2019-2020學年廣東省深圳市南山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

2019-2020學年廣東省深圳市南山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）下列各數(shù)中，最小的是（）

A.0B.2C.-72D.-5/3

2.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角直角

三角形的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.9、14、15D.12、16、20

3.（3分）（2019?長沙）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學的成

績各不相同，按照成績取前5名進入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能

否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

4.（3分）（2019秋?建平縣期末）在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是（3,4）,點P

與點。關于y軸對稱，則點。的坐標是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（-3,-4）

5.（3分）（2020?五華區(qū)校級一模）估算加7+2的值是在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

6.（3分）（2018?常德）若一次函數(shù)y=（A-2）x+l的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

7.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖，直線a,人被直線c所截，下列條件中，不能判定

a//b的是（）

a

X

A.N2=N5B.Z1=Z3C.Z5=Z4D.Zl+Z5=180°

8.（3分）（2019秋?大田縣期末）如圖，AB=4C,則數(shù)軸上點C所表示的數(shù)為（）

,人5」

-2-101C23’

A.Vs+lB.V5-1C.-Vs+lD.-V5-1

9.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）兩條直線yi=or-8與”=bx-。在同一坐標系中的圖象

可能是圖中的（）

10.（3分）（2019秋?永安市期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線A：y=x+3與直線/2：

交于點A（-1,b），則關于x、y的方程組］產(chǎn)'+3的解為（）

12.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖①，在正方形ABCO中，點P沿邊D4從點。開始

向點A以lcm/s的速度移動，同時點Q沿邊AB,BC從點A開始向點C以2cMs的速度

移動，當點P移動到點A時，P、。同時停止移動.設點P出發(fā)x秒時，△%。的面積

為"川，y與x的函數(shù)圖象如圖②，則下列四個結論，其中正確的有（）

①當點尸移動到點A時，點。移動到點C

②正方形邊長為6cm

③當4P=4。時，△以。面積達到最大值

④線段EF所在的直線對應的函數(shù)關系式為y=-3x+18

二、填空題（每小題3分，共12分）

13.（3分）（2020?貴州三模）亞的平方根是.

14.（3分）（2020春?瑞安市期末）甲、乙兩人各進行10次射擊比賽，平均成績均為9環(huán)，

方差分別是：S甲2=2,S乙2=%則射擊成績較穩(wěn)定的是（選填“甲”或“乙”）.

15.（3分）（2008?臨沂）已知x、y滿足方程組則的值為_______.

{x+2y=4

16.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖,放置的△OABi,△B1A1B2,△BM2B3,…都是邊

長為2的等邊三角形，邊40在），軸上，點Bi、82、83…都在直線y=&上，則點A2019

17.（7分）（2019秋?南山區(qū)期末）計算:

⑵％返._4加

Vs

（3）（V3-2）（后2）-|3^^--n°|-（-->''

3

18.（6分）（2019秋?南山區(qū)期末）解下列方程：

⑴-x-y=30

（x-2y=-10

三二1

（2）34.

,3x-4y=2

19.（6分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖，已知點D,E分別是△ABC的邊BA和BC延長線

上的點，作ND4c的平分線AF,若AF〃BC.

（1）求證：△A8C是等腰三角形；

（2）作NACE的平分線交4尸于點G,若NB=40°,求/AGC的度數(shù).

D

20.（6分）（2019?雙流區(qū)模擬）為了提高學生閱讀能力，我區(qū)某校倡議八年級學生利用雙

休日加強課外閱讀，為了解同學們閱讀的情況，學校隨機抽查了部分同學周末閱讀時間，

并且得到數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）將條形統(tǒng)計圖補充完整；被調查的學生周末閱讀時間眾數(shù)是小時，中位數(shù)

是小時；

（2）計算被調查學生閱讀時間的平均數(shù)；

（3）該校八年級共有500人，試估計周末閱讀時間不低于1.5小時的人數(shù).

