新課程人教版高中數(shù)學選修2-2課后習題解答

第一章導數(shù)及其應用

3.1變化率與導數(shù)

練習(P6)

在第3h和5h時;原油溫度的瞬時變化率分別為-1和3.它說明在第3h附近，原油溫度大

約以1°C/h的速度下降；在第5h時，原油溫度大約以3°C/h的速率上升.

練習(P8)

函數(shù)力⑴在仁與附近單調遞增，在/=%附近單調遞增.并且，函數(shù)的)在4附近比在八附近

增加得慢.說明：體會“以直代曲”的思想.

練習(P9)

根據圖象，估算出，(0.6)“0.3,/(1.2)?0.2.

說明：如果沒有信息技術，教師可以將此圖直接提供給學生，然后讓學生根據導數(shù)的幾何意

義估算兩點處的導數(shù).

習題1.1A組(P10)

1、在小處，雖然叱依)=卬,。0),然而叱生)二“,二加)2,%魚)一嗎包二加).

-Ar-Az

所以，企業(yè)甲比企業(yè)乙治理的效率高.

說明：平均變化率的應用，體會平均變化率的內涵.

C\h%(1+加)-力⑴cA.22g、l，，/1、2a

2、——=------------=T7.19A，一3.3,所以，/?(!)=-3.3.

ArZ

這說明運動員在f=Is附近以3.3m/s的速度下降.

3、物體在第5s的瞬時速度就是函數(shù)s(f)在f=5時的導數(shù).

—=5(5+A/)~5(5)=Ar+10,所以，s'(5)=10.

△tAr

因此，物體在第5s時的瞬時速度為10m/s,它在第5s的動能々='X3X1()2=I50J.

2

4、設車輪轉動的角度為。，時間為f,則。=匕2(/>0).

25425%

由題意可知，當f=0.8時，0=171.所以左=于是"---12

88

車輪轉動開始后第3.2s時的瞬時角速度就是函數(shù)。（f）在/=3.2時的導數(shù).

\0伙3.2+加）—6（3.2）25萬,”上…八,「小”

——=—----------------------=——△?+20萬，所以夕（3.2）=20萬.

ArAr8

因此，車輪在開始轉動后第3.2s時的瞬時角速度為2。%s-1.

說明：第2,3,4題是對了解導數(shù)定義及熟悉其符號表示的鞏固.

5、由圖可知，函數(shù)/（X）在x=-5處切線的斜率大于零，所以函數(shù)在x=-5附近單調遞增.同

理可得，函數(shù)/（x）在x=-4,-2,0,2附近分別單調遞增，幾乎沒有變化，單調遞減，單調

遞減.說明：“以直代曲”思想的應用.

6、第一個函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是一個小于零的常數(shù)，因此，其導數(shù)/'（X）的圖象

如圖（1）所示；第二個函數(shù)的導數(shù)/'（X）恒大于零，并且隨著x的增加，/'（X）的值也在增加;

對于第三個函數(shù)，當x小于零時，/'（X）小于零，當x大于零時，/'（X）大于零，并且隨著x的

增加，/'（x）的值也在增加.以下給出了滿足上述條件的導函數(shù)圖象中的一種.

說明：本題意在讓學生將導數(shù)與曲線的切線斜率相聯(lián)系.

習題3.1B組（P11）

1、高度關于時間的導數(shù)刻畫的是運動變化的快慢，即速度；速度關于時間的導數(shù)刻畫的是

速度變化的快慢，根據物理知識，這個量就是加速度.

說明：由給出的丫”）的信息獲得sQ）的相關信息，并據此畫出s（f）的圖象的大致形狀.這個

過程基于對導數(shù)內涵的了解，以及數(shù)與形之間的相互轉換.

3、由（1）的題意可知，函數(shù)/（x）的圖象在點（1,-5）處的切線斜率為-1,所以此點附近曲

線呈下降趨勢.首先畫出切線的圖象，然后再畫出此點附近函數(shù)的圖象.同理可得（2）（3）某

點處函數(shù)圖象的大致形狀.下面是一種參考答案.

y

1,

/

/

OX

(I>(2)(3)

說明：這是一個綜合性問題，包含了對導數(shù)內涵、導數(shù)兒何意義的了解，以及對以直代曲思

想的領悟.本題的答案不唯一.

1.2導數(shù)的計算

練習(P18)

1、f'(x)=2x-l,所以，⑵=—3,/'⑹=5.

