浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上《第2章特殊三角形》習(xí)題

第2章特殊三角形

2.1圖形的軸對(duì)稱

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)

1?（余杭區(qū)仁和中學(xué)期末）下列圖形是軸對(duì)稱圖形的是（A）

令

ABCD

2?下列軸對(duì)稱圖形中，只有兩條對(duì)稱軸的圖形是（A）

ABCD

3?如圖，直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（B）

4

A?AM=BM

B-AP=BN

C-MN垂直平分線段AB

D-ZANM=ZBNM

知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱及其性質(zhì)

4?如圖，AABC和△A，B，C關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的是（B）

BB

先RW

/V。'，。，4

B'N/V

AB

D'

,….於「B

,薩修C年卬

40/rT

NN

CD

5?如圖，若AABC與△ABC，關(guān)于直線MN對(duì)稱，BB'交MN于點(diǎn)O則下列說(shuō)法中，不一定正確的是（B）

M

A............../'

7。，

CC

.V

4-AC=AC

B-AB〃B'C'

C-AA'±MN

D-BO=BrO

知識(shí)點(diǎn)3畫軸對(duì)稱圖形

6?如圖所示，已知4ABC和直線MN.求作：△AB'C，使△ABC，和4ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱.（不要求寫作法，

只保留作圖痕跡）

解：如圖所示.

知識(shí)點(diǎn)4軸對(duì)稱的應(yīng)用

7?如圖所示，MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C在MN外，且與點(diǎn)A在MN的同一側(cè)，BC交MN于點(diǎn)P，則

A-BOPC+AP

B-BC<PC+AP

C-BC=PC+AP

D-BC2PC+AP

8?如圖，村莊A，B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a，b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問(wèn)橋址

應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？

解：略.

回濾泄

視頻講解

02中檔題

9?如圖，在直角4ACB中，NACB=90°，/A=25°，D是AB上一點(diǎn)，將直角^ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落

在AC邊上的B，處，則/ADB，等于（D）

B.30°D.40°

第9題圖第10題圖

10?如圖是一臺(tái)球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)均相等，黑球放在圖示位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運(yùn)動(dòng)，

經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號(hào)是(A)

4?①B.②C.⑤D.⑥

11?如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為He

第12題圖

12?如圖所示，直線1是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，AD〃BC，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①AB〃CD；②AB=BC；③AB_L

BC；④AO=OC，其中正確的結(jié)論是①②④.(填序號(hào))

13?在4X4的方格中，有五個(gè)同樣大小的正方形如圖所示擺放，移動(dòng)其中一個(gè)正方形到空白方格中，與其余四個(gè)

正方形組成的新圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)給出三種不同的畫法.

解：如圖所示:

：r--▼：--r：------r：--?：r：--r；-----「?-----1■------1：>-----▼：------：>------r：--'

BL.j-j..i.jHTTTL..；

ffl；H

::::::河1■:::::

I??IMMM(

14?如圖，P是NAOB內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)A，OB為對(duì)稱軸分別畫出點(diǎn)P經(jīng)軸對(duì)稱變換后的點(diǎn)Pi'P2'連結(jié)P|P2，分

別與OA,OB相交于點(diǎn)C-D.若P,P2=8cm，求4PCD的周長(zhǎng).

解：根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，

可知PC=P|C，PD=P2D，

.'.△PCD的周長(zhǎng)為PC+CD+PD=P1C+CD+P2D=P,P2=8cm.

03綜合題

15?如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張4ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將4ABC沿著DE折疊

壓平，A'與A重合.

(1)若NA=75°，則Nl+N2=150°；

(2)若NA=n。，則/1+N2=2n°；

(3)由(1)(2)探索NA與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：N1+N2=2NA.

理由如下：

VZAED=ZAFED，NADE=NA，DE，

又???ZAED+NA'ED+N1=180°，

N4￡>E+NAN)E+N2=180。，

AZ1+Z2+2(ZAED+ZADE)=360°.

AZ1+Z2+2(180。-NA)=360°.

AZ1+Z2=2ZA.

