解析幾何資料考前

解析幾何升級訓練

1.拋物線C:/=2py(p>0)上一點P("Z,4)到其焦點的距離為5.

(1)求p與，"的值；

(2)若直線/:了=依-1與拋物線C相交于A、B兩點,乙、。分別是該拋物線在4、B兩

點處的切線，M、N分別是4、4與該拋物線的準線交點，求證：I而+而1>4近

解：(1)根據(jù)拋物線定義，4+]=5,解得p=2........(2分)

x2=4y,將P(m,4)代入x?=4y,解得"?=±4........(4分)

(2)依題意把y=H—1代入f=4y得犬-4h+4=0……①，

△=16&2_16>0,k2>1,ke(-oo,-l)U,........(5分)

設(shè)B(x.2,y2),則乂1+12=4女，xtx2=4

由/=4),=),=%=>y'=-x,所以拋物線在A處的切線/,的方程為

=；X|(x-x),即y=gx|X-；xj.

元2—4

令y=T，=:J-——.........(6分)

2x]

同理，得赤=三2.為、尤2是方程①的兩個實根，故占々=4,即乙=±,

2臼一42

從而有漏=與，=」^---=i-^-=-xM........(8分)

2X292玉

再

AM=(xM-X],-1一%),BN=(一為-x2,—\—y2),

2

孫+為=以，y」+y2=k(x、+x2)-2=4A:-2

...I而+而1=5(.+/)2+(2+必+%)2=J16(J+Y),........(10分)

'：k2>l,：.716(F+P)>472,即I而+而I〉4人.----------12分。

2.在平面直角坐標系中，已知點A(±,0),向量e=(0,l),點B為直線x=—上的動點，點

22

C滿足2反=蘇+麗，點M滿足麗'?"=(),麗'?而=0.

(1)試求動點M的軌跡E的方程;

⑵設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R、N在y軸上，圓（x-lY+y2=1內(nèi)切于APRN,求

△PRN的面枳的最小值.

解：⑴設(shè),則=（x+；,y-m）,e=（O,l）,CM=（x,y-，^，）,AB,

y=tn

由麗■?工=0,麗■?麗=0得，加2,所以動點M的軌跡E的方程為y2=2%；......4分

yb

⑵設(shè)尸(%,%),R(0,b),N(0,c),S.b>c,:.lPR:y=0~x+b,

尤0

即"R：()'o-b)x-x?y+x()b=o，由相切得J">[史==1,注意到x°>2,化簡得

22

y](y0~b)+x0

(%0_2)b~+2y°b—XQ=0，

2

同理得(x0-2)c+2yoc-x0=0,

所以b,c是方程（與-2）12+2%%一/=0的兩根,8分

也年+4%(%-2)二2%

所以b-c=

,0-2|拓-2

4

=2")?%=A-2)++4>8,

有S&PRN2

x0-2x0-2

當/=4時APRN的面積的最小值為8..........12分

3.中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為母，且經(jīng)過點。［￥）。

若分別過橢圓的左右焦點K、尸2的動直線/1、/2相交于P點，與橢圓分別交于4

8與C、。不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率々、七、自、的滿足々+七=七+的?

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點例、N,使得1尸例1+1丹71為定值.若存在，求出M、N點、

坐標；若不存在，說明理由.

22

解：⑴設(shè)橢圓方程為/方=1（。>〃>0）,則由題意知

（第21題）

仁孝則

。2=3。2,〃=2,2,則橢圓方程為］+?=02,代入點

的坐標可得

22

,2=1,所求橢圓方程為土+匕=1

32

(2)當直線/i或/2斜率不存在時，P點坐標為(-1,0)或(1,0).

當直線小6斜率存在時,設(shè)斜率分別為他，叫，設(shè)嶼,力),B(x2,y2),

,2y2_2

由‘3+2"-I得(2+3叫2)/++3機；-6=0,?*.x,+x2=-----6〃/，,

/1、2+3"?1r

y=ml(x+1)

3m?-6..y1y2%)+1x2+1-修+工2、

X|%2=------------,女|+攵2=-------1-------=/Hj(----------1---------)=/Zl|(2d--------------)

2+3次［X］x2x］x2xix2

-2m；、—4團］日工rn,,-4加2??，,,,

?

