第一節(jié)微分方程的基本概念

第十二章微分方程

第一節(jié)微分方程的基本概念

教學(xué)目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程

的通解、特解及微分方程的初始條件等.

教學(xué)重點(diǎn)：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件.

教學(xué)難點(diǎn)：微分方程的通解概念的理解.

教學(xué)內(nèi)容：

一、微分方程的基本概念

先看下面幾個(gè)引例.

引例1一條曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,

求這條曲線的方程.

解設(shè)曲線方程為y=y(x).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)y=y(x)滿足

生=2x,(1)

dx

同時(shí)還滿足以下條件：

x=1時(shí)，y—2.(2)

把(1)式兩端積分，得

y-^2xdx,即y-x2+C,(3)

其中C是任意常數(shù).

把條件(2)代入(3)式，得

C=1,

由此解出C并代入(3)式，得到所求曲線方程：

y=r+1.(4)

引例2列車在平直線路上以20mis的速度行駛;當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度-0.4根Is2.

間開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住，以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?

解設(shè)列車開(kāi)始制動(dòng)后r秒時(shí)行駛了s米.根據(jù)題意，反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)

S=s(f)滿足:

此外，還滿足條件:

f=0時(shí)，5=0,v=—=20,(6)

dt

(5)式兩端積分一次得：

v=一=-0.4/+C.,（7）

dt'

再積分一次得

s=—0.2廣+G，+，（8）

其中G，g都是任意常數(shù).

把條件“f=0時(shí)v=20”和“f=0時(shí)s=0”分別代入（7）式和（8）式，得

G=20,C2=0.

把G，02的值代入（7）及（8）式得

v=-0.4?+20,

s——0.2廠+20，.（10）

在（9）式中令v=0,得到列車從開(kāi)始制動(dòng)到完全停止所需的時(shí)間：

f=-=50（5）.

0.4

再把f=5代入（10）式，得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程

s=-0.2x5（）2+20x50=500（/”）.

上述兩個(gè)例子中的關(guān)系式（1）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程.

定義一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微

分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏

微分方程.（本章只討論常微分方程）微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，

叫做微分方程的階.例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程.又

如，方程

y(4)_4yM+10y"—12)J+5y=sin2x

是四階微分方程.

一般地，〃階微分方程的形式是

F（x,y,y',--,yw）=Q,（H）

其中尸是〃+2個(gè)變量的函數(shù).這里必須指出，在方程（11）中，y⑺是必須出現(xiàn)的，而

x,y,y',…,y"I）等變量則可以不出現(xiàn).例如〃階微分方程

嚴(yán)+1=0

中，除y⑺外，其他變量都沒(méi)有出現(xiàn).

如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程

（12）

以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且

（12）式右端的函數(shù)/在所討論的范圍內(nèi)連續(xù).

由前面的例子我們看到，在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要建立微分方程，然后找出滿足

微分方程的函數(shù)，就是說(shuō)，找出這樣的函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等

式，這個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解.確切地說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=*（x）在區(qū)間/上有〃階連續(xù)

導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間/匕

F[x,<p（x）,<p'（x）,"-,<p（n\x）]=0,

那么函數(shù)y=0（x）就叫做微分方程（11）在區(qū)間/上的解.

例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10）都是微分方程（5）

的解.

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的

解叫做微分方程的通解.例如，函數(shù)（3）是方程（1）的解，它含有一個(gè)任意常數(shù)，而方程

（1）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解.又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有

兩個(gè)任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解.

由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須

確定這些常數(shù)的值.為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況提出確定這些常數(shù)的條件.例如，例1

中的條件（2）,例2中的條件（6）,便是這樣的條件.

設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為y=y（x）,如果微分方程是一階的，通常用來(lái)確定任意常

數(shù)的條件是

x=x<）時(shí)，）=%，

或?qū)懗山瓪庖弧?/p>

其中而，比都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來(lái)確定任意常數(shù)的條件是：

x=x（）時(shí)，y=y（）'y'-y'o>

或?qū)懗蓎[^0=y0>y'\^o=y'O'

其中與，y°和y'o都是給定的值.上述條件叫做初始條件.

確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到了微分方程的特解.例如（4）式是方程（1）滿

足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿足條件（6）的特解.