21.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）某水果店11月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元，

其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克.12月份，這兩種水果的進價上調為：甲

種水果10元/千克，乙種水果20元/千克.

（1）若該店12月份購進這兩種水果的數(shù)量與11月份都相同，將多支付貨款300元，求

該店11月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克？

（2）若12月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克，設購進甲種水果“千克，需要

支付的貨款為卬元，求卬與a的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下，若甲種水果不超過90千克，則12月份該店需要支付這兩種水

果的貨款最少應是多少元？

22.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平

方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點.

?特例感知

①等腰直角三角形勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?/p>

②如圖1,已知△48C為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，是AB邊上的高.若

BD=2AD=2,試求線段CO的長度.

■深入探究

如圖2,已知aABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA>CB,CO是AB邊上的

高.試探究線段4。與的數(shù)量關系，并給予證明；

?推廣應用

如圖3,等腰4ABC為勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CO為AB邊上的高，過點。

向8c邊引平行線與AC邊交于點E.若CE=a,試求線段OE的長度.

23.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖（1）,在平面直角坐標系中，直線），=-殳計4交坐

3

標軸于A、8兩點，過點。（-4,0）作CO交48于。，交y軸于點且△COEd

BOA.

圖(1)圖⑵

(1)求8點坐標為；線段0A的長為；

(2)確定直線CD解析式，求出點。坐標；

(3)如圖2,點M是線段CE上一動點(不與點C、￡重合)，0NL0M交AB于點N,

連接MM

①點M移動過程中，線段0M與0N數(shù)量關系是否不變，并證明；

②當△0MN面積最小時，求點M的坐標和面積.

2019-2020學年廣東省深圳市南山區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）下列各數(shù)中，最小的是（）

A.0B.2C.-A/2D.-V3

【考點】22：算術平方根；2A：實數(shù)大小比較.

【專題】511：實數(shù)；61：數(shù)感.

【分析】正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值

大的反而小，據(jù)此判斷即可.

【解答】解：：-73<-V2<0<2,

.?.所給的各數(shù)中，最小的數(shù)是-我.

故選：D.

【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確:

正實數(shù)>0>負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.

2.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角直角

三角形的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.9、14、15D.12、16、20

【考點】KS：勾股定理的逆定理.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；68：模型思想.

【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【解答】解：A、32+42=52,能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

B、52+122=132,能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

C、92+142^152,不能組成直角三角形，故此選項符合題意；

D,122+162=202,能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角

形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

3.（3分）（2019?長沙）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，II名參賽同學的成

績各不相同，按照成績取前5名進入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能

否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【考點】WA：統(tǒng)計量的選擇.

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】由于比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，根據(jù)中位數(shù)的意義分析即可.

【解答】解：11個不同的成績按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有6個數(shù)，

故只要知道自己的成績和中位數(shù)就可以知道是否進入決賽了.

故選：B.

【點評】本題考查了中位數(shù)意義.解題的關鍵是正確的求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

4.（3分）（2019秋?建平縣期末）在平面直角坐標系中，已知點尸的坐標是（3,4）,點P

與點。關于y軸對稱，則點。的坐標是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（-3,-4）

【考點】P5：關于x軸、y軸對稱的點的坐標.

【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案.

【解答】解：由題意，得

點P的坐標是（3,4）,點P與點。關于），軸對稱，則點。的坐標是（-3,4）,

故選：B.

【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標

規(guī)律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的點，縱坐

標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

5.（3分）（2020?五華區(qū)校級一模）估算加7+2的值是在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【考點】2B：估算無理數(shù)的大小.

【專題】1：常規(guī)題型.

【分析】首先得出揚的取值范圍，進而得出答案.

【解答】解：：每

-'-5<V27<6'

???&V+2的值是在：7和8之間.

故選：C.

【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出最接近的有理數(shù)是解題關鍵.

