易錯突圍：第十七章 勾股定理（解析版）-人教八下期中綜合復(fù)習(xí)

八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）第十七章勾股定理易錯導(dǎo)航勾勾股定理勾股定理及其逆定理易錯點(diǎn)1勾股定理及其逆定理勾股定理與面積問題易錯點(diǎn)2勾股定理與面積問題勾股定理中折疊問題易錯點(diǎn)3勾股定理中折疊問題勾股定理中最短路徑問題易錯點(diǎn)4勾股定理中最短路徑問題易錯訓(xùn)練【易錯點(diǎn)1勾股定理及其逆定理】以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組．記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數(shù)組：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；（2）用含（且為整數(shù)）的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明．【答案】（1）第六組勾股數(shù)為（48，14，50）；（2）規(guī)律：第n組勾股數(shù)為（n2-1，2n，n2+1）；證明見詳解．【分析】（1）先找出勾股數(shù)組中間數(shù)的規(guī)律，然后觀察數(shù)組中兩端數(shù)組相差2，利用方程求出第一個數(shù)，可得第六組勾股數(shù)為（48，14，50）（2）先找出勾股數(shù)中中間數(shù)的規(guī)律，然后利用方程求出勾股數(shù)中的一個數(shù)與第三個數(shù)規(guī)律：第n組勾股數(shù)為第n組勾股數(shù)為（n2-1，2n，n2+1）；(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，可得(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．【詳解】（1）第一組中間數(shù)為4=2×2，第二組中間數(shù)為6=2×3，第三組中間數(shù)為8=2×4，第四組中間數(shù)為10=2×5，第五組中間數(shù)為12=2×6，第六組中間數(shù)為14=2×7，兩頭的兩數(shù)差二，設(shè)較小的數(shù)為x，另一個數(shù)為x+2則（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六組勾股數(shù)為（48，14，50）；（2）規(guī)律：中間數(shù)規(guī)律是2n（n≥2）設(shè)第一個數(shù)為x，第三個數(shù)為x+2則，解得，第n組勾股數(shù)為（n2-1，2n，n2+1）；證明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)，方程，平方差公式，關(guān)鍵在于找出式子變化的規(guī)律．【變式訓(xùn)練】選擇題1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：三邊是正整數(shù)且兩小邊的平方和等于第三邊的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)勾股數(shù)的定義可得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，熟練勾股數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．設(shè)一個直角三角形的兩直角邊分別是a，b，斜邊是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接測得c的長度，則a，b的長可能是（）A．a(chǎn)＝12，b＝16 B．a(chǎn)＝11，b＝17 C．a(chǎn)＝10，b＝18 D．a(chǎn)＝9，b＝19【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理分別求出c的值，再和20比較即可．【詳解】解：A.a＝12，b＝16，根據(jù)勾股定理斜邊c=20；B.a＝11，b＝17，斜邊c=＞20；C.a＝10，b＝18，斜邊c=＞20；D.a＝9，b＝19，斜邊c=＞20；∵最大刻度是20cm的直尺，可一次直接測得c的長度，∴a=12，b=16，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，中，于點(diǎn)D，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC、AB的長，然后根據(jù)勾股定理計算即可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵AD=1，∴AC=2AD=2，∴AB=2AC=3，∴BC==，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．滿足下列條件的三角形：①三邊長之比為3：4：5；②三內(nèi)角之比為3：4：5；③n2﹣1，2n，n2+1；④，，6．其中能組成直角三角形的是（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】A【分析】欲求證是否為直角三角形，若已知三邊長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方；若已知三個角的度數(shù)，只要驗(yàn)證是否存在直角即可．【詳解】①三邊長之比為；則有，為直角三角形；②三個內(nèi)角度數(shù)之比為，則各角度數(shù)分別為，，，不是直角三角形；③，是直角三角形；④，構(gòu)不成三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE與CD相交于F，則CF的長是（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性質(zhì)可得∠CEB=∠EFC及AG的值，進(jìn)而可判定CF=CE．設(shè)CF=EG=EC=x，則AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，解得x的值即為CF的長．【詳解】解：過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，如圖：∵CD⊥AB于D，∴EG∥CD，∴∠GEB＝∠EFC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴EC⊥CB，又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∴EG＝EC．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5．在Rt△EBC和Rt△EBG中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL），∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4，∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，∴CF＝CE．設(shè)CF＝EG＝EC＝x，則AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝∴CF的長是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理及等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，當(dāng)a、b、c滿足_______時，∠B=90°．【答案】a2+c2=b2【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得到滿足的條件，可得到答案．【詳解】解：∵a2+c2=b2時，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，

∴當(dāng)a、b、c滿足a2+c2=b2時，∠B=90°．