=加］(2-----------)=-----，I可千里k3+k4=--~./+%2=攵3+44，

一27??!"-27/?2—2

-/1tntni

/?--——=--~,即?！ǎ菁?+2)(加2-〃‘I)二°?又「?，〃］機2+2=0?

tnf-2mj-2

，，,,2

設(shè)尸(x,y),則^----^—+2=0,即二+/=1&二±1),

x+1x-\2

由當直線/1或/2斜率不存在時，p點坐標為(T,0)或(1,0)也滿足，，P(x,y)點橢

圓上，則存在點M、N其坐標分別為(0,-1)、(0,1),使得IPMI+IPNI為定值26.

4.已知橢圓c：0+==1（。＞匕＞0）過點（6,半），橢圓C左右焦點分別為工，尸2,上

頂點為E,AEF,F,為等邊三角形.定義橢圓C上的點V（%,%）的“伴隨點”為N（%,&）.

ab

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的

圓經(jīng)過坐標原點。.橢圓C的右頂點為。，試探究AOAB的面積與AODE的面積的大小

關(guān)系，并證明.

T+7Z2=1

或^22

解：(1)由已知1/=b2+c2,解得1=4,6=3，方程為二+二=1.......................4分

43

C_1

a2

（2）設(shè)AO”％）,8（無2，%），則P4引

1）當直線I的斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+m,

y=kx+m

由y2得：(3+4Z:2)x2+Skmx+4(m2-3)=0；

—+—=1

43

A=48(3+4^—加2)〉o

-8km

有＜10分

4(m2_3)

玉“川再

由以P。為直徑的圓經(jīng)過坐標原點0可得：3中2+4）＞必=°：

整理得：（3+4攵2）%盧2+4,成（X1+工2）+4優(yōu)2=0②

將①式代入②式得：3+4/=2m2,12分

22

v3+4^>0,/./n>0,A=48/M2>0

\ni\

又點。到直線y=kx+m的距離d=J==

|的=k…|=內(nèi)運分五=標算

4M-|m|

Ti+P

2m2

下卻=百

所以S^ONB114分

2）當直線/的斜率不存在時，設(shè)方程為x=皿-2＜m＜2）

聯(lián)立橢圓方程得：y2=3（4—M-）

4

代入3占％2+4）；＞2=0得3〃/一~^-^-=0；

機=±￥y=±-^-SAOAB=；|AB|d=；側(cè)回一％|=百

綜上：A0A3的面積是定值

又AOOE的面積也為百，所以二者相等..............................16分

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點在原點，焦點為尸(1,0).過拋物線在

x軸上方的不同兩點A、8作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、。兩點，且AC

與8。交于點M,直線4。與直線BC交于點N.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)求證：MN±x軸；

(3)若直線與x軸的交點恰為尸(1,0),求證：直線A8

過定點.

解：(1)設(shè)拋物線的標準方程為y2=2px(0>0),

由題意，得§=1，即P=2.

所以拋物線的標準方程為y2=4x.……3分

(2)設(shè)4(如必)，8(和丁2)，且必>0，%>0?

1

由y2=4x(y>0),得y=2>J~x,所以y'=

所以切線AC的方程為y—y}=—7=(x—xi)?E|Jy-y]=—(x—x{).

整理，得y%=2(x+再),①

且。點坐標為(-不0).

同理得切線BD的方程為yy2=2(x+x2),②

且〃點坐標為(-x2,0).

由①②消去y，得=,乃一"?

M一%

又直線A。的方程為丁=」^。+/)，③

X\+X2

直線8c的方程為丫=」^。+西).④

冗］+%

由③④消去y,得"必

所以加=xN,即MN_Lx軸.

(3)由題意，設(shè)代入(1)中的①②，得%%=2(1+3),%%=2(1+/)?

所以4』,B(X2,%)都滿足方程y()y=2(1+x).

所以直線A8的方程為yoy=2(14-X).

故直線過定點(一1,0).

6.在平面直角坐標系內(nèi)已知兩點A(-1,O)、8(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變，縱

坐標擴大到原來的V2倍后得到點。(x,夜y),且滿足AQBQ=1.

(I)求動點尸所在曲線C的方程；

、萬_________

(II)過點B作斜率為-J的直線/交曲線C于M、N兩點，且OM+ON+。，=6,又

2

點”關(guān)于原點O的對稱點為點G,試問“、G、N、H四點是否共圓？若共圓,求出圓

心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.