求微分方程y'=/（x,y）滿足初始條件y憶,。=孔的特解這樣一個(gè)問(wèn)題，叫做一階微分

方程的初值問(wèn)題，記作

\y'=f（x,y）,

（13）

[yL%=加

微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線.初值問(wèn)題（13）的幾何意

義是：求微分方程的通過(guò)點(diǎn)（鼻,打）的那條積分曲線.二階微分方程的初值問(wèn)題

1y"=/（x,y，V）,

[”『"，兒與"

的兒何意義是：求微分方程的通過(guò)點(diǎn)（%,為）且在該點(diǎn)處的切線斜率為乂的那條積分曲線.

例1驗(yàn)證：函數(shù)

x-Cxcoskt+C2sinkt（14）

是微分方程

d?x

——+k'x=Q（15）

dt2

的解.

解求出所給函數(shù)（14）的導(dǎo)數(shù)

dx

--kC\sinkt+kCcoskt,

dt2

2

=-k'Cxcoskt-k2c2sinkt=-k(Ctcoskt+C2sinkt).

2

把Wdx及x的表達(dá)式代入方程(15)得

dt2

2cos

-k(Gkt+C?sin⑺+A2(Gcoskt+C2sinkt)=0.

函數(shù)(14)及其導(dǎo)數(shù)代入方程(15)后成為一個(gè)恒等式，因此函數(shù)(14)是微分方程(15)

的解.

例2已知函數(shù)(14)當(dāng)kwO時(shí)是微分方程(15)的通解，求滿足初始條件

xLo=A--0

dt(=o

的特解.

解將條件“，=0時(shí)，x=A”代入(14)式得

G=A.

將條件“，=0時(shí)，絲dx=0”代入(16)式，得。2=0.把G的值代入(14)式，就

得所求的特解為

x=Acoskt.

小結(jié)：講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的

初始問(wèn)題.

第二節(jié)可分離變量的微分方程

教學(xué)目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法.

教學(xué)重點(diǎn)：可分離變量的微分方程的解法.

教學(xué)難點(diǎn)：可分離變量的微分方程的解法.

教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)開(kāi)始,我們討論?階微分方程

y'=f(x,y)

的一些解法.

一、可分離變量的微分方程

一階微分方程有時(shí)也寫成如下的對(duì)稱形式:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

在方程(2)中，變量x與y對(duì)稱，它既可以看作是以x為自變量、y為未知函數(shù)的方程

也可看作是以x為自變量、y為未知函數(shù)的方程

在第節(jié)的例1中，我們遇到階微分方程

dy=2xdx.

把上式兩端積分就得到這個(gè)方程的通解：

y=x2+C.

但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解.例如，對(duì)于一階微分方程

@=2孫

dx

就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解.原因是方程(3)的右端含有未知

函數(shù)y積分

^lxy2dx

求不出來(lái).為了解決這個(gè)困難，在方程(3)的兩端同時(shí)乘以烏，使方程(3)變?yōu)?/p>

廠

dy/

y

這樣，變量X與y已分離在等式的兩端，然后兩端積分得

其中c是任意常數(shù).

可以驗(yàn)證，函數(shù)(4)確實(shí)滿足一階微分方程(3),且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是方

程(3)的通解.

?般地，如果一個(gè)一階微分方程能寫成

g(y)dy=f(x)dx(5)

的形式，就是說(shuō)，能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy,另一端只含x的函數(shù)和dx,

那么原方程就稱為可分離變量的微分方程.

假定方程(5)中的函數(shù)g(y)和/(x)是連續(xù)的,設(shè)y=—X)是方程的解,將它代入(5)

中得到恒等式

g[(p(x)](p'(x)dx=f(x)dx.

將上式兩端積分，并由y=/(x)引進(jìn)變量y,得

Jg(y)dy=

設(shè)G(y)及F(x)依次為g(y)和/(x)的原函數(shù)，于是有

G(y)=F(x)+C.(6)

因此，方程(5)滿足關(guān)系式(6).反之，如果y=6(x)是由關(guān)系式(6)所確定的隱函數(shù)，

那么在g(y)wO的條件下，丫=①。)也是方程(5)的解.事實(shí)上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可

知，當(dāng)g(y)wO時(shí),

①工犯

G'(y)g(y)

這就表示函數(shù)y=6(x)滿足方程(5).所以如果已分離變量的方程(5)中g(shù)(y)和/(x)是

連續(xù)的，且g(y)#O,那么(5)式兩端積分后得到的關(guān)系式(6),就用隱式給出了方程(5)

的解，(6)式就叫做微分方程(5)的隱式解.又由于關(guān)系式(6)中含有任意常數(shù)，因此(6)

式所確定的隱函數(shù)是方程(5)的通解，所以(6)式叫做微分方程(5)的隱式通解.