6.（3分）（2018?常德）若一次函數(shù)y=（Z-2）x+l的函數(shù)值），隨x的增大而增大，則（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<G

【考點】F5：一次函數(shù)的性質.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質，可得答案.

【解答】解：由題意，得

h2>0,

解得”>2,

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質，），=入+4當人>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大.

7.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖，直線”，。被直線c所截，下列條件中，不能判定

a//h的是（）

A.N2=/5B.Z1-Z3C./5=/4D.Nl+/5=180°

【考點】J9：平行線的判定.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：；/2=/5,

：.a//b,

VZ4=Z5,

:.allb.

VZl+Z5=180°,

：.a//bf

故選：B.

【點評】本題考查平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.（3分）（2019秋?大田縣期末）如圖，AB=AC,則數(shù)軸上點C所表示的數(shù)為（)

C.-V^+iD.-V5-1

【分析】根據(jù)勾股定理列式求出4B的長，即為AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上的點的表示解答.

【解答】解：由勾股定理得，AB=6%?=遍,

???點A表示的數(shù)是-1,

點C表示的數(shù)是依-1.

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，是基礎題，熟記定理并求出4B的長是解題

的關鍵.

9.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）兩條直線yi=or-/?與*=6x-“在同一坐標系中的圖象

可能是圖中的（）

【考點】F3：一次函數(shù)的圖象.

【專題】532：函數(shù)及其圖像；67：推理能力.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質加以分析即可，一次項系數(shù)決定直線的走向，常數(shù)項

決定直線與y軸的交點位置.

【解答】解：根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質分析如下：

A.y\=ax-h：a>0,bVO；yi=hx-a：〃V0,h<0.A錯誤；

B.y\=ax-b：4>0,Z?<0；yi=bx-a：a>0,Z?<0.B正確；

C.yi=(7x-b：a>0,Z?>0；yi—bx-a：a<0,b<0.C錯誤；

D.y\—ax-b：a>0,b>0；yi—bx-a-.a>0.b<0.。錯誤;

故選：B.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質，需要注意的是，一般情況下一次函數(shù)解

析式往往是），=履+6的形式，而在本題中是類似于尸=丘-6的形式，因此，在判斷兩個

一次函數(shù)解析式中常數(shù)項的正負性時需多加注意.熟練掌握一次函數(shù)圖象與性質是解決

此類問題的關鍵.

10.（3分）（2019秋?永安市期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線/”）=x+3與直線/2：

y=,nr+〃交于點A（-1,b）,則關于x、y的方程組［丫=>+3的解為（）

【考點】FE：一次函數(shù)與二元一次方程（組）.

【分析】首先將點A的橫坐標代入），=x+3求得其縱坐標，然后即可確定方程組的解.

【解答】解：,直線/i：y=x+3與直線/2：y="?x+"交于點4（-1,b）,

，當冗=-1時，b=-1+3=2,

，點A的坐標為（-1,2）,

...關于X、y的方程組產(chǎn)X+3的解是［x=-l,

ty=mx+n［y=2

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識，解題的關鍵是了解方程組的解

與函數(shù)圖象的交點坐標的關系.

11.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖，把aABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示.若

NA=60°,Zl=85°,則N2的度數(shù)為()

B'

'E

-------------

A.24°B.25°C.30°D.35°

【考點】K7：三角形內角和定理；PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】首先根據(jù)三角形內角和定理可得//^尸+/4戶為=120°,再根據(jù)鄰補角的性質可

得NFEB+NEFC=360°-120°=240°,再根據(jù)由折疊可得：ZB'EF+ZEFC'=/

FEB+ZEFC^240Q,然后計算出/1+N2的度數(shù)，進而得到答案.

【解答】解：???/4=60°,

AZAEF+ZAFE=ISO0-60°=120°,

；.NFEB+/EFC=360°-120°=240°,

:由折疊可得：ZB'EF+ZEFC=NFEB+NEFC=240°,

.,.Zl+Z2=240°-120°=120°,

VZ1=85°,

.\Z2=120°-85°=35°,

故選：D.

