考點(diǎn)35直線、平面平行的判定與性質(zhì)-2019年領(lǐng)軍高考數(shù)學(xué)二輪（理）考點(diǎn)必練含解析

考點(diǎn)35直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形A8C。為矩形，E,1r分別為B4,尸。的中點(diǎn)，在此幾何體

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線〃平面PBC；④平面BCEJ_平面池》

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.4個(gè)B.3個(gè)

C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【解析】

將平面展開圖還原后可得立體圖形如圖所示：

①E產(chǎn)為P4PD中點(diǎn)=EF//AD,又四邊形ABCD為矩形=AD//BC

?.EF//BC=BCE,F四點(diǎn)共面

二直線BE與CF共面，不是異面直線，即①錯(cuò)誤

②???E6平面PAD,AFu平面PAD,EeAF,8W平面P/4D

二直線BE與直線AF為異面直線，即②正確

@---EF//BCr,BCu平面尸BC,EFC平面PBC

???EF〃平面PBC,即③正確

④假設(shè)平面BCE1平面P4D,即平面BCEFJ_平面P4D

又平面BCEFc平面P4D=EF,作.PM_LEP,垂足為M,可得PMJ.平面BCE

但實(shí)際無法證得PM，平面BCE,故假設(shè)不成立，即④錯(cuò)誤

本題正確選項(xiàng)：c

2.設(shè)正方體"的棱長(zhǎng)為1,E為0%的中點(diǎn)，"為直線上一點(diǎn)，N為平面4EC內(nèi)一點(diǎn)，則M,

N兩點(diǎn)間距離的最小值為（）

好理0電

A.3B.6C.4.D.6

【答案】B

【解析】

結(jié)合題意，繪制圖形

結(jié)合題意可知0E是三角形BDD_中位線，題目計(jì)算距離最短，即求0E與8D二兩平行線的距離，

DD.=LBD.=、氏BD=、2，所以距離d,結(jié)合三角形面積計(jì)算公式可得

S=lBDDD.=}RD.2dd=—

22，解得6,故選B.

3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A"'"-4】/'[/中，E,F,G分別是棱4E,BC,CCI的中點(diǎn)，P是底面4BCD內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn),若直線°產(chǎn)與平面引乙不存在公共點(diǎn)，則三角形PBBi的面積的最小值為

Di

*

A.2B.1C.隹D.2

【答案】C

延展平面EFG,可得截面EFG//QR,其中H、Q、R分別是所在棱的中點(diǎn),

直線D_P與平面EFG不存在公共點(diǎn),

所以2P〃平面EFGHQR.

由中位線定理可得AC//EF,

EF^^EFGHQR^],

AGS平面EFG"Q矽卜，

所以4c〃平面EFGHQR,

因?yàn)镈/與4c在平面內(nèi)相交，

所以平面"1"，〃平面EFGHQR,

所以P在4c上時(shí)，直線與.平面EFG不存在公共點(diǎn),

因?yàn)锽O與4c垂直，所以P與0重合時(shí)BP最小,

此時(shí)，三角形P8B1的面積最小，

1KK

-x2xJ2=72

最小值為2，故選C.

4.已知直三棱柱中的底面為等腰直角三角形，ABLAC,點(diǎn)MN分別是邊"B1，力也上動(dòng)點(diǎn)，若

直線MN〃平面BCJBI,點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡為（）

A.雙曲線的一支（一部分）B.圓?。ㄒ徊糠郑?/p>

C.線段（去掉一個(gè)端點(diǎn)）D.拋物線的一部分

【答案】C

【解析】

如圖作平面尸。欣〃平面3CGB］，可得到點(diǎn)M,N為平面P2K與邊AB,,4c的交點(diǎn)，

取的中點(diǎn)Q,由對(duì)稱性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距離DF始終為三棱柱高的一半，故

Q落在到底面ABC距離為三棱柱高的一半的平面上，且與底面ABC平行.

又D在底面的投影F始終在底面BC的高線AE上，即Q落在過底面BC的高線且與底面垂直的平面上，

所以Q在兩個(gè)面的交線上，又只能落在柱體內(nèi)，故為線段0H,又直線MNII平面BCUB；,所以去掉0點(diǎn),

故選C.

5.在正方體中，下面結(jié)論中正確的有（寫出所有正確命題的序號(hào)）.

5G

-4i鳥

PA

.4B

①B?！ㄆ矫鍯BWi；

②力C〔_L平面CB］。］：

③異面直線4c與人聲成60°角；

⑷”的與底面ABCD所成角的正.切值是企.

