柳卡圖解行程問題

數(shù)學(xué)競賽講義之行程問題多車相遇例72、一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，自隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘，有一個人從乙站出發(fā)沿著電車線路騎車前往甲站。他出發(fā)的時侯，恰好有一輛電車到達乙站。在路上他又遇到到了10輛迎面開來的電車，到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘？解：一輛車走完全程需要15分鐘，所以一輛車剛發(fā)出時，途中有15÷3-1=2輛車。所以當人騎車出發(fā)時，而甲站車時，在中途有兩輛車子，可以相遇，所以共相遇10輛車，于是又發(fā)車8輛相遇，恰到達時，又發(fā)車，于是發(fā)車9輛時，甲到達，即有8個時間間隔，時間為5×8=40分鐘。所以騎車行完全程的時間為40分鐘。例73、某人沿電車路線行走，每隔12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來。假設(shè)兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的。求這個發(fā)車間隔。解：因為兩輛電車的間隔目相等，兩次相遇期間，共走了[〔行人+電車〕×4]，所以兩輛電車的間隔為[(行人+電車)×4]，于是兩輛車間隔時間為。兩次追及期間，共行走[電車×12]，行人行走了[行人×12]，所以電車行走了[〔電車-行人〕×12],兩輛電車的間隔為[〔電車-行人〕×12],于是兩輛車的間隔時間為。于是有，所以3×〔電車-行人〕=電車+行人，即有：電車=2×行人。所以分鐘。例74、從電車總站每隔一定時間開出輛電車，甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82米，每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上一輛迎面開來的電車，那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？假設(shè)甲、乙、電車共同相遇在A點，甲、電車下一次相遇在C點，乙、電車相遇在B點。那么B距A點距離為BA=米C距A點距離為CA=82×10=820米所以BC兩點相距的路程需電車10分鐘15秒-10分鐘=15秒=分路程為820–615=205米于是，電車的速度和為米/分于是，當10分鐘前與甲、乙相遇的電車離甲(820+82)×10=9020米遠。兩電車間隔為9020米。所車間隔為9020÷820=11分鐘。柳卡問題：這是一個著名的數(shù)學(xué)問題，由法國數(shù)學(xué)家柳卡在19世紀一次數(shù)學(xué)大會上提出：每天中午有一艘輪船從法國巴黎的勒阿弗爾開往美國紐約，且每天同一時間也有一艘輪船從紐約開往勒阿弗爾。輪船在途中需要7天7夜。假定所有輪船都以同一速度、同一航線行駛。問某艘勒阿弗爾開出的輪船，在到達紐約時，能遇到幾艘從紐約開來的輪船？后來，一位數(shù)學(xué)家畫出了“路程圖”〔運程圖〕，才得以解決。中途13艘，首尾2艘，共15艘。從圖上可以看山，在某輪船開出的前7天，紐約港已有7艘輪船駛?cè)牒匠?，加上當天的一艘，共?艘。之后，紐約港每天還有1艘輪船駛?cè)牒匠?，共?艘。這樣從勒阿弗爾港駛出的輪船在整個運行過程中，將要和本公司的15艘輪船相遇。從圖上看，當中一列(藍色〉共有16行相交，除去勒阿弗爾港當天自己開出得一列〔紅色〕，相交數(shù)也是15。例75、一條雙向鐵路上有11個車站。相鄰兩站都相距7千米，從早晨7時開始，有18列貨車由第11站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向第一站，速度都為每小時60千米。