【點評】此題主要考查了翻折變換，關鍵是根據(jù)題意得到翻折以后，哪些角是對應相等

的.

12.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖①，在正方形ABC。中，點尸沿邊D4從點。開始

向點A以\cmls的速度移動，同時點Q沿邊AB,BC從點A開始向點C以2cm/s的速度

移動，當點P移動到點A時，P、。同時停止移動.設點P出發(fā)x秒時，△玄。的面積

為層，y與x的函數(shù)圖象如圖②，則下列四個結論，其中正確的有（）

①當點P移動到點A時，點Q移動到點C

②正方形邊長為6cm

③當AP=A。時，△外。面積達到最大值

④線段EF所在的直線對應的函數(shù)關系式為y=-3x+18

BC

D.4個

【考點】E7：動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】25：動點型；532：函數(shù)及其圖像；67：推理能力.

［分析】①當點P移動到點A時-，點Q移動到點C

②正方形邊長為6cm

③當。時，△以。面積達到最大值

④線段E尸所在的直線對應的函數(shù)關系式為y=-3x+18

【解答】解：①：點P沿邊DA從點D開始向點A以\cmls的速度移動,

同時點。沿邊A8,BC從點A開始向點C以2cmis的速度移動，

當點P移動到點4時，P、。同時停止移動.

當點P移動到點4時，點。移動到點C.

所以①正確；

②根據(jù)函數(shù)圖象可知：

當AP=A。時，△勿。面積達到最大值正方形邊長為6cm

當2Ap=4。時，△以。面積達到最大值為9,

設正方形的邊長為“，

■:PD=x,貝ijAP=a-x,AQ=2x,

.".2Ca-x）—lx,解得x=_La,

2

即當x=L時，y=9,

2

22

-^—+J—=9

42

解得“=±6（-6舍去）

所以正方形的邊長為6cvm

所以②正確；

③當2AP=AQ時，△附Q面積達到最大值，

所以③錯誤；

④；當x=3時，y—9,當x=6,時，y—0,

代入、=丘+人中，

解得k=-3,h=18,

所以線段EF所在的直線對應的函數(shù)關系式為y=-3x+18.

所以④正確.

所以正確的結論有3個.

故選：C.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關鍵是綜合兩個圖形的關系進行

分析.

二、填空題（每小題3分，共12分）

13.（3分）（2020?貴州三模）病的平方根是±3.

【考點】21：平方根.

【分析】根據(jù)平方根、算術平方根的定義即可解決問題.

【解答】解：V781=9,9的平方根是±3,

的平方根是±3.

故答案為±3.

【點評】本題考查算術平方根、平方根的定義，解題的關鍵是記住平方根的定義，正數(shù)

有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根，屬于基礎題，中考

?？碱}型.

14.（3分）（2020春?瑞安市期末）甲、乙兩人各進行10次射擊比賽，平均成績均為9環(huán)，

方差分別是：S甲2=2,S%2=4,則射擊成績較穩(wěn)定的是甲（選填“甲”或“乙”）.

【考點】W7：方差.

【專題】I：常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越

小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

【解答】解：因為甲的方差最小，所以射擊成績較穩(wěn)定的是甲；

故答案為：甲

【點評】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表

明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組

數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

15.（3分）（2008?臨沂）已知x、y滿足方程組（2*切=5,則廠丫的值為1

[x+2y=4

【考點】98：解二元一次方程組.

【專題】36：整體思想.

【分析】一般解法是求得方程組的解，把x,y的值代入到代數(shù)式求值，但觀察方程組未

知數(shù)的系數(shù)特點，把兩方程分別看作整體，直接相減，即可求得x-y的值.

【解答】解：在方程組打哼中，

[x+2y=4

①-②得：x-y=l.

