2022-2023學(xué)年湖北省隨州市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年湖北省隨州市統(tǒng)招專升本數(shù)

學(xué)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

1.

設(shè)》=COSU■.則/。⑹=（）

A.—COSTB.cos.r

C.—sirurD.sin.r

2.

2

則x=0是/6）的（）

e7+l

A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.第二類間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)

3.

.點(diǎn)1=0是函數(shù)y=3,-1的

1)

3了+1

A.連續(xù)點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C可去間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)

4.

函數(shù)/(x)=<°"一°’在x=0處連續(xù)，則。=()

a+x,x>0

A.e2B.e-1C.1D,0

5.

設(shè)a=Je，cLr,6=]e"-'>dz.則()

A.a=bB.a>6

C.a<hD.a,b無法比較

6.

?2

函數(shù)/(%)="一1/的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D,3

7.

Sity=/⑴Mf5)二0,1l北必為/W的(

極大值點(diǎn)

A.

B.極小值點(diǎn)

c.駐點(diǎn)

D拐點(diǎn)

8.

曲線y=的漸近線()

.1--3

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無水平也無垂直漸近線

9.

設(shè)函數(shù)/(x)滿足等式/-了一5丁=0,并且/'(/)=0,/(xo)<O,那么在點(diǎn)!

處，函數(shù)/(%)()

A.不能被判定是否取得極值B.一定不取得極值

C.取得極小值D.取得極大值

設(shè)】im/(t)Jimg(z)均存在，則下列結(jié)論不正確的是

A.+g(x)］存在B.—g(x)］存在

L0

C.J)?g(x)J存在D.lim存在

…g(工)

10.i

11.

由方程孫-siny=1所確定的隱函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)?=(>

dx

x

AA,.-Bo.?rc.y*n-*?x

cosy—ycosy—xx-cosycosx-^

12.

,設(shè)r(w)=i,且/(o)=i.則=()

A.x+CB.■工*+a、+C

2

C.x+x+CD.另2+c

13.

.用待定系數(shù)法求微分方程/一6j+9y=43,的特解時(shí)?應(yīng)設(shè)為()

A.y9=B.3/=q/

C.y9=(ar+b)x2e3xD.5?*=(心+6)e3z

14.

下列級(jí)數(shù)中收斂的是()

B.

15.

zl0\

設(shè)A=°2,則A'=)

10

A.02

30

06

10

08

30

08

極限lim七邛絲的值是

AO$lnrr

17.

用鋼板做成一個(gè)表面積為54m2的有蓋長方體水箱.欲使水箱的容積最大?則水箱的最

大容積為（）

A.18m3

18.

?設(shè)函數(shù)/（I）=「（C-'+?）市.則，（/）=

A.—+-J?B.一C-，+2JC

C.「+JD.+27

z

已知(i)dz=Tsin.r+C.則/(JZ)d.r=

B.j'sin.r2+C

424

C.-J-2sin.r+CD.—xcosx+C

20.

.連續(xù)曲線y=/Q')與直線x==b(a<b)及.r軸圍成的曲邊梯形的面積為

(

A.Jf(jc)dxB.|J/(jr)dj

C.f|fix)|diD.I/(—i)d、T

1

.設(shè)函數(shù)f(x卜(1+2x)\xw0在x=0處連續(xù),jjiija=()o

a,x=0

A.1B.eC.e2D.e2

21.

22.

定積分3j產(chǎn)的值是()

A.2ln~B.!n2-1C.Jln2D.1-ln2

23.

.當(dāng)zf0時(shí).與c-M-1比較是同階而非等價(jià)無窮小的為()

A.-sin.i'B./C.yD.-J-

24.

"1+Inj--

di=()

JiI

A-l32

B.C.yD.e

L0

25.

已知/⑺的一個(gè)原函數(shù)為等.則j=

A.2要+CB.+CC.2—■—+CD.2co'Q+C

6

設(shè)e"是/(x)的一個(gè)原函數(shù),則Jj/(x)dx=()

A.e-x(l-x)+CB.e-(l+x)+C

26Ce-，(x-l)+CD.-e-x(l+x)+C

27.

