復(fù)變函數(shù)與積分變換修訂版-復(fù)旦大學(xué)課后的習(xí)題答案

題一

I.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式"仍表示下列復(fù)數(shù)

-/n/4.3+5’13

匕，(2+3)；7+-.

7/+1

①解1=c?相isin傳上=-----------1

22

3+5i(3+5i)(l-7i)1613.

②解:-----=--------------=------1---1

7i+l(l+7i)(l-7i)2525

③解:(2+i)(4+3i)=8—3+4i+6i=5+10i

④解:

i1+i222

2.求下列各復(fù)數(shù)的實部和虛部(z=x+iy)

3

eR);z3;

z+a

①：.??設(shè)z=x+iy

/一/一丫?

(x+iy)-〃(x-d)+iy[(x-a)+iy][(x+a)-iy].z-a

則XRe

z+a(x+iy)+a“+a)+iy(x+4+yz+a(x+aj+y2

z-a2xy

Im

\22

Z+〃x+a)+y

②解:設(shè)z=x+iy

/=(X+iy)3=(x+iy>(x+iy)=(J_/+2xyi)(x+iy)Re⑻=丁-3冷，2,Im卜、)=3-)，-丁?

22>222

=x(x-yj-2xy+[)，(/y^+2xy~^i

=X,_3xy2+(3/2y-y3)i

③解:j上i+網(wǎng)’

=({-"3.(一1).(6)]13.(一[)2.道-(伺]]

8

=1(8+0i)=l

-1+iG'-l+i5

ReIm

~~2-=1,~1-=0.

(l+i6](-1)3-31-1>(-百)+卜(-1)2-6-(6)]i1(8+0i)=l

④解:

-l+i百

,,Re1,Im=0?

2

(-1/，n=2k

⑤解：iikG

n=2k+1

，當(dāng)〃=2k時;Re(in)=(-1/，Im(i")=O；

當(dāng)〃=2攵+1時，Re(r)=O,Im(in)=(-1)A.

3.求卜列復(fù)數(shù)的模和共施復(fù)數(shù)

—2+i;-3;(2+i)(3+2i);-^―.

①解：|-24-i|=丁4+1=下.

-m=-2-i

②解：|—3|=3-3=-3

|(2+i)(3+2i)|=|2+i||3+2i|=V5-J13=765.

______________________V_d~

(2+i)(3+2i)=(2+i)-(3+2i)=(2-i)-(3-2i)=4-7i

1+i

④解:_M_V2

~2~~2~2

4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)z=￡時，Z才是實數(shù).

證明：若％=2,設(shè)1=1+?，

則有x+iy=x-iy,從而有（2y）i=0,即y=0

???ZF為實數(shù).

若z=x,工￡，貝iJz=x=x-

??z=z-

命題成立.

5、設(shè),證明：|z+w|w|z|+M|

證明=|z+wf=(z+w)?(z+w)=(z+w)(z+w)

=z?z+z?w+w?z+卬。卬

=|z|2+ZW+(Z?w)+|w.

=|z|2+|vv|2+2Re(z?w)

w|zf+2|z|-|vv|

=\zf+\wf+2\z\-\w\

=（|z|+|w『

二|Z+Mw|z|+|M.

6、設(shè),證明下列不等式.

\z+w\~=|z|2+2Re（z?vv）+卜d

\z-w|2=\z\~-2Re（z?卬）+|wf

|z+w「+|z-w|2=2（目2+|w「）

并給出最后一個等式的幾何解釋.

證明：|z+M2=|z『+2Re（z?可+何「在上面第五題的證明已經(jīng)證明了.

下面證卜_坡『二忖2-2Re（z?卬）+時.

V|z-Wp=（Z-W）?（Z-VV）=（Z--K'j

=-Z.vv-z+|卬『

=|zf-2Re（z?卬）+時.從而得證.

|z+w|2+卜_卬「=2（上『+同）

幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和.

7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式

3+5/3-用+?i^cos^^fzsin—

；i；花（￡1；

7/+1

①解：智二瑞曷

?=吐也姮T其中”xtan8

5025519

②解：i=其中eJ.