【答案】①②③

【解析】

逐一考查所給的命題：

在①中，BD//B.D,,8/：（2平面。8,么，BDC平面

二BD〃平面CB/二，故①正確；

中，AA^__L平面二AA^J.B；D；,

又?.&QJ.B也，二BRJ_平面二8也〉心,同理/ClACi，

.?.月心,平面CB一么，故②正確;

在③中，AC〃兒心，A兒C：的等邊三角形，則異面直線乂c與4B成60,角，故③正確;

在④中，“與平面ABCD所成的角，tan^C.AC=今=卷=合，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

6,四棱錐P-48CD中，PAJ.平面ABCD,E為4。的中點(diǎn)，力ECE為菱形，4840=120',PA=AB,G、F分

別是線段CE、PB的中點(diǎn).

（I）求證：FG||平面PDC；

（ID求二面角尸-CD-G的正切值*

2

【答案】（I）詳見解析（H）§

【解析】

PF_CG_1

證明：（I）延長(zhǎng)BG交4。于點(diǎn)D,?.?麗一荏=5

CG_BG_1BF_BG_1

而族=前=2曠麗=5,所以FGIIPD.

FGU平面尸叫PDu平面肛1,.?.FG||平面PDC

（II）過點(diǎn)F作FM148于M,易知FM1面48CD

過M作MN1CDJ-N,連接FN,則CD1面FMN

.?.CD1MN,CD_LFN,;.4FNM即所求二面角的平面角

132

FM=-MN=—tana=一

不妨令P4=4B=1,則2,4,所以3.

7.如圖，四棱錐S-4BCC中，a/lBS是正三角形，四邊形4BCD是菱形，點(diǎn)E是BS的中點(diǎn).

（D求證:SD//平面4CE；

（II）若平面4BS1平面4BCD,乙1BC=12O。,求直線4。與平面力DS所成角的正弦值.

理

【答案】（I）證明見解析：（H）5.

【解析】

(I)證明：連接BD角AC于點(diǎn)F,再連接EF.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)E是B5的中點(diǎn)，所以EF是三角形DBS的中位線，

所以DS平行EF,

又因?yàn)镋Fu平面ACE,SDU平面ACE

所以5D/7平面4CE

(II)因?yàn)樗倪呅卧翨CD是菱形，LABC=120=,所以UBD=：UBC=60。

又AB=AD,所以三角形ABD為正三角形.

取AB的中點(diǎn)O,連接SO,則D01AB

因?yàn)槠矫鍭B5評(píng)面看BCD,平面；1B5fl平面ABCD=AB

所以DO_L平面ABS,又因?yàn)槿切蜛BS為正三角形

則以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

設(shè)AB=2a,則4(0,-a,0),S(^a,0.0),D(0,0,^d),C(0,2a,v^a)

AD=(0.a.\3a).AS=(\3a,a.0),AC=(0.3a.v'3fl)

設(shè)平面ADS的一個(gè)法向量為元=(x.y,z)

則陋元=0=0+、骰=0

Us-n=0(v^x+y=0

取x=l,貝ijy=~^3.z=1

所以元=

設(shè)直線AC與平面ADS所成角為8

則sind=|cos＜正元＞|=|磊卜T

8.如圖，在四棱錐P-4BCD中，M,N分別為棱PA,PD的中點(diǎn).已知側(cè)面PAD_L底面ABCD,底面ABCD

是矩形，DA=DP.

求證：（1）MN〃平面PBC；

(2)MDJ_平面PAB.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

(1)在四棱錐P-1BCD中，M,N分別為棱PA,PD的中點(diǎn),

所以MN〃AD.

又底面ABCD是矩形,

所以BC/AD.

所以MN〃BC.

又BCu平面PBCMNC平面PBC

所以MN〃平面PBC.

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，

所以AB1AD.

又側(cè)面PAD1底面ABCD,側(cè)面PADC底面ABCD=AD,ABu底面ABCD,

所以AB_L側(cè)面PAD.

又MDu側(cè)面PAD,

所以AB1MD.

因?yàn)镈A=DP，又M為AP的中點(diǎn)，

從而MD1P4.

又24,AB在平面PAB內(nèi)，PActAB=A,

所以MD1平面PAB.

9

.如圖，在五面體力BCDE77中，四邊形4BC。是矩形，平面人防上平面旗。。,48=24。=2EF=4/E=DE=&.

(I)求證：4B||EF-

(II)求直線BF與平面4DE所成角的正弦值；

(III)求平面BCF與平面ADE所成銳二面角的余弦值.

擊A/5

【答案】(I)見證明；(2)可；(3)可

【解析】

(I)在五面體ABCDEF中，因?yàn)樗倪呅蜛8CD是矩形，

所以力8IICD.

因?yàn)镮B年平冢DEF,CDc平面CDEF,

所以ABII平面CDEF.

因?yàn)閏平面ABFE,平面ABFEn平面CDEF=EF.