例1求微分方程

包=2xy(7)

dx

的通解.

解方程(7)是可分離變量的，分離變量后得

—=2xdx.

y

兩端枳分

得ln|y|=x2+G，

從而y-±ex+c,-±ec'e'.

又因?yàn)椤纄G仍是任意常數(shù)，把它記作C便得到方程(7)的通解

y=Cex.

例2放射性元素鈾由于一不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷

減少，這種現(xiàn)象叫做衰變.由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量/

成正比.已知f=0時(shí)鈾的含量為“°，求在衰變過(guò)程中含量M(f)隨時(shí)間變化的規(guī)律.

解鈾的衰變速度就是M⑺對(duì)時(shí)間f的導(dǎo)數(shù)組.由于鈾的衰變速度與其含量成正

dt

比，得到微分方程如下

—=-AM,(8)

dt

其中4(4>0)是常數(shù)，叫做衰變系數(shù).4前的負(fù)號(hào)是指由于當(dāng)，增加時(shí)M單調(diào)減少，即

也<0的緣故.

dt

由題易知，初始條件為

嘰=%.

方程（8）是可以分離變量的，分離后得

%it.

兩端積分

以InC表示任意常數(shù)，因?yàn)镸>0,

InA/=-At+InC,

即M=Ce"

是方程（8）的通解.以初始條件代入上式，解得

Mo=Ce°=C,

故得M=M0e.

由此可見(jiàn)，鈾的含量隨時(shí)間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減.

例3設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔

時(shí)速度為零.求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.

解設(shè)降落傘下落速度為v（r）.降落傘所受外力為F=mg-kv（k為比例系數(shù)）.根據(jù)牛頓

第二運(yùn)動(dòng)定律F=〃S得函數(shù)v⑺應(yīng)滿足的方程為

m--mg-kv,

at

初始條件為

vl,=o=O.

方程分離變量，得

dv_dt

mg-kvm'

兩邊積分，得

?。?[―>-yln（m^-/:v）=—+C],

Jjmg—kvJmkm

即T+Ce$（C=-畢），

kk

將初始條件訊=o=O代入通解得C=-“恪，于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

丫=竿(1-6蔡').

例3有高1cm的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1cm2（圖

12-1）.開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度〃（水面與孔口

中心間的距離）隨時(shí)間f變化的規(guī)律.

h|

圖12-1

解由水力學(xué)知道，水從孔口流出的流量（即通過(guò)孔口橫截面的水的體積V對(duì)時(shí)間，的

變化率）?？捎孟铝泄接?jì)算：

Q=—=0.62Syl2gh

其中0.62為流量系數(shù)，S為孔口橫截面面積，g為重力加速度，現(xiàn)在孔口橫截面面積

5=1cm2,故

—=0.62y/2gh,

dV=0.62y^dt.

另一方面，設(shè)在微小時(shí)間間隔上/+力］內(nèi)，水面高度由//降至/z+d〃（d〃<0）,則又可

dV=一兀戶dh,

其中r是時(shí)刻r的水面半徑（圖12—3）,右端置負(fù)號(hào)是由于d%<0,而dV>0的緣故.又因

r=，10()2一a。?！Γ?7200/z-Zi2,

所以(10)式變成dV=-^(,200h-h2)dh.

比較（9）和（1和兩式，得

0.62厄Hdt=—萬(wàn)(200%-『)的,(12)

這就是未知函數(shù)h=〃(r)應(yīng)滿足得微分方程.

此外,開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的，所以未知函數(shù)/?=/?(。還應(yīng)滿足下列初始條件:

初=0=100?(13)

方程(13)是可分離變量的.分離變量后得

萬(wàn)12

dt=......-(200/22-h2)dh,

0.62J2g

兩端積分,得

\_3

-----f(200廬—廬)

0.62以J

35>

廬-4廬+C.

即(14)

5)

其中C是任意常數(shù).

把初始條件(13)代入(14)式，得

7t400-22、

0=-『I——xlOO2——xlOO2+C.

0.62而(35)

因止匕

714000002000007114

C________x__X105.

0.62岳350.62而15

把所得的C值代入(14)式并化簡(jiǎn)，就得

35

7C(7X1()5—1()3廬+3廬)

~4.65727

小結(jié):

I.講述了可分離變量的微分方程的概念及解法.

