2024-2025學(xué)年上海市長寧區(qū)復(fù)旦中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市長寧區(qū)復(fù)旦中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知曲線x28?λ+yA.(±2,0) B.(±23,0) C.(0,±2)2.過點(diǎn)P(?3,?1)的直線l與圓x2+yA.(0,π6] B.[0,π3]3.過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(?c,0)(c>0)的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為P，與圓O：A.12 B.3?1 C.4.已知圓C1：(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2：(x?3)2+(y?4)2=9，M，NA.17?1 B.52?4 二、填空題：本題共12小題，共54分。5.雙曲線3x2?6.拋物線的準(zhǔn)線方程是y=12，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是______．7.橢圓x24+8.雙曲線x2?y9.已知雙曲線x22+y2?m=1的離心率10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為22.過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF11.圓x2+y2?2x?6y+9=012.已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)△13.著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，且太陽中心處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.記地球繞太陽運(yùn)動的軌道為橢圓C，在地球繞太陽運(yùn)動的過程中，若地球軌道與太陽中心的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為2，則C的離心率為

．14.與圓C1：(x+3)2+y215.已知P1(x1,y1)，P2(x16.已知P(x0,y0)為圓C：(x?t)2+(y?s)2=r2(r>0)上的任意一點(diǎn)，當(dāng)a≠b時(shí)，|x0?y0+a|+|x0?y0+b|的值與x0，y0無關(guān)，下列結(jié)論正確的是______．三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)為F1，直線l：y=x?1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求線段AB18.(本小題14分)

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F(52,0)，雙曲線過點(diǎn)(1,3)，且直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求雙曲線的方程；19.(本小題14分)

已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F．

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，求線段AB20.(本小題18分)

已知雙曲線C：x2?y23=1，點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A(x1,y1)、B(x2,y2)為雙曲線上的點(diǎn)．

(1)求右焦點(diǎn)F2到雙曲線的漸近線的距離；

21.(本小題18分)

“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)：

步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為F；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F(即折疊后圖中的點(diǎn)A與點(diǎn)F重合)；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與AE的交點(diǎn)為P；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．

現(xiàn)對這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)F，E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段AE交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)直線x=1與C在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B，直線l：y=12x+m與C交于G、H兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)B)，則直線BG、BH的斜率之和是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

(3)記(1)問所得圖形為曲線C，若過點(diǎn)Q(1,0)且不與y軸垂直的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)T(t,0)，使得直線TM，TN

參考答案1.A

2.B

3.B

4.B

5.y=±6.x27.4

8.39.1

10.x211.(x?4)12.1413.1314.?x15.[1,+∞)

16.①②

17.解：(1)聯(lián)立直線與橢圓方程得x22+y2=1y=x?1?32x2?2x=0，

解得x1=0,x2=43，

所以A(0,?1),B(43,1318.解：(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1，

由題可得c=52，1a2?3b2=1，c2=a2+b2，

解得：a2=14，b2=1，

所以雙曲線的方程為：4x2?y2=1；

(2)由題，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

19.解：(1)因?yàn)?p=4，

解得p=2，

則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1；

(2)不妨設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因?yàn)閨AF|=x1+1=3，

所以x1=2，

當(dāng)x=2時(shí)，

解得y=±22，

不妨令A(yù)(2,22)，

20.解：(1)由題，右焦點(diǎn)F2(2,0)，

漸近線方程為3x±y=0，

因此焦點(diǎn)F2到漸近線的距離為d=232=3；

(2)顯然，直線AB不與x軸重合，設(shè)直線AB方程為x=my+2，

由AF2=3F2B，得y1=?3y2，

聯(lián)立方程x=my+2x2?y23=1，得(3m2?1)y2+12my+9=0，

其中，Δ=36m2+36>0恒成立，y1+y2=?12m3m2?1，y1?y2=93m2?1，

代入y1=?3y2，消元得y2=6m3m2?1，y22=?33m2?1，

即?33m2?1=(6m3m2?1)2，解得m=±1515，

21.解：(1)如圖，以點(diǎn)F，E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)交點(diǎn)P(x,y)，由題意知|PF|+|PE|=|PA|+|PE|=6>|EF|=4，

所以點(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓，

則2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，所以b2=a2?c2=5，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為x29+y25=1．

(2)不為定值，理由如下：

直線x=1與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)B(1,2103)，

設(shè)