2.2等腰三角形

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1等腰（等邊）三角形及相關(guān)概念

1?若4ABC的三邊a，b，c滿足關(guān)系式（a-b）2+（b-c）2=0，則4ABC是（C）

A?等腰三角形B.直角三角形

C?等邊三角形D.銳角三角形

2?等腰三角形的周長(zhǎng)是16，底邊長(zhǎng)是4，則它的腰長(zhǎng)是（B）

A?4B.6

C-7D.8

3?如圖，在aACD中，若AD=DC，則腰是AD，DC，底角是/DAC，CDCA：若AB=BD=BC，則圖中除了

△ABC是等腰三角形外，還有4ABD，Z\BCD是等腰三角形.

4?如圖'等邊4ABC的邊長(zhǎng)如圖所示，那么y=3.

5?在活動(dòng)課上，小紅已有兩根長(zhǎng)分別為4CTH，8CT?的小木棒，她打算拼一個(gè)等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小

木棒的長(zhǎng)是Scm.

6?如圖所示，在4ABC中，AB=AC，D是AC上一點(diǎn)，AD=BD=BC，則圖中有幾個(gè)等腰三角形？分別指出它

們的頂角、底角、腰和底邊.

解：有三個(gè)等腰三角形，它們分別是aABC，ADAB，ABCD.

在aABC中，AB和AC是腰，BC是底邊，ZA是頂角，ZABC和NACB是底角；

在4DAB中，AD和BD是腰，AB是底邊，ZADB是頂角，ZDAB和/ABD是底角;

在4BCD中，BC和BD是腰，CD是底邊，ZCBD是頂角，ZBCD和NBDC是底角.

知識(shí)點(diǎn)2等腰（等邊）三角形的軸對(duì)稱性

7?等腰三角形的對(duì)稱軸是（D）

A?頂角的平分線

B?底邊上的高

C?底邊上的中線

D-底邊的垂直平分線所在的直線

8?（嘉興期末）等腰三角形的對(duì)稱軸有（D）

A?1條B.2條

C?3條O.1條或3條

9.在等邊三角形、角、正方形這三個(gè)圖形中，對(duì)稱軸最多的是正方形，有生條對(duì)稱軸，最少的是魚，有L條對(duì)稱

軸，剩下的圖形有土條對(duì)稱軸.

10?己知：如圖，在AABC中，/C=90°，請(qǐng)以AC為底邊上的高，利用軸對(duì)稱，將4ABC補(bǔ)成一個(gè)等腰三角形.

13

解：如圖所示.

知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形的作圖

11?如圖，已知線段a，b，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)以線段a長(zhǎng)為腰，線段b長(zhǎng)為底的等腰三角形.

h

解：圖略.

02中檔題

12?（蕭山區(qū)期中）己知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成9c/n和12c”兩部分，則等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

（D）

A-9cmB.5cm

C?6cm^5cm5cm或9c機(jī)

13,（萊蕪中考）已知aABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一條直線將AABC分成兩個(gè)三角形，若其中有一

個(gè)三角形是等腰三角形，則這樣的直線最多有（C）

A?3條B.5條

。7條D8條

14?在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A，B是兩格點(diǎn)，若C也是圖中的格點(diǎn)，且使得4ABC

為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（C）

：\B?

：0：4：

A：；!

A,6

B-7

C-8

D-9

15?已知在4ABC中，AB=3，BC=a+2，AC=7.若4ABC為等腰三角形，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

解：???△ABC為等腰三角形，

；.a+2=3或a+2=7.

.,.a=1或a=5.

又?..當(dāng)a=l時(shí)，AB=3，BC=3，AC=7-此時(shí)這三邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形，

/.a￥1.

.,.△ABC的周長(zhǎng)為3+7+7=17.

16?如圖，已知C為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A，D分別在BE兩側(cè)，AB〃ED，AB=CE，BC=ED.問(wèn)：Z\ADC是等腰三角

形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

C￡

解：4ADC是等腰三角形，理由如下:

TABBED，

AZB=ZE.

在AABC和ACED中，

fAB=CE，

<ZB=ZE，

[BC=ED，

/.△ABC^ACED(SAS).

AAC=CD.

/.△ADC是等腰三角形.

03綜合題

17?如圖，在4ABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E.若aEDC的周長(zhǎng)為24-AABC

與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12，求線段DE的長(zhǎng).

解：「DE是BC邊上的垂直平分線，

；.BE=CE，BD=CD.

VAEDC的周長(zhǎng)為24，

，ED+DC+EC=24.①

VAABC與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12，

(AB+AC+BC)-(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)一(AE+DC+AC)-DE=12.

；.BE+BD—DE=12.②

VBE=CE，BD=DC，

①一②，得DE=6.

