專題4.2指數(shù)函數(shù)2

專題4.2指數(shù)函數(shù)專題4.2指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，a是底數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.【特別提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)閑q\a\vs4\al(R)；值域?yàn)?0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x＝eq\a\vs4\al(0)時(shí)，y＝eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1；當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三常用結(jié)論（1）指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．考點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的判斷與求值【典例1】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則.考點(diǎn)02根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【典例4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，求a＋b的值．考點(diǎn)03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B． C．3 D．9【典例6】（2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：；當(dāng)時(shí)，.則滿足這兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)為.考點(diǎn)04指數(shù)（型）函數(shù)圖象的辨識(shí)【典例7】（2022秋·陜西延安·高一?？计谀┖瘮?shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【典例8】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【規(guī)律方法】識(shí)圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題．（3）根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．考點(diǎn)05指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【典例9】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【典例10】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【規(guī)律方法】過定點(diǎn)的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(3)當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)；簡(jiǎn)記：撇增捺減．考點(diǎn)06指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例11】（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【典例12】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．考點(diǎn)07指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域【典例13】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【典例14】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【總結(jié)提升】形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，可先求f(x)的值域再根據(jù)函數(shù)y＝at的單調(diào)性確定y＝af(x)的值域．考點(diǎn)08根據(jù)指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域（最值）求參數(shù)【典例15】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例16】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)問題，往往利用換元法，即把指數(shù)式看做一個(gè)變量，將問題加以轉(zhuǎn)化.如【典例16】.考點(diǎn)09指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例17】【多選題】（2023秋·河南·高三滎陽市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的最小值為3 D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【典例18】（2022秋·浙江·高一校聯(lián)考期中）寫出定義域和值域都相同，但單調(diào)性不相同的兩個(gè)單調(diào)函數(shù)：；的單調(diào)遞減區(qū)間為．【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”.考點(diǎn)10根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)【典例19】（2023秋·貴州遵義·高三校考階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)11指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例21】（安徽省部分學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【典例22】（2022秋·廣東江門·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，且它的圖象過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象解不等式．【總結(jié)提升】比較大小問題：底數(shù)相同，指數(shù)不同：借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來判斷；底數(shù)不同，指數(shù)不同：常找到一個(gè)中間值，通過比較函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．考點(diǎn)12指數(shù)（型）函數(shù)綜合問題【典例23】（2023秋·上海松江·高一?？计谀┰O(shè)，函數(shù).(1)若，求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)若，請(qǐng)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.【典例24】（2023秋·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)，且．(1)求，的值；(2)若對(duì)于，不等式成立，求的取值范圍．【總結(jié)提升】指數(shù)方程或不等式的解法(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時(shí)，等價(jià)于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，等價(jià)于f(x)＜g(x)．(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3.（2008·安徽·高考真題）若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)一、單選題1.（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)3．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或5.（2024秋·新疆·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．0 C．1 D．e二、多選題6．（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．8．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)在上為減函數(shù)三、填空題9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)（其中）