2.講述了用微小量分析法建立微分方程解決應(yīng)用問(wèn)題.

第三節(jié)齊次方程

教學(xué)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法.

教學(xué)重點(diǎn)：齊次方程的解法.

教學(xué)難點(diǎn)：齊次方程的解法.

教學(xué)內(nèi)容：

?、齊次方程

1.齊次方程的形式

如果一階微分方程

y'=y)

中的函數(shù)/(x,y)可寫成上的函數(shù)，即/(x,y)=*(2)，則稱這方程為齊次方程.例如

XX

(x+y)dx+(y-x)dy=0

是齊次方程，因?yàn)槠淇苫癁?/p>

,14-2

dy_=x±y_=_

dxx-yiy

x

2.齊次方程/(x,y)=°(2)(1)的解法

X

作代換u=—?jiǎng)ty=ux，于是

xf

du

=X---FU.

dx

從

而+〃=(p(u),

(p(u)-u

=--------，

dxx

dudx

分離變量得--------=—，

(p(u)-uX

兩端積分得

求出積分后，再用上代替W,便得所給齊次方程的通解.如上例

X

du1+〃

X+U—

dx1-u

(1+u)du_dx

分離變量，得

1+w2X

積分后，將代回即得所求通解.

X

例1（W方程），2+12半=%y

axax

解原方程可寫成

,崗2

dy=」J)

dxxy-x12_i

X

因此原方程是齊次方程.令』二〃，則

X

y=ux,半=〃+工半,

axdx

于是原方程變?yōu)?/p>

2

u+,xd—u—=-u----,

ax〃一l

即

x-d-u—=—u■■.

dxu-l

分離變量，得

UX

兩邊積分，得〃—lnl〃l+C=lnkl,或?qū)懗蒷nk〃l=〃+C以工代上式中的〃，便得所給方程的

x

通解

InlyU+C.

x

例2有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的網(wǎng)鏡，假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)。發(fā)出的一切光線經(jīng)此四鏡反射后

都與旋轉(zhuǎn)軸平行.求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線Ly=y（x）0>O）繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，光源在原點(diǎn)，在L上任

取點(diǎn)作L的切線交x軸于4.點(diǎn)。發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是?條平行于x軸射線.由

光學(xué)及幾何原理可以證明。4=0例.

因?yàn)镺A=AP-OP=PMcota-OP=±—x,而0M=&?+丫2.

于是得微分方程

^-x=ylx2+y2,

整理得

這是齊次方程.問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程率=工+,(工)2+1.令二=v,即x=yv,得

dyyVyy

即

分離變量，得

兩邊積分，得ln(v+Jy2+i)=]ny-InC,^>v+^v2+l-*n華*=/+],

?2yv

C2C~,

以yv=x代入上式，得y2=2C(x+^).這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，它繞x軸旋

轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2+z2=2C(x+-1-).

這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程.

例3設(shè)一條河的兩岸為平行直線，水流速度為a,有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)0,

設(shè)鴨子的游速為b(b>a),且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)。，己知0A=h,求鴨子游過(guò)的跡線

的方程.

解取0為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸，y軸指向?qū)Π?設(shè)在時(shí)刻，鴨子位于點(diǎn)

尸(x,y),則鴨子運(yùn)動(dòng)速度

5d票如故有生母

另一方面，羽=。+方=(〃，0)+/?(—J=^==^,/r)彳)，V=(d----/r,----1").

P‘+y2了+產(chǎn)'x2+y,2x2+y2

因此半=&=_[/(4)2+1+工

即蟲=_旦(A)2+1+A

dyVyb\yydyyy

問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程華=-真唇M+上.令土=u,BPx=yu,得

dyb\yyy

y半=_.J〃2+1,

ayb

分離變量，得

兩邊積分，得

b

arshw=——(Iny+InC),

a

將u=1代入上式并整理，得x=*[(Cy)號(hào)—(。)”為.

以小句弋入上式，得故鴨子游過(guò)的軌跡方程為

兀=夕審工(令”司,094.

將“=：代入arshw=-￡(lny+lnC)后的整理過(guò)程：

arsh—=-—(Iny+lnC)

Na

_b_bb

=>-=shln(Cy)-?=>-=i[1(Cy)~-(Cy)?]

yy2

nx=][(Cy)a-(Cy)a}=>x=^[(Cy)/-(Cy)F

小結(jié)：

1.講述了?階微分方程中可分離變量的微分方程及其解法.