所以從BIIEF.

3)取月D的中點(diǎn)0,BC的中點(diǎn)也連接0E,0M

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以0M1AD.

因?yàn)?E=DE=、②。是nD的中點(diǎn)，所以0E1AD^OE=1.

因?yàn)槠矫?DE1平面4BCD,平面IDEn平面胃BCD=AD,0Eu平面ADE.

所以0E1平面ABCD.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,依題意得0(000),8(140),5(021).

X

所以BF=(-平面月DE的法向量為而=(0,1.0).

設(shè)直線BF與平面jDE所成角為a,則

sina=Icos<fn.BF>I=㈢=—

'33'

所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為第

?

(DI)由C(-L4Q)得加=(-2,0.0X

設(shè)平面3CF的法向量為"=(xy.z),則有

fn-BC=0f-2x=0.

<n-BF=0Renll-x-2y+z=0.

令y=L則元=(0.1.2).

因?yàn)槠矫?4DE的法向量為布=(0.1,0),

所以cos<n,m>=-^=y.

所以平面8CF與平面dDE所成銳二面角的余弦值為F

0.如圖，在多面體4BCDEF中，四邊形4BCD為矩形，直線4。與平面OCFE所成的角為60°,DE//CF,CD1DE,

(1)求證：直線BF〃平面4DE；

3

CG=-

(2)點(diǎn)G在線段CF上，且2,求二面角B-EG-。的余弦值.

1

【答案】⑴詳見解析⑵〃

t解析】

<1)因?yàn)樗倪呅?CE為矩形，所以

因?yàn)锳Du而ADE,BC<f而ADE

所以BCII平面加E

同理CFII平面4DE

又因?yàn)锽CdCF=C,所以平面BCFII平面.4DE

因?yàn)?Fu平面BCF,所以BFII平面ADE

(2)因?yàn)锳DCiDE=D,CD1AD,CD1DE,所以CD_L平面。DE

因?yàn)镃Du平面CDEF,所以平面CDEF1平面ADE

過點(diǎn)月作4。1DE于點(diǎn)。，則月。坪面CDEF

所以乙4DE=60。

由4D=2.DE=3,得DO=1,EO=2,AO=、，"

以。為原點(diǎn)，平行于DC的直線為1軸，DE所在直線為y軸，(M所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系。一町2,

如(0Q,⑸C(3.-1.0),D(0,-1.0),E(0.2.0),G(3<.0)

OH=OA+AB=OA+DC=(3,0,v3)8(3,04)

貝“BE=(-32—、疔)，BG=(0.：,—、石)

設(shè)平面BEG的法向量為而=(x,y.z),

取其一個(gè)法向蚩為而=(124)

又平面DEG的一個(gè)法向量為元=(0.0.1)

所以|cos<inn>|=/^=：

1X-V?4

所以二面角B-EG-D的余弦值為;.

11.如圖，在三棱柱4BC-&B1G中,24工底面4BC,底面4BC為等邊三角形，AB=2/^i=\E,F分別為

4c的中點(diǎn).

(1)求證：BFII平面&EC；

(2)求平面4FC與平面4BC所成二面角的余弦值；

(3)設(shè)平面4EC與平面4BC的交線為m,求證：m與平面4BB/1不平行

2-

【答案】(1)證明見解析；(2)飛二(3)證明見解析.

【解析】

.(1)證法1：

取工。中點(diǎn)G,連接GF.GE,貝|JGFI凡唱GF又BEIIA-A^BE=^A-A

所以四邊形BEGF為平行四邊形，所以GEIIBF,

又GEu平面/1：EC8FC平面

所以BFII平面&EC.

證法2:取4M中點(diǎn)凡連接HEHB,WJ//FIIA-C

因?yàn)锽E&H為平行四邊形，所以4EIIB乩

又&Ec&C=4；,HBc\HF=H,

所以平面“FBII平面工CE,

所以BFII平面4EC,

C

證法3：延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,連接CM.

在44CM中,8,在為4cMM的中點(diǎn),所以BFIICM,

又CMu平面&ECBFC平面&EC,

所以BFII平面4EC

⑵因?yàn)?/?1"底面ABC,GFIIW,

所以GF，底面.4BC,

又三角形力BC為等邊三角形，F(xiàn)為月C中點(diǎn)，所以BF，月C,

以廣為原點(diǎn)，建立如圖所示所示的坐標(biāo)系，

貝ijF(OOO),C(l,O,O),4J-1.0.0),E(0，v3:),

CA=(-2,0.1),CE=(-l,yyi),

2￡+Z"**-0

_X+用y+為=

令x=1,貝ijz=2,y=0,n=(1.0.2),

易知平面ABC的一個(gè)法向量為記=(0,0.1),

貝ijcos(元而＞=言=”.