故答案為：1.

【點評】此題考查解二元一次方程組，注意此題的簡便方法.

16.（3分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖,放置的△OABi,△B1A1B2,△BM2B3,…都是邊

長為2的等邊三角形，邊A。在y軸上，點劭、&、&…都在直線）=率：上，則點A2019

的坐標為（2019、耳，2021）.

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；66：運算能力；67：推理能力.

【分析】由己知分別求出A\（如,3）,B\（百，I）,B2（2?,2）,42（2如，4）,

&（373.3）,A2（3?,5）,…，B”（小后，〃），A”（〃?,〃+2）,找到規(guī)律即可求解.

【解答】解：..?邊長為2的等邊三角形，

（0,2）,

?.?直線

3

：.B\（如，I）,

曲」x軸，

；.Ai（我，3）,

同理可求：&（2愿，2）,A2（2愿，4）,&（3?,3）,A2（3日，5）,…，Bn3啦,

"）,An（"J^,n+2）,

.?.點42019的坐標為（2019時,2021）,

故答案為（2019我，2021）.

【點評】本題考查一次函數(shù)和點的坐標規(guī)律；理解題意，結合一次函數(shù)的圖象與正三角

形的特點，得到點的坐標規(guī)律是解題的關鍵.

三、解答題（共52分）

17.（7分）（2019秋?南山區(qū)期末）計算：

⑴g-后需

⑵病*-4加

圾

⑶（V3-2）（后2）-|3^^-n°|-（-A）

3

【考點】2C：實數(shù)的運算；4F：平方差公式；6E：零指數(shù)累；6F：負整數(shù)指數(shù)基.

【專題】514：二次根式；66：運算能力.

【分析】（1）根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

（2）根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

（3）根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：（1）原式=2次-后返=2返.

__33

（2）原式=§近乂3^-4&

2V2

=]0匠4加

=6&.

（3）原式=3-4-|-3-1|-（-3）

=-1-4+3

=-2.

【點評】本題考查二次根式，解題的關鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基

礎題型.

18.（6分）（2019秋?南山區(qū)期末）解下列方程:

⑴14x-y=30

（x-2y=-10

3x-4y=2

【考點】98：解二元一次方程組.

【專題】11：計算題；521：一次方程（組）及應用.

【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；

（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可.

【解答】⑴華-丫=30①

lx-2y=-10②

解：①X2-②得7x=70,

解得：x=10,

將x=10代入②得10-2y=-10,

解得：y=10,

則原方程組的解為［x=l°：

ly=10

（2）方程組整理得：［4x-3y=12①，

3x-4y=2②

解：①X4-②X3得7x=42,

解得：x=6,

把x=6代入①得：y=4,

則方程組的解為［x=6.

ly=4

【點評】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知

數(shù)系數(shù)化為1,求出解.

19.（6分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖，已知點。，E分別是△48C的邊BA和8c延長線

上的點，作ND4c的平分線A尸，若A尸〃BC.

（1）求證：AABC是等腰三角形；

（2）作NACE的平分線交4F于點G,若/3=40°,求NAGC的度數(shù).

【考點】JA：平行線的性質；KJ：等腰三角形的判定與性質.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到ND4F=NCAF,根據(jù)平行線的性質得到/D4^=

ZB,ZCAF^ZACB,于是得到結論：

（2）根據(jù)三角形的內角和得到N8AC=100°,由三角形的外角的性質得到NACE=/

BAC+NB=140。，根據(jù)角平分線定義得到NACG=1N4CE=70°,根據(jù)平行線的性質

即可得到結論.

【解答】（1）證明：：AF平分/D4C,

：.ZDAF^ZCAF,

'CAF//BC,

:?/DAF=NB,ZCAF=ZACB,

:?/B=/ACB,

???△ABC是等腰三角形；

（2）解：VAB=AC,ZB=40°,

AZACB=ZB=40°,

：.ZBAC=\OO°,

ZACE=ZBAC+ZB=140°,

YCG平分NACE,

???NACG=]NACE=70。，

\'AF//BC,

：.ZAGC=180°-ZBCG=180°-40°-70°=70°.