2

.n

i=e'5

③解：-l=eim=ei

2

④解：卜8兀（+癡r）T60=—

3

2.

-XI

?，?-8兀（+沈e）T63

⑤解：fcos^^fisin—

2兀2Tl..

解：1cos——+1sin——

99

3

27127c..

cos—+isin—

99

8.計算：（l）i的三次根；（2）?1的三次根；（3）石+石，的平方根.

（Di的三次根.

解：

2Hp

4----

TUT..2

圻=cos—+zsin—-----------+isin—仕=0,1,2)

223

兀兀3..1z=cos奈sitvd561

=cos—+isin—=——+—i.2-----------1----

66226622

9..9

乙=COS7HSimil

36622

（2）-1的三次根

解：

.-,2k+n2iut

v-I=(nosin7itoskx=ISIA——+殍會（k)

兀兀1..3w

??Z1=cos—"Fisin—=

3322

z2=cos7ri^iwrl

Z，=cos奈si斷i5

3322

⑶百+后的平方根.

解：V3+V3i=V6-——+——1=后設(shè)

22

22?20+-

**JQ+6i=(#1F)=6**-4..

cos---------+isin4(女=0,1)

22

1兀i

4=6；?[cosisin—l=64-e,8'

1I88；

-(99

z-y-64?xbtiwc6+e

~I88

.2-

.設(shè)證明:

9zue'T/NZ.l+Z+???+z”T0

.2;c

證明：z=ez">即z"—1=。.

1?(z~~l)(l+z+…+z"‘)=0

又丁〃22??\zWl

從而l+z+z?+…+z”'=0

11.設(shè)廠是圓周｛z：|z-c|=廣｝,廠〉0,a=c+re'a.令

其中。=e'4.求出兒在“切于圓周F的關(guān)于p的充分必要條件.

解：如圖所示.

=0｝表示通過點a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則C4

IL。*過C作直線平行4,則有/88=6，ZACB=90°

故a/=90。

所以4在a處切于圓周7的關(guān)于0的充要條件是a/=90。.

12.指出下列各式中點z所確定的平面圖形，并作出草圖.

(l)arg&;=

(2)lz-l|=|z|；

(3)l<|z+zl<2;

(4)Rez>Imz；

(5)Imz>l,a|z|<2.

解：

⑴、argz=n.表示負實軸.

y

(2)、lz-ll=ljl.表示直線z=1.

2

解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。

5、Imz>l,且lzl<2.

解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。

卬=ZH—IIn

1.求映射Z下圓周lzl=2的像

解:設(shè)2~+?,w=“+iv則

u+\v=x+iy+=x+iy+?:之=x+-二+i(y-—)

x+iyx-+yx+yx-+y￡

,53.

因為X+>=4,所以44-

53

w=—xv=H■—y

所以4,4'

UV

44

22

~^+二=2j+二=1

所以(9G)「即(獷⑶，表示橢圓.

2.在映射w=z?下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)卬=0/'或卬=“+2

7T7T

Q<r<2,0=-0<r<2,0<6><-

(1)4；(2)4;

(3)x=a,y=b.(a,b為實數(shù))

解：設(shè)w=〃+W=(x+iy)2=x?一丁+2孫i

所以"=/-丫2#=2孫―

TT

i(p0<r<2,6=—

(1)記w=Y,貝tI4映射成w平面內(nèi)虛軸上從o到4i的一段，即

八,兀

0</7<4,^=-.

4i)

?

?

?

?

o\

兀兀

20<8<一,0<r<20<P<4,0<9<一?

(2)記卬=小，則4映成了w平面上扇形域，即2

⑶記w="+，>,則將直線x=a映成了"=/一丁#=20.即/=4°2(力-“).是以原點為焦點，張口向左的拋

物線將y=b映成了w=X?v=2xh

即v:=4/("+〃)是以原點為焦點，張口向右拋物線如圖所示.

3.求下列極限.

lim—

(1)ZT8"Z.