由圖可知，所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為薩一

(3)方法1：

假設(shè)?”與平面4BB二人平行，

因

為mu平面4/C,平面/l/Cn平面小,/"]=4/,所以

12.己知如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形中，88//CCJ//14,且汨=3,BC=4,分別

交BBi,于點(diǎn)P、Q,將該正方形沿BB〔，CClf折疊，使得“①’與人為重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱

在該三棱柱底邊4c上有一點(diǎn)M,滿足4%=kA/C；請(qǐng)?jiān)趫D2中解決下列問題：

（1）求證：當(dāng)4時(shí)，BM〃平面4PQ；

避

（2）若直線BM與平面4PQ所成角的正弦值為求k的值.

k=Lk=2

【答案】（D見解析；（2）a或4

【解析】

（1）解：在圖（2）中，過M作MN〃CQ交4Q于N,連接PN,所以MN〃PB,

：.MNPB共面且平面MNPB交平面4PQ于PN,

_3MN_AM_3

=4,CQ=AC=7,

又CQ=7,：.MN=3,MN=PB=AB=3,

二四邊形MNPB為平行四邊形，,BM//PN,

PNu平面APQ,BMC平面月PQ,

.,.BM//平面.4PQ.

(2)解：因?yàn)镸B=3,BC=4,所以AC=5,}^AC2=AB:+BC:,

即月BJ.8C.由圖1知,PB=AB=3,QC=7,分別以BA,BC,BB加,.，逸,

則4(3.0,0),C(0.4.0),P(0.0.3),(?(0.4.7),

BC=(0.4,0),AP=(-3.0.3),AQ=(-3,4.7),

設(shè)平面』PQ的法向量為在所以5量:得鬻Hl0

令a=!,貝ijc=1,b=-1,所以元=(1.-1.1),

由莉=k正得M的坐標(biāo)為（親.最,0）,

?.?直線BM與平面,4PQ所成角的正弦值為皆,

.?.扁=病,解得"善一

13

.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為棱

PC,PD的中點(diǎn)，已知PA_LAB,PA±AD?

p

(2)求證：平面OEFJ?平面ABCD。

【答案】詳見解析

t解析】

(1)。為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，所以，PB//FO

而PBC平面OEF,FOu平面OEF,

/.PB"平面OEF。

(2)連結(jié)AC,因?yàn)锳BCD為平行四邊形，

.'.AC與BD交于點(diǎn)O,O為AC中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，

/.PA//OE,

因?yàn)镻A1AB,PA1AD,ABCiAD=A,

/.PA1平面ABCD,

OE1平面ABCD

又OEu平面OEF,

二.平面OEF1平面ABCD

14.如圖，在底面為正方形的四棱錐E-4BCD中，BE,平面4BCD,「點(diǎn)F,G分別在棱4B,EC上，且滿足

AF=2FB,CE=3CG

(1)證明：FG〃平面4DE；

(2)若BE=48,求二面角F-EG-B的余弦值.

3Vli

【答案】(1)見解析；(2)=.

【解析】

(1)在棱DE上取一點(diǎn)H,使得DE=3DH,連接AH,HG,

因?yàn)镃E=3CG,DE=3DH,所以GH〃DC,

聽以HG=沙C.又因?yàn)殁F=2FB,AB=CD,所以月F〃HG,AF=HG,

年以工FG”是平行四邊形，所以FG〃兒兄

因?yàn)镕GU平面ADE,m平面4DE,所以FG〃平面4DE.

(2)依題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BAbE.BC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系8-犬尸,

設(shè)=3,貝必(1,0。)，E(0.3.0),6(0.1,2),

年以而=(-1.3.0),FG=(-1,1.2).

設(shè)平面EFG的法向量為元=3y,z),則g|；，即｛二：;1二0，取、=3,

1忻=(3.1.1).

又84，平面EGB,所以平面EGB的一個(gè)法向蚩為瓦？=(3.0.0),

…BAn3?T

cos<BAn>=—~-=------

所以t即||川11,

3yn

又二面角F-EG-B為銳角，所以二面角F-EG-B的余弦值為

15.在如圖所示的幾何體中，四邊形"BCD是菱形，ADNM是矩形,平面力DNM，平面力BCD,40/18=60°,

AD=2,AM=1,E為的中點(diǎn).

（1）求證：AN〃平面MEC；

71

（2）在線段4M上是否存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為§?若存在，求出力P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

7T

【答案】（I）詳見解析；（2）3

【解析】

（/）CM與BN交于F,連接EF.

由已知可得四邊形BCMM是平行四邊形，

所以F是BN的中點(diǎn).

