學案1：高中數(shù)學人教A版2019必修 第一冊 函數(shù)的表示法

3.1.2函數(shù)的表示法

【學習目標】

課程標準學科素養(yǎng)

1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.1、數(shù)形結(jié)合

2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法（重點、難點）.2、數(shù)學運算

3.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù).3、直觀想象

4.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì)（重點）.

【自主學習】

1.函數(shù)的三種表示方法

表示法定義

解析法用——表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

圖象法用——表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

列表法列出——來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

注意：同一個函數(shù)可以用不同的方法表示.

2.分段函數(shù)

（1）分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的的

函數(shù).

（2）分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的;各段函

數(shù)的定義域的交集是-

注意：（1）分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).

（2）分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的.（3）分段函數(shù)的圖象要分段來畫.

【小試牛刀】

判斷正誤（正確的打y”，錯誤的打“X”）

（1）任何一個函數(shù)都可以用列表法表示.（）

（2）任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.（）

（3）函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線.（）

（4）函數(shù)而c）=2x+l可以用列表法表示.（）

⑸分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成.（）

1

x+LX<1,

（6）函數(shù)於）={是分段函數(shù).（）

、x~\3f%>2,

⑺分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的.（）

X-l,X>1,

（8）y=|x—l|與是同一函數(shù).（）

、1Xy%<19

【經(jīng)典例題】

題型一函數(shù)的表示法

注意：（1）列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿

足函數(shù)的概念.（2）在實際操作中，仍以解析法為主.

例1公司生產(chǎn)了10臺機器，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，

分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.

注意：把自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系分別用表格、圖象和數(shù)學表達式加以刻畫.

［跟蹤訓練］1已知函數(shù)而以g（x）分別由下表給出

X123

211

g(x)321

(1求g(3))=__________(2)若g(f(x))=2,則x=.

2

題型二函數(shù)圖象的畫法及其應(yīng)用

注意：作函數(shù)圖象的步驟及注意點

(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線.作圖象時應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域

內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象.

(2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖象與

坐標軸的交點、區(qū)間端點、二次函數(shù)的頂點等等.

例2作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.

2

(1)〉=：,x￡[2,+co)；

(2)y=x1+2x,元￡[—2,2].

注意：通過“列表一描點一連線”作出函數(shù)圖象，借助圖象求出函數(shù)值域.

[跟蹤訓練]2畫出下列函數(shù)的圖象:

(l)y=x+l(左0)；

(2)y=A2_2x(x>1或]<—1).

3

題型三分段函數(shù)求值

注意：(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解.對

于含有多層'了’的問題，要按照“由內(nèi)至矽卜”的順序，逐層處理.

(2)已知函數(shù)值，求自變量的值時，要先將爐，脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解.

(3)求解函數(shù)值得的不等式時，直接轉(zhuǎn)化為不等式求解，也可通過圖象。

「1

一，

1+xx>l,

例3已知函數(shù)/(x)=f+i,—上爛1,

、2冗+3,x<-1.

⑴求用區(qū)—2)))的值；

3

(2)若/a)=］,求a.

注意：根據(jù)自變量取值范圍代入對應(yīng)解析式求值.

x2,—1<%<1,

［跟蹤訓練］3已知人x)=,-

X>1或X<—1.

⑴畫出Hx)的圖象；

(2)若人外耳，求x的取值范圍；

(3)求/%)的值域.

4

題型四求函數(shù)解析式

方法：(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解

析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式.

(2)已知五g(x))=/z(x),求火工)，常用的有兩種方法：

①換元法，即令/=g(x),解出x,代入/z(x)中，得到一個含/的解析式，即為函數(shù)解析式，注

意：換元后新元的范圍.

②配湊法，即從4g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示/z(x),然后將解析式中的g(x)

用X代替即可.

(3)方程組法：已知關(guān)于次x)與或八一x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式

組成方程組，通過解方程組求出犬x).

例4(1)已知函數(shù)於)是一次函數(shù)，若/|?］=4x+8,求於)的解析式.

(2)已知火幻是二次函數(shù)且滿足汽0)=1,>+1)-?=2%,則函數(shù)人勸的解析式為.