早晨8時，由第1站發(fā)出一列客車，向第11站駛?cè)?，時速是100千米，在到達終點站前，貨車與客車都不?？咳魏我粋€站，問在哪兩個相鄰站之間，貨車能與3列客車先后相遇？圖像法：畫出示意圖，利用示意圖求解，但是要求圖像一定的精確度。所以，一般采用圖像法與分析法結(jié)合使用，對有可能的情況進行分析。由上圖可知，客車在5、6兩站遇見三輛客車。分析法：客車從一個站到下一個站所需的時間為分鐘所以客車到第一站的時間為第一站8時0分第二站8時分第三站8時分第四站8時分…………第十一站8時42分而客車出發(fā)時，第一輛貨車距它千米所以客車與第一輛車相遇為8時分相鄰兩貨車相距為千米所以，客車經(jīng)過兩輛貨車的時間間隔為分鐘那么客車與18輛貨車相遇時間順次為第一輛：8時分，即8時分第二輛：，即8時分第三站：，即8時分第四站：，即8時分第五輛：，即8時分……所以，客車在8時分到達第五站，8時21分到達第六站。在此期間，它于8時……，8時……，8時分三次與貨車相遇。所以在第5、6兩站之間，客車與貨車三次相遇。例76、長途汽車有甲、乙兩個終點站，汽車要用4小時才能駛完全程。從上午6點開始，每隔1時從甲、乙兩站同時發(fā)出一輛公共汽車，最后一班車在下午4點發(fā)出。問從甲站發(fā)車的汽車司機最多能看到幾輛迎面駛來的公共汽車？最少能看到到幾輛？解：最多9輛，最少5輛例77、由A、B、C、D、E五名小學(xué)生進行馬拉松比賽。不管前半程怎樣，當他們從折返點返回跑后半程時，每人的速度都是固定不變的。他們?nèi)慌笥裍、Y、Z分別在不同時間給五個人拍了一張紀念照。最先拍的是X，然后是Y，最后按快門的是Z。照片洗出后他們分別這樣說:X：“我是在他們返回跑了10分鐘后照的，當時五人的順序是B、E、C、A、D，而且他們的間隔相等，都是30m”。Z：“我是在他們返回跑了30分鐘后照的，當時五人的順序是A、B、C、D、E，而且他們的間隔相等，都是20m”。Y：“我是什么時侯照的，自己也沒記住，不過我照的時候他們的間隔也相等?！眴枺篩是在他們返回跑了幾分鐘時照的？解：先用圖表示5個人的順序變化。從上圖可以看出，A、C、E經(jīng)常處于間隔相同的狀態(tài)，當A正好在B和C中間時，E也正好在C和D的正中間，因此5人中的間隔是相同的。為便于分析這個時間，在兩側(cè)B和C的正中間畫上一條線來表示，如右圖當此線和A線相交時，A就在B和C的正中間，所以可以求出這個時刻。這時，圖中的兩個陰影局部的三角形是相似三角形。因此，兩個三角形的對應(yīng)邊的比〔相似比〕是30:60=1:2，所以m：n=1:2。5人的間隔相同，，即6分40秒也就是說，Y在他們返回來回跑了16分40秒后照的?！痉€(wěn)固練習(xí)】某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/小時的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12分鐘有一輛電車從后面追過。如果電車按相等的時間間隔以同一速度不停地往返運行，那么電車的速度是多少？電車之間的時間間隔是多少？優(yōu)化設(shè)計★例78、甲乙兩班學(xué)生到離校24千米的飛機場參觀，但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個班的學(xué)生。為了盡快到達飛機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某地下車后步行去飛機場，汽車那么從某地立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生，如果甲乙兩班學(xué)生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的7倍，那么汽車應(yīng)在距飛機場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班同時到達飛機場？