因?yàn)镋是力B的中點(diǎn)，

所以4V〃EF.

y.EFu平面MEC,AN片面MEC,

所以月N〃平面MEC.

(〃)由于四邊形48CD是菱形，LDAB=60SE是AB的中點(diǎn)，可得DE1>1B.

又四邊形月DNM是矩形，面1DNM1面月BCD,

DNl^ABCD,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則D(0,0,0),Eg0,0),C(0,2,0),P(、&-1,h),

CE=(v^,-2,0),喬=(0,-1,h),

設(shè)平面PEC的法向量為7=(x,y,2).

rni|(￡￡'711=0'卜"x-2y=o

人%p.元=0，"t-y+hz=0

令y=\3h,n~~(2h,\3h,丫勺),

又平面ADE的法向量匯=(0,0,1),

九巧

???cos<n.蘇>=::=、:=p解得h=

2InTlInzI、'濟(jì)+3

^>1,

???在線段AM上不存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為g.

lEF=-BD

16.如圖，邊長(zhǎng)為"的正方形力BCD和高為1的等腰梯形EDEF所在的平面互相垂直，EF||BD,2,AC

與B。交于點(diǎn)。，點(diǎn)”為線段。F上任意一點(diǎn).

E

(I)求證：OFII平面4鳴

(II)求BF與平面力DE所成角的正弦值；

0H

(III)是否存在點(diǎn)“使平面BC"與平面4DE垂直，若存在，求出赤的值，若不存在，說明理由.

4非0H2

【答案】(I)詳見解析(n)后(in)存在，且此時(shí)而的值為5

【解析】

證明：(I)因?yàn)檎叫卧翨CD中，AC與BD交于點(diǎn)。,

所以D。=^BD.

因?yàn)镋F=：BD,EFIIBD

所以EFIID。目EF=DO

戶做EF。防平行四邊形.

所以O(shè)FIIED.

又因?yàn)镺FC平面ADE,EDu平面ADE,

所以O(shè)FII平面BDE.

解：5)取EF中點(diǎn)M,連結(jié)M。，因?yàn)樘菪蜝DEF為等腰梯形，所以M。1B>

又因?yàn)槠矫嬖翨CD1平面BDEF,

MOu平面BDEF,

平面4BCD評(píng)面BDEF=BD,

所以MO，平面ABCD.

又因?yàn)镺ALOB,

所以CM、OB.OM兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

E(0.-1,1),F(0.i,1),

BF=(O.-7，l),DA=(1,1,0),DE=(0.7.1),

設(shè)平面4DE的法向量為元=(x,y.2),

'x+y=0

則朦口，即

三y+z=0'

令戈=1,貝Uy=-Lz=；，所以元=(1,-1I；

設(shè)直線BF與平面4DE所成角為0,

BFn

sinO=\cos<BFtn>|=

陽?hi

所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為譽(yù).

(m)設(shè)麗=而，

則麗=(0,2)，CH=(1，7X.A),CB=(I,I.O)

設(shè)平面BCH的法向量為而=(x,y,z),

則便電二,即卜+4+墨=。，

'-CB-m=0Ix+y=0

令x=1,則)，=-1,2-旨一

所以沅=

若平面8cH與平面4DE垂直，則汨?元=0.

由1+1+費(fèi)=0,得7=：?

所以線段OF上存在點(diǎn)”使平面BCH與平面4DE垂直，

警的值相

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD為正方形，PA±平面4BCD,E為40的中點(diǎn)，AC交BE于點(diǎn)F,G

為APCD的重心.

(1)求證:FGII平面P4D；

(2)若P4=4D,點(diǎn)”在線段PD上，且P"=2HD,求二面角“-FG-C的余弦值.

_理

【答案】(I)詳見解析(2)-T

【解析】

(1)證明：因?yàn)锳EII8C,所以

因?yàn)镋為4D中點(diǎn)，所以CF=2AF,

連接CG并延長(zhǎng)，交PD于M,連接月M,

因?yàn)镚為/PCD的重心，

所以M為PD的中點(diǎn)，目CG=2GM,

所以FGIIAM,

因?yàn)锳Mu平面24D,FG評(píng)面PAD,

所以FGII平面PAD.

(2)分別以AB,AD,”為x軸,)軸,2軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)P月=4D=3,則C(330),D(0.3,0),P(0.0.3),F(l.l,O),

因?yàn)镻H=2//D,所以H(021),

因?yàn)镚為』PCD的重心，所以G(121)

設(shè)平面FGC的法向蚩記=(乙,九,z；),FC=(220),FG=(0.1,1),

則俘震:，腮代:"°，

取x=1,則y=-1,z=1,

所以元=(l.-l.l)-

設(shè)平面FGH的法向量五=（x;.y;,z=）,FH=（-1.1.1）,

則白.而=o,所*4y+z=0，

則x=0,取y=1,則z=-1,

所以五=（oi--i）-

所以cos二用=需=-乎

由圖可知，該二面角為鈍角，

所以二面角”-FG-C的余弦值為―一.