1

z=-，八

解：令L則Zf8,ffO

1f2

lim----r=lim---5=0

于是ZTool+Z/T0]+/

KRe(z)

lim-----

⑵3z；

Re(z)_x

解：設(shè)2=*+四則zx+iy有

..Re(z)..x1

lim-----=lim------=-----

ZTOZyd=kx—>()r+ifcx1+次

顯然當(dāng)取不同的值時f(z)的極限不同

所以極限不存在.

「Z-lZ-1..1]

lim-------hvm------------=lim-------=——

解：zfz(l+z)=zfz(i+z)(z-i)fz(i+z)2

..zz+2z—z-2

lim-----；-------

(4)Er-i.

zz+2z-z-2_(z+2)(z-1)_z+2

解：因為--I(z+l)(z-l)z+l'

..zz+2z-z-2z+23

lim-------------=lim-----=—

所以-IZ~TZTlZ+l2.

4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：

(1)

孫

zwO,

f(z)=\x2+y2

z=O;

：閃為理/⑶丁輔sTT7

若令y=kx,則-°"+/l+k;

因為當(dāng)k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=O處極限不存在.

從而f(z)在z=O處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).

(2)

0,z=0.

04?<*=兇

解：因為,+/2田32,

所以片廠°="°)

所以f(z)在整個z平面連續(xù).

5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).

⑴〃z)=(z-l尸3為正整數(shù))；

解：因為n為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導(dǎo).

/<Z)=〃(Z-l產(chǎn)

z+2

/(z)=

(z+l)(z2+l)

(2)

解：因為f(z)為有理函數(shù)，所以f(Z)在(2+1)(/+1)=°處不可導(dǎo).

從而f(z)除z=Tz=±i外可導(dǎo).

(z+2)'(z+1)(3+1)-(z+呸+1)(3+迎

(z+l)2(z2+l)2

-2Z3+5?+4Z+3

(z+l)2(z2+l)2

x3z+8

(3)

Jf，(z)=3-)5=一61,

解：f(z)除5外處處可導(dǎo)，且(5z-7)-(5z-7)-

x+y?jx-)

/(z)=

222

X+y2x+y

(4)

解：因為

/⑺=x+F+i(x-)，)=x-iy+i(x-iy)_(x-iy)(l+i)=z(l+i)_Nd,()__(1+i)

X、"討Z所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且,”一Z2

6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.

(1)f(z)=xy2+ix2y.

解："(x,y)=孫2,v(x,y)=x2y在全平面上可微.

Sy5Mdv

—=y2,——=2孫，一=2xy,—=x2

dxdydxdy

所以要使得

du_dvdu_dv

dxdydydx

只有當(dāng)z=0時，

從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.

⑵f(z)=x2+iy2

解：〃(x,y)=x2,y(x,y)=y2在全平面上可微

du_dudvdv.

—=2x,—=M0,—=0,—=2y

dxdydxdy

du_dvdu_dv

只有當(dāng)z=0時，即(0,0)處有&辦，辦內(nèi).

所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.

⑶/⑶=2丁+3y；

解："(x,y)=21,心,y)=3y3在全平面上可微

包=6-,曳=0,包=9/史=0

dxdydxdy

所以只有當(dāng)=土百y時，才滿足c-R方程.

從而f(z)在缶±百丫=°處可導(dǎo)，在全平面不解析.

(4)/(z)=z-z2.

解：設(shè)2=工+及，則

/(z)=(X-iy)?(x+iy)2=x3+xy2+i(/+x2y)

w(x,y)=x3+Ay2,v(x,y)=y3+x2y

C22c加C加=c3r2+x2

—=3x+y,-=2xy,—=2xy,—>

oxoyoxoy

所以只有當(dāng)z=0時才滿足C-R方程.

從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.

7.證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之,的解析函數(shù)必為常數(shù).

⑴八z)=°;

dudu?3v.

f—=—=u—=—=u

證明：因為/⑶=0,所以私辦，&辦

所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).

⑵/Q)解析.

證:設(shè)，(z)=“-iv在口內(nèi)解析，則

包

5(-v)du_dv

&

dydxdy

泳

￥-5(-v)dv

二------=d-----

dxdy

電dvdu_dv

及

dy,dydx

du_dudu_dv

而f(z)為解析函數(shù)，所以及②’8Sx

dvdvdvdvdududvdv八

—=----,—=-----,—=—=—=—=0

所以&dxdygpdydxdy

從而V為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).