假設(shè)甲坐車時間為“1”，甲班行駛了1×7速度時，乙班行駛了1×1速度時，然后甲下車，汽車往回行駛，于是汽車與乙相遇，他們的路程差為7-1=6速度時，速度和8速度時，所需時間為時，于是乙步行時，換車；甲坐車1時，步行。因為甲乙速度一樣，同時到達，所以甲、乙坐車、步行時間一樣，于是甲乙坐車1時，甲乙步行時間1.75時。所以，坐車與步行路程比為于是步行路程為千米所以汽車停在距機場4.8千米處。例79、甲班與乙班學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)去某公園，甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是每小時3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生，為了使兩班學(xué)生在最短時間內(nèi)到達公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離之比是多少？解：為了使兩班最短時間到達，汽車從一班換車地點至另一班換車地點時間盡量減小，所以先讓速度快得甲班先走，這樣乙班換車地點與甲班行至地點距離小，就節(jié)省了時間。假設(shè)甲班先行走時間為“1”，那么甲班行程4，乙班因為坐車行程48?，F(xiàn)在行程差為48-4=44，乙班下車，甲班坐車，但車、甲行程差為44。車、甲速度和為4+48=52，于是需時，車、甲相遇。此時，甲行走，乙行走。所以，甲乙行程差為乙、車速度差為48-3=45，車追上乙時間為，于是乙行走了，甲行走了，所以他們的步行距離比為：所以甲乙兩班步行的距離比為15:11方法二：甲班步行走了AC，汽車載著乙班從A出發(fā)；當汽車到達D時，放下乙班步行，返回到C與甲班相遇。最后，汽車載著甲班與步行的乙班同時到達B。在汽車與甲班在C相遇之間，甲班走了AC，汽車走了AD+DC。由于在這一過程中，車和甲班始終在走，所以路程比等于速度比，即因此，，由此，例80、甲乙兩地相距35千米，小張、小李都要從甲地去乙地，他們只有一輛自行車，小張先步行，小李先騎車，同時出發(fā)。小張步行的速度是每小時5千米，小李步行的速度是每小時4千米。兩人騎車的速度都是每小時20千米。那么兩人從甲地到乙地最短需要多少小時？解：小李騎車到達甲乙之間的丙地，改為步行，小張到丙地后騎車，兩人同時到達乙地。此時兩人到達乙地需要時間最少。方法一方程法設(shè)甲丙距離為x，那么小李需要時間，小張需要時間因為同時出發(fā)，同時到達，所以小李、小張所需時間相等。于是，，所以千米于是所需時間為小時，即4小時45分鐘。方法二比例法求出甲丙：丙乙的路程比。知道騎車“1”距離時間為，小李步行“1”距離時間為，小張步行“1”距離時間為。小李因走路程“1”耽誤的時間與小張因走路程“1”耽誤的時間之比為，因為所需時間相等，所以路程比為3:4。因為小李與小張的步行、騎車距離正好相反，所以小李步行路程為千米，所以甲丙路程為35-15=20千米。小李步行時間為小時，即4小時45分鐘。例81、一條環(huán)形道路，周長為2千米，甲、乙、丙3人從同一點同時出發(fā)，每人環(huán)行2周。現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎。甲步行的速度為每小時5千米，乙和丙步行的速度是每小時4千米，3人騎車的速度都是每小時20千米。請你設(shè)計一種走法，使3個人2輛車同時到達終點。那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘？解：求出甲乙步行的路程比。假設(shè)甲乙均始終騎車，那么甲乙同時到達。