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理

第1課時(shí)等腰三角形性質(zhì)定理1及其推論

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角

1?在AABC中，AB=AC，/B=40°-則/C=（A）

A-40°B.70°C.100°D.100°或40°

2?如果等腰三角形的底角為50°，那么它的頂角為（。）

A-50°B.60°C.70°D.80°

3?（南寧中考）如圖，在4ABC中，AB=AD=DC，ZB=70°，則NC的度數(shù)為（4）

A-35°B.40°C.45°D.50°

4?（湘西中考）如圖，等腰4ABC中，AB=AC>BD平分NABC，ZA=36°>則N1的度數(shù)為（C）

A-36°B.60°C.72°D.108°

5?如圖，在4ABC中，AB=AC，NA=40°，則AABC的外角NBCD=110°.

Acr.cD

第5題圖第6題圖

6?如圖，AB〃CD-CPXAB于點(diǎn)O，AO=PO，若/C=50°，則度.

7?如圖，在4ABC中，AB=AC，D是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BD=CD.求證：ZABD=ZACD.

證明：VAB=AC，

，/ABC=/ACB.

VBD=CD，

，/DBC=/DCB.

AZABC-ZDBC=ZACB-ZDCB，

即/ABD=NACD.

8?如圖，在4ABC中，AD=BD=BC，若NDBC=28°，求/ABC和NC的度數(shù).

A

RC

解：設(shè)NA=x°.,.?AD=BD，

/?ZABD=ZA=x°.

，NBDC=2x°.

YBD=BC，,NC=NBDC=2x°.

VZDBC=28°，ZBDC+ZC+ZDBC=180°，

A2x+2x+28=180.

***x=38.

???NC=76°，

ZABC=ZABD+ZDBC=38°+28°=66°.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°

9?等邊三角形的兩條角平分線所夾的銳角的度數(shù)為（C）

A-30°B.45°C.60°D.90°

10?如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中Na+Np的度數(shù)是（C）

A-180°

B-220°

C-240°

D?300

02中檔題

11?如圖，在4ABC中，AB=AC，NA=30°，DE垂直平分AC，則NBCD的度數(shù)為（。）

A?80°B.75°C.65°D.45°

DF

第11題圖第12題圖

12?如圖，ZEAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則NDEF等于（C）

A?90°B.75°C.60°D.45°

13?三個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若N3=50°，則N1+N2=12Q二.

習(xí)題解析

第13題圖第14題圖

14?如圖，M、N是AABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BM=MN=NC=AM=AN，則NBAN=90°.

15?(蕭山區(qū)期中)等腰三角形--腰上的高與另--腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為63°或27°.

16?如圖，己知4ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F.

(1)求證：AABE^ACAD；

(2)求NBFD的度數(shù).

解：(1)證明：:△ABC為等邊三角形，

.?./BAE=NC=60°，AB=CA.

^△ABE^IACAD中，

fAB=CA，

</BAE=NC-

IAE=CD，

/.△ABE^ACAD(SAS).

(2)VAABE^ACAD>

，/ABE=/CAD.

VZBFD=ZABE+ZBAD，

.?./BFD=NCAD+/BAD=/BAC=60°.

03綜合題

17?如圖，在AABC中，AB=AC，Zl=|zABC，Z2=1zACB，BD與CE交于點(diǎn)O，ZBOC的大小與/A的

大小有什么關(guān)系？若N1=；/ABC，Z2=|ZACB，則NBOC與NA的大小有什么關(guān)系？若，Z2=

：NACB，則NBOC與NA的大小有什么關(guān)系？

解：VAB=AC>

AZABC=ZACB.

VZ1=1ZABC，Z2=1ZACB，

AZBOC=180°-(Z1+Z2)

=180。(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZA)

=90°+|zA.

當(dāng)N1=；NABC，Z2=|ZACB時(shí)，

ZBOC=180°-(Z1+Z2)

=180。-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZA)

=120。+|ZA.