解：(1)設(shè)點P的坐標為(x,y),則點。的坐標為(x,&y),

依據(jù)題意，有而=(x+l,&y),麗=(x—1,夜y).

■.?AQBQ=1,:.x2-1+2y2=l.

工2

動點P所在曲線C的方程是y+y2=l.

(H)因直線/過點B,且斜率為0*，故有/:尸-爭….

x2j

彳+y=i

聯(lián)立方程組4「，消去y,得2/-2%一1=0.

V2

y=--—U-l)

Xj+x=1

X.+x2=12

設(shè)M(X”M)、N(x2,y2),可得.1，于是，V2-

^1-^2=--%+丫2=彳

XOM+ON+OH=Q,得OH=(-芭-孫一%-%)，即^(-1,--)

而點G與點//關(guān)于原點對稱，于是，可得點G(l,注).

2

若線段"N、G”的中垂線分別為乙和4，則有

五I

/[：y——=——),/2:y——V2x.

V2_?

聯(lián)立方程組《-y"T"解得4和乙的交點為。?《,一

y=-42x

因此，可算得10#|=槨*乎了=理,

I0川=-撲（%+停2=-

所以M、G、N、”四點共圓，且圓心坐標為014,-左），半徑為平.

7.如圖，已知直線/與拋物線/=4y相切于點/＞（2,1）,且與x軸交于點4。為坐標原

點，定點8的坐標為（2,0）.（I）若動點M滿足施?麗+痣|而1=0,求點M

的軌跡C；

（II）若過點B的直線1'（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F

（E在B、F之間），試求aOBE與△0BF面積之比的取值范圍.

解：（I）由一

故/的方程為y=X-l,.?.點A坐標為（1,0）.............................2

分

設(shè)M(x,y)則Q=(l,0),麗=(x-2,y),而=(x—l,y),

由赤?前+五1赤1=0得(x_2)+y.0+VLJ(x_l)2+y2=().

2

整理，得5+=1.……4分

???點M的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為2后，短軸長為2的橢圓5分

（II）如圖，由題意知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)/方程為y=k（x-2XkK0）①

將①代入］+/=1,整理，得

Qk°+1)X2—8k°.x+(8左2-2)=0,

由△>[)得042cL.設(shè)￡(xi，yj,F(X2>y2)

2

_8k2

x

X]+2~2k1+\

則<7分

8k2-2

X|X2=

2k2+1?

SIRPI——?——?Y—2

令則幾=^——由此可得BE=4-B￡；1=」一，且0<4<1.

SAOBFIBF1x2—2

由②知(項―2)+區(qū)-2)=一1

2

(x-2)-(x-2)=xx-2(玉+尤2)+4=

(2t22k2+1

2

22k+1bii,2421

g|U^____..............1..0..分.......

0<k~<—,0<---------z------<—,解得3—2^2<2<3+2V2.

2(1+4)222

Xv0</I<1,

???3-2后＜2＜1..?.△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3—2/，1).…12分

22

8.已知4、8是橢圓1+==1(“＞匕＞0)的一條弦，M(2,1)是A8

a2b2

中點，以M為焦點，以橢圓的右準線為相應準線的雙曲線與直線48

交于M4,-1).

(1)設(shè)雙曲線的離心率e,試將e表示為橢圓的半長軸長的函數(shù).

(2)當橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)時，求橢圓的方程.

(3)求出橢圓長軸長的取值范圍.

⑴設(shè)4。1,弘),8。2，＞2)則｛22相減得

%-HH

---------------------=---2222

9^a=2bi&b=c

%!-x2X,+x2a~

由雙曲線定義知離心率e=’(2-4)+2=——

匹-41I”一

B17

⑵由上知橢圓離心率為、一.故6=----------l=6則”=3后或8

2la-2V2l

當a=3應時，橢圓方程為三+匯=1.

189

當a=及時，橢圓方程為三+J/=1.而此時M(2,1)在橢圓外.故舍去.

則所求橢圓方程為二+2=1.

189

(3)由題設(shè)知:y=—x+3.橢圓X?+2:/—=o

y=-x+3、

\\.,得3x02-12x+18-a2=0有△=122-12(18-/)>0故

x2+2y2-a2=0

I—2I(1—2>/21<2

a>46,又由⑵知e=------尸>>1即《「故。的范圍是

Ia~2J2Ia—2V2w0

(V6,2V2)U(2V2,2+2>/2).

