2016屆《新步步高》高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)(人教A版-理科)配套課件-第十章-計數(shù)原理10.2

數(shù)學(xué)A〔理〕§10.2排列與組合第十章計數(shù)原理根底知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照

排成一列組合合成一組一定的順序2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用

表示.(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的

的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用

表示.所有不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(

)(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.(

)(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)√××(

)(4)(n＋1)！－n?。絥·n！.(

)√返回√(

)√題號答案解析1234

EnterCDA14∴不同的選派方案有8＋6＝14(種).解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析先考慮甲的排法或先考慮中間位置排法.例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析解方法一(元素分析法)思維點撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析方法二(位置分析法)例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析方法三(等時機法)例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題思維點撥解析例1有4名男生、5名女生，全體排成一行，問以下情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；題型一排列問題例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；思維點撥解析例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；先排特殊元素.思維點撥解析思維點撥解析解先排甲、乙，再排其余7人，例1(2)甲、乙兩人必須排在兩端；例1(3)男女相間.思維點撥解析思維升華插空法.例1(3)男女相間.思維點撥解析思維升華解(插空法)例1(3)男女相間.思維點撥解析思維升華此題集排列多種類型于一題，充分表達(dá)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排除法)、等時機法、插空法等常見的解題思路.例1(3)男女相間.思維點撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練1由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，求：(1)有多少個含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？解不考慮0在首位，0,1,4,5先排三個位置，(2)有多少個數(shù)字1,2,3必須由大到小順序排列的六位數(shù)？例2某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題思維升華思維點撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點撥解析例2某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題思維升華思維點撥解析例2某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.思維升華思維點撥解析例2某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型二組合問題例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.思維升華思維點撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.思維升華思維點撥解析例2(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.思維升華思維點撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.思維升華思維點撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,那么先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,那么先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.思維升華思維點撥解析例2(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.例2(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析可以從特殊元素出發(fā)，考慮直接選取或使用間接法.例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維升華思維點撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.思維升華思維點撥解析例2(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.思維升華思維點撥解析跟蹤訓(xùn)練2從10位學(xué)生中選出5人參加數(shù)學(xué)競賽.(1)甲必須入選的有多少種不同的選法？解學(xué)生甲入選，再從剩下的9人選4人，(2)甲、乙、丙不能同時都入選的有多少種不同的選法？題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題思維升華思維點撥解析例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思維升華思維點撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？解為保證“恰有1個盒不放球”，思維升華思維點撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個球分成2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，思維升華思維點撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.思維升華思維點撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點撥解析題型三排列與組合的綜合

應(yīng)用問題例3

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？例3

(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？思維升華解析例3

(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？思維升華解析解

“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，例3

(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？思維升華解析因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.例3

(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？思維升華解析排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.例3

(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？思維升華解析其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？4個球放進(jìn)2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).思維升華思維點撥解析例3

(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？跟蹤訓(xùn)練3(1)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中.假設(shè)每個信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，那么不同的放法共有()A.12種 B.18種 C.36種 D.54種B(2)(2014·重慶)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1,小品2,相聲”,“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1,小品2”.同理，第三種情況也有36種安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法.答案

B易

錯

分

析解

析溫馨提醒典例：有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，假設(shè)從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種.易錯警示系列16排列、組合問題計算重、漏致誤易

錯

分

析解

析溫馨提醒上述做法使兩次取的一等品有了先后順序，導(dǎo)致取法重復(fù).解析方法一將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，易

錯

分

析解

析溫馨提醒方法二考慮其對立事件“3個都是二等品”，答案

1136(1)排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原那么，如特殊元素、位置優(yōu)先原那么、先取后排原那么、先分組后分配原那么、正難那么反原那么等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.易

錯

分

析解

析溫馨提醒(2)“至少、至多”型問題不能利用分步乘法計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件求解.易

錯

分

析解

析溫馨提醒返回方法與技巧1.對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).方法與技巧2.排列、組合問題的求解方法與技巧：(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；方法與技巧(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難那么反，等價條件.求解排列與組合問題的三個注意點：(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個原理做最后處理.失誤與防范(2)解受條件限制的組合題,通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決,分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一,防止出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.失誤與防范返回(3)對于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項，錯誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題.2345678910123456789101.(2014·四川)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種12345678910所以共有120＋96＝216(種)方法.答案

B1345678910122.將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(

)A.12種

B.10種

C.9種

D.8種34567891012由分步乘法計數(shù)原理得不同的選派方案共有2×6＝12(種).答案

A456789101233.10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人.現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，那么不同調(diào)整方法的種數(shù)為()45678910123567891012344.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有(

)A.36種

B.42種

C.48種

D.54種56789101234答案

B678910123455.如下圖，要使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有()A.11種 B.20種 C.21種 D.12種67891012345所以共有14＋7＝21(種)方式.答案

C578910123466.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有___種.剩余A、B兩人只有一種排法，607.(2013·北京)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全局部給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是___.58910123467968.用1,2,3,4這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)夾在兩個奇數(shù)之間的四位數(shù)的個數(shù)為__.5910123467889.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，而丙、丁兩種不能排在一起，不同的排法共有___種.510123467892410.有9名學(xué)生，其中2名會下象棋但不會下圍棋，3名會下圍棋但不會下象棋，4名既會下圍棋又會下象棋；現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中選出2名學(xué)生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？51234678910解設(shè)2名會下象棋但不會下圍棋的同學(xué)組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學(xué)組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學(xué)組成集合C，51234678910那么選派2名參賽同學(xué)的方法可以分為以下4類：51234678910由分類加法計數(shù)原理，選派方法數(shù)共有6＋12＋8＋12＝38種.141516131211141516131211141516131211答案

D12.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有(

)A.12種

B.18種

C.24種

D.48種141516131211解析丙、丁不能相鄰著艦，那么將剩余3機先排列，再將丙、丁進(jìn)行“插空”.由于甲、乙“捆綁”視作一整體，剩余3機實際排列方法共2×2＝4種.141516131211由分步乘法