故答案為：a2+c2=b2．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理，掌握當(dāng)兩邊平方和等于第三邊的平方時第三邊所對的角為直角是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，則點(diǎn)C到邊AB的距離為__．【答案】1【分析】如圖（見解析），先利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，解得，即點(diǎn)到邊的距離為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，，，，，則四邊形ABCD的面積為_________．【答案】【分析】連接BD，先利用勾股定理求出BD，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四邊形ABCD的面積當(dāng)成兩個三角形的面積和來求．【詳解】解：連接BD，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了__米．【答案】9．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．10．如圖，，點(diǎn)A是延長線上的一點(diǎn)，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動，如果點(diǎn)同時出發(fā)，用表示移動的時間，當(dāng)_________s時，是等腰三角形；當(dāng)_________s時，是直角三角形．【答案】或54或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)在上，或點(diǎn)在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：，或，據(jù)此進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．三、解答題11．已知：如圖，在中，，；在中，為邊上的高，，的面積．求四邊形的面積．【答案】114cm2【分析】根據(jù)三角形面積公式，求出AB的長，由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，于是得到△ABC的面積，即可得到結(jié)論．【詳解】解：在△ABE中，DE為AB邊上的高，，的面積．∵，∴AB=15cm，在中，，，AB=15cm，∴，∴△ABC是直角三角形，∴，∴四邊形的面積=．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式和勾股定理的逆定理，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？【答案】7200元【分析】連接，利用勾股定理解出，再利用勾股定理逆定理證明為直角三角形，最后根據(jù)解得四邊形的面積，再乘以200元，即可解題．【詳解】解：連接，∠B=90°，在中，為直角三角形（元）答：學(xué)校需要投入7200元買草皮．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、勾股定理逆定理的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．13．綜合與探究問題情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接DE，CE．探究發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，BD＝CE，BD⊥CE，請證明；探究猜想；（2）如圖2，當(dāng)BD＝2DC時，猜想AD與BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；探究拓廣（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時，探究并直接寫出線段BD，DC，AD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意計算得∠BAD=∠CAE；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過證明△BAD≌△CAE，從而完成求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，通過△BAD≌△CAE，得；通過勾股定理，得；再通過勾股定理計算，記得得到答案；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)，通過計算，即可得到線段BD，DC，AD之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）由題意得，∠BAC=∠DAE=90°∵∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AE∴AD=AE又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∴∠ECD=90°，BD⊥CE．（2）由（1）得：△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∵，BD＝2DC，即,∴，∵AD=AE∴∴∠B=∠ACB=45°∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°∴CD2+CE2=DE2，即，∴；（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∴∴，∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、等腰三角形三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．【易錯點(diǎn)2勾股定理與面積問題】（2020·吉林長春市·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，對角線AC⊥BC．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵AB=13,BC=5，；（2）∵CD=15,AD=9,AC=12，，∴△ACD是直角三角形，則四邊形ABCD的面積為，，即四邊形ABCD的面積為84．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2020·甘肅張掖市·張掖四中八年級期末）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．514 B．8 C．16 D．64【答案】D【點(diǎn)睛】此題考查以弦圖為背景的證明，熟記勾股定理的計算公式、理解三個正方形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南京市·八年級期末）如圖，在中，，，．以為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）A．8 B．12 C．18 D．20【答案】D【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2020·北京海淀北理工附中初三其他）如圖，在一個由4×4個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，陰影部分面積與正方形ABCD的面積比是（）A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2【答案】B【點(diǎn)睛】在網(wǎng)格問題中，一般求圖形面積可以采用割補(bǔ)法進(jìn)行.4．（2020·寧夏鹽池）如圖,已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A．48B．60C．76D．80【答案】C【點(diǎn)睛】勾股定理.5．（2020·浙江紹興市·八年級其他模擬）如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為；如圖2，分別以直角三角形三邊長為半徑向外作半圓，面積分別為．其中，則（）A．86 B．64 C．54 D．48【答案】C【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)．勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．6．（2019·廣東潮陽?初三零模）在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【點(diǎn)睛】勾股定理包含幾何與數(shù)論兩個方面，幾何方面，一個直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和．這里，邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積．二、填空題7．（2020·河北侯口中學(xué)初二月考）已知一直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm,則此直角三角形斜邊上的高為____?！敬鸢浮?.8cm.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于列出方程.8．（2019·北京市第四十三中學(xué)初二期中）如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD=____________