D

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，熟練

掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵.

20.（6分）（2019?雙流區(qū)模擬）為了提高學生閱讀能力，我區(qū)某校倡議八年級學生利用雙

休日加強課外閱讀，為了解同學們閱讀的情況，學校隨機抽查了部分同學周末閱讀時間，

并且得到數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息回答下列問題：

（1）將條形統(tǒng)計圖補充完整；被調杳的學生周末閱讀時間眾數(shù)是1.5小時,中位數(shù)是

1.5小時；

(2)計算被調查學生閱讀時間的平均數(shù)；

(3)該校八年級共有500人，試估計周末閱讀時間不低于1.5小時的人數(shù).

【考點】V5：用樣本估計總體；VC：條形統(tǒng)計圖；W2：加權平均數(shù)；W4：中位數(shù)；

W5：眾數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計圖可以求得本次調查的學生數(shù)，從而可以求得閱讀時間1.5小時的

學生數(shù)，進而可以已將條形統(tǒng)計圖補充完整；由補全的條形統(tǒng)計圖可以得到抽查的學生

閱讀時間的眾數(shù)、中位數(shù).

(2)根據(jù)補全的條形統(tǒng)計圖可以求得所有被調查同學的平均閱讀時間.

(3)用總人數(shù)乘以樣本中周末閱讀時間不低于1.5小時的人數(shù)占總人數(shù)的比例即可得.

【解答】解：(1)由題意可得，本次調查的學生數(shù)為：30+30%=100,

閱讀時間1.5小時的學生數(shù)為：100-12-30-18=40,

由補全的條形統(tǒng)計圖可知，抽查的學生閱讀時間的眾數(shù)是1.5小時，中位數(shù)是1.5小時,

故答案為：1.5,1.5；

（2）所有被調查同學的閱讀勞動時間為：-1_X（12XO.5+3OX1+40X1.5+18X2）=

100

L32小時,

即所有被調查同學的平均閱讀時間為1.32小時.

（3）估計周末閱讀時間不低于1.5小時的人數(shù)為500*義±坦=29（）（人）.

100

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、加權平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，解題的關鍵

是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答問題.

21.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）某水果店11月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元，

其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克.12月份，這兩種水果的進價上調為：甲

種水果10元/千克，乙種水果20元/千克.

（1）若該店12月份購進這兩種水果的數(shù)量與11月份都相同，將多支付貨款300元，求

該店11月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克？

（2）若12月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克，設購進甲種水果“千克，需要

支付的貨款為w元，求卬與“的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下，若甲種水果不超過90千克，則12月份該店需要支付這兩種水

果的貨款最少應是多少元？

【考點】CE：一元一次不等式組的應用；FH：一次函數(shù)的應用.

【專題】521：一次方程（組）及應用;533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】（1）設該店5月份購進甲種水果x千克，購進乙種水果y千克，根據(jù)總價=單

價義購進數(shù)量，即可得出關于腔y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設購進甲種水果a千克，需要支付的貨款為w元，則購進乙種水果（120-.）千克,

根據(jù)總價=單價X購進數(shù)量，即可得出w關于a的函數(shù)關系式；

（3）根據(jù)甲種水果不超過90千克，可得出a的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質即可

解決最值問題.

【解答】解：（1）設該店11月份購進甲種水果x千克，購進乙種水果y千克，

根據(jù)題意得：儼+1斷17°°,

110x+20y=1700+300

解得（x=100,

ly=50

答：該店5月份購進甲種水果100千克，購進乙種水果50千克；

（2）設購進甲種水果a千克，需要支付的貨款為w元，則購進乙種水果（120-a）千克,

根據(jù)題意得：w=10a+20(120-a)=-10a+2400；

（3）根據(jù)題意得，a<90,由（2）得，w=-10a+2400,

V-10<0,卬隨a的增大而減小，

.?.a=90時，w有最小值卬顯小=-10X90+2400=1500（元）.