2.講述了齊次方程，及其解法.

第四節(jié)一階線性微分方程

教學(xué)目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量代換

解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法.

教學(xué)重點(diǎn)：一階線性微分方程的形式、及解的形式，利用變量代換解微分方程.

教學(xué)難點(diǎn)：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程.

教學(xué)內(nèi)容：

一、一階線性微分方程

1.一階線性微分方程的定義

定義方程包+P(x)y=Q(x)(1)

dx

稱為一階線性微分方程.

特點(diǎn)關(guān)于未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)V是一次的.若。(x)三0,稱(1)為齊次的；

若。(x)/0,稱(1)為非齊次的.

如(1)y'+2xy=2xe~x(2)y'———=(x+l)^

x+1

2.一階線性微分方程的解法

當(dāng)。(x)三0時(shí)-，方程Q)為可分離變量的微分方程.

當(dāng)。(工)#0時(shí)?，為求其解首先把。(x)換為0,即

生+P(x)y=0(2)

dx

稱為對(duì)應(yīng)于(1)的齊次微分方程，求得其解

-(P(x)dx

y=Ce2

為(1)的解，利用常數(shù)變易法，用〃(X)代替C,即y=M(x)eT""".

于是，

dy,-\p{x)dx-ip(x)dX

—=ueJ」[-P(x)]，

dx

代入(1),得

dx+C.

故y=+(3)

例1求方程

y--^-=(x+i)2(4)

x+1

的通解.

解這是一個(gè)非齊次線性方程.先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.

生二=0,

dxx+1

dy_2dx

yx+l'

\ny=2ln(x+1)+InC，

y=C(x+l)2(5)

用常數(shù)變易法，把C換成“（X）,即令

2

y=u(x+l)f

則有—=/(x+1)2+2u(x+1),

dx

代入（1）式中得

I

U=(x+1)2,

2&

兩端積分，得U=—(x+l)2+C.

再代入（4）式即得所求方程通解

2-

y=(x+i)2[-U+i)2+C].

另解我們可以直接應(yīng)用（3）式

y=e-"\jQ(xWdx+C),

得到方程的通解，其中，

2-

尸(x)=,>Q(x)=(x+1)2,

x+1

代入積分同樣可得方程通解

2-

y=U+i)2[-U+i)2+c].

此法較為簡(jiǎn)便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用(3)式求解.

例2有一個(gè)電路如圖所示，其中電源電動(dòng)勢(shì)為E=E,?sinMEw、。都是常數(shù))，電阻R和

電感心都是常量.求電流i⑺.

解由電學(xué)知道，當(dāng)電流變化時(shí)，心上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)"卓.由回路電壓定律得出

at

E-LMTR=。,

dt

+

即fr=f-

把E=E,”sinr代入上式，得

dtLL

初始條件為il*O.方程3f為非齊次線性方程，其中

dtLL

nF

P(t)=午,Q(f)=?sin①r.

LL-J

由通解公式，得

⑹=e小叫J0(N(”f+C]=「囪(信sincote^1'dt+C)

E-A(.A；

罟L(Jsin&Hdt+C)

E/

~!\-^(Rsina>t-a>Lcoscot)+CeL.

R2+a)zl3

其中C為任意常數(shù).

將初始條件/I,=o=O代入通解,得C=限

R2+CO2I}

因此，所求函數(shù)i(。為

mIF--tF

i(D=F---六L~fn^-^(Rsina)t-a)Lcosd?t).

R2+CD2I}R2+CO2I}

二、貝努利方程

1.貝努利方程的定義

定義電+P(x)y=0(x)y"(〃聲0,1)稱為貝努力方程.

dx

特別低，當(dāng)〃=0,1時(shí)，為一階線性微分方程.

2.貝努利方程的解法

兩邊同除y”,得

廠"半+P(x)y5=Q(x).

ax

令2=/"，則有絲=(1-〃)廠"生，

dxdx

1!一皆+P(X)Z=。0),

\-ndx

d?

而—+(l-n)P(x)z=(l-n)2(x)

dx

為一階線性微分方程，故

z=e4—(J(l-〃)Q(x)eWWx+C).

貝努利方程的解題步驟

(1)兩端同除以(1一〃)y";

(2)代換z=yj;

(3)解關(guān)于z的線性微分方程；

(4)還原.