［跟蹤訓練］4

(1)已知於)是一次函數(shù)，且用⑺)=16L25,則函數(shù)於)的解析式為

(2)已知五x)是二次函數(shù)，且滿足汽0)=1,>+1)-?=2%,求人為的解析式。

5

例5已知函數(shù)46+1)=尤+2/+1,求Hx)的解析式;

［跟蹤訓練］5

(1)已知於+l)=f—3x+2,求火x).

(2)jg+l)=±—1，求火x)的解析式。

例6(1)已知函數(shù)凡x)滿足W)+/td=3x,求人助的解析式.

(2)已知?x)+紈-x)=f+2x,求於).

［跟蹤訓練］6?-2/(-x)=9x+2,求段)的解析式。

6

【當堂達標】

N+l,X<1,

1.設(shè)函數(shù)於)=2?則歡3)]=()

一，x>l,

〔X

1213

A.gB.3C.2D.g

2.y與x成反比，且當x=2時，y=l,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()

11

A./y=~xB.y=_x—

3.已知人》-l)=f+4x—5,則人為的表達式是()

A；/(X)=X2+6XBy(x)=f+8x+7

C.?=^+2x-3D；/(X)=X2+6X—10

_x+1,X<1,

4.已知函數(shù)人x)=J,,若y(x)=—3,則x=.

、1一廠?，X>1,

ri

~^x—1,x>0,

5.設(shè)函數(shù)汽x)=<[若汽a)>l,則實數(shù)a的取值范圍是

一，

lxx<0,

6、作出函數(shù)y=;c+l(xez)的圖象:

7.已知函數(shù)加c)=f—2x(—1W爛2).

(1)畫出次x)圖象的簡圖；

⑵根據(jù)圖象寫出火x)的值域.

7

8.已知y（x）=x+Z?,y（以+l）=3x+2,求。，6的值.

9.已知函數(shù)Hx)=4a,〃為常數(shù)，且存0)滿足火2)=1,且＞(x)=x有唯一解，求函數(shù)y=

式x)的解析式和州-3)］的值.

8

【參考答案】

【自主學習】

1、數(shù)學表達式圖象表格

2、對應(yīng)關(guān)系并集空集

【小試牛刀】

(l)x如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集，則該函數(shù)就不能用列表法表示;

一1,XGQ,

(2)x有些函數(shù)的是不能畫出圖象的，如火x)=《，/八

〔一1,X?CRQ；

(3)x反例：五x)=:的圖象就不是連續(xù)的曲線.

Ji

(4)x該函數(shù)是連續(xù)的，則該函數(shù)就不能用列表法表示。

(5)x分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).

(6)7對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)

(7)7定義域不連續(xù)，圖像不連續(xù)

(8)7定義域和對應(yīng)關(guān)系相同

【經(jīng)典例題】

例1①列表法

x(臺)12345

y(元)3000600090001200015000

x(臺)678910

y(元)1800021000240002700030000

②圖象法：如圖所示.

y/元

30000?

*

**

*

*

*

*

3000?

~O110外

③解析法：y=3000x,{1,2,3,…，10).

［跟蹤訓練］1(1)2(2)1

解析(1)由表知g(3)=l,...H以3))=汽1)=2；

⑵由表知g(2)=2,又g(/(x))=2,得火x)=2,再由表知x=l.

9

例2⑴列表:

X2345

212

1

y325

2

畫圖象，當［2,+s）時，圖象是反比例函數(shù)的一部分（圖1）,觀察圖象可知其值域為

Ji

口二

（2）列表:

X-2-1012

y0-1038

畫圖象，圖象是拋物線y=/+2x在一2M2之間的部分（圖2）.由圖可得函數(shù)的值域是［—1,8］.

［跟蹤訓練］2解（l）y=x+l（爛0）表示一條射線，圖象如圖（1）.

（2）y=jr—2x~（x—I）2—l（x>l或x<—1）是拋物線—2x去掉一1W左1之間的部分后剩余曲

線.如圖（2）.