當(dāng)/1=1/ABC，Z2=-ZACB時(shí)，

nn

ZBOC=180°-(Z1+Z2)

=180°(ZABC+ZACB)

=180°(180°-ZA)

n—1,1

=------X180°o+-ZA.

nn

微課堂

第2課時(shí)等腰三角形性質(zhì)定理2

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的“三線合一”

1?如圖，在4ABC中，AB=AC-AD1BC＞下列結(jié)論中不正確的是（A）

4?AB=2BDB.ZB=ZC

BAD平分NBACD.BD=CD

第1題圖第2題圖

2?如圖，在4ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，NBAD=35°，貝UNBAC的度數(shù)為（￡））

A?35°B.45°C.55°D.70°

3?如圖是人字形屋架的設(shè)計(jì)圖，由AB，AC，BC，AD四根鋼條焊接而成，其中A，B，C，D均為焊接點(diǎn)，且AB

=AC，D為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點(diǎn)，如果焊接工身邊只有檢驗(yàn)直角的

角尺，那么為了準(zhǔn)確快速地焊接，他首先應(yīng)取的兩根鋼條及焊接點(diǎn)是（。）

A?AB和BC及焊接點(diǎn)B

B?AB和AC及焊接點(diǎn)A

C?AB和AD及焊接點(diǎn)A

。?AD和BC及焊接點(diǎn)D

4?如圖，在4ABC中，AB=AC-AD平分/BAC，若CD=4，則BC=8.

第4題圖第5題圖

5?如圖，ZXABC是等邊三角形，AD±BC，DE±AC，若AB=8，則BD=4，NCDE=30°.

6?（北京中考）如圖,在4ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線，BE_LAC于點(diǎn)E.求證：ZCBE=ZBAD.

證明：VAB=AC，

.??△ABC是等腰三角形.

；AD是BC邊上的中線，

AAD±BC，ZBAD=ZCAD.

.,.ZCAD+ZC=90°.

VBE1AC'.,.ZCBE+ZC=90°.

；./CBE=NCAD.

.*.ZCBE=ZBAD.

7?如圖，在等腰AABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，ZABC的平分線BG分別交AD，AC于點(diǎn)E，G，

EFlAB，垂足為F，求證：EF=ED.

證明：；AB=AC，AD是BC邊上的中線，

，AD_LBC.

：BG平分/ABC，EF±AB，

ED1BC-

/.EF=ED.

知識(shí)點(diǎn)2用尺規(guī)作等腰三角形

8?已知：線段a，b，求作：ZXABC，使AC=CB=a，AABC的高為b.

解：圖略.

02中檔題

9?如圖所示，在4ABC中，AB=AC，E在CA延長(zhǎng)線上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

解：垂直.

理由：\?在aABC中，AB=AC，AD是高，

，/BAD=/CAD.

VAE=AF，

/E=ZEFA.

：/BAC=/E+/EFA=2/EFA，

，/EFA=NBAD.

，EF〃AD.

VAD±BC，

，EF_LBC.

故EF與BC的位置關(guān)系為垂直.

10?(上城區(qū)期中)如圖，ZSABC是等邊三角形，BD1AC-AE1BC＞垂足分別為D、E，AE、BD相交于點(diǎn)O，

連結(jié)DE.

(1)判斷4CDE的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)若AO=12，求OE的長(zhǎng).

解：(1)4CDE是等邊三角形.理由：;△ABC是等邊三角形，且BD_LAC，AELBC，

/c=60。，CE/BC，CD=|AC.

：BC=AC，

，CD=CE，Z\CDE是等邊三角形.

(2)由(1)知AE、BD分別是aABC的中線，

.,.AO=2OE.

；AO=12-

.\OE=6.

11?^EAABC中，AB=AC.

(1)如圖1，若/BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，則NEDC=15°；

(2)如圖2，若/BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，則NEDC=20°；

(3)思考：通過(guò)以上兩題，你發(fā)現(xiàn)NBAD與NEDC之間有什么關(guān)系？并給予證明.

解：ZBAD=2ZEDC(WcZEDC=|zBAD).

理由如下：

VAD=AE，

，/AED=/ADE.

VAB=AC，

；./B=/C.

VZAED=ZCDE+ZC，ZADC=ZB+ZBAD，

AZB+ZBAD=ZCDE+ZC+ZCDE，

即/BAD=2/CDE.

03綜合題

12?如圖所示，ZXABC中，AB=BC，DE1AB于點(diǎn)E，DF±BC于點(diǎn)D，交AC于F.

(1)若NAFD=155°，求/A的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：ZCFD=|ZB.

A

解：(1)VZAFD=155°，

???NDFC=25°.

VDF1BC，

???NFDC=90°.

AZC=90°-25°=65°.