(3)Ref(z)=常數(shù).

證明：因為Ref(z)為常數(shù)，即u=Cl,8田

dudu八

—=—=0

因為f(z)解析，C-R條件成立。故小分即u=C2

從而f(z)為常數(shù).

(4)Imf(z)二常數(shù).

加5V_0

證明：與(3)類似，由v=Cl得私必

d"__0

因為f(z)解析，由C-R方程得小辦，即u=C2

所以f(z)為常數(shù).

5.If(z)l=常數(shù).

證明：因為lf(z)l=C,對C進行討論.

若C=0,則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).

若C*0,則f(z)*0,但〃z),/?)=C\即U2+V2=C2

則兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有

八3〃八加八cw_cv?

2u----+2v—=0,2u-----+2v—=0

dxdxdydy

利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有

—du=—dvd—u=---d--v-

dxdydydx

dudv

u----+v—=Un

dxdx

d〃加Cdudv

v------u—=0——=0,—

所以dxdx所以dxdx

即u=Cl,v=C2,于是f⑵為常數(shù).

(6)argf(z)二常數(shù).

證明：argf(z)=常數(shù),即

2/C7V5(、11^(n1,___\

/.W-(?----------V--------)u(wT--v-7-)

win=8ax=②?=o

于是1+("")2?2(w2+V2)U2(U2+V2)

得

dvdu_

u-------v-----=0

dxdx

dvQu八

u-------v-----=。

dydy

C-R條件―

0

V-o

小

型V-o

小

dudvdudv?

—=——=—=—=U

解得小dxdydy,即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).

8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.

解：因為f(z)解析，從而滿足C-R條件.

du.du92

—=2nxy,—=3my~+onx

dxdy

5V.12加c，

—=32x+ly,-=2lxy

dxdy

dudv.

—=—=>n=I

dxdy

dvr

—u—d=-----=>n,=-3C,1=-5m

dydx

所以篦二-3,/=-3,機=1

9.試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).

(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微，且

du_,_,du/dv.dv_2

—=3x-3y,—=-6x)\—=6xy,—=3x2-3oy

dxoyoxdy

所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析.

八z)=瓦+i瓦=3x-3y2+6qi=3*2_y2+2邛i)=3\⑵si")+ie'(ycosy+xsi")

證明:

“(x,y)=e'Ucosy-ysiny),v(x,y)=er(ycos)'+xsiny)處處可微，且

3〃

—=ev(xcosv-ysiny)+e*(cosy)=e'(xcosy-ysiny+cosv)

dx

a”

—=ev(-xsinv-siny-ycosy)=ev(-xsiny-siny-ycosy)—=eA(ycosy+xsiny)+ex(siny)=ex(ycosy+xsiny+siny)

dx

加dudvdudv

—=er(cosy+y(-siny)+xcosy)=e'(cosv-ysiny+xcosy)

所以dx丹，dydx

所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.

a,

f'(z)=—+i—=ev(xcosy-ysiny+cos>')+i(e*()*cosy+xsiny+sinv))

dxdx

=e*cosy+ie'siny+x(e*cosy+ie4siny)+iy(e*cosy+ie"siny)

=e'+xe;+iye;=e'(l+z)]0設(shè)

1),3+心3+)3)

,"0.

f(z)=,x~o+y2

0.z=0.

求證：(1)f(z)在z=0處連續(xù).

(2)f(z)在z=0處滿足柯西一黎曼方程.

(3)F(0)不存在.

limf(z)=limy)+iv(x,y)

證明.(DY一°(內(nèi))T(。,。)7

3

而/%小)')二.,惴”不

2

=(y>1+■>

??+yx-+y-

0w『

x"9+y2|n

33

x-v

.(^0.0)777=°

lim——=0

同理(3)T(O.O)x+y

./喘/⑺=0=八0)

，f(z)在z=0處連續(xù).

