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程持續(xù)3474s共采集3474組數(shù)據(jù)，取前2500組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后974組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。圖4

三元軟包電池尺寸與傳感器布局圖5

鋰電池輸入電流與電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)重復(fù)試驗(yàn)對(duì)算法和模型中的不同參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化調(diào)試，LE算法中取近鄰點(diǎn)數(shù)取K=20，輸入輸出滯后選擇和?？紤]到電池?zé)徇^(guò)程的非線性特征，這里ELM模型的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)選擇N=50，激活函數(shù)選為Sigmoid函數(shù)。設(shè)訓(xùn)練集的溫度數(shù)據(jù)為，其中=30和=2500。模型訓(xùn)練時(shí)，首先使用K近鄰算法來(lái)尋找訓(xùn)練集中任意一個(gè)樣本點(diǎn)的20個(gè)近鄰點(diǎn)，并使用式(6)計(jì)算權(quán)重。然后使用式(10)計(jì)算在低維空間中的嵌入，并使用式(11)來(lái)計(jì)算低階模型的階數(shù)。最后所求的空間基函數(shù)可以由式(4)計(jì)算獲得。獲得空間基函數(shù)后，將采集的溫度數(shù)據(jù)通過(guò)式(12)降維得到低階的時(shí)序數(shù)據(jù)，然后以電池的電流電壓及時(shí)序數(shù)據(jù)作為模型輸入，時(shí)序數(shù)據(jù)作為輸出，根據(jù)式(14)使用ELM算法進(jìn)行建模。對(duì)于測(cè)試數(shù)據(jù)集，將電池的電流電壓數(shù)據(jù)輸入訓(xùn)練好的ELM模型中進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲得時(shí)間系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果，根據(jù)式(22)將時(shí)序數(shù)據(jù)重構(gòu)為完整的溫度數(shù)據(jù)，然后與測(cè)試集中的真實(shí)溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，評(píng)估預(yù)測(cè)的效果。為了評(píng)估比較不同方法的模型性能差異，定義如下的評(píng)價(jià)指標(biāo)（1）相對(duì)誤差(ARE)(23)（2）時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)絕對(duì)誤差(TNAE)(24)（3）均方根誤差(RMSE)(25)3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析表1為ELM取不同激活函數(shù)的訓(xùn)練集驗(yàn)證結(jié)果，可以看出Sigmoid函數(shù)具有更高的精度。盡管Sigmoid函數(shù)的計(jì)算時(shí)間高于ReLU函數(shù)，但在相同數(shù)據(jù)量的情況下其0.021s的訓(xùn)練時(shí)間可以滿足大多數(shù)場(chǎng)景的電池?zé)徇^(guò)程建模需求。圖6為實(shí)驗(yàn)第3000s電池表面溫度分布與預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比圖。通過(guò)對(duì)比圖6(a)與圖6(b)可以看出本工作所提出的LE-ELM模型能夠很好地近似鋰電池表面實(shí)際的溫度分布。圖7(a)與圖7(b)分別是在同樣實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置下，線性模型KL-ELM與所提出的LE-ELM方法在3000s時(shí)刻鋰電池表面溫度預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差A(yù)RE對(duì)比?？梢钥闯鯧L-ELM預(yù)測(cè)結(jié)果的ARE值在0.45以內(nèi)，而所提出的方法的ARE值在0.19以內(nèi)。這是因?yàn)樗岢龅姆椒ㄊ腔诰植糠蔷€性降維方法構(gòu)建空間基函數(shù)，可以更好地表征系統(tǒng)固有的非線性拓?fù)涮卣?，而KL-ELM采用的是線性降維方