VAB=BC，

，NA=NC=65°.

(2)證明：連結(jié)BF.

???AB=BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，

.*.BF±AC，ZABF=ZCBF=|zABC.

AZCFD+ZBFD=90°，ZCBF+ZBFD=90°.

，NCFD=NCBF.

/.ZCFD=|zABC,

2.4等腰三角形的判定定理

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊

1?在4ABC中，其兩個(gè)內(nèi)角如下，則能判定aABC為等腰三角形的是（B）

A-ZA=50°，ZB=60°

B-NA=30°，/B=75°

C-/A=20°，/B=100°

D-ZA=40°，ZB=60°

2?如果一個(gè)三角形的一內(nèi)角平分線與對(duì)邊垂直，那么這個(gè)三角形一定是（4）

A?等腰三角形B.銳角三角形

C?直角三角形。.鈍角三角形

3?（永嘉縣校級(jí)期中）如圖，在4ABC中，NABC和/ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EG〃BC分別交AB、

AC于點(diǎn)E、G，若BE+CG=I8，則線段EG的長(zhǎng)為（C）

A-16

B-17

C-18

D-19

4?在4ABC中，ZA=100°，當(dāng)/B=K°時(shí)，Z\ABC是等腰三角形.

5?如圖，在4ABC中,AB=AC，DE〃BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AADE也是等腰三角形嗎？為什么？

解：4ADE是等腰三角形.理由:

VAB=AC，，/B=/C.

又：DE〃BC，

，NADE=/B，/AED=NC.

AZADE=ZAED.

.?.AD=AE..\AADE是等腰三角形.

6?（襄陽(yáng)中考）如圖，在4ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①NEBO

=ZDCO；②BE=CD；③OB=OC.

（1）上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定aABC是等腰三角形？（用序號(hào)寫出所有成立的情形）

（2）請(qǐng)選擇（1）中的一種情形，寫出證明過(guò)程.

解：⑴①②；①③.

(2)選①③，

證明如下：VOB=OC-

AZOBC=ZOCB.

VZEBO=ZDCO，且NABC=NEBO+NOBC，ZACB=ZDCO+ZOCB，

，/ABC=/ACB.

AAB=AC..,.△ABC是等腰三角形.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定定理

7?在aABC中：①若AB=BC=CA，則AABC為等邊三角形；②若NA=/B=/C，則^ABC為等邊三角形；

③有兩個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形；④一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.上述結(jié)論中正確的有

（。）

A?1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

8?已知aABC中，NA=NB=60°，且AB=10c〃?，則BC=10c/n.

圖1

9?（紹興中考）由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易

收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可，如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時(shí)，ZAOB=60°，如圖2，則此

時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是18cm.

10?如圖所示，銳角4ABC中，ZA=60°，它的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC，求證：Z\ABC是等

邊三角形.

證明：在aEOB和△DOC中，

VZOEB=ZODC=90"，

NEOB=/DOC，OB=OC，

.?.△EOB空△DOC.

.,.ZEBO=ZDCO.

VOB=OC，

.,.ZOBC=ZOCB.

/EBC=NDCB.AB=AC.

又：NA=60°，,AABC是等邊三角形.

02中檔題

11?（陜西中考）如圖，在4ABC中，ZA=36°，AB=AC-BD是aABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=

BC-連結(jié)DE，則圖中等腰三角形共有（D）

A?2個(gè)

B?3個(gè)

C?4個(gè)

0?5個(gè)

12?已知/AOB=30°，點(diǎn)P在/AOB內(nèi)部，Pi與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則Pi，O，P2三點(diǎn)所

構(gòu)成的三角形是（。）

A?直角三角形B.鈍角三角形

C?等腰三角形。.等邊三角形

13?已知，如圖，延長(zhǎng)ZXABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到4DEF為等邊三

角形.求證：

(1)AAEF^ACDE；

(2)AABC為等邊三角形.

證明：(1)VBF=AC-AB=AE>

AFA=EC.

「△DEF是等邊三角形，

AEF=DE.

又TAE=CD，

.'.△AEF^ACDE(SSS).

(2)VAAEF^ACDE-

.,.ZFEA=ZEDC.

/BCA=ZEDC+/DEC=/FEA+/DEC=/DEF=60".

同理可證NBAC=60°.

/.△ABC是等邊三角形.