當(dāng)XT0時(shí)，下列變量中()是無窮小量.

1.

A.xsin-B.-sinxC.ln.x2D.

xx

28.

卜列各式成立的是

A.lim/sin\=1

1

x-0xX7T

尸*亍--------JT

2

-2

z,1?SUIT

(.Inn——D.lim——1

L8X4T才

2

將兩個(gè)球隨機(jī)地投入四盒子中,則后面兩個(gè)盒子中沒有球的概率為()

A.-BC.一D

3-;6-H

29.

30.

設(shè)函數(shù)/(函=e*,g數(shù))=sirtrM+1.則/(g(h(x)))=

A.ex+1sinrB.e5,n<z十】)

C.4QN+1)D.sin(e?+,)

二、填空題(20題)

31.

已知L是拋物線V=?上點(diǎn)0(0.0)與B(1，D之間的一段弧，則［7ds

32函數(shù)八"=.二三的間斷點(diǎn)有

設(shè)f(e')=e2^+5e)則打(嚴(yán))=

復(fù)數(shù)z=-l-i的指數(shù)形式為

-254]

p-275'

0-1—2

設(shè)A=10-3.B,則AB

171

6802

6—9

35.

36.二重積分￡*1號(hào),砂=.

嘉級(jí)數(shù)z7的收斂半徑R=

37.n=lT3

1—2cos.不

rInn-----------

7T

1ffSill(r-T)

38.

寨級(jí)數(shù)苧<P<1）的收斂域?yàn)?/p>

39./—

L為連接（1,0）及（0.1）兩點(diǎn)的直線段，則曲線積分［Gr+.y）ds=

40.八

41.

設(shè)函數(shù)/（x）在區(qū)間（f。,oo）內(nèi)連續(xù)，并且［/（f）由=5/+40,（c為某個(gè)常數(shù)）

5./（X）=，C-.

10

設(shè)A=,則4；=

43.

fsin.r+e2ttr-1.

-------；------,.??：/：n0.

設(shè)./(a)=?"在，=0處連續(xù)，則a=

a?.r=0

已知/(x)=x-￡/(x)dx,則/(x)=_

44.J。

設(shè)函數(shù)f(x)=國立士，則/“(I)=

45.2十①

設(shè)/(.r)=lim(1——\，則/(ln2)=

22

y/a—.rd.r(a>0)

47.J

微分方程idy+ylllyckr=0的通解為

4AoO.1

49.

直「卜r+23-3z-4=:0,

與平面2才一丁一3之+7=0的位置關(guān)系為

，2.r+6y-3=:0

若級(jí)數(shù)之二收斂，則q的取值范圍是

50."=。夕"

三、計(jì)算題（15題）

設(shè)方程arctan±=InJx?確定y是％的函數(shù),求y'.

51.y

52.求微分方程/十y-2y=的通解.

已知y=Insin.r2.求_y

53.

求極限lim彳1-COS+V

54.

55.

已知某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C（g）=lOOO+q+9（單位：元）.其中q為產(chǎn)

量（單位：件）.

求：（1）生產(chǎn)100件產(chǎn)品的總成本;

（2）生產(chǎn)100件產(chǎn)品的平均成本；

（3）從生產(chǎn)100件到200件時(shí)總成本的平均變化率;

（4）產(chǎn)量為100件時(shí)總成本的變化率（邊際成本）.

計(jì)算積分［xlnxdx.

56.

57.

計(jì)算二重積分“IV&rd》,其中D={(x,v)Ix2Iyz<2x,y>0}.

58.

jr=?