1

8.如圖，己知在四棱錐P-力BC。中，P41底面4BCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,4B=1,點(diǎn)

E為棱PC的中點(diǎn)，

（1）試在棱CD上確定一點(diǎn)M,使平面BEM〃平面P4D,說明理由；

（2）若尸為棱尸。上一點(diǎn)，滿足BF14C,求二面角尸-4B-C的余弦值.

回

【答案】（1）詳見解析（2）而

【解析】

（1）取CD中點(diǎn)M,則中點(diǎn)即所求的點(diǎn)M.理由如下：

??瓦”分別為「（?（。的中點(diǎn)，:EM//PD.

又：PDu面PAD,EMC面PAD.；.EM//^PAD.

易知四邊形ABMP為平行四邊形，所以BM//RD,ADa^PAD,BMU面PAD,

BM〃面PAD.

又EMnBM=M，二平面BEM〃平面PAD.

（2）由題意知.4BMDMP兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則向量前=(1.2.0),CP=(-2,-2.2),AC=(2,2,0),AB=(1.0.0).

由點(diǎn)、F在棱PC上，設(shè)而=xCP,0<>l<1,.

故而=BC+CF=BC+ACP=(1-2A,2-2A.2X).

由而1AC,得喬?M=0,因此2(1-2X)+2(2-2A)=0,解得為=

即法

設(shè)7=（*，y，z）為平面E4B的法向量,

14X=0,

力i?4B=0,113

則|后?郎=°，即卜2,+2y+丁=°.

不妨設(shè)Z=1,可得平面FAB的一個(gè)法向量為記=(0.-3.1).

取平面4BC的法向量亞=(0.0.1),

貝ijcos<rT1.n2>=1n=三=—.

八」-In,IlnJvToio

易知，二面角5一月B-C是銳角，

所以其余弦值為界.

19.如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,E,尸分別為AO,BC的中點(diǎn)，AE=EF,AF="AE.將

四邊形ABFE沿所折起，使平面平面EFC。(如圖2),G是所的中點(diǎn).

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)兒使得?！薄ㄆ矫鍭BFE?若存在，求8c的值；若不存在，說明理由;

(3)求二面角。-AC-F的大小.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)90°

【解析】

證明：(1)在圖1中，AE=EF.AF=^2AEt.

可得AAEF為等腰直角三角形，AE1EF.

因?yàn)锳D〃BC,所以EFJ_BF,EF1FC.

因?yàn)槠矫鍭BFEJ_平面EFCD,且兩平面交于EF,CFu平面CDEF,

所以CF1平面ABFE.

又EGu平面ABFE,故CF1EG；

由G為中點(diǎn)，可知四邊形AEFG為正方形，所以AF1EG;

又AF1FC=F,所以EG1平面AFC.又ACu平面AFC,所以AC1EG

(2)由(1)知:FE,FC,FB兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,

設(shè)FE=1,貝(0,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),D(1,1,0).

設(shè)H是線段BC上一點(diǎn)，則存在Ae[01]使得麗=ABC.

因此點(diǎn)H(0,2A2-2A)?DH=(-1..2A-1,2-2A).

由⑴知峰)平面ABFE的法向量，F(xiàn)C=(0,2,0),

因?yàn)閁平面ABFE,所以DHII平面ABFE,當(dāng)且僅當(dāng)麗=0,

即(-122-12-22)(020)=0,解得人=：.

所以在線段BC上存在點(diǎn)H使得DHII平面ABFE比時(shí)器==.

(3)設(shè)A(1,0,1),E(1,0,0),G(0,0,1).

由(1)可得，就是平面AFC的法向量，前=(T01).AD=(01-1)CD=(1.-10),

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),

m--=0

AD

T=0fy-z=o

由ICD即=

令x=l,則y=l,z=l.于是n=(1,1,1).

?n

_EG

cos<.n>==0

…EG|||n|

所以EC.

所以二面角D-AC-F的大小為90°.

20.如圖所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2、僅.

（I）若點(diǎn)E為PD上的點(diǎn)，且PB〃平面EAC.試確定E點(diǎn)的位置；

（II）在（I）的條件下，點(diǎn)F為線段PA上的一點(diǎn)且?guī)?義力，若平面AEC和平面BDF所成的銳二面角

1

的余弦值為正，求實(shí)數(shù)4的值.