則長軸2a的范圍是(2V6,4V2)U(4血,4+4加).

9.已知動圓過定點P(1,0),且與定直線L：x=-1相切，點C在/上.

⑴求動圓圓心的軌跡M的方程；

⑵設(shè)過點P,且斜率為-6的直線與曲線M相交于A,B兩點

(i)問：AABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由

(ii)當AABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

解：(1)依題意，曲線M是以點P為焦點，直線/為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

⑵⑴由題意得,直線AB的方程為：y=-6(x-1)由1廳二“(xT)消去y得：

3x2-10x+3=0,解得J_,x,=3.所以A(L迪),B(3,-26),1AB1=X1+x,+2=—.

3333

假設(shè)存在點C(一1,y),使^ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即

(3+1尸+(y+2百產(chǎn)=(鳥2,Gr-

1?W相減得：4?+(y+2后)2=(3)2+(丫一絲_)2,解得丫=—3(不符,舍)

222

(1+l)+(y--1)=(y)339

因此，直線/上不存在點C,使得aABC是正三角形.

(ii)解法一：設(shè)C(-1,y)使aABC成鈍角三角形，

由［二/(xT)得y=2△此時A,B,C三點共線，故yH2技

▽iAci2/.1、2/2^32284y[3y??(2/6、2256

又IAC|2=(—>3)-+(y—一—xr=—一一^+y-,IAB|-=(y)2=—

當IBC|2>IAC|2+1AB『,即28+46y+y2>—--y+y2+空，即丫>工6時，

9399

/CAB為鈍角.

當IAC12>1BCF+1ABI：即知-#y+y2>28+46y+y?+呼

y<-yV3時/CBA為鈍角.

又IAB12>1ACI2+IBC匕即—>y-+y2+28+46y+y2

即：丫2+36丫+3<(),&+￡)2<()

該不等式無解，所以/ACB不可能為鈍角.

因此，當aABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是：

"或y>竽u*2歷

解法二：以AB為直徑的圓的方程為：

(x-1)2+(y+|V3)2=(|產(chǎn)圓心弓,_：百)至IJ直線L:x=-1的距離為g

所以，以AB為直徑的圓與直線L相切于點G(-l,-逋).

當直線/上的C點與G重合時，/ACB為直角，當C與G點不重合，且A,B,C三點不共線時，

NACB為銳角，即AABC中/ACB不可能是鈍角.因此，要使aABC為鈍角三角形，只可能是

/CAB或NCBA為鈍角.

過點A且與AB垂直的直線為：y-2叵=^(x-3.令x=-1得y=—

3339

過點B且與AB垂直的直線為：丫+2行=正色一3),令*=—1得丫=-此行

33.

又由卜=一/汽-1)解得y=2△所以，當點C的坐標為(-1,2石)時，

A,B,C三點共線，不構(gòu)成三角形.

因此，當AABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是：

>'<■或y>半G'w2揚.

10.在直角坐標平面中，^ABC的兩個頂點為A(0,-1),B(0,1)平面內(nèi)兩點G、M同時

滿足①瓦+而+的=0,②I礪1=I訕1=I就I③麗〃而

(1)求頂點C的軌跡E的方程

(2)設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為(逝，0)，已知而〃而，

RF〃而且萬?而=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

解：(1)設(shè)C(x,y),：+赤=2詼，由①知面=一2的，/.G為AABC的重心，

,,G(y)............................................................(2分)

由②知M是aABC的外心，.?.M在x軸匕由③知—

3

由I砒I=\MA\得jq)2+]=j(x_+2+y2

比2

化簡整理得：—+/=1(xWO)............................................................(6分)

3

(2)F(72,0)恰為工+>2=1的右焦點

3

設(shè)PQ的斜率為kWO月.kW土拳，則直線PQ的方程為y=k(x-V2)

由］y=k(x-五)=(3父+1)/—6瘋2了+6k2一3=0

X2+3/-3=0

設(shè)P(Xi,yJ，Q(X2,Y2)則XI+X2=,Xi?x2=^T-7.......(8分)

3k2+13A2+1

則|PQ|=Jl+6.J(X|+X2)2—4X|Z=Jl+/.)2-4：：；二：

Y3H+13H+1

2G(小+1)