14?如圖，已知4ABC是邊長(zhǎng)為6C7H的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC勻速運(yùn)

動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cmis，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)1=2時(shí)，判斷4BPQ的形狀，并說(shuō)明理由.

解：ABPQ是等邊三角形.理由:

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2X1=2(cm)，

BQ=2X2=4(cm)，

，BP=AB-AP=6-2=4(cm).

ABQ=BP.

又；/B=60°，

.?.△BPQ是等邊三角形.

03綜合題

15?(江山期末)課本中有一探究活動(dòng):如圖1-有甲、乙兩個(gè)三角形，甲三角形內(nèi)角分別為10°，20°，150°；

乙三角形內(nèi)角分別為80°，25°，75°.你能把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？畫一畫，并標(biāo)出每個(gè)等腰三

角形頂角的度數(shù).

（1）小明按要求畫出了圖1中甲圖的分割線，請(qǐng)你幫他作出圖1中乙圖的分割線；

（2）小明進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：能將一個(gè)頂角為108°的等腰三角形分成三個(gè)等腰三角形.請(qǐng)?jiān)趫D2中用兩種不同

的方法畫出分割線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同

一種方法）

圖2

解：（1）按要求作圖如圖:

01基礎(chǔ)題

A-如果a=b>那么a2：=b2

B?平行四邊形是中心對(duì)稱圖形

C?兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

D-內(nèi)錯(cuò)角相等

反例：a=2，b=-3,有a>b,?a2<b2.

知識(shí)點(diǎn)2定理與逆定理

5?下列定理中，有逆定理的是（。）

A?四邊形的內(nèi)角和等于360°

B-同角的余角相等

C?全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

D■線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

知識(shí)點(diǎn)3線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理

7?如圖，AC=AD，BC=BD，則有（A）

A-AB垂直平分CD

B?CD垂直平分AB

C?AB與CD互相垂直平分

D-CD平分NACB

8?如圖，ZXABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)P.

(1)求證：PA=PB=PC；

(2)點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？

解：(1)證明：?.?點(diǎn)P是AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，

，PA=PB，PB=PC.

，PA=PB=PC.

(2)點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，

結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).

02中檔題

解：答案不唯一,如:

解：選擇①③0②.

證明：VAB=AC>

.,.ZB=ZC.

在aABD和4ACE中，

AB=AC，

ZB=ZC，

{BD=CE，

.?.△ABD^AACE.

，AD=AE.

U?如圖，AF平分NBAC，P是AF上任意一點(diǎn)，過(guò)P向AB、AC作垂線PD、PE，D、E分別為垂足，連結(jié)DE.

求證：AF垂直平分DE.

證明：「AF平分NBAC，PD_LAB，PE_LAC，

AZBAF=ZCAF，ZADP=ZAEP=90°，DP=EP.

/.△ADP^AAEP.

，AD=AE.

...點(diǎn)A、P在DE的垂直平分線上，即AF垂直平分DE.

03綜合題

12?如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC，E是CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：CF=AD；

(2)若AD=2，AB=8-當(dāng)BC的長(zhǎng)為多少時(shí)，點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上，為什么？

解：(1)證明：：AD〃BC，

.?.ZADC=ZFCE.

：E是CD的中點(diǎn)，

，DE=CE.

在4ADE和4FCE中，

VZADC=ZFCE，DE=CE，/AED=/FEC，

/.△ADE^AFCE(ASA).

，CF=AD.

(2)當(dāng)BC=6時(shí)，點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上，

理由如下：

VAD=2，CF=AD，

，CF=2.

，BF=BC+CF=6+2=8.

.,.AB=BF.

...點(diǎn)B在AF的垂直平分線上.

2.6直角三角形

第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

1?下列性質(zhì)中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（C）

A?兩邊之和大于第三邊

B?有一個(gè)角的平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊

C?有兩個(gè)銳角的和等于90°

D-內(nèi)角和等于180°

2?如圖，AD是肋AABC的斜邊BC上的高，則圖中與/B互余的角有（B）

4?1個(gè)B.2個(gè)

C?3個(gè)O.4個(gè)

3?如圖，R￡ABC中，NACB=90°，DE過(guò)點(diǎn)C，且DE〃AB，若NACD=50°，則NB的度數(shù)是（B）

A-50°B.40°

C-30°D.25°

4?直角三角形兩銳角的平分線相交得到的鈍角為（8）

A-150°B.135°

C-120°D.120°或135°

5?如圖所示，在4ABC中，ZA=60°，BD，CE分別是AC，AB上的高，H是BD，CE的交點(diǎn)，求/BHC的度

數(shù).