設(shè)曲線T=H（￡）,y=1y（￡）.由方程組確定，求該曲線在，=1時(shí)的斜率&.

e'+P=2e

59.

jjr=「+2z—3,

設(shè)函數(shù)）=III參數(shù)方程」所確定?求參數(shù)方程在￡=0處的切線

Lv=e-f

方程和法線方程.

d2

設(shè)z=/(x+y,中)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求z

dxd

60.y

pZ'l+.Q-3.門一14=1?

求線性方程組<311_12—313+4.J=4.的通解.

“1+5.Z2-913—&門=0

61.

求極限lim工—sm”.

62LO/"arcsirtr

求不定積分iarclan/『dx.

63.J

求不定積分］cos(Inz)dlr.

64.

求r也

水Jil(r'+D，

65.

四、證明題(10題)

66.

證明不等式：當(dāng)a>b>e時(shí)，-<lnZ?<^(€^2.71828).

a\nab

證明對(duì)任意］都有z—/<

67.e

68.

設(shè)函數(shù)/(.r)在閉區(qū)間［0.肩上連續(xù)，在開區(qū)間(0.腦內(nèi)可導(dǎo)，證明在開區(qū)間(0.腦內(nèi)至

少存在一點(diǎn)￡，使得fsin$=-f(s)cos&

證明不等式6">兀二

69.

70.

設(shè)/(x)在區(qū)間［0,。］上連續(xù)，證明：「/(x2)dx=2p/(x2)dx.

J-aJ0

71.

已知/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(。)=/(1)=0,試證，在(0,1)內(nèi)至

少存在一點(diǎn)§,使得/'(g)cosg='(Rsin皆成立.

證明當(dāng).r>0時(shí).ln(l+_r)>半警:.

1+a

72.

73.

已知方程工"一工'一d+3=0有一正根HJ1,證明方程118。―7/—372+1=0

必有一個(gè)小于1的正根.

74.

證明：若/(了)y(.r)在上連續(xù).在(”./,)內(nèi)可導(dǎo),且/<?)—f(l>)=0.g(工)#0,

則至少存一點(diǎn)se〈”>)?使蟲(s)+2g?)/(0=g.

75.

已知方程才“一.--V+r=0有一正根r=1.證明方程11八°-716—3./+1=0

必有一個(gè)小于1的正根.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

已知函數(shù)f(x)=J求由y=/(z),x=0,z=l,y=0所圍成圖形繞.r軸旋

轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

某工廠需要圍建一個(gè)面積為64平方米的長方形堆料場.一邊可利用原來的墻壁,而現(xiàn)

有的存磚只夠砌24米長的墻壁,問這些存磚是否足夠圍建此堆料場？

78.

求由曲線外=2,"=/及才=4所圍成的圖形的面積，并求此圖形繞h軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積.

79.

求曲線V=6z與y所圍成圖形的面積.

80.

由曲線》=（才一DQ--2）和二軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為。=200-4p,其中p為價(jià)格，。為需求量，求邊際收入函

數(shù)，以及0=50和100時(shí)的邊際收入，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.

82.

一個(gè)平頂器皿其側(cè)面是鉛直的，且側(cè)面高度為力，現(xiàn)把它內(nèi)部盛滿了水放在水平面上，

一股水流從側(cè)面的小孔水平射出，速度等于J荻，x是小孔距離器皿頂部距離，求x為

何值時(shí)，水射出的距離最遠(yuǎn).

83.

求拋物線產(chǎn)款將圓=8分割后形成的兩部分的面板

Lt

84.

某房地產(chǎn)公司有"50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)月

租金每增加100元時(shí).就會(huì)多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費(fèi)20（）元的維修

費(fèi),試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

85.

已知曲線1y=aG（a>0）與曲線y=In在點(diǎn)（才0，Y））處有公切線?試求：

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)數(shù)。，皿）;

（2）兩曲線與1軸圍成的平面圖形的面積5.

六、綜合題（2題）

86.

設(shè)“⑴=/'（?r,y）d/dy,其中/（1,?）=J求*⑺的

凡《10，其他，

表達(dá)式.

