高數(shù)(二)-習題選解答

第七章微分方程的解

1求曲線族X?+02=1滿足的微分方程，其中C為任意常數(shù).

解在等式，+。2=1兩端對x求導，得

2x+2Cyy'=0.

再從f+。2=1解出。=上■，代入上式得2x+2?上手廣歹=0,

化簡即得到所求的微分方程孫+(1-d)y=(J.

2驗證函數(shù)y=(/+c)sinx(C為任意常數(shù))是方程—-ycol-2xsiix=0

dx

的通解，并求滿足初始條件y|〃=0的特解.

x=—

2

解.將函數(shù)求一階導數(shù)，得—=2xsinx+(x2+C)cosx,

dx

把y和包代入方程左邊得

dx

——^cotx—2xsinx=2xsinx+^x1+C)cosx—(x2+C)sinxcotx—2xsinx三0.

dx

因方程兩邊恒等，且y中含有一個任意常數(shù)，故y=(f+C)sinx是題設方程的通解.

22

將初始條件y1j=0代入通解丁=(%2+。)5皿％中，得0=\-+C即C=-^~.

(2A

從而所求特解為y=X2----sinx

I4J

可分離變量的微分方程

1求微分方程半=2xy的通解.

dx

解分離變量得◎=2;?氏兩端積分得|■包Tln|y|=f+C]

yJyJ

從而y=±/+6=±eG./，記C=±-，則得到題設方程的通解y=Ce?.

2求微分方程dx+xydy=y2dx的通解.

解先合并dx及dy的各項，得y(x-I)dy=(y2-l)dx

設y2分離變量得——dy=—^—dx

y-1x-1

兩端積分J2'得gin|F-1|=ln|x-11+ln|Cx\

2

于是/―i=±c：Q—if記c=±。：,則得至[j題設方程的通解/-i=C(x-l).

注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中，我們在假定g(y)HO的前提下，

用它除方程兩邊，這樣得到的通解，不包含使g(y)=O的特解.但是，有時如果我們擴大任

意常數(shù)C的取值范圍，則其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我們得到的通解中應該

CHO,但這樣方程就失去特解y=±l,而如果允許C=0,則丫=±1仍包含在通解

,2_]-1)2中.

,齊次方程

1求解微分方程,=上+tan)滿足初始條件2的特解.

解題設方程為齊次方程，設“=2,則包=〃+x生，

xdxdx

代入原方程得u+X—=〃+tan”,分離變量得cotudu=—dx.

dxx

兩邊積分得ln|sin〃|=ln|x|+ln|C|—>sinw=Cx,

將“=)回代，則得到題設方程的通解為sin?=Cr.

XX

利用初始條件y配1=%/6,得到C=」.從而所求題設方程的特解為sin^=-x.

2x2

2求解微分方程尸+了2半=取半.

dxdx

2仔j

解原方程變形為包=上方=3-,(齊次方程)

dxxy-x2_i

x

令〃=2,貝叮=肛包=“+》生，故原方程變?yōu)椤?彳絲=工，即X—.

xdxdxdxu-ldxu-1

分離變量得||du=—.兩邊積分得〃-In||+C=In|x|或In|w|=〃+C

Vu)x

回代〃=?,便得所給方程的通解為In|y|=上+C

xx

一階線性微分方程

1求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.

x\nxdy+(y-Inx)dx=0,y\x=e=i'

解將方程標準化為y'+，k匕于是

x\、nxx

1

y=exXnxdx+C~e'a'nxdx+C—In?x+C,

xXInxl2

iif1

由初始條件Ng,=1,WC=-,故所求特解為y=-lnx+

'22、Inx

*2求解方程@+y以=°(x)四，火燈是x的已知函數(shù).

dxdxdx

解原方程實際上是標準的線性方程，其中尸（X）="9,Q（無）=°（x）曲,

dxdx

直接代入通解公式，得通解

伯努利方程

1求電-3y=，耳的通解.

dxx"

兩端除以正,得上半-36

解X2

'JydxX

令Z=",得2店，Z=d,解得zu—K+c］故所求通解為y=x4g+c

dxx<2)12

2(E03)求方程@+1=(。Inx)y2的通解.

dxx

解以產(chǎn)除方程的兩端，得

y~2—+—y~l=alnx,BP__-+—=alnx,

dxxdxx

令2=廠1,則上述方程變?yōu)椤?-z=-alnx

dxx

解此線性微分方程得z=xc-|(la)2.