A=-

【答案】（I）E為PD中點(diǎn)，（II）5

【解析】

（I）設(shè)3。交/C于點(diǎn)。，連結(jié)OE,

'：PBH平面AEC,平面4ECC平面BDP=OE,

S.PBHOE,

又。為BD的中點(diǎn)，

.,.在ABDP中，E為PD中點(diǎn).

（H）連結(jié)。尸，由題意得尸。1平面相8,且HC13D,

..?以。為原點(diǎn)，OC、OD、。尸所成直線為x,y,2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

OP-vPD--OD2=歷，

.'.A(一、％0,0),B(0,—y/2,0)，C(0,0)，D(0,0),P(0,0,、⑥,

則E(0,冬g),OC=(、％0,0),CE=1%y,y),OD=<0,、％0),

設(shè)平面血的法向量m=(x,y,z),

則一J.01=言=0，令z=l,得平面板的一個(gè)法向量啟=(0,75,1),

hn-CE=-缶++芋2=0

設(shè)平面BZ>尸的法向量■=(x,y,z),

由而=大而1,得尸(一、宓，0,、另一、⑥0,OF=(-、②i,-、Z、另一、⑥0,

.5.涼=一坐二為+(8-闞z=0,令d得1=(一,0,D,

n?0D=\f2y=0

???平面4EC和平面瓦加所成的銳二面角的余弦值為

?——mn11

..cos<?nn>=―—=—，=一,

MH川Ii3|l-i)214

、+4

解得，=].

21.如圖，三棱柱4BC-4B1G的側(cè)面BCG/是平行四邊形，BCiiqC,平面41cle41平面BCC]Bi，且用F

分別是的中點(diǎn)

(1)求證：EF〃平面41cle4；

(2)當(dāng)側(cè)面為。1“是正方形，且B%=GC時(shí)，

(i)求二面角F-BG-E的大??；

(ii)在線段EF上是否存在點(diǎn)P,使得4P，EF?若存在，指出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

A

3TT

【答案】(1)見解析(2)(i)4(ii)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，有4P1EF

【解析】

證明：(D取兒的中點(diǎn)G,連FG,連GC.

在Al：瓦G中，因?yàn)閺VG分別是4兒Q中點(diǎn),

所以FG8.C.,且FG/J

在平行四邊形BCQ工中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),

所以ECB,C,f且EC=：B；Q.

所以ECFG,且EC=FG.

所以四邊形FECG是平行四邊形.

所以FEGC.

又因?yàn)镕EU平面&QC4,GCu平面必QC4,

所以EF平面&GC4

(2)因?yàn)閭?cè)面&GG4是正方形，所以兒GJ.JC.

又因?yàn)槠矫妫?：QC4J■平面BCC_3：,且平面兒仁a4C平面BCJB：=C.C,

所以4Q1平面BCQB.所以&QJ.C.B.

又因?yàn)?al.JC,以J為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Q-孫z,如圖所示.

設(shè)C：C=a,則4(0,a,a),B(a,0,0),C(0,a,0),AM0,0,a),Ba(a,-a,0),

E(建,o),F(m

(i)設(shè)平面FBG的一個(gè)法向量為n=(x,y.z).

4nS=0得卜-第b=0.＜：邸"1，所作=(?！挂?/p>

又因?yàn)?GJ?平面5C*,所以(0Q。)是平面BQE的一個(gè)法向量.

1%4|川IaI_G

所以|cos(C：&M|==

kiXillnl一Ia.㈤-2'

由圖可知，二面角F-BQ-E為鈍角，所以二面角F-BQ-E的大小為學(xué).

(ii)假設(shè)在線段Ef?上存在點(diǎn)P,使得AP_LEE

EP

—=A,A€|01]--

設(shè)EF,\則EP=AEF.

因?yàn)?/p>

AP=AE+EP=AE+AEF=(7,-7-ax,-fl+z^),

又”1EF,

所以麗.豆=ExO+(一弓-aQ(-a)+(-a+"A)7=a=(^2+A)=0.

所以W=0e[0,1].

故點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，有4PJ.EF

22.在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面04。，底面4BCD,底面力BCD為直角梯形，BC//AD,ZADC=90°,BC=CD=1,

AD=2,PA=PD=\后，E為4D的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)。

(1)求證：P4〃平面BEF；

(2)求二面角F-BE-4的余弦值。

_A/3

【答案】⑴見證明；(2)"T

【解析】

(1)連接4c交BE于M并連接CE,FN,

BC//AD,BC=，D,E為AD中點(diǎn)，.'AEaBC,且AE=BC,

二四邊形ABC防平行四邊形，

N為AC中點(diǎn)，又F為PC中點(diǎn)，NF〃PA,

???NFu平面BEF,PAC平面BEF,二PA//平面BEF.