答：12月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應是1500元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出w關于a

的函數(shù)關系式.

22.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平

方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點.

?特例感知

①等腰直角三角形是勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?/p>

②如圖1,已知為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，以》是AB邊上的高.若

80=240=2,試求線段CO的長度.

?深入探究

如圖2,已知△A8C為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且C4>C2,CO是A8邊上的

高.試探究線段AD與C8的數(shù)量關系，并給予證明；

■推廣應用

如圖3,等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CO為AB邊上的高，過點。

向8c邊引平行線與AC邊交于點E.若CE=a,試求線段OE的長度.

【考點】KY：三角形綜合題.

【專題】2：創(chuàng)新題型.

【分析】?特例感知：①根據(jù)勾股高三角形的定義即可判斷；

②如圖1,根據(jù)勾股定理可得：CB2=C￡>2+4,CA2=CD2+],于是CO2=(CD2+4)-

(CO2+1)=3,即可解決問題；

?深入探究：由C82=CZ)2可得：CA2-CD2^CB2,而CA?-?！?gt;2=4。2,即可推

出A￡>2=CB2；

?推廣應用：過點A向E￡>引垂線，垂足為G,只要證明△4GD也ACOB(A45),即可

解決問題；

【解答】解：?特例感知：

①一等腰直角三角形是勾股高三角形.

故答案為是.

②如圖1中，根據(jù)勾股定理可得：CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,

于是C￡>2=(C￡>2+4)-(CD2+1)=3,

.*.CD=V3.

■深入探究：

如圖2中，由CA?-CB2=CD2可得：CA1-CD2=CB2,而CA2-CD2=AD2,

.\AD2=CB2,

即AQ=CB；

?推廣應用：

過點A向引垂線，垂足為G,

:“勾股高三角形"ZiABC為等腰三角形，S.AB=AC>BC,

只能是AC?-BC2=CD2,由上問可知AD=BC①.

又ED"BC,：.Z\=ZB...②.

而/AGO=/CZ)B=90°...③，

A/XAGD^^CDB(A4S),

：.DG=BD.

易知△4OE與aABC均為等腰三角形，

根據(jù)三線合一原理可知ED=2DG=2BD.

又AB=ACfAD=AE,

***BD=EC=a,

:,ED=2a.

【點評】本題考查三角形綜合題、勾股定理、全等三角形的判定和性質、勾股高三角形

的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題

目.

23.（9分）（2019秋?南山區(qū)期末）如圖（1）,在平面直角坐標系中，直線y=-￡+4交坐

3

標軸于A、8兩點，過點C（-4,0）作CD交A3于。，交y軸于點￡且△COEgA

BOA.

（1）求B點坐標為（0,4）；線段OA的長為3；

（2）確定直線CD解析式，求出點。坐標；

（3）如圖2,點M是線段CE上一動點（不與點C、E重合），ONLOM交AB于點、N,

連接MN.

①點M移動過程中，線段OM與。N數(shù)量關系是否不變，并證明;

②當△OMN面積最小時，求點M的坐標和△OMN面積.

【考點】FI：一次函數(shù)綜合題.

【專題】15：綜合題；533：一次函數(shù)及其應用；537：函數(shù)的綜合應用；67：推理能力.