設(shè)/（①）=J|sin/d，，

（1）證明/（工）是以“為周期的周期函數(shù);

⑵求/（z）的值域.

參考答案

1.B

【精析】因?yàn)椋╟os/）"=cos（f+詈）.

則（<?05彳）"'"6'=cos/J'+6K）=cos（xioQ8n）=cosz,故應(yīng)選B.

2.B

3.B

【精析】lim----=—1,lim----=lim----=1，故應(yīng)選B.

7-7

-o-3；+1LO+3+1-。+1+3

4.C

C

【評(píng)注】根據(jù)連續(xù)定義，可知極限值=函數(shù)值，lime2x=l=lim(a+x)=a,所以

10-XTO+

a=1.

5.A

【精析】b=fe11J,：：dx-l—---Pe^dd-u)=-「￡d”=「e，d〃=a.

JoJIJ1Jo

故應(yīng)選A.

6.C

C

【評(píng)注】,(x)=i—白，x=i為駐點(diǎn);x=0為不可導(dǎo)點(diǎn)，函數(shù)/(x)在x=l與x=0

處左右單調(diào)性均改變，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

7.C

若f5)=0,則7=io必為/(1)的駐點(diǎn)，故應(yīng)選C

8.B

【精析】lim2：+J=0.limY+［=8.

j1-3x.±73x—3

所以.y=0是水平漸近線=±G是垂直漸近線?故應(yīng)選B.

9.D

【評(píng)注】因?yàn)閥"(Xo)=y(Xo)+5y(Xo)=O+5y(Xo)<O,所以/(天)為極大值.

［答案］D

【解析】若Kmy(z)-0,則留不存在?

10.DiIy(幻

11.B

B

【評(píng)注】本題考查由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)可得

dydydyy

y+X'-■一cosy--=n0,—=------x.

dxdxdxcosy

12.B

［答案1B

【精析】由/'(1)=1,/(0)=1可知/(.r)=.r+1.所以］/(x)d.r=".r+1)d.r=

-j-x2+.r+C.應(yīng)選B.

13.C

【精析】因?yàn)?I=3是特征方程的二重根..r是一次多項(xiàng)式，

所以應(yīng)設(shè)為=/(以*+〃)e",故應(yīng)選C.

14.B

【評(píng)注】的一般項(xiàng)々?與之2”的一般項(xiàng)2"在〃T8時(shí)都趨于無窮大，根據(jù)級(jí)

n=l九九n?*l

數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，其一般項(xiàng)必趨于零，可知用與之2”都是發(fā)散的;

Z”nsl

調(diào)和級(jí)數(shù)為1很顯然是發(fā)散的；級(jí)數(shù)是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，不妨令“?表示其一般項(xiàng),

el〃n=\3

(〃+1)22

則lin田?==魚型=,<1,根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，該級(jí)數(shù)

f…〃皿3n3

r

必定收斂，所以選B.

15.C

【精析】方法一

fl01rl0]fl

A?=[o2][o2]=[0

方法二

3

rl0、rl0、

A3=

02308

16.A

17.B

【精析】設(shè)水箱的長、寬、高分別為w..v?之.則有2.<y+2yz+2xz=54,即xy+yz+

JCZ=27.體積V=xyz.令FQ',.y,N)=xyz+Myy+產(chǎn)+m—27),

Fr=a+Xy+n)=0，

Fv=xz+A(.z+Z)=0,

令＜解得］=3?y=3,之=3?

Fz=xyX(y+a)=0.

FA=xy+yz+xz—27=0,

由于駐點(diǎn)（3.3.3）唯一.實(shí)際中確有最大值.故當(dāng)、r=3,y=3,之=3時(shí)長方體體積最

大,最大值V=27.故應(yīng)選B.

-,2zJ

18C/'(］)=(r(e+z)d/)=c-+./?故應(yīng)選C.

［答案］C

【精析】J/(u2)dj=1f(j2)dj'=-1-j2sinj*+C.