13⑶一/⑹

(2)考察極限Z

當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，z=iy,有

物("⑴)-/⑹]=瞥，=1+i

當(dāng)Z沿實軸趨向于零時，z=x,有

lim-[/(x)-/(O)]=1+i

3。x

dudvdv.du

它們分別為&i

dudvdudv

——.i,——---------

?dxdydydx

???滿足C-R條件.

⑶當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有

../(x+ix)-/(O,O)..x3(l+i)-A：3(l-i)i

hm--------———-=lim--------------=---

x=)-ox+比x=>~>o2x(1+i)1+i

lim竺

:.xAz不存在.即f⑵在z=0處不可導(dǎo).

11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證/(z)=/(z)在區(qū)

域D1內(nèi)解析.

證明:設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.

dudvdud

—=——=---v

所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即小②’②杰.

/(z)="(x,-y)-iv(x,-y)=e(x,y)+W(x,y),得

d(pdu(x,-y)二=

dx~dx?為dy

dy/_-5v(x,-y)by/_1為(x,-y)_加

dx~dx6'辦男

故(p(x,y)，w(x,y)在Dl內(nèi)可微且滿足C-R條件&dy'^私

從而/Q)在DI內(nèi)解析

13.計算下列各值

(1)e2+i=e2ei=e2(cosl+isin1)

(4)

+叫=h|.卜如叫

14.設(shè)z沿通過原點的放射線趨于8點，試討論f(z)=z+ez的極限.

解：令z=rei①

對于T。，z-8時，r-8.

lim(d+e后')=lim(reie+er(cos(,+isine,)=oo

故f".

所以--.

15.計算下列各值.

(1)

In(-2+3i)=InV13+i3i)=In713+if--j

「L27

^)ln(3-^i)=ln2^+iarg(3-^i)=ln2>/3+i^-^=ln2>/3--i

(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=lnl+i=i

(4)

7T

ln(ie)=lne+iarg(ie)=1+—i

16.試討論函數(shù)f(z)=lzl+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

解：顯然g(z)=lzl在復(fù)平面上連續(xù)，Inz除負實軸及原點外處處連續(xù).

設(shè)z=x+iy,8仁)=1z1=舊+)=u(x,y)+iv(x,y)

“(x,y)=F7，v(x,y)=0在復(fù)平面內(nèi)可微.

dxdy

故g(z)=lzl在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).

從而f(x)=lzl+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).

f(z)在復(fù)平面除原點及負實軸外處處連續(xù).

17.計算下列各值.

(1)

ln(l+i)H<|i|,<l+i)

(l+i)i=e=e--""應(yīng)+扣”)

=e"''/5+^7f-lnV2i+-+2jt

44

(2)

,n(_3)75ln(-3)

(-3)"=e=e^

_^V5(ln33ni+A:'+??+kr

=6牖(訴(兼?行+V

=e(k+

=3".(cK(2Asiig而

(k+

-r

￡?i.i.o+2*)

r=elnl1迪

(3)

⑷

(1+心出+仁濘2A

18.計算下列各值

(1)

泡泉-K*)e-+e-+

cos丸51+)=-------------------=----------------

22

-e-5+e5(-1)-e-5-e5e5+e_5__

=-----------------=------------=------------=-ch5

222

(2)

jd-si)_-i(l-5i)

e$一+5

sin(l-5i)=—

2i2i

e5(cosl+isinl)-e一§(cosl-isinl)

2i

X.sinl.Xcosl

22

i(3-i)_-i(3-i)

tan(3_i)=sin(3-i)=2isin6-isin2

(，-cos(3-i)-ee>+e-ig

2(ch2l-sin23)

⑶2i⑷

2

|sin^|2=—?(e-v+A,-e'_")=|sinx-chy+icosx?shy|2

=sm_x-ch-y+cos-x-sh-y

=sin2x-(ch2y-sh2y)+(cos2x+sin2x)-sh2y

=sin2x+sh2y

arcsini=-iIn(i+Vl-i2)=-iln(l±V2)

=/-i[ln(^+l)+i2.]。自…

-i[ln(^2^1)+i(+Jl)J

arctan(l+2i)=--In1+=---lnf--+-i1

2l-i(l+2i)2I55J

,1「.L

=Eare&in24n-5-

(6)24

19.求解下列方程

(1)sinz=2.