【分析】（1）根據(jù)直線y=-幺+4交坐標軸于A、B兩點，點A在x軸上，點8在y軸

3

上，可以求得點8的坐標和0A的長；

（2）根據(jù)△COE絲△804,可以得到0E=04,再根據(jù)點4的坐標可以的大點E的坐標

即可求得直線CE的解析式，然后與直線y=-￡+4聯(lián)立方程組，即可求得點D的坐標;

3

（3）①根據(jù)題目中的條件，可以證明△OMEgaONA,即可得到0M和ON的數(shù)量關

系；

②要求△0MN面積最小值，由0M=0MOMA.ON,可知當0M取得最小值時即可，

當OMLCE時，。例取得最小值，然后根據(jù)勾股定理和等積法可以求得0M的長，即可

求得點M的坐標，本題得以解決.

【解答】解：（1）???直線y=-&+4交坐標軸于A、B兩點,

3

工當y=0時，x=3,當x=0時，y=4,

???點A的坐標為（3,0）,點3的坐標為（0,4）,

???OA=3；

故答案為：（0,4）,3；

（2）???過點C（-4,0）作CD交A3于。，交y軸于點￡且△COE絲△304,

???OC=4,OC=OB,OE=OA,

???點A（3,0）,

：.OA=3f

：.OE=3,

???點E的坐標為（0,3）,

設過點。（-4,0）,點E（0,3）的直線解析式為》=自+4

（3

14k+b=0,得也

Ib=3|b=3

直線CE的解析式為>=當+3,

4

即直線CD的解析式為y=Zr+3,

312

yqx+3x在

由《,得<

4,_84‘

y==+4

Oy25

即點。的坐標為（絲，絲）；

2525

（3）①線段與ON數(shù)量關系是OM=ON保持不變,

證明：?.,△COE絲△BOA,

：.OE=OA,N0EM=40AN,

?.'/BOA=90°,0N10M,

:.NMON=NBOA=90°,

NMOE+NEON=ZEON+ZNOA,

：.4M0E=4N0A,

在△MOE和△NOA中，

"ZM0E=ZN0A

<OE=OA，

,Z0EM=Z0AN

:.△MOEQXNOA（SAS）,

OM=ON,

即線段OM與。N數(shù)量關系是OM=ON保持不變;

②由①知0M=0N,

：OM_LOM

9

...△OMN面積是：OM?ON=OM）

22

.?.當OM取得最小值時，△OMN面積取得最小值,

VOC=4,OE=3,ZCOE=90°,

：.CE=5,

?..當OM_LCE時，OM取得最小值，

,?--O-M---C-E-=-O-C-'-O-E-,

22

?.--0-M--X--5-=4X3，

22

解得，OM=絲，

5

（￡）2

...△OMN面積取得最小值是：二——=』2,

225

當取得最小值時，設此時點M的坐標為（a,&?+3）,

4

入2+（%3）2=（卷產(chǎn)，

解得，“=-36,

25

.?&+3=組

425

...點M的坐標為（/0,至），

2525

由上可得，當△OMN面積最小時，點M的坐標是（/殳，望）和△OMN面積是22

252525

【點評】本題是一道一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質、三角形的面積的最值、

勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性

質和數(shù)形結合的思想解答.

考點卡片

1.平方根

(1)定義：如果一個數(shù)的平方等于“，這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

(2)求一個數(shù)“的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)。的正的平方根表示為“?”，負的平方根表示為“

正數(shù)a的正的平方根，叫做〃的算術平方根，記作4.零的算術平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質

I.平方根的性質：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0;負數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，

0的立方根是0.

2.算術平方根

(1)算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于"，即那么這個正數(shù)

x叫做a的算術平方根.記為4.

(2)非負數(shù)a的算術平方根。有雙重非負性：①被開方數(shù)4是非負數(shù)；②算術平方根。本

身是非負數(shù).

(3)求一個非負數(shù)的算術平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

3.實數(shù)與數(shù)軸

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸

上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)?

的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

4.實數(shù)大小比較

實數(shù)大小比較

（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負

實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比

左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

5.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

6.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

I.運算法則：乘方和開方運算、睡的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

7.平方差公式

（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

（a+b）（a-/＞）=a2-b2

（2）應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)：

②右邊是相同項的平方