,1

2、(1)y二----(2)y'=2ex

xln2

(3)yf=10x4-6x；(4)yr=-3sinx-4cosx；

,1.x1

(5)y=——sin—；(6)

33/x—1

習題1.2A組(P18)

ASS(r+Ar)-5(r)

1、27rr+Ar,所以，S'(r)=lim(2乃r+Ar)=2冗丫.

Ar△r->0

2、/⑺=—9.8r+6.5.

3

3、r^V)=-A

3V4TTV2?

4、(1)y'=3x2+---(2)y'=nx"-'eK+xnex；

xln2

,3x2sinx-x3cosx+cosx

(3)y="(4)y'=99(x+l)98；

(5)y'=—21；(6)yr=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

5、r(x)=—8+20X.由r(x0)=4有4=—8+28/,解得無()=30.

6、(1)y'=Inx+l；(2)y=x-l.

rx

7、y二——+1f.

7t

8、(1)氨氣的散發(fā)速度A'Q)=500xIn0.834x0.834'.

(2)A(7)=-25.5,它表示氨氣在第7天左右時，以25.5克/天的速率減少.

就越來越逼近函數(shù)y=cosx.

2、當y=0時，x=0.所以函數(shù)圖象與x軸交于點P(0,0).

>'=—/,所以y[r=o=T.

所以，曲線在點尸處的切線的方程為丁=--

2、/(f)=-4sinf.所以，上午6:00時潮水的速度為-0.42m/h；上午9:00時潮水的速度為

-0.63m/h；中午12:00時潮水的速度為-0.83m/h；下午6:00時潮水的速度為-1.24m/h.

1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

練習(P26)

1、(1)因為/(乃=爐—2X+4,所以/'(x)=2x—2.

當—(x)>0,即x>l時，函數(shù)/(x)=f—2x+4單調遞增；

當/'(x)<0,即x<l時，函數(shù)/(x)=X?-2x+4單調遞減.

(2)因為/(x)=e*-x,所以尸(x)=e*—L

當;(x)>0,即x>0時，函數(shù)/(x)=e=x單調遞增；

當/'(x)<0,即x<0時，函數(shù)/(x)=e*-x單調遞減.

(3)因為/(x)=3x7,所以尸(x)=3—3f.

當/'(x)>0,即-1<X<1時,函數(shù)/(x)=3x—V單調遞增；

當/'(x)<0,即x<-l或x>l時，函數(shù)/(x)=單調遞減.

(4)因為f(x)=Xs-x1-x,所以f'(x)=3X2-2X-1.

當了'(X)>O,即X<—；或X>1時，函數(shù)/(X)=_x單調遞增;

當廣(x)<0,即-;<x<l時，函數(shù)/(x)=x3-x2—x單調遞減.

2、>?

__b

~O：c~~X

注：圖象形狀不唯一.

3、因為/(x)=ax?+bx+c(a工0),所以/'(x)=2ax+b.

(1)當“>0時，

匕

/(x)>0,即x>--時,函數(shù)/(x)=ax'+bx+c(aW0)單調遞增;

28a

-時

f'(x)<0,即x<—9函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0)單調遞減.

2tz

±

>o

函數(shù)/(x)=ax2+8x+c(a70)單調遞增;

2±a

<o

函數(shù)/(幻=。/+&1+，(。H0)單調遞減.

2a

4、證明:因為/*)=2%3-6/+7,所以((X)=6X2—12X.

當XG(0,2)時,/z(x)=6x2-12x<0,

因此函數(shù)/(x)=2d—6x2+7在。2)內是減函數(shù).

練習(P29)

1、％2，》4是函數(shù)y=/(X)的極值點，

其中x=*2是函數(shù)y=/(x)的極大值點，x=%4是函數(shù)y=/(x)的極小值點.

2、(1)因為/(x)=6x2—X—2,所以尸(x)=12x—l.

令/'(x)=12x—1=0,得"='.

當X>\時，/(X)單調遞增；當了<《時，/'(X)<0，/(x)單調遞減.

所以，當％=-!-時，“X)有極小值，并且極小值為/(L)=6x(-L)2--L—2=—絲.

1212121224

(2)因為/(》)=9_27%，所以尸(X)=3/—27.

令;(x)=3f_27=0,得X=±3.

下面分兩種情況討論：

①當廣(尤)>0,即x<—3或x>3時；②當/'(x)<0,即一3<x<3時.