3k2+1

?.?RN_LPQ,把k換成一工得|RN|=23".................................(io分)

k3+k2

??.SJ|PQ3RN|=T^=2——一

2(3k+1)(A+3)3街+4)+10

k

3(A:2+-^)+10=-^—

k22-5

i83

Vk2+,22,-----216,，一WS<2,（當k=±1時取等號）.....（12分）

k22-S2

又當k不存在或k=0時S=2

33

綜上可得-WSW2,Smax=2,Smin=-......................（14分）

22

11.已知點R(-3,0)，點P在y軸匕點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，

且滿足2麗+3而=6,而?麗=0.(I)⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C

的方程；

(II)設(shè)4區(qū),以)、B5,丫2)為軌跡C上兩點，且為>1,>0,N(1,0),求實數(shù)2,使

——r16

AB=2,AN,K|4B|=y,

解：(I)設(shè)點M(x,y),由2兩+3麗=6得P(0,-1),Q(-,0).

由麗.麗=0,得(3,—)?(x,y)=0,B|]y2=4x

又點Q在X軸的正半軸上，x>0故點M的軌跡C的方程是y2=4x(x>0).……6分

(II)解法一：由題意可知N為拋物線C:y2=4x的焦點，且A、B為過焦點N的

直線與拋物線C的兩個交點。

當直線AB斜率不存在時，得A(1,2),B(1,-2),|AB|=4<y,不合題意；…7分

當直線AB斜率存在且不為0時，設(shè)/小y=Mx-l),代入V=4x得

k2x2-2(k2+2)x+k2=0

則伊8|=3+%+2=2(；：2)+2=4+白=?,解得女2=3..........10分

代入原方程得3——10》+3=0,由于匹〉1,所以%=3,%=；,

3-1

由而=4而，得二_3............13分

xN—X13—13

解法二：由題設(shè)條件得

?=4x,(1)

￡=43(2)

<》2-西=〃1-%)(3)

%-M=一為(4)

J-2一%尸+(當-yj=~(5)

由⑶、⑷得

[y2=(l-2)y,

代入(2)得(1-㈤2丫；=4*1+4D(1-X1)

再把(1)代入上式并化簡得

(Z-l)x,=1(6)……9分

同樣把(3)、(4)代入(5)并結(jié)合(1)

化簡后可得(l+x,)2=—(7)……11分

3

卜=

A=44

由(、解得，'一§或4

6)(7)11又再>1,故4=—?

.玉=3[X>=3'3

12.已知耳(-2,0),尸式2,0),點P滿足1尸片l-IP"1=2，記點〃的軌跡為后(1)求軌跡￡的

方程；

(2)若直線,過點內(nèi)且與軌跡￡交于P、0兩點.(i)無論直線/繞點用怎樣轉(zhuǎn)動，在

x軸上總存在定點M(,〃,0),使MP_LMQ恒成立，求實數(shù)力的值.

(ii)過只0作直線x=’的垂線序、0B,垂足分別為4、B,記(JPAI+I。*,求人

2IA8I

的取值范圍.

解：(1)由1尸6I—IPB1=2<16尸2I知，點P的軌跡E是以Fl、F2為焦點的雙曲線右支,

v2

由。=2,2。=2,，/?2=3,故軌跡E的方程為一一\=1。21).4分

(2)當直線/的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=A:(x—2),尸(匹，弘),。(乙,為)，與雙曲

線方程聯(lián)立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3^0,

2

=(x}-m)+k-2)(x2-2)

2+m：L

=(k24-1)x}x2-(2k+m)(x)+x2)+4左？

(Y+I)(4Y+3)4/(21+加)

=------：---------------z------+m+4攵

k2-3k2-3

3-(4加+5欣22八

=-------------+機?..................7分

E-3

???MP1MQ,:.~MP~MQ=O,

m2-4m-5=0

???當m=-l時，MPLMQ.