解：

z=arcsin2=-ln(2i±Gi)=-In[(2±G)i]

i

=-iIn(2ni6)+(2A+；)

±3,(+Vo)l,k=±???

⑵ec—1—=0

解：e:=l+73i即

z=ln(l+E)rHn2+i巴+2攵

3

=ln2?2A+；

⑶

Inz=-i

2

[兀?n

Inz=-i-i

解：2gpz=e2=i

(4)z-ln(l+i)=0

z-In(1+i)=7rinAjSii-2--^22k=J+fk+—

解：4I4.

20.若z=x+iy,求證

(1)sinz=sinxchy+icosxshy

證明：

e>2_e-?z—e~(v+yi)r

sinz=---；——=-------；------

2i2i

=—.(e-'^-e'-")

2i

=sinx?chy+icosx.shy

(2)cosz=cosx-chy-isinx-shy

證明：

=_L(e-.+e〉f)

2

=—(e-y?(cosx+isinx)+ev.(cosx-isinx))

-v4-ev

-------.cosx-isinJ；

2L2

=cosx.chy-isinx.shy

(3)lsinzl2=sin2x+sh2y

證明：

sinz=—(e-v+n-ev-n)=sinx?chy+icosxshy

2i

Isinz|2=sin2xch2y+cos2x.sh2y

=sin2x(ch2y-sh2y)+(cos2x+sin2x)sh2y

=sin2x+sh2y

(4)lcoszl2=cos2x+sh2y

證明?cosz=cosxchy-isinxshy

|coszr=cos2x.ch2y+sin2x.sh2y

=cos2x(ch2y-sh2y)+(cos2x+sin2x).sh2y

=cos2x+sh2y

21.證明當(dāng)yf8時，|sin(x+iy)l和lcos(x+iy)l都趨于無窮大.

證明：

sinz=—(eiz-e±)=--(e*-e5)

2i2i

|eF=e->'—

Isinz|M-(|e-'+A<|-|尸=ev)

而22

當(dāng)yf+8時，e-yf。，eyf+8有|sinz|f8.

當(dāng)y--8時，e-yf+8,ey-0有Isinzlf8.

|cos(x+iy)|=g+eT」(e"e')

同理得2

所以當(dāng)yf8時有icoszl-8.

習(xí)題三

\(x-y+ix2)dz

1.計算積分，，其中C為從原點到點1+i的直線段.

解設(shè)直線段的方程為y=x，則z=x+，x.

i攵={(i+i)dx=z(l+1)?1x31Q=[(l+i)=一

J(l-z)dz

2.計算積分c，其中積分路徑C為

(1)從點0到點1+i的直線段；

(2)沿拋物線y=x2,從點0到點1+i的弧段.

解(1)設(shè)2=》+&.0<x<l

(2)設(shè)Z=x+52,0<x<l

j(l-z)t/z=^(l-x+zx2jc/(x+zx2)=—

r3

Jlzldz

3.計算積分。，其中積分路徑C為

(1)從點-i到點i的直線段；

(2)沿單位圓周lzl=l的左半圓周，從點-i到點i；

⑶沿單位圓周lzl=l的右半圓周，從點-i到點i.

解⑴設(shè)z=a.

J留z=￡ydiy=i「ydy

c

3〃71

⑵設(shè)z=e'".。從2到5

1出=宜1北冶=瑤市。=21

C22

3乃71

⑶設(shè)z=e淚.。從2到5

腫2=宜"=21

C2

6.計算積分L（歸一《?sinz）cfe淇中c為日…0

解J,（同一八sin+z=J,即z-「e^sinzdz

e'sinz在口="所圍的區(qū)域內(nèi)解析

.L"?sinzdz=0

從而

L（|z|-e：sinz.=J*口z=『adaei0

=a2i^ei0dO=O

故口以一相應(yīng)建就二。

f——f——dz

7.計算積分°Z（Z-+1），其中積分路徑c為

(1)C1:lzl=2(2)C2:H=2(3)C3：\z+i\=2

(4)的

[

解(1)在M二區(qū)所圍的區(qū)域內(nèi)，z(z?+l)只有一個奇點z=0.