例3求方程生+2=a(lnX)：/的通解.

dxx

解以V除方程的兩端，得

.2dyI」.

y—+—y=amx,

dxx

即---+—y'1=tzInx.

dxx

令［=y-，則上述方程成為

dxx

這是一個(gè)線性方程，它的通解為

_「a

z=xC—

2

以代x,得所求方程得通解為

yxC-^(inx)2=1.

三、利用變量代換解微分方程

例4解方程盯'+y=y(lnx+lny).

解令孫=〃，則也=y+x蟲，于是

dxdx

du.u

——=yinu=—finu

dxx

解得〃=產(chǎn)，即孫=廣.

例5解方程生=—.

dxx+y

解令x+y=M,則)，=u-羽蟲=包-1,代入原方程，得

dxdx

du1duu+1

dxudxu

分離變量得

——du=dx,

u+1

兩端積分得M-lnli/+11=x+C.

以"=x+y代入上式，即得

y-Inlx+y+11=C,

或1+x+y=Ce-v,(G=d°)

小結(jié)：

1.講述了一階線性微分方程的概念、常數(shù)變易法及標(biāo)準(zhǔn)型-階線性微分方程的通解公式.

2.講述了一階非齊次線性方程的通解和變量代換法解伯努利方程.

第五節(jié)全微分方程

教學(xué)目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會(huì)用觀察

法找積分因子.

教學(xué)重點(diǎn)：全微分方程的解法，觀察法找積分因子.

教學(xué)難點(diǎn)：全微分方程的解法，觀察法找積分因子.

教學(xué)內(nèi)容：

一、全微分方程

1.定義

若P(x,y)dx+Q(x,y)力=0(1)恰為某一個(gè)函數(shù)的全微分方程，即存在某個(gè)〃(x,y),

使有du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,則稱(1)為全微分方程.

可以證明〃(x,y)=C是(1)式的隱式通解.

2.解法

若尸(x,y),Q(x,y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件

dPdQ

dydx

是(1)式為全微分方程的充要要條件.通解為u(x,y)=fP(x,y)dx+fQ(x,y)dy=C.

例1求解(5》4+3孫2-，3)公+(3》2),一3盯2+,2)0=0

解令P=5f+3孫2-y3,Q^3x2y-3xy2+y2

則2=6xy-3y2=絲.

dydx

此方程為全微分方程.于是

u(x,y)=￡(5x4+3xy2-y3)dx+fy2dy

5322313

=x+-xyR+-y

22

通解為/+1Xy一盯3=c

3.積分因子

若竺7絲，則（］）式不是全微分方程，但若有一個(gè)適當(dāng)函數(shù)〃=〃（x,y）,使（1）

dySx

式乘以y）后為全微分方程，稱函數(shù)y）為積分因子.

一般積分因子不好求，我們只要求通過(guò)觀察找到積分因子.

例2方程ydx-xdy=O不是全微分方程，但

ydx-xdy

yy2

于是將方程乘以—I,貝用"A："=0,即d（二）=0,從而二=C為其通解.此時(shí)上

yyyyy

為其積分因子.

注意積分因子一般不唯一.

如上述方程，若同乘有蟲一蟲=0,于是d（lnx—lny）=0,即±=C為其通

xyxyy

解.也是其積分因子.

xy

小結(jié)：

1.本節(jié)講述了一階線性微分方程，及貝努利方程的解法，利用常數(shù)變易法，和變量代換法

來(lái)解微分方程.

2.本節(jié)講述了全微分方程的解法，用觀察法找積分因子，使之滿足全微分方程的充要條件.

第六節(jié)可降階的高階微分方程

教學(xué)目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法.

教學(xué)重點(diǎn)：三種可降階的高階微分方程的求法.

教學(xué)難點(diǎn)：三種可降階的高階微分方程的求法.

教學(xué)內(nèi)容：

一、=/(x)型可降階的微分方程的解法

令尸二z,則原方程可化為空=/(X)，于是

dx

z==J7(x)dx+G?

()

同理y"-2=+Ct]dx+C.

〃次積分后可求其通解.

其特點(diǎn)：只含有y⑺和x,不含y及y的1~(〃-1)階導(dǎo)數(shù).

例1求微分方程y-=e2v-cosx的通解.

解對(duì)所給方程接連積分三次，得

y〃=#_sinx+G，

2x

y=^e+COSX+C]X4-C2,

y=J/x+sin+C2X+C3，

82

這就是所給方程的通解.

或y"=52x-sinx+2G，

/+cosx+2Gx+。2，

2x