解：：BD，CE分別是AC，AB上的高，

.?./ADB=NBEH=90".

AZABD=90°-ZA=90°一60°=30°.

ZBHE=900-ZABD=60°.

.,.ZBHC=1800-ZBHE=120°.

知識(shí)點(diǎn)2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6?（北京中考）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km，

則M，（2兩點(diǎn)間的距離為（。）

A?0.5km

B?0.6km

C-0.9km

D■2km

7?在RtZ\ABC中，CO是斜邊AB上的中線，則以下判斷正確的是（D）

B.CD=^AC

A-CD=2AB

：

C-CD=BCD.CD=AD=BD

8?如圖，在AABC中，NB=NC'AD是中線，E為AB的中點(diǎn)，AC=6，則DE=（B）

A-2B.3

C-4D.6

第8題圖第9題圖

9?如圖所示,PA1OA>PB10B，垂足分別是A和B，點(diǎn)D是0P的中點(diǎn),則DA與DB的長(zhǎng)度關(guān)系是相等.

02中檔題

10?如圖，在R￡ABC中，NB=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知NBAE=30°，

則NC的度數(shù)為（C）

A-50°

B-60°

C?30°

D-40°

11?如圖，在R/ZXABC中，ZACB=90°，NA=50。，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上的A，處，折痕為CD，則

NA，DB=（。）

A-40°B.30°C.20°D,10°

第11題圖第12題圖

12?如圖，BE、CF分別是4ABC的高，M為BC的中點(diǎn)，EF=5，BC=8，則△EFM的周長(zhǎng)是（。）

習(xí)題解析

4.21

B-18

C-15

D-13

13?如圖，在△MNP中，NMNP=45°，H的高M(jìn)Q和高NR的交點(diǎn).求證：HN=PM.

證明：VMQ1PN-NMNP=45°，,MQ=NQ.

VZHMR+ZMHR=ZQNH+ZQHN=90°，NMHR=/QHN，

NHMR=/QNH.

在△MQP和aNQU中，

NMQP=/NQH=90°，MQ=NQ，NHMR=/QNH>

AAMQP^ANQH(ASA).

；.HN=PM.

14?(蕭山區(qū)期中)如圖，在4ABC中，點(diǎn)D在邊AC上-BD=BA，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).

(1)求證：EF=；BC；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CG〃EF，交BE的延長(zhǎng)線于G，求證：ZXBCG是等腰三角形.

證明：(1)：BD=BA，E是AD的中點(diǎn)，

ABE1AD.

...△EBC為直角三角形.

：F是BC的中點(diǎn)，

；.EF是直角三角形斜邊上的中線.

；.EF=；BC.

(2)VCG/7EF，

.?.ZG=ZFEB.

:EF=!BC=BF，

，/FEB=NCBE.

.".ZG=ZCBE.

AGC=BC.

...△BCG是等腰三角形.

03綜合題

15?如圖所示，一根長(zhǎng)2a的木棍(AB)，斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P.若木棍A

端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.

(1)請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由；

(2)在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，AAOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值.

解：(1)不變.

理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP不變.

(2)當(dāng)AAOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線0P時(shí)，^AOB的面積最大.理由：

若h與0P不相等，則總有h<OP>故根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)h與0P相等時(shí)，AAOB的面積最大.此時(shí)，

11,

，

SAAOB=9AB-h=2x^aa~a，

所以AAOB的最大面積為a2.

第2課時(shí)直角三角形的判定

01基礎(chǔ)題

知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形

1?已知/A=37°，/B=53°，則4ABC為（C）

A?銳角三角形

B-鈍角三角形

C-直角三角形

D-以上都有可能

2?（溫州八中月考）在下列條件：?ZA+ZB=ZC；②NA：NB：NC=2：3：4；③NA=90°-ZB；④NA

=NB=g/C中，能確定AABC是直角三角形的條件有（C）

A?1個(gè)&2個(gè)

C?3個(gè)。.4個(gè)

3?把等邊4ABC的邊AB延長(zhǎng)一倍到點(diǎn)D，則AADC是（￡>）

A?等腰三角形

B■等邊三角形

C?等腰直角三