19.C*"J

20.C

［答案］c

【精析】由定積分的幾何意義知.曲邊梯形的面積為「I/(1)Id.r.故應(yīng)選C.

Ja

21.C

22.D

【精析】￡if#=［；(1一出產(chǎn)=LrTn(l+切|：=1-1迅

23ca，f0時(shí)，J皿-1---tarur?一%?故應(yīng)選C.

24.A

*<■(1—InrV，R

【精析】原式=(l+lmr)d(l+lm-)=U=5，故應(yīng)選A.

JiLiL

25.C

【精析】[?.(石)必=2上(6)d(6)=2空泮+C.故應(yīng)選C.

26.B

B【評(píng)注】記尸(x)=e-，由題意代入不定積分]4"(為心得

|xf(x)dx=jxdF(x)=xF(x)-jF(x)dx=xe-Jt-je-1d.r=(x+l)e-J,+C?故選B.

A

27.A【評(píng)注】本題考查的是在xfO時(shí)，哪個(gè)函數(shù)的極限為0.

28.B

【精析】因?yàn)閘im」"2lim$電1.故應(yīng)選B.

X7TEt

而lini/sin—=0,limu.lim辿3.故A、C、D錯(cuò)誤.

XLEx「吟丁天

29.B

30.B

L答案」B

【精析】y(g(/K.r)))/(g(.r?!))/(sin(.r2ID)產(chǎn)-L故應(yīng)選B.

31.

^(575-1)

【精析】由題意得，

[xds=]工/I(2工產(chǎn)業(yè)=|x-/1+4Xsd.r=1f4j-)7|=-^(5V5—1).

32.

I1=—1,4=3

【精析】由于/(])=-J91―7=7~~；、/1----lim/(.r)=8?lim/(i)=8,

I?-2z-3(1+1)(1—3))—i/?3

故①】=—=3為/(])的兩個(gè)間斷點(diǎn).

33.

21nl5

jrx

由/(ez)=(er)2+5(eD知f(x)=+5z,故/(lor)=ln%+51n_r,所以

絲轡=(〃ln/))'=陋+2

34.

［答案1烝飛

【精析】由r==&父=一上知5-1一i的指數(shù)形式為工=瓜

35.

2196-22

-101535

—434—10

2196-22

［答案二-101535

—134-10

5I

3—22196-22

-1-2

【精析】AB=10-101535

71

68-434-10

6-9

36.

8

1【評(píng)注】￡dx^Ay3dy=￡ixdx=i.

37.

3

38.

2.'叵

【精析】lim1—=lim———=—=B

一當(dāng)八:一/._兀\一鳥一/____71\

39.

[-14)

1

【評(píng)注】因?yàn)镽=linj巴J=limY—=lin(l+LY=l，又當(dāng)x=l時(shí)，級(jí)數(shù)為

n~^cin~^x>1"-??[n)

t(?+ir

汐

<041)發(fā)散，當(dāng)x=-l時(shí)，級(jí)數(shù)為(0</?<1),這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),

其通項(xiàng)以單調(diào)減少且lim〃“=O,級(jí)數(shù)收斂，綜上，堀級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1,1).

/I-KO

40.

42

【精析】由題知，直線〕.的方程為》=

I"(工+30ds=fFx+(1—Jr)J+(—1Md彳=f-J2dx=伍

JLJOJo

41.

157,-2

【評(píng)注】方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得/(X)=15X2,代入原方程得

jX15r2d/=5x3+40?或=5/+40,即5必一5c?=5/+40.解得c=-2.

42.

10

08

［答案］

【精析】

43.

一1

［答案1-1

【精析】/(z)在工=0處連續(xù),則lim由比+>3-1=/(O).Hpiim―1

JT-?OjrJT

lim-!lr+lim------=1+2a=aa=-1.

x-*Ox

8

9

【精析】J(工)=ln(2—/)—ln(2+i)，(I)=---—,則/'(.r)=———+

2-①2+i(2-x)2

i㈣】—/=㈣1-,故/(ln2)=1.