當直線/的斜率不存在時，由尸(2,3),Q(2,—3)及M(—1,0)知結(jié)論也成立，

綜上，當團:一1時，MP1.MQ.........................................................................................8分

(ii);=l,c=2,?,.直線x=—是雙曲線的右準線，......................9分

2

由雙曲線定義得：I尸41=」IPF,1=-1PF,1,1251=-1QF,I,

e~22

方法一

.2IPQIJ1+—~I_X]IJl+1-I工2_X]IJ1+女21h+~1-

-"2L4BI~~21y2fl-21%。2-1)1-2IZI十戶

?：k2>3,.\</l<—,.......................................................................121

k2323

注意到直線的斜率不存在時，IPQ1=1ABI,此時九=1,

綜上，AG"—3J............................................................................................................14分

方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為憶由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點，

7T27r

：.-<d<—,過Q作QCJ_PA,垂足為C,貝IJ

33

TTIP。IIP。I

APQC=l--0l,.-.A=12分

21g2982cos(萬-6)

由一<。<—^■，得<sin。V1,故：Ae—..............14分

332|_23J

13.在平面直角坐標系中，已知定圓F：Q—D'+「'=1(F為圓心)，定直線Lxn-2，,

作與圓F內(nèi)切且和直線工相切的動圓P,(1)試求動圓圓心P的軌跡E的方程。

(2)設(shè)過定圓心F的直線E自下而上依次交軌跡E及定圓F于點A、B、C、D,

①是否存在直線股，使得網(wǎng)成立？若存在，請求出這條直線的方程；若不存在,

請說明理由。②當直線.繞點F轉(zhuǎn)動時，四卜日的值是否為定值？若是，請求出這個

定值；若不是，請說明理由。

解析：(1)設(shè)動圓心P(x,y)

因為動圓P與定園F內(nèi)切，則而孑廿=卜+2|-1

若工2T則=*+i=>y=4肛

若工<-2,則+7=-x-3=>/=8(x4-D.與/<一身質(zhì)

故動圓心P的軌跡是以F為焦點，*=一1為準線的拋物線,

其方程為：>：=4工4分

⑵①當直線m的斜率存在，由U=*(x-D

設(shè)如J則'F=2+戶用?既=I

圖=M+岡=，+1+巧+1=4+%,阿=左

若岡=才a4則4力一"無解，此時不存在。

8

分

當直線m的斜率不存在時，則罔=4?陽=2,

顯然

罔=21Kl成立.

岡=2因|工

故存在直線m使成立.此時直線=-1

m:*=L.....9分

②當直線m的斜率存在時，由①畫.d=3卜1）&承1-1）=勺.勺=1

當直線m的斜率不存在時，

回想=刈-1）（2-0（2-D=L

故對于任意的直線m,MP0l=l為定值.……13分

14.已知Fi、Fz分別是橢圓=+21=1（。＞0/＞0）的左、右焦點，其左準線與x軸相交

ab

于點N,并且滿足，=2NK/KB卜2.設(shè)A、B是上半橢圓上滿足=的兩

點，其中/leg,；］.（1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)A、B兩點分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點P,求證：點P在一條定直

線上，并求點P的縱坐標的取值范圍.

2c=1工工1=2,

解：（1）由于K居=2NK/KK1=2,??.1——1=1NF1=1,

c1

a2=h2+c2.

a2=2r2

解得《，，從而所求橢圓的方程為±+y2=i.......................（3分）

b2=12"

NA=XNB,A,B,N三點共線，而點N的坐標為（-2,0）.

設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2）,其中k為直線AB的斜率，依條件知k/O.

y=k（x+2）,

由小,消去得）c?,2k'+124

x（；>-22+2>22,即----—y------y+2—0.

1+…kk2k

292T+1歷

A

根據(jù)條件可知一’k，解得。＜?。级。?分）

k0.

4k

…=RT

設(shè)4（為，必）,6。2，為），則根據(jù)韋達定理，得，

2H

又由麗=4麗，得(占+2,%)=A(X2+2,%)

(.八_4k

乃">’消去為得"空=—上

玉+2=%(工2+2),

從而，

.?=/1%..22k2221+1

私=一——.

22公+1

人八(1+2)21111/I2—1

令狀心='一LMe,則。'⑷=(A+—+2)r=1——=—

A,JJAAA

由于1<2<1,所以是區(qū)間4，；］上的減函數(shù),

從而。(g)W0(4)4。(1),BPy<^(2)<y,

??畢高冬??華七(解得3M咤

V2V21

而0〈人<J,；.W—.

262

J5.1

因此直線AB的斜率的取值范圍是［=,方(7分)

(1)上半橢圓的方程為y且為=

一X

求導可得V