例3[解](1)V-S<-1,.-.X-2)=2x(-2)+3=-l,.\/[/(-2)]=/-1)=2,

,13

fi2)=l+-=-

13

⑵當。>1時，火。)=1+,=]，.?.〃=2>1；

3\[2

當一時，/(〃)=〃2+1=/,，〃=±為-￡[—1,1]；

33

當〃<—1時，fia)=2a+3=2,，。=一7一1(舍去).

10

5

綜上，。=2或。=±

［跟蹤訓練］3［解］⑴利用描點法，作出外）的圖象，如圖所示.

/〉

（2）由于｛士;）=:,結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使於g的x的取值范圍是（一co,—；U+co）.

（3）由圖象知，當一1M1時，_Ax）=f的值域為［0,1］；當尤＞1或x＜—1時，於）=1.

所以外）的值域為［0,1］.

例4解（1）設(shè)而0=奴+。（存0）,則歡切=/（?+。）=。（依+。）+6=。2左+時+尻

又/［A］）］=4X+8,/.6Z2X+^Z?+Z?=4X+8,

a=2,

/=4,解得18〃=一2,

即或＜

ub~\~。=8,[b=rb=~S.

8

=2x+§或fix)=—2x—8.

(2)設(shè)於)=o?+bx+c(aW0),由式0)=1得c=l,則汽%)=加+笈+1,J(x+l)-fix)=[a(x

+1)2+Z?(x+1)+1]—(ox2+Zzx+l)=2ax~\~a~\~b=2x.

2a=2,

故得彳八解得a=l,b=~l故得"x)=f—x+1.

3十。=0,9

[跟蹤訓練]4解⑴設(shè)兀i)=區(qū)+優(yōu)厚0),則用(%))=如&+。)+6=爐工+始+。=16%—25,所以

左=16,?525

\一7解得左=4,b=—5或女=-4,b=-^,所以火%)=4%—5或危)=—4x+w~.

kb~~rb25,''

(12)設(shè)段)=〃x2+fcc+c(ar0)，Vy(0)=l,：.c=l,

.*.y(x+1)—/(%)=〃(％++b(x+1)-\-c-(ax1bx-\-c)=2ax~\-a~\-b.yLl)—fix)=2x,

2〃=2,〃=1,

，於)：%2—%+i.

a-\~b=Q.[Z?=—1.

例5解配湊法：l)=x+2^/x+l=(y[x+1)2,

11

.7/0)=/.又也+1之1,.,./X)=%2(%>1).

換元法：令看出+1,貝U龍=(/一1)2.由于xM,所以侖1.

代入原式有/0=(/—1)2+2(7—1)+1=於，所以?x)=/(xNl).

［跟蹤訓練］5解(1)配湊法：,.7Cx+l)=%2—3x+2=(x+l)2—5x+l=(x+1)2—5。+1)+6,

，於)=%2—5x+6.

換元法：令f=x+l,則x=f—1,I)2—3(/—1)+2=/2—5r+6,即於)=——5x+6.

(2)E+1)=&+1>—2(：+1),所以<x)=/—2x.

因為當0，所以;+屏1,所以2x(#l).

人Ji

例6解(1).??〃>)+《j=3x,①...將x用;替換，得41)+兀0=|，②

如)+￡)=3x,11

聯(lián)立①②得1八、。解得人x)=2x—二(存0),即夫x)的解析式是y(x)=2x—二(存0).

(2)；Xx)+紈-x)=d+2x,①.,.將x換成一x,得五一x)+?x)=f—2x.②

由①②得3/(%)一6x,，於)=$一2X.

Ax)-2/(-x)=9%+2,

［跟蹤訓練］6解由條件知，五一x)—紈x)=—9x+2,貝噌、乂、八人

1/(—x)—紈x)=—9x十2,

解得人x)=3x—2.

【當堂達標】

2⑵21=Z13

LD［解析］..7(3)=鏟1,?W3)］=|<3j+T-

kk?

2.C［解析］設(shè)_yJ=in當x=24時，y—1,所以乂1=5，得％=2.故y=;：.

3.A解析法一*設(shè)%=%—1,貝!J%=%+1.?.?於-l)=f+4x—5

1)2+4。+1)—5=於+6