以yT代z,得所求通解為沖C-|(lnx)2=1.

全微分方程

1(E01)求方程(%3-3xy2)dx+(y3-3%2y)dy=0的通解.

解竽=-6封=半，原方程是全微分方程，

oyox

4&4

“(%,,)=((x3-3xy2)dx+^y3dy—x2y2+?,

丫4o,,4

原方程的通解為一-9+=二仁

424

2求解(5/+3xy2_y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0.

解這里學=6孫-3/=學，所以題設方程是全微分方程.

dyox

可取%=0,%=0,由全微分求積公式得:

“(X,y)=J(5x4+3孫2―y3)公+6=%5+：%2y2-^3+-1j73.

于是，方程的通解為x5+|x2r-xy3+|y3=C.

Oy2_Qv2

3(E02)求方程與+v~Ady=0的通解.

yy

解孚=-”=半，原方程是全微分方程，

oyyox

將左端重新組合]dy+僅小與dJ=/-"+d<2>1x2

=d一一+~

y"yJIy)yy3J

1r2

原方程的通解為-L+j=c

yy

y〃=/(x)型

1求方程》⑷—y⑶=0的通解.

解設y”=P(x),代入題設方程，得xP'-P=0(Pw0),

解線性方程，得P=Gx(Ci為任意常數(shù))，即黃=G%

兩端積分，得y"=4Gd+C2,y'=G/+C2元+C3,

26

再積分得到所求題設方程的通解為

y=導，++C3X+C4其中GG1=123,4)為任意常數(shù).

進一步通解可改寫為y=4/+4x2+"3%+〃.其中4a'=1,2,3,4)為任意常數(shù).

y"=/(%/')型

2(E02)求方程(1+昌。-2》蟲=0的通解.

dxdx

解這是一個不顯含有未知函數(shù)y的方程.令包=p(x),則吟=迎，于是題設方程降階為

dxdxax

(1+f)農(nóng)-2pX=0,即迎=3ydx.兩邊積分，得

dxp1+x

ln|0=lnQ+x2)+ln|G|,即p=GQ+x?)或包=GQ+d).

dx

再積分得原方程的通解y=Gx+—+C2

3>

3求微分方程盯"+2y=l滿足y(l)=2y"),且當xf0時，y有界的特解.

解法1所給方程不顯含"屬y"=/(無,y')型，令y'=p，則y〃=p',代入方程降階后求解,

此法留給讀者練習.

解法2因為孫〃+2，=(孫，+力,即｝/+!>=1+6,這是一階線性微分方程，解得

XX

xC2

y=7+G+—，

2x

因為Xfo時，y有界，得G=。,故y=1+G，由此得y=g及刈=g+G，

又由已知條件y(l)=2y"),得G=士從而所求特解為y=-+~.

222

y〃=/(y,y)型

4(E03)求方程yy〃—y'2=0的通解.

解設"P(y),則y"=0孚,代入原方程得y-p率-=0,即/y也-/=0.

dyayydy)

由y?孚-0=o,可得P=G%所以包=Gy,原方程通解為y=C,ec'x.

dydx

x2xxxx2xx

5已知yi=xe+e,y2=xe-e-,y3=xe+e-e-是某二階非齊次線性微分方程的三個

特解：

(1)求此方程的通解；

(2)寫出此微分方程；

(3)求此微分方程滿足y(0)=7,y'(0)=6的特解.