47.

4

【精析】設(shè)1=asin/.則=ucos/d/,

x/a2—.r2da'=?2cos2/d/=—(cos2z+l)d/

￡JOL-o

或根據(jù)定積分的幾何意義可知

￡4L=衿=產(chǎn)

48.

川n)，=C(C為任意常數(shù))

［答案］.i\ny=C(C為任意常數(shù))

【精析】由Ndy+yln1ydz=0,得—dy=—^<Lr.而InInv|+ln工|=In||,即rlny

=C.C為任意常數(shù).

49.平行

［答案］平行

ijk

【精析】直線的方向向量S=12—3=18i+6j+10A=(18.6.10).已知平

-260

面的法向量為n=(2?—1?一3),則s?n=18X2+6X(—1)+10X(—3)=0.故

Q

已知直線與平面平行或在平面內(nèi),又可求得(一5?。，一日)為直線上一點(diǎn),代人平面

方程得.2-/-1)-0-3?/-^)+7=竽N0.故直線與平面平行但不在平面內(nèi).

50.

當(dāng)4W0時(shí)，|夕|>1;當(dāng)4=0時(shí)，夕可取任意非零實(shí)數(shù).

【評(píng)注】當(dāng)awO時(shí)，等比級(jí)數(shù)的公比毋<1時(shí)收斂，即時(shí)>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)。=0

時(shí)，夕取任意非零實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)都收斂，和為0.

51.

解：方程化為arctan'=LlnQ2+y2),兩邊對(duì)％求導(dǎo)數(shù)，得

y2

1l-y-x-y'11any~xyrX+yyf4

?(2X+2R)，即入7=得s

x2y22x2+y2

t1+—

y

y-xy'^x+yy',解得y=

y+x

52.

【精析】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+r-2=0,

特征根為

rx=-2,r2=1,

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=Ge%+。浮"

入=-2是特征單根，故設(shè)原方程的特解為V=Are-",

?

(寸)'=(A-2Ar)ef?()?)”=(-4A+4Ar)e-S

代人原方程得A=-J,

即原方程的一個(gè)特解為曠=-4工。好，

從而原方程的通解為y=GeT'+Ge，-[ze

53.

y'=2?cos12?2x=2.rcotj-2.則

54.

1

sin一

7

55.

【精析】(1)C(1OO)1000+1004=2100(元)；

1000I100!

(2)C(100)=------前一9=瑞=21(元/件)；

(3)當(dāng)產(chǎn)量從10()件到200件時(shí)總成本的平均變化率為

9()()2/10()2

八/1000；200?三絲、一/1000I100!

X[1())[1。

31（元件）：

由100

（1）當(dāng)產(chǎn)量為100件時(shí).總成本的變化率為

C'(IOO)1■21(元).

56.

e(X2>

解:xlnxdx=jInxd一Inx+瞪d(lnx)

1I2,

57.

【精析】積分區(qū)域如圖所示,

j-d/dyrdr

[)

=式cos'Ock?

=北<1—sin?d)d(sin5)

16

58.

dx

【精析】

d7

ef

0=>上=一旦

d/2e—e'

協(xié)

_

d山

i=________1________

d石

(2e-e')(z+1)

d7

所以A=半=二

dLr-Ze

59.

【精析】竄=2,+2*=-e，.

d-v

山

所/

以

y-石

2tI2

_—

d/

當(dāng)r=0時(shí)，工=—3.y=1=—

cLrr-oL

所以切線方程為=一/(Z+3).即工+2?+1=0.

法線方程為3—1=2(1+3),即2工一3+7=0.

60.

解：令”=%+歹#=號(hào)，竽=￡+以，

OX

2

dz=兀+五+加+必乜=(+(*+必+江+￡?

dxdy

61.

11一i1

增廣矩陣B3-1-344

15—9-80

?(,§J°

1)---------------------------------

241

()1,-3-7-1

244

00000

~2_7T

.T2371

也即=<1~2T1T?其中CLQ為任意常數(shù)

100

門，

010

62.