在一個單位路程“1”內(nèi)，甲乙騎車所用時間：，甲步行所用時間：，乙步行所用時間：現(xiàn)在因步行耽誤的時間比為：，于是步行的距離比應(yīng)為耽誤時間的倒數(shù)比，即4:3。又因為乙、丙速度相同，所以步行距離相等。于是甲乙丙步行距離比為：甲：乙：丙=4:3:3。因為有3人2輛自行車，所以始終有人在步行，一圈的距離等于甲乙丙步行距離和?！沧⒁獾杰囎臃旁谝恢艿牟煌胤剑钥傆幸蝗藦囊煌＼囂幾叩搅硪煌＼囂帯?。于是甲步行的距離為？千米。于是騎車距離為2×2-0.8=3.2千米；所以甲需要時間為？=0.32小時。即0.32×60=19.2分鐘。環(huán)形兩周的最短時間為19.2千米。例82、以下圖為某郵遞員負責的郵區(qū)街道圖，圖中交叉點為郵戶，每個小長方形的長為180米，寬為150米。如果郵遞員每分鐘行200米，在每個郵戶停留半分鐘，那么從郵局出發(fā)走遍所以郵戶，再回到郵局，最少要用多少分鐘？解：此題的關(guān)鍵是求出最正確路徑，顯然不滿足一筆畫，我們也要走到個個交點。觀察上圖，前兩種路線有重復(fù)局部，而第三個路線比第四個路線長。所以第四種路線最短。至少要走3900米，有6×4-1=23個郵戶。所以需3900÷200+〔6×4-1〕×0.5=19.5+11.5=31分鐘。例83、有一個沙漠地帶，汽車每天行駛200千米，每輛汽車載運可行駛24天的汽油?，F(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時從某地出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回。為了讓甲車盡可能開出更遠的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他得油給甲車。求甲車所能開行的最遠距離。解：我們知道，甲車盡可能遠，那么乙車離開甲車時，保證甲車行駛24天得汽油，那么還有24天的汽油，是甲乙到達乙車離開的地點，然后，乙車原路返回，所以24天得汽油，3車次到達乙車離開的地點，于是24÷3=8天。又甲車單獨行駛的24天汽油，分成3局部，向前前進，返回至乙車離開地點，返回出發(fā)點。由于向前前進局部=返回至乙車離開地點，返回出發(fā)點=8天所以向前前進局部=〔24-8〕÷2=8所以，甲最遠跑到8+8=18天得距離。16×200=3200千米。穩(wěn)固練習(xí)習(xí)題14、一條“☆”形道路，周長為7千米，甲乙丙3人從同一地點出發(fā)，每人環(huán)形3周，現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎。甲步行的速度為每小時5千米，乙和丙步行的速度是每小時6千米，3人騎車的速度都是每小時30千米。請你設(shè)計一種走法，使3個人2輛自行車同時到達終點。那么環(huán)形3周最少要用多少分鐘？習(xí)題15、猴子爬窗吳盡的手風(fēng)琴已經(jīng)走了調(diào)，可他依舊彈奏不休，圖中的那些人被他吵得要死。如果不打發(fā)一點錢，他是不會走的?，F(xiàn)在，他的聽眾準備投降了。請你說出。他的那只叫喬科的猴子，將采取怎樣一條最短的路線，帶著一只錫碗從一個窗子爬到另一個窗子去向人家收錢？注意，猴子必須從現(xiàn)在的位置出發(fā)，最后回到它主人的肩膀上。如果每通過一個窗子需2分鐘，等待別人的付錢1分鐘，那么需要時間為多少？習(xí)題16、在百慕大三角洲內(nèi)，輪船每天行駛50海里，每輛輪船帶有可供50天的淡水；現(xiàn)在有“探索號”與“試驗號”兩艘輪船同時從同一碼頭出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回。為了讓“探索號”盡可能開出遠的距離，“試驗號”在行駛一段路程后，僅留下自己返回碼頭所需的淡水，把其他的淡水給“探索號”。求“探索號”所能到達的最遠航程？