江蘇省無(wú)錫市江陰第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

江蘇省無(wú)錫市江陰第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，，且，則等于（

）A.1

B.3

C.4

D.5參考答案：D因?yàn)椋?，由題設(shè)，即，所以，則，應(yīng)選答案D。2.已知，若正實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則a的取值范圍為（

）A. B.或C.或 D.參考答案：C【分析】先判斷是上的增函數(shù)，原不等式等價(jià)于，分類(lèi)討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)榕c都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，又因?yàn)樗缘葍r(jià)于，由，知,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，從而；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，從而，綜上所述，的取值范圍是或，故選C.【點(diǎn)睛】解決抽象不等式時(shí)，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性．若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則．3.按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結(jié)果為15，則M處條件為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.設(shè)，，，則（

）（A） （B）（C） （D）參考答案：C5.在等差數(shù)列{}中，已知a1＋a7＝10，則a3＋a5＝A、7B、8C、9D、10參考答案：D6.在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的最小值為（

）

5

4

3

2參考答案：A由題設(shè)得，∴可化為，令，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，由解得，∴正整數(shù)的最小值為5。7.設(shè)函數(shù)f'（x）是定義在（0，π）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，有f（x）sinx﹣f'（x）cosx＜0，，b=0，，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b參考答案：A【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】令g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，當(dāng)0＜x＜π時(shí)，g（x）在（0，π）遞增，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：令g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，當(dāng)0＜x＜π時(shí)，g（x）在（0，π）遞增，∵＜＜π，∴＜＜，化為：＜0＜，即a＜b＜c．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了構(gòu)造函數(shù)方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)求值考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.設(shè)a，b是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題錯(cuò)誤的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α D．若a∥α，α⊥β，則a⊥β參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】利用空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系求解．【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b?α，則由直線(xiàn)與平面平行的判定定理得b∥α，故A正確；若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正確；若a⊥β，α⊥β，則線(xiàn)面垂直、面面垂直的性質(zhì)得a∥α或a?α，故C正確；若a∥α，α⊥β，則a與β相交、平行或a?β，故D錯(cuò)誤．故選：D．9.函數(shù)f（x）=的大致圖象是（）A． B．C．

D．參考答案：C【考點(diǎn)】4A：指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【分析】利用排除法，取特殊值驗(yàn)證即可【解答】解：∵f（x）=，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=﹣3，故排除AB當(dāng)x=時(shí)，f（）=0，故排除D，故選：C10.已知集合，則集合等于A. B. C. D.參考答案：C，所以，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知下列等式：觀(guān)察上式的規(guī)律,寫(xiě)出第個(gè)等式________________________________________.參考答案：12.已知集合A＝，B＝．⑴當(dāng)a＝2時(shí)，求AB；

⑵求使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，A＝（2，7），B＝（4，5）……3分∴AB＝（4，5）．……5分（2）∵B＝（2a，a2＋1），……7分當(dāng)a＜時(shí)，A＝（3a＋1，2），要使BA，必須，此時(shí)a＝－1；……9分當(dāng)a＝時(shí)，A＝，使BA的a不存在；……10分當(dāng)a＞時(shí)，A＝（2，3a＋1）要使BA，必須，此時(shí)1≤a≤3．……12分綜上，使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，3]∪{－1}……13分略13.在銳角三角形中，A=2B，則下列敘述正確的是．①sin3B=sin2C

②tantan=1

③＜B＜

④∈（，]．參考答案：②③【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知的三角形為銳角三角形以及A=2B的關(guān)系，結(jié)合內(nèi)角和定理以及正弦定理解答．【解答】解：因?yàn)樵阡J角三角形中，A=2B，所以A+B+C=3B+C=180°，即3B=180°﹣C，所以①sin3B=sin2C錯(cuò)誤；所以sin3B=sinC，由倍角公式得到sin，所以②tantan=1正確；對(duì)于③，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，所以③＜B＜

正確；由③得到=2cosB∈（2cos，2cos）即為（，），所以④∈（，]錯(cuò)誤．故答案為：②③．14.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專(zhuān)業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專(zhuān)業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專(zhuān)業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為

．參考答案：16考點(diǎn)：分層抽樣方法．專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．解答： 解：用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專(zhuān)業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專(zhuān)業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為==16人，故答案為：16點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．15.將連續(xù)整數(shù)填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為

，最大值為

.參考答案：；因?yàn)榈?列前面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別小于第3列的數(shù)，因此：最小為：3+6+9+12+15=45.因?yàn)榈?列后面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別大于第3列的數(shù)，因此：最大為：23+20+17+14+11=85.16.函數(shù)y=sin2x+2cosx在區(qū)間[﹣，a]上的值域?yàn)閇﹣，2]，則a的取值范圍是

．參考答案：[0，]