【精析】令々=，,則1=t2，di=2tdt.

r,「心

原式=arctant?d產(chǎn)=/arctant--------7d/

JJ1~Zw

=Z2arctanZ-J11,口

=arctan/-[山+]]:產(chǎn)山

=farctanf-1+arctan/+C<

*

將f=6代入得arctan/7dz=jrarctan\fx~\fx+arctan-Zz+C.

64.

【精析】設(shè)"=cos(lnx)9v=x>dv=<lr,則利用分部積分法得

卜。

s(lnx)d*=xcos(lnx)+?sin(lnx)?—cLx

x

=1cos(Iru)+Jsin(lnx)djr

=xcos(lnx)+^xsin(lnx)—Jcos(lnx)dx]?

故cos(lrtr)&r=yCcos(ln.r)+sin(lrtr)]+C.

65.

【精析】原式二

2J1.r-(x-+1)

小幣廣

=-1ln|=|ln2.

66.

證明：設(shè)/(X)=xlnx,xE(?,+oo)，則ff(x)=l+ln.r>0,xe3+oc),

所以/(x)=xlnx在ve(e,?c)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)當(dāng)a>b>e時(shí)，有

/(a)>/(Z>).gpaIna>blnb,即

Inab

令g(x)=——,xe(旦+/)，則g(.r)=——<0,XG(e?-^o),

XX

Inx

所以g(x)二.在xe(e,Ts)上單調(diào)遞減，從而當(dāng)當(dāng)a>b>e時(shí),有

x

⑺InaInZ)，一bInb

f(a)</。),即---<—，從而一<--.

abaIn?

綜上所述:當(dāng)a>6>e時(shí)，有

amab

67.

【證明】令尸g—由FU=1+21=°得唯一駐點(diǎn).「=+.且

r(J)=2>0.F(l)=±-l+l=±_±>0,

所以F傳)為函數(shù)F(k)的最小值,故對(duì)任意①都有F(.r),F伐)=十一｝>0,即

--x+.r2>0,

C

即.r一±,

e

68.

【證明】令F(J)=/(jr)sinjr?

則F(0)=/(O)sinO=0=/'(7t)sin7r=F、(ir),

且F(.r)在[0.4上連續(xù).在(O,K)內(nèi)可導(dǎo).

由羅爾定理知?在(Of)內(nèi)至少存在一點(diǎn)。使得尸'(9=0.

即/"(g)sin￡=—/(c)cos^.

69.

【證明】兩邊取對(duì)數(shù)，并將7T換為八得輔助函數(shù).

設(shè)f(x)=elnj--/Z(T)=——1.

X

當(dāng)1>e時(shí),f(JC)V0.則/(T)在[e,+8)時(shí)單調(diào)減小,

/(T)</(e)=0,取才=兀>e,/(7t)V0.

即7Te<e".

70.

【證明】「/(x2)dx=f°f(z2)dz+p/(a-2)dx,

J-aJ-aJ0

令.r=-t.則

rororo

f(.x2)dx=/[(—f)2]d(—t)=—f(t2)dr

J-uJaJa

=/(Z2)dz=f(x2)djr.

JoJo

則f(x2)dx=f(x2)dx-\-ff(x2)dx=2/(jr2)dx.

證明：令尸(x)=/(x)cosx,尸'(%)=/r(x)cosx-/(x)sinx

因?yàn)?(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，所以尸(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),

又因?yàn)?(。)=/(1)=0,所以尸(0)=尸(1)=0

由羅爾定理，在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4,使得尸'記)=0,

%)cos1⑥sin4=0,即/'⑥cosg=/⑥sin&.

72.

.【精析】令F(_r)=(1+_r)ln(l+x)—arctan.r，/、。，顯然尸裊)在［0.+8)內(nèi)連

續(xù).且z>0時(shí)

1