其他問題例84、龜兔賽跑，全程5.2千米，兔子每小時跑20千米，烏龜每小時跑3千米，烏龜不停的跑；但兔子卻邊跑邊玩，它先跑了1分鐘然后玩15分鐘，又跑了2分鐘然后玩15分鐘，再跑3分鐘然后玩15分鐘，……，那么先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘？解：烏龜?shù)竭_終點所需時間為5.2÷3×60=104分鐘。兔子如果不休息，那么需要時間5.2÷20×60=15.6分鐘。注意到兔子休息的規(guī)律是跑1、2、3、……分鐘后，休息15分鐘。15.6=1+2+3+4+5+0.6有5個間隔，所以休息5×15=75分鐘，于是，兔子跑到終點所需時間為15.6+75=90.6分鐘。顯然，兔子先到達，先烏龜104-90.6=14.6分鐘。例85、如以下圖，8時10分，有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A、B兩地順時針方向沿長方形ABCD的邊走向D點。甲8時20分到D點后，丙、丁兩人立即以相同速度從D點出發(fā)。丙由D向A走去，8時24分與乙在E點相遇；丁由D向C走去，8時30分在F點被乙追上。問三角形BEF的面積為多少平方米？例86、某出租車的計價方式為：起價是2千米5元，往后每增加1千米〔最后缺乏1千米按1千米計算〕增加2元。現(xiàn)從甲地到乙地乘出租車共支出車費35元，如果從甲地到乙地先步行800米，然后再乘也要35元。問從甲、乙兩地中點乘出租車到乙地需支付多少元錢？解：35-5=30元，所以起價后付了30元，我們以起價后2元為1段。又先走800米，付的車費不變，所以，最后的一段路程為800-1000米之間，于是全程為2+30÷2-1+~=16+~所以半程為，為400-500米之間所以需支付5+〔8-2〕×2=19元。例87、如果在游泳池中用水拍打水面，就會有水波從拍打處向四周擴散，這時水波的速度僅僅和水的深度有關(guān)，如果游泳池的水深都一樣的話，那么不管是站立打水還是邊走邊打水、輕輕打水、水波的擴散速度都將是一樣的，水波真是奇怪的東西。在一個游泳池〔水深都一樣〕里，放了一臺10秒鐘可以打出6個水波的機器。這臺機器帶有輪子，所以也可以一定的速度前進。水波是以每10秒鐘12米的速度擴散。水波的最高處叫波峰，最低處叫波谷，請問：這臺機器靜止不動打水，從一個波峰到另一個相鄰的波峰的距離是多少米？太郎以每10秒鐘4米的速度面向正在靜止站立打水的機器走去，太郎在10秒鐘內(nèi)可以碰上幾次波峰？〔時間的計算是一個波谷正好到太郎的面前開始的〕。這回是機器以每10秒鐘4米的速度朝著站立不動的太郎邊走邊打水，太郎在10秒鐘內(nèi)可以碰上幾個波峰？〔時間的計算同上〕太郎和機器分別以每10秒鐘4米的速度面對面地走，太郎在10秒內(nèi)可以碰上幾個波峰？〔時間的計算同上〕解：1、一瞬間產(chǎn)生的波以每10秒鐘12米的速度擴散，在10秒內(nèi)可產(chǎn)生6個水波。12÷6=2米2、10秒鐘內(nèi)，開始計數(shù)時的波谷從太郎原先的位置前進了12米，太郎前進了4米，其距離是12+4=16米，在這16米之間，寬度是2米的波有16÷2=8〔個〕，這8個波太郎都能遇上。3、波的速度不變，注意到相鄰兩個波之間寬度比原來小，就容易解決了。10秒后機器前進了4米，初始的波，10秒后距機器現(xiàn)在的位置為12-4=8米，由于波產(chǎn)生的速度沒變，所以在10秒鐘內(nèi)產(chǎn)生的波都應(yīng)在這個8米的距離之內(nèi)。因此，從運動著的機器那里產(chǎn)生的波的寬度是，因為這個波是太郎原位未動時計數(shù)的。波的前進速度不變，10秒12米，所以〔個〕。4、同3，機器在動，所以波的寬度是。同2一樣，太郎也在動，所以他在16米之間可能碰到的波的數(shù)量是〔個〕。非典型問題1、數(shù)論類例88、在一條環(huán)形公路上，n個車站被n段公路連接起來，車站所在地的高度有海拔50米和100米兩種。