解(1)由題設知，02工=為-%，"三力-力是相應齊次線方程的兩個線性無關的解,

且力=x/+e2，,是非齊次線性方程的一個特解，故所求方程的通解為

x2x2xxxxx

y=xe+e+C0e+C2e~=xe+C^+C2e~,其中G=1+G).

xx

(2)因y=x/+C^+C2e-①

所以y="+xe*+2cle2*-。2*工②

2xx

/=2"+x"+4Qe+C2e-

從這兩個式子中消去。,C2,即所求方程為y--y'-2y=ex-2xex;

(3)在①，②代入初始條件y(0)=7,y(0)=6,得

G+。2=7,2G—C2+1=6=G=4,G=3,

從而所求特解為y=4e2x+3e~x+xex.

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法

1求下列微分方程的通解.

(1)y⑸+2y⑶+y'=0;(2)-2y(4)-+2y=0.

解⑴特征方程為，+2，+r=0,即r(戶+境=0,特征根(=0,r2=r3=i,r4=r5=-i,

通解為y=G+(G+C3x)cosx+(C4+C5尤)sinx.

(2)特征方程為r6-2r4-r2+2=0,即(--2)(/-1)=0,

特征根rx=V2,r2=-V2,r3=1,r4=r5=i,r6=-i,

xxxx

通解為y=Cxe^+C2e~^+C3e+C4e~+C5cosx+C6sinx.

2(E05)已知一個四階常系數(shù)齊次線性微分方程的四個線性無關的特解為

xx

丫1=e,y2=xe,y3=cos2x,y4=3sin2x,

求這個四階微分方程及其通解.

解由力與為可知，它們對應的特征根為二重根［=e=1,

由為與，4可知，它們對應的特征根為一對共粗復根公,4=±2上

所以特征方程為0-1猿(r2+4)=0,即r4-2r3+5r2-8r+4=0,

它所對應的微分方程為y⑷一2y”+5y〃—8y'+4y=0,

x

其通解為y=(G+C2x)e+C3COS2x+C4sin2x

y(x)=%(x)外型

1(E02)求方程y"-2y-3y=3x+l的一個特解.

解題設方程右端的自由項為/(x)=2,(x)e&型，其中E”(x)=3x+1,4=0.

對應的齊次方程的特征方程為d-2r-3=0,特征根為4=-1,〃=3.

由于X=0不是特征方程的根，所以就設特解為y*=box+bi.

把它代入題設方程，得-36()x-2t>o—3仇=3x+1,

:黑…解得d=-1

比較系數(shù)得

b\=1/3,

于是，所求特解為y*=-x+g.

2(E03)求方程y〃-3/+2y=xe2v的通解.

解題設方程對應的齊次方程的特征方程為六-3.+2=0,特征根為々=1,〃=2,

于是，該齊次方程的通解為￥=。逆+。202。

1

因2=2是特征方程的單根，故可設題設方程的特解：y=x(box+bl)e\

代入題設方程，得2%x+優(yōu)+2%=x,比較等式兩端同次幕的系數(shù)，得瓦=g,仿=-1,

于是，求得題沒方程的一個特解y*=x(g尤-De?*.

x2x2x

從而，所求題設方程的通解為y=Cle+C2e+x(^X-l)e.

3求方程子+3〈+3，+〉=^的通解.

解對應的齊次方程的特征方程為r3+3r2+3r+l=0,特征根勺=-2=心=-L

2

所求齊次方程的通解r=(C1x+C2x+C3%)e-\

由于4=1不是特征方程的根，因此方程的特解形式可設為y*代入題設方程易解得

f2xx

%=L故所求方程的通解為y=Y+y=(C1+C2x+C3x)e-+-e.

88

f(x)=P^xye^Coss:或當sinsx型

4求方程y"+y=4sinx的通解.

解對應齊次方程的特征方程的特征根為七=±。故對應齊次方程的通解

丫=Gcosx+C2sinx

作輔助方程y〃+y=4e比

A=z是單根，故設y=Axelx.代入上式得2Ai=4=>A=-2z,

/.y=-2比*=2xsinx-i(2xcosx),取虛部得所求非齊次方程特解為y=-2xcosx.

從而題設方程的通解為y=Gco現(xiàn)+。2si^-2xcosr.