(2)[解法11](向量法)連接PE,由E為AD的中點(diǎn)及PA=PD=

得PE1AD則PE=、%...側(cè)面PAD，底面ABCD,且交于AD,

/.PE1?ABCD,

如圖所示，以E為原點(diǎn)，EA、EB、EP分別為

x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

貝ijE(OOO),4(1.0.0),5(0.1.0),C(-Ll.O)P(0.0.v^).

,；F為PC的中點(diǎn)，「.F(-HF)

EB=(0,1.0)EF=

f一nu十)'+u=u

設(shè)平面EBF法向量為河=(x.y.z),貝網(wǎng),獸=?=x,

<m-EF=0--x+-y+—z=

M■0

取而=(y,l.O.l),

平面EBA法向量可?。簄=(0.0.1),

設(shè)二面角F-BE-A的大小為力顯然9為鈍角，

.\cos0=—|cos<inn>|=-,

(m||n|3'

?.二面角F-BE-A的余弦值為—W

?

(2)口解法2工(幾何法D連接PE,

得PE1AD'.,DE=1,PE=、②

取PD中點(diǎn)M,連ME,MF,MA,

???側(cè)面P4D_L底面4BCD,且交于力。，BELAD,

W面P/1D

?/MEu面PADAEci^PAD

：.BELME.BELAE

.「F為PC的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)

ME//PA,NF〃PA

/.ME//NF

1.NMEA為二面角F-BE-A的平面角

在Rt/PDE中,cosrPDE=ME=亙，

3,2

在AMDA中，由余弦定理得MA=干

.?.在△MEA中，由余弦定理得cosZMEA=-4,

所以二面角F-BE-A的余弦值為一斗.

（2）R解法32（幾何法2）連接PE,由E為AD的中點(diǎn)及PA=PD=、芍

得PE±AD?.?側(cè)面PADJ■底面ABCD,.,.PE_L面ABCD,

連8。交CE于點(diǎn)Q,則Q為CE中點(diǎn)，連QF,QN,FN,

?.??為。。的中點(diǎn)，；/后〃/<2,FQ±面4BCD,

XQN//BC,/.QN1BE/.FN1BE

.'.ZFNQ為二面角F-BE-A的平面角的補(bǔ)角

在Rt/FQN中，F(xiàn)Q=：PE=乎QN=：BC=：,

由勾股定理得FN=/

/.cosZFNQ=4，

所以二面角F-BE-A的余弦值為-9

3

2

3.在三棱柱4BC-4B1G中，/^=8。=2,乙4。8=120°,。為4避1的中點(diǎn)

（1）證明：&C〃平面8C/；

V15

（2）若"4="',點(diǎn)4在平面力優(yōu)的射影在4c上，且BC與平面BC3所成角的正弦值為5,求三棱柱

4BC-4iB￡的高,

【答案】（1）詳見解析；（2）高為G

【解析】

（1）連結(jié)交Bg于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則E是的中點(diǎn),

又D為a瓦的中點(diǎn),所以DEIAS，目DEu面BCR4”面BQD,

所以&C湎BCD

(2)取AC的中點(diǎn)0,連結(jié)4。，

因?yàn)辄c(diǎn)4在面ABC上的攝影在AC上，S.A.A=A.C,

所以工。，面ABC,可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系。-x』z,設(shè)&0=a,

因?yàn)?c=BC=l,^ACB=120s,

則B(-2,\3.0),C(-1.0.0),^(-2.0.a),D(-

BC=(1,-v^.0).BC[=(0,a),CD=

設(shè)彳=(乂)")為面5(?心的法向量,

n-BC^=—\3y+az=0

取y=-a,貝|忻=

萬=：x+竺=0

由BC與平面8C_D所成角的正弦值為產(chǎn)，即

|cos<n,BC>1==呼,解得a=島

所以三棱柱月BC-&尻a的高是、區(qū)

24

.如圖，在直三棱柱4EC_&BIG中，AB=2,AC=1,CG=W,乙IBC=30。，。為AB的中點(diǎn).

（1）證明："G"平面

（2）求直線與平面&CD所成角的正弦值

迤

【答案】（I）見解析（2）而

【解析】

（1）連接BC咬于點(diǎn)E,連接DE,因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以點(diǎn)E是BC：的中點(diǎn),

又點(diǎn)D為胃8的中點(diǎn)，所以DE是d4BQ的中位線，所以DEIIAC,.

因?yàn)镈Eu平面B[CD,AC,C平面為CD,

所以ACJ平面B：CD.

（2）由4B=2,AC=1,zABC=30。，可得力C1BC,

分別以a,CB,cq為x軸、）軸、幫建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-M,

則有C（OOO）,瓦（0,何舟,D（e，?.O）,J（0,0,、，3）,

所以DC\=VI）,CBj,=（0,、③、疔）,CD=（；,工