當X變化時，/'(x),/(x)變化情況如下表:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

(⑸十0一0+

/(X)單調遞增54單調遞減-54單調遞增

因此，當x=-3時，/(x)有極大值，并且極大值為54；

當x=3時，/(X)有極小值，并且極小值為-54.

(3)因為/(x)=6+12x—所以/(乃=12-31.

令/'(x)=12-3x?=0,得尢=±2.

下面分兩種情況討論：

①當廣(x)>0,即一2<x<2時；②當/'(x)<0,即x<—2或x>2時.

當x變化時，/'(x),/(x)變化情況如卜.表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

f'M—0+0—

fM單調遞減-10單調遞增22單調遞減

因此，當x=-2時，，/(x)有極小值，并且極小值為-10；

當彳=2時:/(x)有極大值，并且極大值為22

(4)因為/(X)=3X—X3,所以:(x)=3—3f.

令;(x)=3—3/=0,得*=±1.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即—1<X<1時；②當尸(x)<0,即x<—1或x>l時.

當x變化時，/'(x),/(x)變化情況如下表：

X(-00,-1)-1(-U)1。,+8)

f'M一0+0一

fW單調遞減-2單調遞增2單調遞減

因此，當x=-1時，/(x)有極小值，并且極小值為-2；

當x=l時，/(x)有極大值，并且極大值為2

練習(P31)

1149

(1)在在,2］上,當％=工時,/(x)=6/-x—2有極小值，并且極小值為/(」?)=一空.

121224

又由于/(0)=—2,/(2)=20.

49

因此，函數(shù)/(x)=6/7-2在［0,2］上的最大值是20、最小值是-一.

24

⑵在［—4,4］上，當x=—3時，/(x)=x3—27x有極大值，并且極大值為/(—3)=54；

當x=3時，/(x)=x3_27x有極小值，并且極小值為"3)=—54；

又由于/(—4)=44,/(4)=一44.

因此，函數(shù)=27x在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［-；,3］上，當x=2H寸，/(x)=6+12x—x3有極大值，并且極大值為/(2)=22.

又由于/(—；)=||，/⑶=15.

因此，函數(shù)/(X)=6+12X-X3在［」,引上的最大值是22、最小值是史.

327

(4)在［2,3］上,函數(shù)/(x)=3x-無極值.

因為/(2)=-2,/⑶=—18.

因此，函數(shù)/(x)=3x-x3在⑵引上的最大值是-2、最小值是-18.

習題1.3A組(P3I)

1、(1)因為f(x)=—2x+l,所以廣(無)=-2<0.

因此，函數(shù)/(x)=-2x+l是單調遞減函數(shù).

TTJT

⑵因為f(x)=x+cos…€(0節(jié)),所以八x)=jinx〉0'Xe(0,p

因此，函數(shù)/(x)=x+cosx在(0,g上是單調遞增函數(shù).

(3)因為/(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函數(shù)/(x)=2x-4是單調遞減函數(shù).

(4)因為/(x)=2d+4x,所以/")=6/+4>().

因此，函數(shù)/(x)=21+4x是單調遞增函數(shù).

2、(1)因為I(x)=f+2x-4,所以/'(x)=2x+2.

當廣(x)>0,即x>—l時，函數(shù)/(x)=x2+2x—4單調遞增.

當廣(x)<0,即x<—l時，函數(shù)/(x)=x2+2x-4單調遞減.

(2)因為/(X)=2X2-3X+3,所以廣(x)=4x—3.

當/(x)>0,即x>2時，函數(shù)f(x)=2尤2-3%+3單調遞增.

4

當—<0,即無<?時,函數(shù)f(x)=2尤2-3x+3單調遞減.

4

(3)因為/(尤)=3%+丁,所以廣(%)=3+3/>0.

因此，函數(shù)/(x)=3x+x3是單調遞增函數(shù).

(4)因為/(x)=d+x2-x,所以r(X)=3/+2X-1.

當/'(x)〉0，即x<-l或x>；時，函數(shù)/(xQxW-x單調遞增.

當;(x)<0,即時，函數(shù)=1+/一%單調遞減.

3、(1)圖略.(2)加速度等于0.

4、(1)在％處，導函數(shù)y=/'(x)有極大值；

(2)在x=X1和x=》4處，導函數(shù)y=/'(x)有極小值；

(3)在％處，函數(shù)y=/(x)有極大值；

(4)在％處，函數(shù)y=/(x)有極小值.