5(E04)求方程y"+y=xcos2x的通解.

解對應齊次方程的特征方程的特征根為氣2=±。故對應齊次方程的通解

y=Gcosx+C2sinx

作輔助方程產(chǎn)+〉=加2沃

???A=2i不是特征方程的根，故設7=(Ax+B)e2ix,代入輔助方程得

14

44—35=0,—3A=1=>A=—,B=—i

39

y=[-gx-/*=[-gx-于](cos2x+zsin2x)

14<41A

=——xcos2x+—sin2x—i—cos2x+—xsin2x

39193J

_i4

取實部得到所求非齊次方程的一個特解：y=--xcos2x+-sin2x.

39

14

所求非齊次方程的通解為y=C1cosr+C2siD：--xco2x+—sifix

6(E01)求歐拉方程％2y〃+孫，=61n%-工的通解.

x

解作變量替換X=/或％=Inx,則題設方程化為

D(D-l)y+Dy=6t-e-,,即與=6t-.

dt

兩次積分，可求得其通解為,=。1+。2「+--6工

代回原來變量，得原方程的通解、=q+Glnx+(lnx)3-L

X

7(E02)求歐拉方程^y'"+—y〃_4孫，=3x2的通解.

解作變量變換x=e'或f=lnx,原方程化為

D(D-1)(0-2)y+D(D-l)y-4Dy=3e",

即D3y一2。2y-3分=3?2'或學一2宗-31=3e2。(1)

方程(1)所對應的齊次方程的特征方程r3-2r2-3r=0,

求得特征根(=0,s=T，4=3,故所以齊次方程的通解

3

y=G+Ge-+G/r=G+6+C3x.

X

12

設特解y*=如”代入原方程得b=一與即y*=-Lr,故所求歐拉方程的通解為

22

31

y=G+—+C3x--x.

x2

第8章向量及其線性運算

1(E04)已知兩點4(4,0,5)和8(7,1,3),求與向量A月平行的向量的單位向量入

解所求向量有兩個，一個與A月同向，一個與A與反向.

因為“={7-4,1-0,3-5}={3,1-2),所以同二舟+儼+⑴產(chǎn)=后,

故所求向量為1=±埋=±/={3,1-2).

網(wǎng)714

2(E05)已知兩點加](2,2,血)和“2(1，3,。)，計算向量MM2的模、方向余弦和方向角.

解={1-2,3—2,0—揚={—1,1,-后};

叫弧=J(-l)2+12+(-拒)2=J]+1+2=V^=2;

1_1V22兀c兀3萬

coscr=——,cosp,cos/=-----;a=——,p=—,y=——.

222334

____?----?TT77"

3設有向量片A,已知IRA1=2,它與X軸和y軸的夾角分別為一和一，如果A的坐標為(1,

-34

0,3),求鳥的坐標.

解設向量右月的方向角為￡、氏/a=2,cosa=g,4=?,cos/="，

22c21.I冗—P.2冗

'：COS6Z+COSp+COS/=1,/.CO^=±—.

設P2的坐標為(x,y,z),

cosa==>=>x=2,cos(3=7—7=>V"°=—y=V2,

|哈22〃|PR22

COS/=F4=三^=±'=z=4或z=2,

|P.P2|22

P2的坐標為（2,痣,4）,（2,行,2）.

4點A位于第/圭卜限，向徑示與x軸、y軸的夾角依次為5和5,且河=6,求A的坐標.

解a=y,尸=：由關系式COS2a+COS?分+cos2/=l,得cos2/=l-（g）2-（#）2=：,

因為A在第/卦限，知cos/>0,故cos/=g.

于是=IOAI=e--------->=6^-,—{3,3/,3},點A的坐標為(3,3拒,3).

(IOA222

兩向量的數(shù)量積

1試用向量方法證明三角形的余弦定理.

證(作簡圖).

設在AABC中，ZBCA=d,\CB\=a,\CA\=b,\AB\=c,

現(xiàn)要證c2=a2+b2-2a6cos，記=I,A方=1,CA=貝U有？=G-R從而

\cf=c-c=(.a-b)-(a-b)=a-a+b-b-2a-b=\a^+\b^-2\a\-\b\cos6.