[—---dz=[(--------------)dz=27ri—0—0=2冗i_八1?

，z(z-+l)J。Z2z-i2z+i(2)在02所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個奇點[=°，7=±，.故

，z(z+1)JGZ2Z-i2z+i(3)在G所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點Z=T，故

[--7---dz=[---—?—^—)clz=0-0-7ri=-Tri_八.

z(z+1)姐z2Z-i2z+i(4)在q所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點Z=U，Z=\故

f—：--dz—f(-----------------)dz=27ri-7ri=疝

Jcz(z2+1)Jc.'z2Z-i2Z+i

10.利用牛頓-萊布尼茲公式計算下列積分.

(1)「公/⑵L二以⑶](2+iz)2dz

flntz+l)fl+tanz

(4)1z+1~(5)vsina/<⑹Jcos2z?

解(1)

￡+-'cossin—|o+2'=2chl

⑵

Le~Zdz=~e「匕=-2

[(2+iz)"z=；[(2+友)9(2+iz)=；?g(2+iz)[：=-?+：

(3)

1*%={ln(z+1)</ln(z+1)=1ln2(z+1)|；=-^(y+3ln:2)

(4)

zdcosz=-zcosz[+fcoszdz=sinl-cos1

⑸Z-sinzdz=

1+tanz,2=必向;2

-----j~~dz=sec2zdz+secztanzdz4--^tanz|j

cosz

-\tan1+—tan2\+—th2]\+ith\

(6)2211.計算積分，其中C為

1⑶口=2

⑴H⑵M=

解⑴

■dz.=2市-——

(z+i)(z-i)iz+i

16.求下列積分的值,其中積分路徑C均為lzl=l.

tan-

[竽3)2

[?z(c2

⑴心⑵(z-zQ)

解(1)

=-m

⑶

tan—

[------=2ii(tanz)'l=msec2—

Jc

(z-z0)?“2

[--------------^dz

17.計算積分c(z-1)(z+D，其中積分路徑c為

(1)中心位于點z=l泮徑為RV2的正向圓周

⑵中心位于點3-1,半徑為R<2的正向圓周

(2)C內(nèi)包含了奇點Z=-1,

...Jc(z-l)3(z+l)3<(z-1)3g―~~8

19.驗證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).

(l)?y=x3-6x2y-3xy2+2y3;

(2)。=excosy+1+i(exsiny+1).

解(1)設(shè)w=〃+2,"=x3-6x2y-3口2+2y3P=0

*3-2孫一3y2卷—+6y2

S2udu/,-

--=6x-12y—y=-6x+12y

dx2力

從而有

d2u1d2u

dxl+^y2~，“滿足拉普拉斯方程，從而是調(diào)和函數(shù).

(2)設(shè)vv=〃+iu〃=e'*cosy+lL>=eA-siny4-1

——=ex-cosy-=一e',siny

??.dxdy

Q2d2u,

—U=ex-cosy7-y=-e*cosy

dx15y-

從而有

d2ud2u

—7+—7=0

私-%,u滿足拉普拉斯方程，從而是調(diào)和函數(shù).

dudur

——=￡-siny—=(e-cosy

dx力

d2vd'v?r

x二-siny-e

言一e?siny歹

生+配T)

&2+dy-,u滿足拉普拉斯方程，從而是調(diào)和函數(shù).

X

U---------

20.證明:函數(shù)V+y2都是調(diào)和函數(shù)，但/(z)="+i。不是解析函數(shù)

證明：

du°①一2Vc擠_?

—=2x---^y—v=2褊一一2

dx力辦

d2ud2u八

-r+-r=o

dx'辦一，從而"是調(diào)和函數(shù).

du_5v=-2xy

dx(x2+y2)2(x2+y2)2

d2v_-6xy2+2x3d2u_6xy2-2x3

dx1(x2+y2)3dy2(x2+y2)3

在+在=0

...清辦2

，從而“是調(diào)和函數(shù).

dudu