.【答案】13【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算是解本題的關(guān)鍵.9．（2019·河北保定十三中初二期中）如圖，在中，，分別以、、為邊向外作正方形，面積分別記為、、，若，，則______．【答案】2【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，觀察圖形明確直角三角形的邊長的平方是正方形的面積是解題的關(guān)鍵.10．（2020·南昌民德學(xué)校初二期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2等_________．【答案】11．（2019·全國初二單元測試）已知：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3,則圖中陰影部分的面積為__________.【答案】4.512．（2021·山西晉城市·八年級期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別是5，4，4，6，則最大的正方形的面積是______．【答案】19【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠發(fā)現(xiàn)正方形的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形的面積和即為最大正方形面積．三、解答題13．（2021·全國八年級）在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面積．【答案】【詳解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD==15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=BC?AD=×21×8=84．∴△ABC的面積為84．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理求證△ABD是直角三角形．14．（2018·內(nèi)蒙古杭錦后旗?初二期中）某學(xué)校要對如圖所示的一塊地進(jìn)行綠化，已知，，，，，求這塊地的面積.【答案】解：連接AC∵∴在中，根據(jù)勾股定理在中，∵是直角三角形∴.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，得到△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．同時考查了直角三角形的面積公式．15．（2020·成都雙流中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考）已知：如圖，四邊形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四邊形ABCD的面積．【答案】如圖，連接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2．∴△ACD是直角三角形，∴S四邊形ABCD＝AB?BC+AC?CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四邊形ABCD的面積為1+．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和勾股定理逆定理．利用勾股定理逆定理判斷△ACD是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇揚(yáng)州市·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求出四邊形ABCD的面積．【答案】解：（1）連接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵AB=20，BC=15，∴由勾股定理可得：AC=；∵在△ADC中，CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）由（2）知，∠ADC=90°，∴四邊形ABCD的面積=．答：四邊形ABCD的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【易錯點(diǎn)3勾股定理中折疊問題】（2020·吉林長春市·八年級期末）已知長方形紙片ABCD，將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．（1）△BEF是等腰三角形嗎？若是，請說明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的長．【答案】（1）△BEF是等腰三角形，理由如下：四邊形ABCD是長方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，∴△BEF是等腰三角形；（2）四邊形ABCD是長方形，，由折疊的性質(zhì)得：BE=DE，設(shè)BE=DE=x，則AE=AD-DE=8-x，在中，，即，解得x=5，即BE的長為5．【點(diǎn)睛】本題考查了長方形與折疊問題、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2020·甘南縣八一學(xué)校初二期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B【點(diǎn)睛】本題考主要查了勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇連云港市·八年級期末）如圖，在中，，，為的平分線，將沿直線翻折得，則的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【點(diǎn)睛】本題考主要查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2020·河北省臨西縣第一中學(xué)初二期末）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長是（）A． B．3 C．3 D．3【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出∠AFB=90°是解題的關(guān)鍵．4．（2019·中山大學(xué)附屬中學(xué)初二期末）如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為PQ，則線段BQ的長度為（）A． B． C．4 D．5【答案】C【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．5．（2021·河南南陽市·九年級期末）如圖①，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖②方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)CB重合，折痕為，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】D【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，勾股定理，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理求線段的長度．6．（2019·河南伊川?初二期末）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB＝6，BC＝9，則BF的長為（）A．4 B．3 C．4.5 D．5【答案】A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題及勾股定理的應(yīng)用，綜合能力要求較高．同時也考查了列方程求解的能力．解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．二、填空題7．（2021·全國八年級）如上圖，在中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，若AC=6，BC=8，則線段CD的長為______．【答案】【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，涉及折疊的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2020·甘州區(qū)思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB＝3，AD＝9，則BE的長為_____．【答案】5【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)及勾股定理求解邊長，熟練運(yùn)用勾股定理建立方程求解是解題關(guān)鍵．9．（2020·浙江金華市·八年級期末）如圖，在直角三角形中，，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的E點(diǎn)，那么的長度是________．【答案】3【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用折疊性質(zhì)折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分是解題關(guān)鍵．10．（2020·安徽省廬江第三中學(xué)初二期中）如圖，在長方形紙片中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，則的長為_______.【答案】【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的知識，注意掌握勾股定理的表達(dá)式．