由|G|=a,|B|=Z?,|C|=c,即得02=/+62一246cos6.同理

2(E04)求與力=3；—2]+戒，b=i+]-2k都垂直的單位向量.

jkijk

=10/+5總

解c=a+b=axaa3-24

bb.b.11-2

xy

.C

.?|E|=J1()2+52=5技c=±—=

|c|

3在頂點為A(l,—1,2),8(5,—6,2)和C(l,3,-1)的三角形中，求AC邊上的高BD.

解4右={0,4,-3},通={4,-5,0},三角形A8C的面積為

S=^\ACxAB\=^\52+121+162=y

又S=|A/|=j42+(—3)2=5,

751

所以一=—51從而I30=5.

22

4利用向量積證明三角形正弦定理.

證設A4BC的三個內角為a*,7,三邊長為火瓦c,(作簡圖).

因為&方=4。+圍，所以血*45=(4e+圍)*晶+圍xA5,

i^.ACxAB+CBxAB=O,即ACxAB=-CBxAB.

兩邊取模xAB\=\CBxAB\,即bcsina=acsi”,故一--二—-—

I111sinasin夕

b_c

同理可證

si"sip

e”。bc

因止匕----=--=-----，三角形正弦定理得證.

sinasin4sin/

平面的截距式方程

1求平行于平面6x+y+6z+5=0而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平

面方程.

解設平面方程為

1/1/1/

由所求平面與已知平面平行得出=必=4,(向量平行的充要條件)

616

令n1111

=——=t=>a=——,b=-,c=——.由

6ab6c6tt6t66tt6t6

a=l,b=6,c—-1.

所求平面方程為2+^+三=1,即6x+y+6z=6.

161

2求平面n,使其滿足：

(1)過z軸；

(2)II與平面2x+y-壓=0夾角為

解因為平面口過z軸，可設其方程為心+By=0.又因為FI與已知平面夾角為q.故

n|2A+B+(-V5)-0|1D,.D1“

cos—=,___：,，,=_=8=34或3=——A

37A2+B2+02722+12+(-V5)223

=>n：x+3y=0或n：3x-y=0.

3求經(jīng)過兩點Mj(3-2,9)和(-6,0,T)且與平面2尤—y+4z—8=0垂直的平面的方程.

解設所求的平面方程為Av+By+Cz+O=0.由于點和知2在平面上，故

3A-2B+9C+D=0,-6A-4C+D=0.

又由于所求平面與平面2尤-y+4z-8=0垂直，由兩平面垂直條件有2A-B+4c=0.

從上面三個方程中解出A、B、C,得A=D/2,B=-D,C=-D/2,

代入所設方程，并約去因子。/2,得所求的平面方程x-2y-z+2=0.

點到平面的距離

4(E06)求兩平行平面口］：10x+2y—2z—5=0和口？：5x+y—z—1=0之間的距離d.

解可在平面n2上任取一點，該點到平面口1的距離即為這兩平行平面間的距離.

|10x0+2xl+(-2)x0-5|3V3

為此，在平面ru上取點(0,1,0),貝。d=

^/102+22+(-2)2-V108-6

5求平行于平面“():尤+2y+3z+4=0,且與球面工：*?+y2+z2=9相切的平面n方程.

解可利用條件口〃口°，寫出平面口的一般式方程，再利用球心到平面的距離d=3來確定一

般式方程中的特定系數(shù).

由口〃口0,可設平面n的方程為x+2y+3z+D=0.

因為平面n與球面z相切，故球心(o,o,o)到平面n的距離

|尤+2y+2z+￡)|

a=--,=—=3,得|￡>|=3N,

A/1+22+32

(x,j,z)=(0,0,0)

故所求平面n的方程為x+2y+3z+3jn=0或x+2y+3z-3舊=。

空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程

1求過點(-3,2,5)且與兩個平面2x-y-5z=1和x-4z=3的交線平行的直線的方程.