5、(1)因為/(X)=6X2+X+2,所以尸(X)=12X+L

令尸(x)=12x+1=0,得了=—

當x>-、時，f\x)>0,/(x)單調遞增；

當x<-\時，f\x)<0,/(x)單調遞減.

所以，x=-2■時，f(x)有極小值,并且極小值為f(--)=6x(-—)2----2---.

1212121224

(2)因為/(幻=尤3—I2x,所以尸(x)=3f—12.

令尸(x)=3x2—12=0,得％=±2.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即x<—2或x〉2時；②當/'(x)<0,即—2<x<2時.

當x變化時，/'(X),/(x)變化情況如下表:

X(-co,-2)-2(々2)2(2,+8)

廣(X)+0一0+

單調遞增16單調遞減-16單調遞增

因此，當x=-2時，/(%)有極大值，并且極大值為16；

當x=2時，/(x)有極小值，并且極小值為-16.

(3)因為/(x)=6—12x+J,所以/'(x)=—12+3x2.

令/'(x)=-12+3x?=0,得工=±2.

下面分兩種情況討論：

①當廣(x)>0,即x<—2或x>2時；②當/'(x)<0,即一2<x<2時.

當x變化時，/'(X),/(x)變化情況如卜表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

廣(X)+0—0+

/(X)單調遞增22單調遞減-10單調遞增

因此，當x=-2時;/(x)有極大值，并且極大值為22；

當％=2時;/(x)有極小值，并且極小值為-10.

(4)因為/(X)=48X—X3,所以尸(?=48-31.

令/'(x)=48-3/=0,#x=±4.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即x<—2或x>2時;②當r(x)<0,即一2Vx<2時.

當X變化時，/'(X),/(X)變化情況如下表：

X(-00,-4)-41,4)4(4,+00)

/'(X)一0+0一

/(X)單調遞減-128單調遞增128單調遞減

因此，當x=-4時，/(x)有極小值，并且極小值為-128；

當x=4時，/(x)有極大值，并且極大值為128.

147

6、(1)在［—1,1］上，當x=—五時，函數(shù)/(x)=6x2+x+2有極小值，并且極小值為彳.

由于/(—1)=7,/⑴=9,

47

所以，函數(shù)/(x)=6f+x+2在［-1,1］上的最大值和最小值分別為9,—.

(2)在［-3,3］上，當x=-2時，函數(shù)/(x)=Y—I2x有極大值，并且極大值為16；

當x=2時，函數(shù)/(X)=Y—12X有極小值，并且極小值為-16.

由于/(—3)=9,〃3)=-9,

所以，函數(shù)/(幻=》3_12》在［-3,3］上的最大值和最小值分別為16,-16.

(3)在上，函數(shù)/(x)=6—12X+V在上無極值.

由于/(一；)=三~，/⑴=一5，

所以，函數(shù)/(x)=6-12x+d在［_；/］上的最大值和最小值分別為箸，-5.

(4)當x=4時，/(x)有極大值，并且極大值為128..

由于/(-3)=-117,/⑸=115,

所以，函數(shù)/(x)=48x-/在［-3,5］上的最大值和最小值分別為128,-117.

習題3.3B組(P32)

1、(1)證明：設/(x)=sinx-x,xG(0,71}.

因為/'(x)=cosx-1<0,X￡(0,乃)

所以/(1)=$1111-1在(0,乃)內單調遞減

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xG(0,,即sinxcx,xe(0,TT).圖略

(2)證明：設/(%)=x-尤"xG(0,1).

因為/0)=1—2x,XG(0,1)

所以，當xw(O,g)時，/,(x)=l-2x>0,/(x)單調遞增，

/(x)=x-x2>/(0)=0；

當xe(g,l)時，/,(x)=l-2x<0,/(x)單調遞減，

2

/(x)=x-x>/(l)=O;

X/(l)=l>0.因此，x-x2>0,xe(O,l).圖略

(3)證明：設/(x)=e■'-l—x,x#0.

因為:(x)=e'-l,XHO

所以，當x〉O時，f\x)=ex-l>0,/(x)單調遞增，

/(x)=^-l-x>/(0)=0；

當x<0時，廣(x)="-l<0,/(x)單調遞減，

/(x)=el-l-x>/(0)=0；

綜上，ex-l>x,x^O.圖略

(4)證明：設/(x)=lnx-x,x>0.