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的定義域和值域．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，函數(shù)可以化為關(guān)于cosx的解析式，令t=cosx，則原函數(shù)可化為y=﹣（t﹣1）2+2，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，含參數(shù)的問(wèn)題的求解．解答：解：由已知得，y=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，令t=cosx，得到：y=﹣（t﹣1）2+2，顯然當(dāng)t=cos（﹣）=﹣時(shí)，y=﹣，當(dāng)t=1時(shí)，y=2，又由x∈[﹣，a]可知cosx∈[﹣，1]，可使函數(shù)的值域?yàn)閇﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，從而可得a的取值范圍是：0≤a≤．故答案為：[0，]．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題，換元法與轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，含參數(shù)的求解策略問(wèn)題．17.在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1，1）且與直線(xiàn)垂直的平面方程為．參考答案：8x+5y+7z﹣28=0【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【分析】設(shè)兩條直線(xiàn)的方向向量分別為（1，﹣3，1）（3，﹣2，﹣2），設(shè)平面的法向量為（x，y，z），則由得到一法向量為（1，，），得到所求平面方程．【解答】解：設(shè)兩條直線(xiàn)的方向向量分別為（1，﹣3，1）（3，﹣2，﹣2），設(shè)平面的法向量為（x，y，z），則由得到一法向量為（1，，），所以與直線(xiàn)垂直的平面方程為（x﹣2）×1+（y﹣1）+（z﹣1）=0，整理得8x+5y+7z﹣28=0；故答案為：8x+5y+7z﹣28=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)與的圖象恰好相切與點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：.參考答案：（1）；（2）令，則，因?yàn)?，所以在恒成立的必要條件為，即，所以，又當(dāng)時(shí)，，，令，則，即，所以在遞減，所以，即，所以在恒成立的充分條件為，綜上可得.（3）設(shè)為的前項(xiàng)和，則，要證不等式，只需證：，由（2）知，時(shí)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），令，則，即，即，從而原不等式得證.19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）設(shè)不等式的解集為P，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，證明：

參考答案：22.解：（Ⅰ）解：的導(dǎo)數(shù).令，解得；令，解得.從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

…………..3分（Ⅱ）解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，且，所以?duì)于任意，不等式

恒成立.

…………..4分由，得.當(dāng)時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.…………..5分將

變形為，令，則的導(dǎo)數(shù)，令，解得；令，解得.從而在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而實(shí)數(shù)的取值范圍是...8分（Ⅲ）證明：因只需證明：.

10分即

.即

，（*）由（Ⅰ）得，對(duì)于任意，都有，即.…

當(dāng)時(shí)（*）式成立。故原不等式成立。

...12分略20.對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)C，使得對(duì)任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且對(duì)任意的x?[a，b]都有f（x）＞C恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“U型”函數(shù)．（1）求證：函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函數(shù)；（2）設(shè)f（x）是（1）中的“U型”函數(shù)，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）對(duì)一切的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）若函數(shù)g（x）=mx+是區(qū)間[﹣2，+∞）上的“U型”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m和n的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）對(duì)于函數(shù)f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，欲判斷其是否是“U型”函數(shù)，只須f1（x）＞=2是否恒成立，利用去絕對(duì)值符號(hào)后即可證得；（2）不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，等價(jià)于|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min，等價(jià)于|t﹣1|+|t﹣2|≤2，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）函數(shù)g（x）=mx+是區(qū)間[﹣2，+∞）上的“U型”函數(shù)，等價(jià)于x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2對(duì)任意的x∈[a，b]成立，利用恒等關(guān)系，可得到關(guān)于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過(guò)驗(yàn)證g（x）是區(qū)間[﹣2，+∞）上的“U型”函數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f1（x）=x﹣1+3﹣x=2，當(dāng)x?[1，3]時(shí)，f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|＞|x﹣1+3﹣x|=2故存在閉區(qū)間[a，b]=[1，3]?R和常數(shù)C=2符合條件，…所以函數(shù)f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函數(shù)…（2）因?yàn)椴坏仁絴t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，所以|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min…由（1）可知f（x）min=（|x﹣1|+|x﹣3|）min=2…所以|t﹣1|+|t﹣2|≤2…解得：…（3）由“U型”函數(shù)定義知，存在閉區(qū)間[a，b]?[﹣2，+∞）和常數(shù)c，使得對(duì)任意的x∈[a，b]，都有g(shù)（x）=mx+=c，即=c﹣mx所以x2+2x+n=（c﹣mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2對(duì)任意的x∈[a，b]成立…所以，所以或…①當(dāng)時(shí)，g（x）=x+|x+1|．當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]時(shí)，g（x）=﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．此時(shí)，g（x）是區(qū)間[﹣2，+∞）上的“U型”函數(shù)…②當(dāng)時(shí)，g（x）=﹣x+|x+1|．當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]時(shí)，g（x）=﹣2x﹣1≥1，當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，g（x）=1．此時(shí)，g（x）不是區(qū)間[﹣2，+∞）上的“U型”函數(shù)．綜上分析，m=1，n=1為所求…21.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x2=4y上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，且滿(mǎn)足，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為M．（1）求：?的值；（2）證明：為定值．參考答案：【考點(diǎn)】平