解先求過點(-3,2,5)且與已知平面平行的平面

Ri：2(x+3)-(y-2)-5(z-5)=0,fl?：(x+3)—4(z-5)=0,

即：2x—y—5z+33=0,n2：%-4z+23=0.

LL_u?士An、、rf2X~S~5z+33=0

所求直線的一般方程為.

[兀-4z+23=0

2(E01)一直線過點A(2,-3,4),且與y軸垂直相交，求其方程.

解因為直線和y軸垂直相交，所以交點為3(0,-3,0),J=BA={2,0,4),

所求直線方程士=二=三.

204

x+y+z+l=0

3用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線

2x-y+3z+4=0

解在直線上任取一點(殉,%/。),例如，取/=1=>1S°=%=0,z(,=-2,

[%-3z()-6=0

得點坐標(1,0,-2),因所求直線與兩平面的法向量都垂直，

彳7%

可取？=瓦*亢2=111={4-1-3},

2-13

對稱式方程±1=匕2=2,參數(shù)方程

4-1-3

4求過點M2,“且與直線等目=5垂直相交的直線方程

解先作一過點M且與已知直線垂直的平面n,

3(x—2)+2(y—1)—(z—3)=0,

再求已知直線與該平面的交點N,

%=3%—1

y=2%+1.

2-1

z=-t

代入平面方程得?=3,交點U取所求直線得方向向量為MN,

717)

笳豐—2與T—之―3；」上￡—君，

[777J[777J

所求直線方程為—=^=—.

2-14

5(E04)過直線工」“+2)'-2-6=°作平面口，使它垂直于平面風”+2,+2=0.

x-2y+z=0

解設過直線L的平面束HQ)的方程為(x+2y-z-6)+2(x-2y+z)=0,

即(1++2(1—A)y+(X—l)z—6=0.

現(xiàn)要在上述平面束中找出一個平面圖n,使它垂直于題設平面口1，因平面垂直于平面Hi，故

平面n的法向量力(㈤垂直于平面風的法向量4={1,2,1}.

于是方(之)?瓦=0,gpi-(l+2)x+4(l-2)+(A-l)=0.

解得X=2,故所求平面方程為九：3x-2y+z-6=0.容易驗證，平面x-2y+z=0不是所求平

面.

6在一切過直線L:卜+>+2+4=°的平面中找出平面口，使原點到它的

x+2y+z=0

距離最長.

解設通過直線L的平面束方程為(龍+y+z+4)+X(尤+2y+z)=0,

即(l+2)x+(l+22)y+(l+2)z+4=0.

為最大,

(1+彳)~+(1+22)~+(1+彳)?

即使(1+4)2+(1+2X)2+(1+田2=6(4+g)2+g為最小，得X=一：,故所求平面口的方程為

x—y+z+12=0.

易知，原點到平面x+2y+Z=0的距離為0.故平面x+2y+Z=0非所求平面.

第9章多元函數(shù)微分法及其應用

1(E01)求二元函數(shù)于(x,y)=曾華旦二￡2的定義域.

Jx-V

解!|3r272kl即[2</+收4

[x-y2>01I>/

222

所求定義域為D={(x,y)\2<x+y<49x>y}.

求極限lim(x2+y2)sin1

2-22',

x->0x+y

解令〃=12+廿,則]嗎(12+y2)sjn__J___=]im〃sin—=0.

yf0

3證明lim?不存在.

rX2+y2

y->0'

i.xyi.x-kxk

y

證取、=履(左為常數(shù))，則11m..=11YB-——z—=--------T

x2+yx2+k2x21+左2

y—>0y=kx

易見題設極限的值隨k的變化而變化，故題設極限不存在.

3,3

,(x,y)7(0,0)

4討論二元函數(shù)f(x,y)=lx,2+Ly2在(0,0)處的連續(xù)性.