因為廣(X)=L—1,XH0

X

所以，當0<x<l時，//(x)=--l>0,/(x)單調遞增，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

當x>l時，/f(x)=--l<0,/(x)單調遞減，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

當x=l時，顯然lnl<l.因此，Inx<x.

由(3)可知，e'>x+l>x,x>0.

.綜上，lnx<x</,x>0圖略

2、(1)函數(shù)/(口=辦3+/+以+1的圖象大致是個“雙峰”圖象，類似“2”或“S”

的形狀.若有極值，則在整個定義域上有且僅有一個極大值和一個極小值，從圖象上能大致估

計它的單調區(qū)間.

(2)因為/(x)=ax'+%/+cx+d,所以/'(x)=3ax?+2bx+c.

下面分類討論：

當aw0時，，分a>0和a<0兩種情形：

①當a>0,且。2-3ac>0時，

設方程廣(%)=3。/+28》+。=0的兩根分另1」為％,彳2，JLx(<x2,

當廣(X)=3。『+2"+，〉0,即xc』或XAX?時，函數(shù)/(x)=a/+bx2+cx+d單調遞增；

當廣(x)=3。/+2Z?x+c<0,即菁<》<》2時，函數(shù)/(幻=如^+匕/+cx+d單調遞減.

當a>0,且人2-3ac40時，

此時f'(x)=3ax2+2bx+c>0,函數(shù)/(x)=ax'+cx+d單調遞增.

②當a<0,且/?2-3ac>0時，

設方程/'(》)=3辦2+2云+。=0的兩根分別為和苫2，且再ex?，

當r(x)=3ax2+2bx+c>0,即玉<%<々時，函數(shù)/(?nad+bK+cx+d單調遞增；

當/'(x)=3以2+26x+c<0,即x<X］或x>%2時，函數(shù)/(x)=以3+/>/+cx+d單調遞減.

當a<0,且￡>2-3ac40時，

此時/'(X)=3ax2+2bx+c<0,函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d單調遞減

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例

習題1.4A組(P37)

xI-Y

1、設兩段鐵絲的長度分別為X,/-X,則這兩個正方形的邊長分別為工’兩個正方

4

形的面積和為5=/(%)=(-)2+(―)2=—(2x2-2lx+l2),Q<x<l,

4416

令r(x)=0,即4x—2/=0,x=g.

當xe(0,3)時，/,(x)<0；當xe(g,/)時，/,(x)>0.

因此，x=j是函數(shù)/(x)的極小值點，也是最小值點.

所以，當兩段鐵絲的長度分別是上時，兩個正方形的面積和最小.

2

2、如圖所示，由于在邊長為。的正方形鐵片的四角截去

四個邊長為X的小正方形，做成一個無蓋方盒，所以無

蓋方盒的底面為正方形，且邊長為a-2x,高為X.

(1)無蓋方盒的容積V(x)=(a-2x)21,0<x<-.

2

(2)因為丫。)=4丁一4數(shù)2+八,

(第2題)

所以V'(x)=12x12-8ax+a2.

令V'(x)=O,得x=@(舍去)，sgx=-.

26

當xw(o,q)時，v\x)>o；當時，v,(%)<o.

662

因此，x=g是函數(shù)V(x)的極大值點，也是最大值點.

6

所以，當x=g時，無蓋方盒的容積最大.

6

3、如圖，設圓柱的高為〃，底半徑為R,

則表面積S=2萬即7+2%/?2

CV

由丫=乃/?-力，得力=——7-

7UR2

Vc2Vc

因此,S(R)=2TTR—亍+2TTR2=—+2)A?,R＞。.

TIR-R

2V[\T

令S'(R)=——+4?R=0,解得R=d一.

R丫2"

當Ae(O,J上)時，S'(H)<0；

N27r

當上,+oo)時，S'(R)>0.

兀

(是函數(shù)S(A)的極小值點，也是最小值點.此時，％=奈2欄=2心

因此，R=3

所以，當罐高與底面直徑相等時，所用材料最省.

]〃?n

4、證明：由于/(x)=—X(x-q)2，所以r(x)=—￡(x-q).

〃；=in,=i

令f'M-0,得尤=，￡%，

〃1

1n

可以得到，x=是函數(shù)的極小值點，也是最小值點.

n,=i

1〃

這個結果說明，用〃個數(shù)據的平均值，表示這個物體的長度是合理的,

n,-=,

這就是最小二乘法的基本原理.