11．（2021·北京門頭溝區(qū)·八年級期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC邊上取一點(diǎn)E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點(diǎn)D重合，那么CE的長為________．【答案】3【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)翻折前后的兩個圖形能夠重合得到相等的線段并轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此類題目的關(guān)鍵．12．（2021·全國八年級）如圖，在直角三角形中，，，點(diǎn)在邊上，將沿著直線對折，使得點(diǎn)剛好落在直線上的點(diǎn)處，則__．【答案】【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2020·浙江寧波市·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是多少平方厘米？【答案】設(shè)CD=xcm則AD=（8-x)cm∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm∴AB==10cm∵△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)∴，CD=設(shè)CD==x根據(jù)勾股定理：∴∴x=3∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、軸對稱、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、軸對稱、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．14．（2020·成都雙流中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考）如圖，已知長方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求EF的長．【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，由折疊可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，設(shè)EF＝xcm，則DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5即：EF的長為5cm．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、圖形的翻折變換、全等三角形，方程思想等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，運(yùn)用方程求解．15．（2021·全國八年級）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片使AC邊落在AB邊上，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，展開紙片得折痕AD．（1）直接寫出AB的長是________；（2）求CD的長．【答案】解：（1）∵直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，故答案為：10；（2）由折疊的性質(zhì)可知，AC＝AE=6，DC＝DE，∠AED=∠C=90°，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，則CD的長是3．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、折疊性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【易錯點(diǎn)4勾股定理中最短路徑問題】（2020·涇陽味經(jīng)中學(xué)八年級月考）如圖，長方體盒子（無蓋）的長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是多少？【答案】解：由題意分三種情況：①如圖展開，連接DC，則DC的長就是從點(diǎn)D爬到C處的最短路程，在Rt△ADC中，AD=12+8=20cm，cm，∴由勾股定理得：cm，②如圖所示：在Rt△DFC中，DF=12cm，F(xiàn)C=8+15=23cm，∴根據(jù)勾股定理得：，因?yàn)殚L方體盒子是無蓋的，所以這種情況不符合題意；③把長方體盒子按照正面、底面、背面進(jìn)行展開，如圖所示：∴DF=12cm，F(xiàn)C=30+8+15=53cm，∴在Rt△DFC中，，綜上所述：從點(diǎn)D爬到C處的最段路程是25cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的展開圖及勾股定理，熟練掌握幾何圖形的展開圖及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·廣東佛山市·）如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點(diǎn)的螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是（）A．9 B．13 C．14 D．25【答案】B【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，掌握勾股定理和兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．2．（2020·遼寧營口?初二期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】D【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的最短長度是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021·河南周口市·八年級期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱上的最短問題，利用圓柱展開，把問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵.4．（2019·沙坪壩重慶八中初二月考）如圖，長方體的底面邊長為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要()A．12cmB．11cmC．10cmD．9cm【答案】C【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．5．（2021·江蘇蘇州市·八年級期末）如圖，有一長方體容器，，一只螞蟻沿長方體的表面，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離是（）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，畫出展開圖找到最短路徑是解題的關(guān)鍵．6．（2021·河南新鄉(xiāng)市·八年級期末）如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為、、，現(xiàn)有一長為的吸管插入到盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中勾股定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是要找出露在杯外面吸管最長和最短時，吸管在杯中所處的位置．7．（2021·全國九年級）如圖所示，有一根高為的木柱，它的底面周長為，在準(zhǔn)備元旦聯(lián)歡晚會時，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從底柱向柱頂均勻地纏繞7圈，一直纏到起點(diǎn)的正上方為止，小明需要準(zhǔn)備的這根彩帶的長至少為（）．A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．二、填空題8．（2021·貴州畢節(jié)市·八年級期末）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為分別是兩底面的直徑，是母線．若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路線的長度是_____．（結(jié)果保留根式）【答案】【點(diǎn)睛】本題以圓柱為載體，考查旋轉(zhuǎn)表面上的最短距離，解題的關(guān)鍵是利用圓柱側(cè)面展開圖．9．（2019·全國初二課時練習(xí)）如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm，4cm，2cm，現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面到達(dá)占處，則所走的最短路路徑長是________cm.【答案】6【點(diǎn)睛】此題考