相鄰兩車站假設(shè)海拔高度相同，那么它們之間的一段公路是水平的。否那么是上坡路或下坡路。有一個乘客汽車在這條環(huán)形公路上逆時針方向兜了一圈，發(fā)現(xiàn)有坡公路的段數(shù)與水平公路的段數(shù)一樣多。求證：4|n。解：記50米高站位L，記100米高站為H，水平公路的連接方式為line〔L，L〕，line〔H，H〕，有坡公路為line〔L，H〕。平路與有坡公路段相等，那么line〔L，H〕=line〔L，L〕+line〔H，H〕又因為每1站車站都連接2條公路，所以每條公路完全占有兩個車站。設(shè)line〔L，L〕有x條，line〔H，H〕有y條，那么line〔L，H〕有x+y條。所以在line〔L，L〕中有個L車站，在line〔H，H〕中有個H車站，共有個H車站。因為不管L、H都是整數(shù)，所以〔x+y〕為偶數(shù)，總車站數(shù)為L+H=2〔x+y〕=n所以4|[n=2(x+y)]例89、以下圖中有兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從A點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？解：大小圓只有一個公共點〔內(nèi)切〕，而在圓上最遠的兩點為直徑兩端，所以當一只甲蟲在A點，另一只在過A的直徑另一端點B。所以在小圓甲蟲跑了n圈，在大圓甲蟲跑了圈，相距最遠。于是小圓甲蟲跑了30n，大圓甲蟲跑了。因為速度相同，所以相同時間內(nèi)路程相同，起點相同，所以，即，利用不定方程知識，解出n=4，m=4所以小圓甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠。益智類例91、一條公共汽車線路，包括首尾兩站共10站。首尾兩站同時每隔3分鐘相向發(fā)車一輛，每輛汽車行駛一個單程需要27分鐘。要保證首尾兩站隨時都有車，至少需要多少輛汽車？解：從首站發(fā)向尾站的車，第1輛到達時第10輛正準備發(fā)車，該方向共10輛車；同理，相反方向也有10輛。所以共需要20輛車。例92、某路電車每隔5分鐘從甲站發(fā)一輛電車到乙站，全程要走20分鐘。有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路前往甲站，他出發(fā)時恰有一輛電車到達乙站，在路上他又迎面遇到了10輛電車，到達甲站時恰有一輛電車從甲站開出。問：他從乙站到甲站用了多長時間？解：他一共看到12輛電車，他從乙站出發(fā)時第5輛電車正從甲站出發(fā)，他到達甲站時第12輛電車正從甲站出發(fā)，這中間共35分鐘。例93、長途汽車在甲乙兩地間運行，每天從甲乙兩地同時相對開出一輛客車，單程需要三天時間，到達終點后，休整兩天再按原路返回。為了保證這條線路上客運任務(wù)能正常進行，這條線路上至少應(yīng)配備幾輛車？解：一輛車兩次從甲站出發(fā)間隔10天，所以需10輛車。例94、AB兩地相距54千米，有18人共同騎7匹馬由A地到B地去，每匹馬每次只能馱1人，為了輪換休息，大家決定每人騎馬行1千米輪換休息一次。問：每人騎馬、步行各多少千米？解：7匹馬共行54×7=378千米，即18人共騎馬行378÷18=21千米，步行54-21=33千米。所以每人騎馬21千米，步行33千米。例95、四只甲蟲A、B、C和D處于一個邊長10厘米的正方形的四端。A對準B，B對準C，C對準D，D對準A同時直接超前爬。如果所有的甲蟲的爬行速度都一樣，那么，它們的爬行軌跡將是四條一樣的螺旋曲線，最終相交與這個正方形的中心。現(xiàn)在的問題是，當四只甲蟲相距時，它們各自爬了多長的距離？解：因為四只甲蟲的爬行速度是一樣的，所以在爬行的過程中，不管它們彼此間的距離如何變化，這四只甲蟲始終處于一個正方形的四個端點，隨著甲蟲距離的縮短，這個正方形不斷地旋轉(zhuǎn)和