2

5、設矩形的底寬為xm,則半圓的半徑為土m,半圓的面積為旦n?,

28

2

矩形的面積為。-三匚!!？，矩形的另一邊長為(q一三)m

8x8

因止匕鐵絲的長為/(幻=少+》+即一修=(1+工)8+經，0<x<、怪

2x44xN兀

令心)=1+十1=。，得片層(負值舍去).

當X€(O,、廬I)時，/'(x)<0；當xw(牛!隹)時，r(x)>0.

因此，x=是函數(shù)/(X)的極小值點，也是最小值點.

所以，當?shù)讓挒?匹m時，所用材料最省.

6、利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產量乘單價.

由此可得出利潤L與產量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤.

收入/?=[?〃=q(25-看)=25<7-：/，

OO

利澗L=R—c=(25q-1/)—(100+4q)=—+100,0<^<200.

88

求導得U=」q+21

4

令//=0,即」q+21=0,q=84.

4

當qw(0,84)時,r>0；當ge(84,200)時,L'<0；

因此，g=84是函數(shù)L的極大值點，也是最大值點.

所以，產量為84時，利潤L最大，

習題1.4B組(P37)

1、設每個房間每天的定價為x元，

Y—1RO1

-2

那么賓館利潤L(X)=(50-[o)(x-20)=--X+70X-1360,180<X<680.

令L'(x)=—"x+70=0,解得x=350.

當x6(180,350)時，L'(x)>0；當x€(350,680)時,L'(x)>0.

因此，x=35O是函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，當每個房間每天的定價為350元時，賓館利潤最大.

2、設銷售價為x元/件時，

b—x4Sh

利潤L(x)=(x-Q)(C+c-----x4)=c(x-a)(5——x),a<x<一.

bh4

八八/、8c4ac+5bc?癡相4。+5》

令L(x)=——x+-----------=0,解得%二-------.

bb8

、i,4Q+5Z?、Q...?、1,4〃+5/?5b—.

當xw(a,---------)時，Lr(x)>0；當XE(------,一)時，L(x)<0.

884

當》="譽是函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，銷售價為擔土及元/件時，可獲得最大利潤.

8

1.5定積分的概念

練習(P42)

8

31

說明：進一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，體會“以直代曲”和“逼近”的思想.

練習(P45)

??1,10

1、Ai,.?Ay；=v(-)A/=[-(-)2+2]--=-(-)2i=l,2,.

nnnnnn

于是s=￡As,?名As；=￡v(-)Ar

n

/=1/=1i=\

這[-d)T+馬

7Z|nnn

=-(-)2--——(^)2---(-)2--+2

nnnnnn

1

=Jl+272+???+眉7+2

1〃5+l)(2〃+l)

=—7-----------------------F2

n36

=--(l+-)(l+—)+2

3nIn

取極值，得

n1；>1111c

s=lim>v(-)]=limY[—_(1+-)(1+—)+2]=-

"TB占"n"f8占3nIn3

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近”的思想.

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近”的思想，熟悉求變速直線運動物體路程的方法

和步驟.

練習(P48)

=說明：進一步熟悉定積分的定義和幾何意義.

從幾何上看，表示由曲線y=Y與直線x=0,x=2,y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=4.

習題1.5A組(P50)

f210()；11

1、(1)[(x-l)Jx?y[(l+——)-l]x—=0.495；

J100100

R500；_|]

(2)f(x-l)Jx?2；[(1+—)-1]x=0.499；

.方500500

C四i一11

(3)I(x-l)Jx?y[(l+——)-l]x——=0.4995.

3tr10001000

說明：體會通過分割、近似替換、求和得到定積分的近似值的方法.

2、距離的不足近似值為：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m)；

距離的過剩近似值為：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、證明：令/(x)=l.用分點a-x0<<?-?<<xt<--?<xn-b

將區(qū)間［a,切等分成"個小區(qū)間，在每個小區(qū)間兄,X,.］上任取一點奴i=1,2,…

〃,lh—n

作和式中22丁"。，

從而f\dx=limV---=h-a,

1=1"

說明：進一步熟悉定積分的概念.

4、根據定積分的幾何意義，(Jl-x2dx表示由直線x=0,x=\,y=0以及曲線y=J1-￡

所圍成的曲邊梯形的面積，即四分之一單位圓的面積，因此=

5、(1)fx3dx=~~.

J-i4

由于在區(qū)間［一1,0］上所以定積分工產3右表示由直線x=o,x=_i,y=o和曲線

y=d所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).

(2)根據定積分的性質，得fx3dx=fx3dx+f=-