0,—0,0)

解由〃x,y)表達式的特征，利用極坐標變換：

令％=夕cos。,y=夕sin。,則

limf(x,y)=limp(sin30+cos30)=0=/(0,0),

(%,y)-(0,0)Q-0

所以函數(shù)在(0,0)點處連續(xù).

xy

5試證函數(shù)-)=.八廣(x，y)*(°，°)的偏導數(shù)九(o,o)"y(o,o)存在，但

0；(3)=(0,0)

/(X,y)在(0,0)點不連續(xù).

(0+0)a0)

證4(0,0)=1in/^-^=lim^2=1,

Axf0AxAxfOAx

/v(0,0)=lim=lim"=0.

'Ayf。AyAy->0Ay

即偏導數(shù)人(0,0),%(0,0)存在.但由上節(jié)的例8知道，極限不存在，故/(x,y)在

建0xy

(0,0)點不連續(xù).

6設u=eaxcosby,求二階偏導數(shù).

解-=ae^coby,-=-be^sihy,

dxdy.

d2UJax-152w7?.7

=a。*cosby,=-b20axcosby;------=—abesinZ?y,=—abesin&y.

dxdydxdy----------------------dydx

驗證函數(shù)〃(.y)=ln+,2滿足方程

7&2歹U.

+/=—ln(x2+^2),z.-xdu_y

證v7

2axx2+j25dy產(chǎn)+,2，

22

32u(x^+)—x,2x)2一12X一〉

dx2(x2+y2)2(—2)2,/2-(?2)2-(X2+J2)2-

?工包二y3+-2=0.

"3X282(f+y2)2(/+/)2

8證明函數(shù)"=」?jié)M足拉普拉斯方程警+萼+翌=0,其中r=V%2+y2+z2.

rdx2dy2dz2

s-rdu1dr1xxd2u13xdr13x2

-Lir---=---------=--------=--------------=--------1------——------1------

dxr2dxr~rr3'dx1r3r4dxr3r5

由函數(shù)關于自變量的對稱性，得

d2u13y2a2i2

--------------+---------a-----------+-3-Z---

「235'a235

dyrrdzrr

d2ud2ud2u_33(x2+y2+z2)

密+獷+玄二一方―/一

9設/Uy)=<孫上-(°⑼，試求加(0,0)及%(0,0).

、0,(x,y)=(0,0)

解因九(0,0)==lim上心=0.

Xf0X%一。X

當yHo時，人(0,y)=lim/(X'y)―/(°'y)=lim?！?=—y,

尤-oxzox+y

所以心(。,。)==lim3=-1,

，y->0yy->0y

/(0,y)/(0,0)

同理fy(0,0)=lim-=0,

yy->0y

當xwO時，％(x,O)=Um-(x，O),吟0

y.°yvy-0x2+y

力(X,O)-/y(O,O)=lim^^=1.

所以加。，。)=曾

x龍—0X

10求2=(3尤2+/嚴+2》的偏導數(shù).

解設沅=3九2+,2,v=4x+2y,則z=〃".

—dz_idzvidududv8v

可得——=v^uvi,——=uvAnu,—=6x,—=2y,——=4A,—=2

dudvdxdydxdy

,idzdzdudzdv_i,,.

則m一=------1-----=v-uv-6X+Mv-Inw-4

dxdudxdvdx

2

=6x(4x+2y)(3f+廿嚴2但+4(3%+/產(chǎn)2y皿3/+/)

dzdzdudzdv_i

=------1-----=V'Uv-2y+uv-Inw-2

dydudydvdy

11設函數(shù)〃=〃(x,y)可微，在極坐標變換x=rcos。,y=rsinOT,證明

證為方便起見,我們從欲證等式的右端出發(fā)來證明.把函數(shù)M視為的復合函數(shù)，即

u=w(rcos^,rsin^),

dududxdudydu八0〃.八

則——=------1------=——COS"H----sin",

drdxdrdydrdxdy

dududxdudydu.八、du八

-1=——(z-rsinc/)H----rcos",

dOdxd3-dyd6--dxdy

所以

(du>\1(duy\(dudu.丫1fduduY(duy\(du^

Mvbj=tcos'+￥sln)+￥rcos1=M